Matematiikan verkkosanakirja

Kunta, jossa on äärellinen määrä alkioita. Äärellisen kunnan eli Galois'n kunnan alkioiden lukumäärä on joko alkuluku tai alkuluvun potenssi. Pienin äärellinen kunta on joukko $\{ 0,1 \}$ varustettuna yhteenlaskulla \[ 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 \] ja kertolaskulla \[ 0\cdot 0 = 0, 0 \cdot 1 = 0, 1 \cdot 0 = 0, 1 \cdot 1 = 1. \] Tätä kuntaa merkitään $GF(2)$.

Katso myös Kunta.

Olkoon $F$ kunnan $K$ laajennuskunta. Silloin niiden $F$:n automorfismien joukko, jotka kuvaavat jokaisen $K$:n alkion itselleen, on ryhmä. Tätä ryhmää kutsutaan $F$:n Galois'n ryhmäksi yli $K$:n ja merkitään $\mathrm{Gal(F/K)}$. Toisin sanoen, \[ \mathrm{Gal(F/K)} = \{ \theta \in \mathrm{Aut(F)} : \theta( \mathrm{a}) = \mathrm{a} \mbox{ pätee kaikilla } \mathrm{a} \in \mathrm{K} \} \].

Katso myös Ryhmä, Automorfismi, Kuntalaajennus.

Kreikkalainen kirjain $\gamma$ (pieni kirjain) tai $\Gamma$ (iso kirjain). Isolla gammalla merkitään gammafunktiota. Pienellä gammalla merkitään joskus gammajakaumaa.

Katso myös Kreikkalaiset kirjaimet, Gammafunktio, Gammajakauma.

Funktio $\Gamma(x)$, joka määritellään kaavalla \[\Gamma(x) = \int _0^{\infty} t^{x-1}e^{-t} dt. \] Yllä $x$ on positiivinen reaaliluku. Jos $x$ on luonnollinen luku, niin pätee $\Gamma(x)=(x-1)!$.

Katso myös Kertoma, Funktio, Kuvaus, Integraali, Gamma, Betafunktio, Gammajakauma.

Jatkuva jakauma, jonka tiheysfunktio on \[f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}. \] Tässä $x$, $r$ ja $\lambda$ ovat positiivisia ja $\Gamma$ on gammafunktio. Tapauksessa $r=1$ on gammajakauma sama kuin eksponenttijakauma.

Katso myös Jakauma, Eksponenttijakauma, Gamma, Gammafunktio.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) oli saksalainen matemaatikko.

Hän kirjoitti lukuteoriasta ja geometriasta ja sai mainetta löydettyään tavan säännöllisen 17-kulmion konstruoimiseksi harpin ja viivaimen avulla. Hän teki töitä monella muullakin matematiikan alalla, kuten differentiaaliyhtälöiden, differentiaaligeometrian, epäeuklidisen geometrian, kompleksimuuttujan funktioiden, sarjojen ja approksimointimenetelmien parissa. Häntä pidetään yhtenä kaikkien aikojen merkittävimmistä ja lahjakkaimmista matemaatikoista.

Katso myös Normaalijakauma, Gaussin, Gaussin jakauma, Gaussin eliminaatio, Gaussin algoritmi, Gaussin luku, Gaussin kokonaisluku, Gaussin kokonaisluvut, Gaussin luvut, Gaussin alkuluku.

Useita matemaattisia olioita on nimetty Johann Carl Friedrich Gaussin mukaan, kuten esimerkiksi Gaussin jakauma (eli normaali jakauma), Gaussin eliminaatio, Gaussin luvut ja Gaussin alkuluvut.

Katso myös Normaalijakauma, Gauss, Gaussin jakauma, Gaussin eliminaatio, Gaussin algoritmi, Gaussin luku, Gaussin kokonaisluku, Gaussin kokonaisluvut, Gaussin luvut, Gaussin alkuluku.

Menetelmä $n$ lineaarisen $n$ muuttujan yhtälön yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Olkoot yhtälöt

E(1): $a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+ ... = k_{1}$

E(2): $a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+ ... = k_{2}$

$\vdots$

E(n): $a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+ ... = k_{n}$

Kerrotaan yhtälö E(1) luvulla $a_{2,1}/a_{1,1}$ ja vähennetään se yhtälöstä E(2); kerrotaan E(1) luvulla $a_{3,1}/a_{1,1}$ ja vähennetään se yhtälöstä E(3), jne. Näin eliminoidaan muuttuja $x_{1}$ yhtälöistä E(2), E(3), ..., E(n).

