Jordan
YaBB Newbies
Poissa
I Love YaBB 2!
Viestejä: 16
|
Hei.
Tehtävänä ratkaisu riippuu vähän siitä, että millä tasolla tietosi ovat. Jos tehtävä pitää ratkaista lukiotiedoilla, niin oleellisesti on kyse vain osittaisintegroinnista. Olkoon X:n jakauma f=F'. Tällöin tietenkin
E(min(X,c))=\int f(x)min(x,c)dx,
missä \int tarkoittaa integrointia ja integroiminen tapahtuu koko positiivisen reaaliakselin yli. Reaaliakselin voit jakaa tietenkin osiin (0,c) ja [c,\infty), missä \infty on ääretön. Tällöin
E(min(X,c))=\int_0^c x f(x)dx+\int_c^\infty c f(x) dx.
Tässä ja jatkossa \int_a^b on integraali a:sta b:hen. Tässä askeleessa on käytetty vain integraalin additiivisuutta ja tuota minimin määritelmää. Ensimmäinen termi kannattaa osittaisintegroida:
\int_0^c x f(x)=c F(c)-\int_0^c F(x) dx.
Jälkimmäisen termin voit kirjoittaa muodossa
c\int_c^\infty f(x) dx=c(1-F(c)).
Näin ollen
E(min(X,c))=cF(c)-\int_0^c F(x)+c(1-F(c)) =c-\int_0^c F(x)dx =\int_0^c(1-F(x)) dx,
mikä on tuo haluamasi esitys. Mikäli taas haluat yleisemmän ratkaisun, missä todennäköisyyslaskentaa käsitellään mittateorian puitteissa, niin todistuksen kulmakivi on fubinin lause. Jos \chi_A on joukon A indikaattorifunktio (eli \chi_A(t)=0, kun t ei ole joukon A alkio ja \chi_A(t)=1, kun t on joukon alkio) ja P on todennäköisyysavaruuden mitta, voit kirjoittaa
E(min(X,c))=\int dP min(X,c) =\int dP \int_0^c \chi_{\omega: X(\omega)>t}dt =\int_0^c dt \int dP \chi_{\omega: X(\omega)>t} =\int_0^c P(X>t) dt =\int_0^c (1-F(t))dt,
mikä on haluamasi tulos. Toisella rivillä käytettiin oleellisesti indikaattorifunktion määritelmää, kolmannella Fubinin lausetta (jonka ehdot pitäisi tietenkin tarkistaa) ja sitten vain ihan perusmääritelmiä.
Mikäli ihan lukiopohjalta näitä mietit, niin ei kannata tuosta jälkimmäisestä ratkaisusta pahemmin stressata. Ensimmäisessä tärkeintä oli ymmärtää, että sen integraalin voi jakaa kahteen osaan ja sen jälkeen pitää hoksata osittaisintegroida.
|