Symboleilla $Z$ tai $\mathbf{Z}$ merkitään kokonaislukujen joukkoa $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Karteesisen koordinaattijärjestelmän kolmas akseli. $z$-akseli on kohtisuorassa $x$-akselia ja $y$-akselia vastaan.
Katso myös $z$-akselin suunta, $y$-akseli, $x$-akseli, Karteesinen koordinaatisto, Koordinaattiakseli, Akseli.
Suunta, johon kuljetaan, jos liikutaan $z$-akselin suuntaisesti kohti $z$-koordinaatin positiivisia arvoja.
Katso myös $z$-akseli.
Tunnetuin kreikkalaisen filosofin Zenonin esittämistä paradokseista koskee Akhilleen ja kilpikonnan kilpajuoksua.
Akhilles ja kilpikonna juoksevat kilpaa siten, että Akhilles antaa kilpikonnalle 50 metriä etumatkaa. Tällöin Akhilleus ei ikinä saavuta kilpikonnaa. Miksi?
Akhilleen on ensin päästävä paikkaan, josta kilpikonna lähti liikkeelle, eli pisteeseen $A$. Sillä välin kilpikonna on kuitenkin jo ehtinyt toiseen pisteeseen, pisteeseen $B$. Seuraavaksi Akhilleen on päästävä pisteeseen $B$, mutta samaan aikaan kilpikonna on taas liikkunut eteenpäin pisteeseen $C$. Tätä perustelua voidaan jatkaa loputtomiin, joten Akhilles ei ikinä pääse samaan paikkaan kilpikonnan kanssa.
Tätä kutsutaan paradoksiksi, koska päättely, joka näyttää uskottavalta, johtaa selvästi virheelliseen johtopäätökseen. Joidenkin antiikin Kreikan filosofien mukaan Zenon oli väärässä, koska aikaa ei voi jakaa äärettömän moneen osaan; loppujen lopuksi ajanjaksot, joiden kuluessa Akhilleuksen on ehdittävä pisteestä toiseen, tulevat niin lyhyiksi, että niillä ei ole merkitystä, ja perustelua ei voi jatkaa loputtomiin. Tämä ei kuitenkaan aivan ratkaise ongelmaa.
Nykyään voidaan käyttää geometrisia sarjoja osoittamaan, että äärettömästä määrästä pieniä ajanjaksoja muodostuu äärellisen pituinen ajanjakso, joten Akhilles tavoittaa kilpikonnan tietyn ajan kuluttua.
Katso myös Paradoksi.
Olkoon $S$ epätyhjä kokoelma joukkoja. Joukon $S$ epätyhjää osajoukkoa $C$ kutsutaan ketjuksi, jos kaikilla $A, B \in C$ pätee $A \subseteq B$ tai $B \subseteq A$.
Oletetaan, että aina kun $C$ on joukon $S$ ketju, niin $\bigcup_{D \in C} D$ on joukon $S$ alkio. Silloin joukossa $S$ on maksimaalinen alkio.
Lemma voidaan muotoilla yleisemmin seuraavasti. Jos $\leq$ on epätyhjän joukon $S$ osittainjärjestys ja jokaisella joukon $S$ ketjulla (järjestyksen $\leq$ suhteen) on yläraja joukossa $S$, niin silloin joukossa $S$ on maksimaalinen alkio.
Katso myös Lemma, Valinta-aksiooma, Apulause.