Toistetaan vastaava menettely yhtälöihin E(2), E(3), ..., E(n). Näin eliminoidaan muuttuja $x_{2}$ kaikista yhtälöistä E(3), E(4), ..., E(n).

Jatkamalla näin päädytään lopulta yhtälöön E(n), josta on eliminoitu kaikki muuttujat paitsi $x_{n}$. joten yhtälöstä E(n) saadaan suoraan $x_{n}$. Sijoittamalla tämä ratkaisu yhtälöön E(n-1) saadaan $x_{n-1}$. Näin jatketaan, kunnes kaikki muuttujat on ratkaistu.

Esimerkki:

E(1): 3x+4y+2z=10

E(2): x+5y+6z=5

E(3): 2x+y+z=-4

Kerrotaan E(1) luvulla $1/3$, jolloin saadaan $x + 4y/3 + 2z/3 = 10/3$. Vähentämällä tämä yhtälöstä E(2) saadaan $11y/3 + 16z/3 = 5/3$. Kerrotaan E(1) luvulla $2/3$, jolloin saadaan $2x + 8y/3 + 4z/3 = 20/3$. Vähentämällä tämä yhtälöstä E(3) saadaan $-5y/3 -z/3 = -32/3$.

Näin on saatu uusi yhtälöryhmä

E(2): 11y/3 + 16z/3 = 5/3

E(3): -5y/3 -z/3 = -32/3

Kertomalla yhtälö E(2) luvulla $3$ ja yhtälö E(3) luvulla $-3$ saadaan

E(2): 11y + 16z = 5

E(3): 5y + z = 32

Kerrotaan sitten E(2) luvulla $5/11$, jolloin saadaan $5y + 80z/11 = 25/11$. Vähentämällä tämä yhtälöstä E(3) saadaan $-69z/11 = 227/11$. Siis $z = -227/69$. Sijoittamalla $z$ yhtälöön E(2) löydetään $y$, ja sijoittamalla $y$ ja $z$ yhtälöön E(1) löydetään $x$.

Katso myös Gauss, Gaussin.

Gaussin alkulukuja ovat ne Gaussin luvut $a+bi$, jotka toteuttavat yhden seuraavista ehdoista:

1) Jos $a,b \neq 0$, niin $a+bi$ on Gaussin alkuluku, mikäli $a^2+b^2$ on alkuluku.

2) Jos $a = 0$, niin $bi$ on Gaussin alkuluku, mikäli $|b|$ on alkuluku ja $b \equiv 3 (\mathrm{mod}\ 4)$.

3) Jos $b = 0$, niin $a$ on Gaussin alkuluku, mikäli $|a|$ on alkuluku ja $a \equiv 3 (\mathrm{mod}\ 4)$.

Esimerkiksi $-3+2i$, $-3i$ ja $-7$ ovat Gaussin alkulukuja.

Katso myös Gauss, Gaussin.

Menetelmä $n$ lineaarisen $n$ muuttujan yhtälön yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Olkoot yhtälöt

E(1): $a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+ ... = k_{1}$

E(2): $a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+ ... = k_{2}$

$\vdots$

E(n): $a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+ ... = k_{n}$

Kerrotaan yhtälö E(1) luvulla $a_{2,1}/a_{1,1}$ ja vähennetään se yhtälöstä E(2); kerrotaan E(1) luvulla $a_{3,1}/a_{1,1}$ ja vähennetään se yhtälöstä E(3), jne. Näin eliminoidaan muuttuja $x_{1}$ yhtälöistä E(2), E(3), ..., E(n).

Toistetaan vastaava menettely yhtälöihin E(2), E(3), ..., E(n). Näin eliminoidaan muuttuja $x_{2}$ kaikista yhtälöistä E(3), E(4), ..., E(n).

Jatkamalla näin päädytään lopulta yhtälöön E(n), josta on eliminoitu kaikki muuttujat paitsi $x_{n}$. joten yhtälöstä E(n) saadaan suoraan $x_{n}$. Sijoittamalla tämä ratkaisu yhtälöön E(n-1) saadaan $x_{n-1}$. Näin jatketaan, kunnes kaikki muuttujat on ratkaistu.

