Matematiikan verkkosanakirja

Tosiasioita tai muuta tietoa kerättynä yhteen myöhempää käyttöä tai tutkimusta varten. Usein dataa voidaan esittää tai havainnollistaa kuvioilla, kaavioilla ja taulukoilla. Tietojenkäsittelyssä dataksi kutsutaan mitä tahansa automaattiseen käsittelyyn sopivaa aineistoa. Sana "data" on monikkomuoto latinan sanasta "datum".

Katso myös Poikkeava havainto, Äärihavainto, Joukko, Luokiteltu aineisto, Luokka-arvoinen aineisto.

\[ (\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta)^n = \cos(n \theta) + \mathrm{i}\sin(n \theta). \]

Katso myös Trigonometrinen identiteetti.

De Morganin lait voidaan muotoilla joko lauselogiikassa tai joukko-opissa. Lauselogiikassa ne sitovat yhteen negaation, disjunktion ja konjunktion, joukko-opissa vastaavasti komplementin, yhdisteen ja leikkauksen. Lauselogiikassa de Morganin lait ovat $$\neg ( p \wedge q ) \equiv \neg p \vee \neg q$$ ja $$\neg ( p \vee q ) \equiv \neg p \wedge \neg q.$$ Joukko-opissa de Morganin lait ovat $$(U \cap V)^c = U^c \cup V^c$$ ja $$(U \cup V)^c = U^c \cap V^c.$$

Katso myös Osittelulaki.

Kymmentä tarkoittava, melko harvoin käytetty etuliite. Joskus se esiintyy yhdessä toisen etuliitteen kanssa ilmaisemassa, että ollaan tekemisissä tietyn luvun kanssa, joka on suurempi kuin kymmenen. Esimerkiksi dodekaedrilla on kaksitoista tahkoa.

Dekalle käytetään joskus lyhennettä da, esimerkiksi yksi das on yksi dekasekunti eli kymmenen sekuntia.

Katso myös Lyhenne.

Kreikan kirjain $\delta$ (pieni kirjain) tai $\Delta$ (iso kirjain).

Kirjainta $\delta$ käytetään usein analyysissä merkitsemään suuretta, joka lähestyy nollaa. Se voi tarkoittaa myös Diracin deltafunktiota tai Kroneckerin deltaa. Kirjaimella $\Delta$ merkitään usein joukkojen symmetristä erotusta tai yleensäkin kahden suureen välistä erotusta, lausekkeen diskriminanttia ja Laplacen operaattoria.

Katso myös Diskriminantti, Kreikkalaiset kirjaimet, Infinitesimaalinen, Diracin deltafunktio, Nabla, Kroneckerin delta.

Deltoidi on annetun kolmion Simsonin suorien verhokäyrä.

Deltoidin parametrimuotoinen yhtälö on \[ x = 2a \cos(t)+ a \cos(2t), y = 2a \sin(t)-a \sin(2t). \]

Deltoidi on hyposykloidi, joka saadaan, kun isomman pallon säde on kolme kertaa pienemmän pallon säde.

Katso myös Hyposykloidi, Simsonin suora.

Funktion $f$ derivaatta pisteessä $x$ on likimain $$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ tai toisin arvioituna $$\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$$ kun $h$ on pieni positiivinen reaaliluku.

Katso myös Likiarvo, Derivaatta, Toisen derivaatan numeerinen approksimointi.

Funktion $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ derivaatta pisteessä $x_0$ tarkoittaa funktion $f$ kasvunopeutta pisteessä $x_0$. Derivaattaa pisteessä $x_0$ merkitään $f'(x_0)$ tai $\frac{d f}{dx}(x_0)$.

Täsmällisesti derivaatta voidaan määritellä raja-arvona $$f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Kaavaa $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ kutsutaan funktion $f$ erotusosamääräksi pisteessä $x_0$. Derivaatta on siis erotusosamäärän raja-arvo, kun $x \rightarrow x_0$.

