Hei.

Lähdetään katsomaan, että mitä tapahtuu, jos on olemassa piste x_0, jolle f(x_0)>0. f on derivoituva, joten se on myös jatkuva. Näin ollen on olemassa luku d>0, jolle f(x)>0, kun x_0-d<x<x_0+d. Olkoon sitten

d'=sup{d : f(x)>0 kun x_0-d<x<x_0}

ja

d''=sup{d : f(x)>0, kun x_0<x<x_0+d}.

Nyt (x_0-d',x_0+d') on laajin väli joka sisältää pisteen x_0 ja f on positiivinen koko välillä. f:n jatkuvuuden ja luvun d' määritelmän nojalla joko f(x_0-d')=0 tai x_0-d'=a, joten joka tapauksessa f(x_0-d')=0.

Määritellään sitten v(x)=f(x)e^(-Mx). Nyt

v'(x)=(f'(x)-Mf(x))e^(-Mx).

Koska f(x)>0 välillä (x_0-d',x_0+d'), on tällä välillä

f'(x)<=|f'(x)|<=M|f(x)|=Mf(x).

Näin ollen tällä välillä v'(x)<=0 ja v on vähenevä. Aiemmin huomattiin, että f(x_0-d')=0, joten v(x_0-d')=0. Koska v on vähenevä, on v(x)<=0, kun x_0-d'<x<x_0+d''. Tästä seuraa, että f(x)<=0, kun x_0-d'<x<x_0+d''. Tämä on ristiriita, koska oletettiin, että f(x_0)>0. Näin ollen ei voi olla pistettä x_0, jolle f(x_0)>0 ja f(x)<=0 kaikilla x.

Vastaavanlainen päättely voidaan suorittaa, jos oletetaan, että f(x_0)<0 jollakin x_0. Tällöin saadaan väli, jonka vasemmassa päätepisteessä f on nolla ja funktio v on tällä välillä kasvava (nyt tarvitaan arviota  Mf(x)=-M|f(x)|<= f'(x), joka seuraa oletuksista). Näin ollen f(x)=>0 koko tällä välillä, mikä on ristiriita oletuksen f(x_0)<0 kanssa. Ainoa mahdollisuus on f(x)=0 kaikilla x.

Jos tuossa on jotain epäselvää, kerro niin koitan selventää. Jos olet lukiossa ja nuo jatkuvuuspäättelyt ja sup:t ja inf:t tuntuvat vieraalta, voit ehkä olettaa, että f on jatkuvasti derivoituva ja analyysin peruslauseesta saattaa olla iloa.

Tuo tehtävän varsinainen temppu, eli funktion v tarkasteleminen on oleellisesti Grönwallin lemma: http://en.wikipedia.org/wiki/Gronwall%27s_inequality .

Toivottavasti tästä on jotain apua.

Pitäisi olla kyllä. Itseasiassa se sillä välin oikealla päätepisteellä ei ole väliä kunhan f on positiivinen koko välillä. Tuo d'':n määritteleminen on turhaa. Voisi tarkastella vain väliä (x_0-d',x_0+d), missä tuo d on se alkuperäinen d.

Hei.

Tein todistuksesta pdf-tiedoston, koska tässä menee helposti merkinnät sotkuisiksi. Tiedostossa on melko yksityiskohtaisesti esitetty todistus. Jos vieläkin on epäselviä asioita, kannattaa yrittää itse laskea kynällä ja paperilla jokainen välivaihe todistuksessa. Tai sitten kysyä lisää.

Funktio on derivoituva suljetulla välillä [a,b], jos se on derivoituva avoimella välillä (a,b) ja toispuoleiset derivaatat ovat olemassa välin päätepisteissä. Eli vasemmassa päätepisteessä lähestytään vain oikealta ja oikeassa päätepisteessä vain vasemmalta.

Hei.

Tuossa on parissa kohtaa pieniä vihreitä tai epäselvyyksiä.

1. Jotta määrittelemäsi e olisi olemassa, sinun täytyy todeta, että joukko A on epätyhjä. Tämä on kuitenkin selvää sen nojalla, että d_0 on joukon A alkio. Kuitenkin tämä on sellainen pieni asia, joka on mainittava, jos tehtävän haluaa tehdä täsmällisesti. En tiedä mitä varten ja millä taustatiedoilla olet tehtävää tekemässä, mutta periaatteessa luvun d_0 olemassaolon todistaminen pitäisi tehdä jatkuvuuden määritelmän avulla. Tämä on ihan perustulos, mikä on melko helppo näyttää, mutta en tiedä onko sitä näytetty esimerkiksi lukion oppikirjoissa.

2. Kappaleen, joka alkaa 'Osoitetaan, että funktio f on positiivinen välillä ]e,c] ...', loppu on hieman epäselvä. Vaikuttaa siltä, että käytät lukua e kahteen eri tarkoitukseen. Tehtävänä on todistaa, että f on positiivinen väillä ]e,c], mutta lopussa sanot, että x_0 kuuluu sellaiselle välille ]e,c] jolla f on positiivinen. Tämän voi korjata seuraavasti. Päättelit jo, että on olemassa A:n alkio x, jolle x<x_0, mutta koska x on A:n alkio, niin f(y)>0 kaikilla y, jotka ovat välillä x<y<= c (tämä on vain joukon A määritelmä). Mutta x_0>x, joten välttämättä f(x_0)>0.

3. Seuraavassa kappaleessa sanot, että 'Koska funktio f on derivoituva, niin voimme päätellä, että f(x)->f(e), kun x->e oikealta.' Derivoituvuudella ei ole suoranaisesti mitään tekemistä tämän kanssa. Jatkuvuus on ainoa, mitä tähän tarvitaan. Mielestäni riittävä päättely olisi f(x)>0 kun x>e, joten f(e)=lim_{x->e+} f(x)>=0. Tämä päättely, että jos funktio on positiivinen, niin sen raja-arvo ei voi olla negatiivinen on hirveän luonnollinen asia, mutta sitä on tuskin todistettu täsmällisesti lukiossa, ja todistaminen pitäisi tehdä raja-arvon määritelmän nojalla.

4. Haluat näyttää, että f(e)=0. Tämän vastaoletus ei ole f(e)>0 tai e>a. Tuo tai-väittämä on ylimääräinen. Olet jo käsitellyt tapauksen e=a, joten voit tämän jälkeen huoletta olettaa, että e>a ja käsitellä vain tätä tapausta. Päättely olisi selkeämpää, jos lähtisit tässä liikkeelle siitä, että f(e)>0 ilman, että ryhdyt puhumana x:stä tai e-r:stä. Päättely voisi olla seuraavan kaltaista: Oletetaan, että e>a ja tehdään vastaoletus - f(e)>0. Jatkuvuuden nojalla (sama päättely kuin tehtävän alussa) siitä, että f(e)>0 seuraa, että on olemassa luku r>0, jolle f(x)>0 kun e-r<x<=e. Tämähän tarkoittaa, että e-r on joukon A alkio, mutta e-r<e, mikä on ristiriita sen kanssa, että e=Inf A. Toki asia kannattaa kirjoittaa niin kuin itse ymmärrät sen parhaiten. Mielestäni tuo vain on lyhin ja selkein tapa päätellä kyseinen asia.

Muutoin en huomannut mitään kommentoitavaa. Muistutan vain, että tämä on yksi tapa tehdä asia. Voi olla, että on muita helpompiakin tapoja. Tämä oli ensimmäinen, mikä minulla tuli mieleen.