Esimerkki:

E(1): 3x+4y+2z=10

E(2): x+5y+6z=5

E(3): 2x+y+z=-4

Kerrotaan E(1) luvulla $1/3$, jolloin saadaan $x + 4y/3 + 2z/3 = 10/3$. Vähentämällä tämä yhtälöstä E(2) saadaan $11y/3 + 16z/3 = 5/3$. Kerrotaan E(1) luvulla $2/3$, jolloin saadaan $2x + 8y/3 + 4z/3 = 20/3$. Vähentämällä tämä yhtälöstä E(3) saadaan $-5y/3 -z/3 = -32/3$.

Näin on saatu uusi yhtälöryhmä

E(2): 11y/3 + 16z/3 = 5/3

E(3): -5y/3 -z/3 = -32/3

Kertomalla yhtälö E(2) luvulla $3$ ja yhtälö E(3) luvulla $-3$ saadaan

E(2): 11y + 16z = 5

E(3): 5y + z = 32

Kerrotaan sitten E(2) luvulla $5/11$, jolloin saadaan $5y + 80z/11 = 25/11$. Vähentämällä tämä yhtälöstä E(3) saadaan $-69z/11 = 227/11$. Siis $z = -227/69$. Sijoittamalla $z$ yhtälöön E(2) löydetään $y$, ja sijoittamalla $y$ ja $z$ yhtälöön E(1) löydetään $x$.

Katso myös Gauss, Gaussin.

Teoreettinen jatkuva todennäköisyysjakauma, jonka tiheysfunktio on \[ f(x,\mu ,\sigma ^2 ) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^2 } }} \cdot e^{\left( { - \frac{1}{2}\frac{{\left( {x - \mu } \right)^2 }}{{\sigma ^2 }}} \right)} \, = \,\frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot e^{\left( { - \frac{1}{2}\left( {\frac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)^2 } \right)} \] Summan jakauma.

Otoskeskiarvon jakauma. Otoskeskiarvo lasketaan muuttujanarvojen summan avulla, ja näin otoskeskiarvo noudattaa suurissa otoksissa (ainakin likimäärin) normaalijakaumaa, olipa perusjoukon jakauma lähes mikä tahansa.

Mittausvirheen jakauma. Mittausvirheet muodostuvat usean osavirheen summana ja näin ne yleensä noudattavat normaalijakaumaa.

Luonnossa on runsaasti muuttujia (ei sentään kaikki), jotka noudattavat (ainakin likimääräisesti) normaalijakaumaa - mistä jakauman nimi.

Mikäli ilmiöön vaikuttavat tekijät (impulssit) ovat kerrannaisia, noudattaa muuttuja logNormaali-jakaumaa.

Katso myös Jatkuva satunnaismuuttuja, Kellokäyrä, Jakauma, Keskiarvo, Aritmeettinen keskiarvo, T-jakauma, Studentin t-jakauma, Varianssi, Eksponenttifunktio, Standardi normaalijakauma, Keskeinen raja-arvolause, Virhefunktio, Gauss, Gaussin.

Kompleksiluku $a+bi$, missä $a$ ja $b$ ovat kokonaislukuja.

Katso myös Kompleksiluku, Gauss, Gaussin, Gaussin kokonaisluvut, Gaussin luvut.

Gaussin luvut muodostavat renkaan \[ \mathbb{Z}[i]= \{ x+iy : x,y \in \mathbb{Z} \}. \] Gaussin luvut voidaan jakaa tekijöihinsä järjestystä ja $i$:n potensseja lukuunottamatta yksikäsitteisesti. Näitä tekijöitä kutsutaan Gaussin alkuluvuiksi.

Katso myös Rengas, Pääideaalialue, Yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, UFD, Eukleideen rengas, Euklidinen rengas, Gauss, Gaussin, Gaussin luku, Gaussin kokonaisluku.

Divergenssilauseen mukaan pätee \[ \int_{S} F \cdot \bar{n} \, \mathrm{dA} = \int_{V} \nabla \cdot F \, \mathrm{dV}, \] missä $F(x,y,z)$ on vektorikenttä, $S$ on avaruuden $\mathbb{R}^3$ umpinainen pinta ja $V$ on tämän pinnan sisään jäävä joukko.