Geometrisesti derivaatta pisteessä $x_0$ voidaan ymmärtää funktion $f$ kuvaajan tangentin kulmakertoimena pisteessä $x_0$.

Katso myös Lauseke, Maksimi, Derivoida, Differentiaali- ja integraalilaskenta, Muutosnopeus, Korkeamman kertaluvun derivaatta, Tangentti, Minimi, Raja-arvo, Derivaatan numeerinen approksimointi, Roottori, Differentiaalioperaattori, Suunnattu derivaatta, Divergenssi, Toinen derivaatta, Jacobin determinantti, Osittaisderivaatta.

Muodostaa funktion derivaatta.

Katso myös Lauseke, Derivaatta, Gradientti.

Funktion derivaatan määritys.

Funktion derivaatan määritys.

On olemassa monia kaavoja, jotka helpottavat monimutkaisten funktioiden derivoimista, kuten esimerkiksi tulon derivoimissääntö funktioiden tulon derivaatalle, osamäärän derivoimissääntö funktioiden osamäärän derivaatalle sekä ketjusääntö yhdistettyjen funktioiden derivaatalle.

Katso myös Summan derivointi, Ketjusääntö, Sääntö, Tulon derivointisääntö, Osamäärän derivointisääntö, Potenssin derivointisääntö, Implisiittinen derivointi.

Funktio, jolla on derivaatta. Funktio $f$ on derivoituva pisteessä $a$, jos erotusosamäärän raja-arvo pisteessä $a$ on olemassa. Jotta funktio olisi derivoituva, sen on oltava jatkuva. Kuitenkaan kaikki jatkuvat funktiot eivät ole derivoituvia. Jos funktion kuvaajassa on äkillisiä hyppykohtia, teräviä piikkejä tai kohtia, joissa kuvaaja kulkee pystysuoraan, ei funktio ole derivoituva näissä kohdissa. Esimerkiksi funktio $f(x) = |x|$ ei ole derivoituva pisteessä $x=0$.

Katso myös Jatkuva, Diffeomorfismi, Holomorfinen, Sileä kuvaus, Analyyttinen funktio, Jatkuvuus, Analyyttinen.

Käyrä, jonka yhtälö on $x^{3}+y^{3}=3a x y$.

Katso myös Karteesinen.

Etuliite, joka tarkoittaa yhtä kymmenesosaa. Sille käytetään merkkiä d. Esimerkiksi yksi dm eli desimetri on metrin kymmenesosa.

Latinan sanasta decem, kymmenen, johtuva desimaali tarkoittaa lukuun kymmenen liittyvää. Erityisesti desimaalijärjestelmä eli kymmenjärjestelmä on lukujärjestelmä, jonka kantaluku on 10. Desimaalijärjestelmässä on käytössä kymmenen numeroa ja se on nykyään hyvin laajalle levinnyt. Lukua, jossa esiintyy desimaalipilkku sekä joitakin numeroita desimaalipilkun jälkeen, kutsutaan desimaaliluvuksi tai kymmenmurtoluvuksi. Desimaalipilkun oikealla puolella sijaitsevia numeroita kutsutaan desimaaleiksi.

Katso myös 60-järjestelmä, Lukujärjestelmä, Binäärilukujärjestelmä.

Desimaalikehitelmä on luvun esitys, jossa luku on kirjoitettu kokonaan. Siinä ovat mukana desimaalipilkku sekä desimaalipilkun jälkeiset desimaalit, joita voi olla ääretön määrä. Usein on nopeampaa kirjoittaa luku murtolukuna.

Katso myös Kymmenjärjestelmä.

Luku, joka on kirjoitettu kymmenjärjestelmässä.

Katso myös Paikkajärjestelmä, Kymmenmurtoluku, Numero.

Kun kirjoitetaan desimaalilukuna luku, jolla on murto-osa, erotetaan kokonaisosa murto-osasta pilkulla. Tällöin tiedetään, mikä numero esittää ykkösiä, mikä kymmeniä jne. Tätä pilkkua kutsutaan desimaalipilkuksi.

Monissa maissa käytetään pistettä desimaalierottimena.

Katso myös Merkintätapa, Notaatio.

Geometrian osa-alue, joka tutkii geometristen kuvioiden ominaisuuksien säilymistä projektioissa. Deskriptiivisessä geometriassa ei käytetä koordinaattiakseleita, eikä geometrisiä kuvioita esitetä algebrallisesti, kuten analyyttisessä geometriassa tehdään.

Katso myös Geometria.

Matriisin determinantti on reaaliluku, joka saattaa kertoa jotain matriisin ominaisuuksista. Esimerkiksi, jos matriisi esittää kaksiulotteista kuvausta, niin sen determinantti kertoo suhteen, jolla kuvaus muuttaa tason suunnikkaan pinta-alan.

Matriisin $ A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ) $ determinantille käytetään merkintää $det(A)$ tai $ \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|.$ $2 \times 2$-matriisin $A$ determinantti on \[ det(A) = ad - bc. \]

Tässä tapauksessa determinantin itseisarvo kertoo vektorien $ \left( \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right ), \left( \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right) $ virittämän suunnikkaan pinta-alan.

$3 \times 3$-matriisin determinantti voidaan laskea kaavalla

\[ \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right | = a \times \left| \begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array} \right| - b \times \left| \begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array} \right | + c \times \left| \begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array} \right|. \]

Tässä tapauksessa determinantin itseisarvo kertoo vektorien $ \left( \begin{array}{c} a \\ d \\ g \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} b \\ e \\ h \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} c \\ f \\ i \end{array} \right ) $ virittämän suuntaissärmiön tilavuuden.

Katso myös Säännöllinen matriisi, Singulaarinen matriisi, Vandermonden determinantti, Matriisi, Käänteismatriisi, Ominaisuus, jonka arvot ovat jatkuvia, Karakteristinen yhtälö, Kofaktori, Cramerin sääntö, Fermat'n spiraali, Parabolinen spiraali, Kääntyvä matriisi, Jacobin determinantti.

Jana, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi monikulmion kärkeä, jotka eivät ole vierekkäisiä. Tai jana, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi monitahokkaan kärkeä, jotka eivät ole saman vierekkäisiä tahkon kärkiä. Jos kärjet eivät ole saman sivutahkon kärkiä, puhutaan avaruuslävistäjästä.

Katso myös Monikulmio, Suora, Monitahokas.

Yleisnimitys tilastoaineiston graafiselle esitykselle. Diagrammoja ovat esimerkiksi laatikkodiagramma, pylväsdiagramma, histogramma ja korrelaatiodiagramma. Diagrammojen avulla tutkija oppii paremmin ymmärtämään aineistonsa ja diagrammojen avulla tutkija esittää aineistoon liittyvät päätelmänsä lukijoilleen.

Katso myös Pylväsdiagramma.

Diedriryhmä $D_{2n}$ on kaikkien säännöllisen $n$-kulmion symmetrioiden muodostama ryhmä. Se voidaan esittää muodossa \[ D_{2n}= \langle a,b : a^n = b^2 = e, b ^{-1} a b = a ^{-1} \rangle. \] Huomaa, että yllä $b = b^{-1}$.

Vertaa käsitteeseen "Syklinen ryhmä".

Katso myös Ryhmä, Syklinen ryhmä.

Olkoot $U \subset \mathbb{R}^n$ ja $V \subset \mathbb{R}^m$. Bijektiota $f \colon U \rightarrow V$ kutsutaan diffeomorfismiksi, mikäli sekä sillä että sen käänteiskuvauksella on kaikkien kertalukujen osittaisderivaatat.

Katso myös Derivoituva, Differentioituva, Funktio, Kuvaus, Morfismi, Homeomorfismi.