Divergenssilause tunnetaan myös Gaussin lauseen nimellä. Se on Greenin kaavan erikoistapaus.

Katso myös Lause, Divergenssi, Greenin lause.

Kompleksiluku $a+bi$, missä $a$ ja $b$ ovat kokonaislukuja.

Katso myös Kompleksiluku, Gauss, Gaussin, Gaussin kokonaisluvut, Gaussin luvut.

Gaussin luvut muodostavat renkaan \[ \mathbb{Z}[i]= \{ x+iy : x,y \in \mathbb{Z} \}. \] Gaussin luvut voidaan jakaa tekijöihinsä järjestystä ja $i$:n potensseja lukuunottamatta yksikäsitteisesti. Näitä tekijöitä kutsutaan Gaussin alkuluvuiksi.

Katso myös Rengas, Pääideaalialue, Yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, UFD, Eukleideen rengas, Euklidinen rengas, Gauss, Gaussin, Gaussin luku, Gaussin kokonaisluku.

Annetulla pinnalla lyhin kahden pisteen välinen pintaa pitkin kulkeva käyrä.

Suorien, kulmien, kuvioiden ja niiden ominaisuuksien tutkiminen. Tämä voidaan tehdä joko piirtämällä kuvia tai todistamalla yleisiä lauseita geometrisista olioista.

Katso myös Affiini geometria, Kulma, Vektori, Trigonometria, Astelevy, Graafinen laskin, Laskin, Alkeismatematiikka, Avaruusgeometria, Suora, Euklidinen geometria, Koordinaatti, Deskriptiivinen geometria, Kuvio, Hyperbolinen geometria.

Geometrian harrastaja.

Toistokokeen epäonnistumisten lukumäärää ennen ensimmäistä onnistumista kuvaava diskreetti jakauma. Geometrista jakaumaa merkitään $\mathrm{Geom(p)}$, missä parametri $p$ on onnistumisen todennäköisyys.

Jos $X \sim \mathrm{Geom}(p)$, niin \[ \mathrm{P}(X=r) = q^{r}p, r=0, 1, 2, .... \] Geometrisen jakauman odotusarvo on $q/p$, varianssi on $q/p^{2}$ ja todennäköisyysgeneroiva funktio on $G(t)=p/(1-qt)$.

Katso myös Jakauma.

Lukujono, jossa kahden peräkkäisen jäsenen suhde on aina sama. Esimerkiksi jonossa $2, 6, 18, 54, 162$ on kahden peräkkäisen jäsenen suhde aina $3$. Lukua $3$ sanotaan jonon suhdeluvuksi.

Katso myös Verrannollisuus, Aritmeettinen jono, Geometrinen sarja, Jono, Geometrisen jonon summa, Geometrisen jonon osasumma.

Jos luvut $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ovat ei-negatiivisia, on niiden geometrinen keskiarvo luku \[ M_g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}. \] Geometrinen keskiarvo on hyödyllinen esimerkiksi keskimääräisten muutosten, kuten keskimääräisen inflaatiovauhdin, laskemisessa.

Katso myös Keskiarvo, Aritmeettinen keskiarvo, Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välinen epäyhtälö.

Geometrisis muunnoksia ovat muun muassa yhdensuuntaissiirto, peilaus, siirtopeilaus ja kierto. Nämä muunnokset säilyttävät pisteiden väliset etäisyydet ja näin ollen myös kuvion ennallaan. Sen sijaan kutistavat ja laajentavat muunnokset, liukumuunnokset ja topologiset muunnokset muuttavat alkuperäisen kuvion toisenlaiseksi.

Katso myös Transformaatio, Transformaatioryhmä, Siirto, Liukumuunnos, Peilaus, Isometria, Venytys, Venyttää, Kierto, Affiini muunnos, Siirtopeilaus.

Lukujono, jonka $n$:s jäsen on jonkin geometrisen jonon $n$:n ensimmäisen jäsenen summa.

Esimerkiksi $1$, $1+2=3$, $1+2+4=7$, $1+2+4+8=15$, $1+2+4+8+16=31$, $\dots$

Katso myös Geometrinen jono, Sarja.