Yhtälö, joka kertoo jonon termien ja niiden erotusten välisen yhteyden. Palautuskaava on differenssiyhtälön erikoistapaus.

Yleisemmin sanottuna on differenssiyhtälö mikä tahansa jonon termejä sisältävä yhtälö. Differenssiyhtälön ratkaisu on differenssiyhtälön toteuttava jono. Differenssiyhtälöiden ratkaisutekniikat ovat yhteydessä differentiaaliyhtälöiden ratkaisutekniikoihin.

Katso myös Yhtälö, Palautuskaava.

Differentiaaleja ovat termit kuten $df$ tai $dx$. Niitä käyteään merkitsemään ensimmäisen kertaluvun pieniä muutoksia funktiossa tai muuttujassa, kuten lausekkeessa $y dx - x dy$. Esimerkiksi jos $f$ on yhden muuttujan $x$ funktio, niin $df = f'(x_{0})\,dx$. Jos $f$ on kahden muuttujan $x$ ja $y$ funktio, niin $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$.

Katso myös Lauseke, Eksakti differentiaali.

Matematiikan haara, joka käsittelee integraaleja ja derivaattoja, pinta-alojen ja tilavuuksien laskemista sekä hetkellisten muutosnopeuksien laskemista. Korkeammalla tasolla differentiaali- ja integraalilaskenta käsittelee myös sellaisten yhtälöiden ratkaisemista, joissa esiintyy integraaleja ja derivaattoja, sekä tietynlaisten raja-arvojen täsmällistä laskemista sekä approksimointia.

Katso myös Analyysi, Integraali, Raja-arvo, Derivaatta, Analyysin peruslause, Sarja, Differentiaaliyhtälö, Variaatiolaskenta, Toinen derivaatta.

Operaattori, joka ottaa argumentikseen funktion ja jonka määritelmä sisältää kyseisen funktion tai sen koordinaattifunktioiden derivaattoja tai osittaisderivaattoja.

Katso myös Operaattori, Derivaatta, Lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, Roottori, Nabla, Divergenssi, Osittaisderivaatta, Laplacen operaattori.

Yhtälö, joka sisältää funktion derivaatan. Tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi on monia menetelmiä. Joitakin differentiaaliyhtälöitä ei voida ratkaista ollenkaan, mutta niiden ratkaisuja voidaan approksimoida numeerisesti.

Katso myös Tarkka arvo, Differentiaali- ja integraalilaskenta, Integraali, Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, Karakteristinen yhtälö, Variaatiolaskenta, Yhtälö, Homogeeninen differentiaaliyhtälö, Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, Lineaarinen differentiaaliyhtälö.

Potenssi, johon differentiaaliyhtälössä esiintyvä korkeimman kertaluvun derivaatta on korotettu. Lineaarisen differentiaaliyhtälön aste on $1$.

Katso myös Ominaisuus, jonka arvot ovat diskreettejä, Lineaarinen differentiaaliyhtälö.

Funktio, jolla on derivaatta. Funktio $f$ on derivoituva pisteessä $a$, jos erotusosamäärän raja-arvo pisteessä $a$ on olemassa. Jotta funktio olisi derivoituva, sen on oltava jatkuva. Kuitenkaan kaikki jatkuvat funktiot eivät ole derivoituvia. Jos funktion kuvaajassa on äkillisiä hyppykohtia, teräviä piikkejä tai kohtia, joissa kuvaaja kulkee pystysuoraan, ei funktio ole derivoituva näissä kohdissa. Esimerkiksi funktio $f(x) = |x|$ ei ole derivoituva pisteessä $x=0$.

Katso myös Jatkuva, Diffeomorfismi, Holomorfinen, Sileä kuvaus, Analyyttinen funktio, Jatkuvuus, Analyyttinen.

Prosessi, jossa yksi aine (neste tai kaasu) sekoittuu toiseen aineeseen molekyylien satunnaisen liikkeen ansiosta. Diffuusioprosesseja voidaan mallintaa ja tutkia differentiaaliyhtälöiden avulla.

Katso myös Diffuusioyhtälö.

Yhdessä ulottuvuudessa diffuusioyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö muotoa \[ \frac{\partial f}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 }, \] missä $t$ on aika, $x$ on paikka $x$-akselilla ja $\kappa$ on diffuusiokerroin, joka on fysikaalisissa ongelmissa aina positiivinen.

Katso myös Diffuusio.

Kun tietoa esitetään tai käsitellään digitaalisessa muodossa, se täytyy koodata numeroiksi tai vastaaviksi merkeiksi (yleensä merkeiksi 0 ja 1), toisin kuin analogisessa esityksessä, jossa tietoa edustavat fysikaaliset suureet, sellaiset kuin kellon osoittimien asento tai lämpömittarin spriipatsaan korkeus.

Katso myös Analoginen.

Joskus käytetty dimension eli ulottuvuuksien lukumäärän lyhenne.

Katso myös Lyhenne, Dimensio, Ulottuvuus.

Ulottuvuuksia eli dimensioita ovat ne toisistaan riippumattomat suunnat, joihin mittaukset voidaan tehdä. Esimerkiksi tasolla on kaksi ulottuvuutta: Kun kaksi eri suuntaa $x$ ja $y$ on tasolta valittu, voidaan mikä tahansa muu tason suunta esittää siten, että ensin mennään tietty matka suuntaan $x$ ja sitten tietty matka suuntaan $y$.

Fysiikassa suureen dimensiolla tarkoitetaan suureen riippuvuutta yksikköjärjestelmän perusyksiköistä. Esimerkiksi suureen "pituus" perusyksikkö on metri ja suureen "aika" perusyksikkö on sekunti, joten suureen "nopeus" dimensio on metri/sekunti.

Vektoriavaruutta sanotaan äärellisulotteiseksi, jos sen kannassa on äärellinen määrä vektoreita. Kannan vektoreiden lukumäärä on hyvin määritelty ja yksikäsitteinen ja sitä kutsutaan kyseisen avaruuden dimensioksi. Jos vektoriavaruus ei ole äärellisulotteinen, sitä kutsutaan ääretönulotteiseksi.

Katso myös Frekvenssi, $\dim$, Vektoriavaruus, Vektoriavaruuden dimensio, Matriisin dimensio.

Yhtälö, jonka kertoimet ovat kokonaislukuja ja jonka ratkaisujen edellytetään myös olevan kokonaislukuja. Tällaiset yhtälöt näyttävät usein petollisen yksinkertaisilta, mutta niiden ratkaiseminen voi olla hyvinkin vaikeaa. Esimerkiksi $712x + 1027y = 1$ on Diofantoksen yhtälö. Sillä on ratkaisu $x = 238$ ja $y = -165$.

Katso myös Ensimmäisen asteen Diofantoksen yhtälö, Lukuteoria, Yhtälö.

Diracin deltafunktio $\delta(x)$ on distribuutio, joka toteuttaa ehdon $\delta (x - \xi) = 0$ kaikilla $x \neq \xi$ sekä ehdon \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x- \xi) \,dx = 1. \]

Se voidaan määritellä raja-arvona funktioista $\delta_n$, joilla on jälkimmäinen ominaisuus ja joille pätee $\delta_n(0) \rightarrow \infty$, kun $n \rightarrow \infty$.

Katso myös Jakauma, Heavisiden askelfunktio, Delta.

Riittävät ehdot sille, että "hyvin käyttäytyvällä" jaksollisella funktiolla $f(x)$ jaksona $2L$ on suppeneva Fourier'n sarja. Nämä ehdot ovat seuraavat. Funktion $f$ on oltava rajoitettu ja sillä saa olla ainoastaan äärellinen määrä maksimi-, minimi- ja epäjatkuvuuskohtia välillä $[0,2L)$. Silloin $f$:n Fourier'n sarja suppenee jatkuvuuskohdissa kohti $f$:ää ja epäjatkuvuuskohdissa kohti poispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa.