Todistus, jossa lähdetään liikkeelle annetuista geometrisista kuvioista ja johdetaan kulmien suuruuksia, janojen pituuksia tai pisteiden ja janojen suhteita koskevia tosiasioita. Geometrisen todistuksen lähtökohtana voisi esimerkiksi olla nelikulmio, jonka ympäri on piirretty nelikulmion jokaisen kärjen kautta kulkeva ympyrä, ja johtopäätöksenä tulos, että tällaisen nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on $180^{\circ}$.

Katso myös Lause.

Jos geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on $a$ ja suhdeluku $r$ on eri suuri kuin $1$, on jonon $n$ ensimmäisen jäsenen osasumma \[ S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}. \] Toisin sanoen, \[ S_n = a + a r + a r^2 + \cdots + a r^{n-1} = \sum_{i = 0}^{n-1} a r^i = a \frac{(1-r^n)}{1-r}. \]

Katso myös Summa, Geometrinen jono, Geometrisen jonon summa.

Jos geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on $a$ ja jonon suhdeluku $r$ on itseisarvoltaan pienempi kuin $1$, on jonon jäsenten summa $\frac{a}{1-r}$. Toisin sanoen, \[ a + a r + a r^2 + a r^3 + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1 - r}. \]

Katso myös Yhteenlasku, Geometrinen jono, Funktion $(1-x)^{-1}$ sarjakehitelmä, Ääretön summa, Geometrisen jonon osasumma.

Olkoon $ABC$ kolmio, jonka sisään piirretty ympyrä koskettaa kolmion sivuja pisteissä $D$, $E$ ja $F$. Kolmiota $DEF$ kutsutaan kolmion $ABC$ Gergonnen kolmioksi.

Gergonnen kolmion Lemoinen piste on alkuperäisen kolmion Gergonnen piste.

Katso myös Sisään piirretty ympyrä, Lemoinen piste, Kolmio, Gergonnen piste.

Olkoon $ABC$ kolmio, jonka sisään piirretty ympyrä koskettaa sivua $BC$ pisteessä $D$, sivua $CA$ pisteessä $E$ ja sivua $AB$ pisteessä $F$. Janat $AD$, $BE$ ja $CF$ leikkaavat samassa pisteessä ja tätä pistettä kutsutaan kolmion $ABC$ Gergonnen pisteeksi.

Katso myös Sisään piirretty ympyrä, Gergonnen kolmio.

Kahdeksikon muotoinen käyrä, jonka yhtälö on $x^{4} = a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Katso myös Käyrä.

SI-järjestelmän etuliitteenä giga tarkoittaa miljardikertaista eli $10^9$-kertaista, merkintänä $\text{G}$. Esimerkiksi $1 \text{ Gm}$ on miljardi metriä.

Tietotekniikassa giga tarkoittaa $1 073 741 824$-kertaista eli $2^{30}$-kertaista. Esimerkiksi $1 \text{ Gt}$ tarkoittaa $1 073 741 824$ tavua.

Väite (toistaiseksi vielä todistamaton), että jokainen parillinen lukua 2 suurempi kokonaisluku voidaan esittää kahden alkuluvun summana.

Katso myös Otaksuma, Todistamaton, Konjektuuri.

Kulman yksikkö. Yksi uusaste eli graadi on suoran kulman sadasosa. Tätä yksikköä käytetään paljon vähemmän kuin asteita tai radiaaneja.

Katso myös Kulma, Radiaani, Aste.

Kaksiulotteinen kuva, joka näyttää, miten toisesta muuttujasta riippuvan muuttujan arvo vaihtelee, kun tämän toisen toisen muuttujan arvo muuttuu. Yleensä kuvaan piirretään kaksi akselia ja kuvaaja, joten missä tahansa kuvaajan pisteessä pisteen etäisyydet kahdesta akselista antavat vastaavat kahden muuttujan arvot.

Funktion $f \colon A \rightarrow B$ kuvaaja on joukko $$\{ (a,f(a)) \mid a \in A \} \subset A \times B.$$ Yleensä funktion kuvaajasta puhutaan vain silloin, kun $A$ on reaaliakselin tai tason osajoukko ja $B$ on reaaliakselin osajoukko. Tällöin funktion kuvaaja voidaan mieltää joko tason tai avaruuden osajoukkona.

Katso myös Algebra.

Laskin, joka pystyy tuottamaan kookkaalle näytölleen funktioiden kuvaajia.

Katso myös Laskin, Geometria.

Suoran kulmakerroin tietyssä pisteessä. Vaakasuoran suoran gradientti on 0; pystysuoran suoran gradientti on ääretön (tai määrittelemätön).

Suoran gradientti on yhtä suuri kuin y-koordinaatin muutos jaettuna vastaavalla x-koordinaatin muutoksella.

Gradientti on suoran ja x-akselin välisen kulman tangentti.

Olkoon funktio $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ differentioituva pisteessä $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^m$. Funktion $f$ gradientti pisteessä $\mathbf{a}$ on \[ \nabla f(\mathbf{a}) = \sum_{j=1}^{m} \mathbf{e}_j f^{\prime}(\mathbf{a})(\mathbf{e}_j), \] missä ${\mathbf{e}_j}, j=1, \dots, m$, on $\mathbb{R}^m$:n luonnollinen kanta.

Funktion $f$ gradientti on vektori, jonka $j$:s koordinaatti on $f$:n $j$:s osittaisderivaatta. Kaikilla vektoreilla $\mathbf{h}$ pätee kaava $f^{\prime}(\mathbf{a})(\mathbf{h}) = \mathbf{h} \cdot \nabla f$.

3-ulotteisessa avaruudessa $\mathbb{R}^3$ skalaarifunktion $f(x,y,z)$ gradientti on vektori \[ \nabla f = ( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} ). \]

Katso myös Kaltevuus, Maksimi, Kaltevuuskulma, Derivoida, Minimi, Konservatiivinen voima, Divergenssi.

Jos tason käyrä $C$ sulkee sisäänsä tason alueen $R$, jossa funktioilla $P(x,y)$ ja $Q(x,y)$ on jatkuvat osittaisderivaatat, niin pätee \[ \int_{C} (Pdx + Qdy) = \int_{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{dA}. \]

Jos avaruuden $\mathbb{R}^3$ pinta $S$ sulkee sisäänsä joukon $V$, jossa vektorikentällä $F$ on jatkuvat osittaisderivaatat, niin pätee \[ \int_{S} F \cdot \bar{n} \, \mathrm{dA} = \int_{V} \nabla \cdot F \, \mathrm{dV}. \]

Katso myös Lause, Integrointi, Divergenssilause, Gaussin lause.

Funktion $\arctan$ potenssisarjaesitystä \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+ \ldots \] kutsutaan Leibnitzin sarjaksi. Arvolla $x = 1$ tästä saadaan Gregoryn sarja \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots. \]

Katso myös $\arctan$-funktion potenssisarja.

Groupoidi voi tarkoittaa kahta asiaa. Ensinnäkin se voi tarkoittaa magmaa eli joukkoa $X$, jossa on määritelty binäärioperaatio $* \colon X \times X \rightarrow X$. Tältä binäärioperaatiolta ei oleteta mitään lisäominaisuuksia.

Toisekseen groupoidi voi tarkoittaa pientä kategoriaa (siis kategoriaa, jonka olioiden luokka on joukko), jossa jokainen morfismi on isomorfismi.

Tämä toinen toinen merkitys voidaan ilmaista selvemmin seuraavasti. Olkoon $X$ joukko, ja $F$ toinen joukko. Jokaiseen $f \in F$ liitetään $dom f \in X$ ja $ran f \in X$, ja lisäksi on olemassa kompositio-operaatio $\circ$, joka ottaa tietynlaiset kaksi joukon $F$ alkiota, ja palauttaa joukon $F$ alkion. Lisäksi seuraavien täytyy olla voimassa.

• $g \circ f$ on määritelty jos ja vain jos $ran f = dom g$, ja tällöin $dom (g \circ f) = dom f$ ja $ran (g \circ f) = ran g$.
• Jos $(f \circ g) \circ h$ ja $f \circ (g \circ h)$ ovat määriteltyjä, pätee $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$.
• Jokaisella $x \in X$ on olemassa identiteettialkio $id_x \in F$, jolle $dom id_x = ran id_x = x$. Jos $f \circ id_x$ on määritelty, $f \circ id_x = f$. Jos $id_x \circ g$ on määritelty, $id_x \circ g = g$.
• Jokaisella $f \in F$ on olemassa käänteisalkio $g$, joille $f \circ g = id_{ran f}$, $g \circ f = id_{dom f}$.

Katso myös Morfismi, Binäärinen kuvaus, Kategoria, Kaksipaikkainen kuvaus.