Katso myös Ehto, Fourier'n sarja.

Jos $a$ on positiivinen ja $\mathrm{syt}(a,b)=1$ (eli $a$ ja $b$ ovat suhteellisia alkulukuja), niin on olemassa äärettömän monta alkulukua muotoa $a n+b$.

Katso myös Keskenään jaottomat luvut, Alkuluku, Suurin yhteinen tekijä, Lause.

Diskreetti muuttuja voi saada arvoja vain määrätystä erillisten arvojen muodostamasta joukosta. Esimerkiksi viikonpäivä on diskreetti, mutta aika ei ole. Diskreetin vastakohta on jatkuva.

Katso myös Jatkuva, Jatkuvuus.

Jonon $(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ diskreetti Fourier'n muunnos on jono $(y_0, y_1, \ldots, y_{n-1})$, missä \[ y_j = \sum_{k = 0}^{n-1} \omega^{j k}x_k \] ja $\omega = e^{-2 \pi i/n}$. Diskreetti Fourier'n muunnos voidaan laskea tehokkaasti käyttämällä nopeaa Fourier'n muunnosta.

Katso myös Nopea Fourier'n muunnos.

Matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan sellaisia lukujen joukkoja, joiden luvut eivät ole äärettömän lähellä toisiaan. Tällainen joukko on esimerkiksi kokonaislukujen joukko. Reaalilukujen joukossa lukujen väliset "aukot" ovat äärettömän pieniä, joten reaalilukujen ominaisuuksien tutkiminen ei kuulu diskreettiin matematiikkaan.

Katso myös Lukuteoria, Algoritmi, Kombinatoriikka, Verkkoteoria, Matriisi.

Satunnaismuuttuja, joka saa ainoastaan äärellisen monta eri arvoa tai korkeintaan numeroituvasti äärettömän määrän eri arvoja. Tällaisen satunnaismuuttujan saamat arvot voidaan siten tulkita kokonaisluvuiksi.

Katso myös Satunnaismuuttuja.

Diskreetti jakauma, jonka pistetodennäköisyysfunktio on muotoa \[ \mathrm{P}(X = r) = \frac{1}{n-m+1} \] kaikilla $r = m, m+1, \dots, n$. Siis jokainen luvuista $m, m+1, \dots, n$ on yhtä todennäköinen. Tällaisen jakauman keskiarvo on $(m+n)/2$ ja varianssi $(n-m)(n-m+2)/12$.

Katso myös Tasainen jakauma, Jatkuva tasainen jakauma.

Polynomiyhtälön kertoimista muodostettu lauseke, joka antaa tietoa yhtälön ratkaisujen luonteesta.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälön \[ ax^2+bx+c=0 \] diskriminantti on \[ D = b^2-4ac. \]

Jos $D$ on positiivinen, on yhtälöllä kaksi reaalilukuratkaisua; jos $D = 0$, on yhtälöllä yksi reaalilukuratkaisu; jos $D$ on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisuja.

Katso myös Lauseke, Yhtälön juuri, Delta, Yhtälö.

Vektorikentän $V(x,y,z) = (V_1(x,y,z),V_2(x,y,z), V_3(x,y,z))$ divergenssi $\nabla \cdot V$ on kuvaus \[ (\nabla \cdot V)(x,y,z) = \frac{\partial V_1}{\partial x}(x,y,z) + \frac{\partial V_2}{\partial y}(x,y,z) + \frac{\partial V_3}{\partial z}(x,y,z). \] Divergenssiä merkitään myös $\mathrm{div} V$.

Katso myös Vektorianalyysi, Derivaatta, Gradientti, Differentiaalioperaattori, Divergenssilause, Gaussin lause, Laplacen operaattori.

Divergenssilauseen mukaan pätee \[ \int_{S} F \cdot \bar{n} \, \mathrm{dA} = \int_{V} \nabla \cdot F \, \mathrm{dV}, \] missä $F(x,y,z)$ on vektorikenttä, $S$ on avaruuden $\mathbb{R}^3$ umpinainen pinta ja $V$ on tämän pinnan sisään jäävä joukko.

Divergenssilause tunnetaan myös Gaussin lauseen nimellä. Se on Greenin kaavan erikoistapaus.

Katso myös Lause, Divergenssi, Greenin lause.

Monitahokas, jossa on 12 tahkoa. Säännöllisen dodekaedrin kaikki tahkot ovat samanlaisia säännöllisiä monikulmioita. Säännöllinen dodekaedri on yksi Platonin kappaleista.

Katso myös 30, Kolmekymmentä, Monitahokas.

Jos $V$ on vektoriavaruus kerroinkuntana $F$, niin $V$:n duaali $V^*$ on kaikkien lineaarikuvausten $f : V \rightarrow F$ joukko varustettuna pisteittäisellä yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella. Duaalia $V^*$ kutsutaan myös duaaliavaruudeksi tai duaaliseksi vektoriavaruudeksi.

Jos $V$ on varustettu normilla, niin $V$:n duaali $V^*$ on silloin kaikkien jatkuvien lineaarikuvausten $f : V \rightarrow F$ joukko. Koska $f$ on jatkuva täsmälleen silloin, kun se on rajoitettu, on $V^*$ sama kuin kaikkien rajoitettujen lineaarikuvausten $f : V \rightarrow F$ joukko. Duaalista $V^*$ tulee Banachin avaruus, kun se varustetaan normilla $\|f\| = \mathrm{sup} \{ |f(x)| : \| x \| = 1 \}$.

Katso myös Bijektio, Vektoriavaruus, Funktionaali.

Jos $V$ on vektoriavaruus kerroinkuntana $F$, niin $V$:n duaali $V^*$ on kaikkien lineaarikuvausten $f : V \rightarrow F$ joukko varustettuna pisteittäisellä yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella. Duaalia $V^*$ kutsutaan myös duaaliavaruudeksi tai duaaliseksi vektoriavaruudeksi.

Jos $V$ on varustettu normilla, niin $V$:n duaali $V^*$ on silloin kaikkien jatkuvien lineaarikuvausten $f : V \rightarrow F$ joukko. Koska $f$ on jatkuva täsmälleen silloin, kun se on rajoitettu, on $V^*$ sama kuin kaikkien rajoitettujen lineaarikuvausten $f : V \rightarrow F$ joukko. Duaalista $V^*$ tulee Banachin avaruus, kun se varustetaan normilla $\|f\| = \mathrm{sup} \{ |f(x)| : \| x \| = 1 \}$.

Katso myös Bijektio, Vektoriavaruus, Funktionaali.

Duaalinen monitahokas voidaan muodostaa yhdistämällä janoilla annetun monitahokkaan vierekkäisten tahkojen keskipisteet. Tuloksena saatavan duaalisen monitahokkaan jokainen kärki vastaa alkuperäisen monitahokkaan jotakin tahkoa ja jokainen tahko vastaa alkuperäisen monitahokkaan jotakin kärkeä, mutta särmien lukumäärä säilyy samana.

Katso myös Kappale, Catalanin monitahokkaat.

Joukko yhtälöitä, jotka esittävät jonkin fysikaalisen systeemin liikettä avaruudessa ja muutosta ajan suhteen. Esimerkiksi tulevaa säätilaa mallintavat yhtälöt muodostavat dynaamisen systeemin.

Katso myös Sovellus, Fraktaali.

Dynamiikassa tutkitaan sekä yhden kappaleen tai hiukkasen että monimutkaisten kappalesysteemien tai hiukkassysteemien (esimerkiksi vesimassojen) liikettä ja ympäristön vaikutusta tähän liikkeeseen.