Hei.

Tehtävänä ratkaisu riippuu vähän siitä, että millä tasolla tietosi ovat. Jos tehtävä pitää ratkaista lukiotiedoilla, niin oleellisesti on kyse vain osittaisintegroinnista. Olkoon X:n jakauma f=F'. Tällöin tietenkin

E(min(X,c))=\int f(x)min(x,c)dx,

missä \int tarkoittaa integrointia ja integroiminen tapahtuu koko positiivisen reaaliakselin yli. Reaaliakselin voit jakaa tietenkin osiin (0,c) ja [c,\infty), missä \infty on ääretön. Tällöin

E(min(X,c))=\int_0^c x f(x)dx+\int_c^\infty c f(x) dx.

Tässä ja jatkossa \int_a^b on integraali a:sta b:hen. Tässä askeleessa on käytetty vain integraalin additiivisuutta ja tuota minimin määritelmää. Ensimmäinen termi kannattaa osittaisintegroida:

\int_0^c x f(x)=c F(c)-\int_0^c F(x) dx.

Jälkimmäisen termin voit kirjoittaa muodossa

c\int_c^\infty f(x) dx=c(1-F(c)).

Näin ollen

E(min(X,c))=cF(c)-\int_0^c F(x)+c(1-F(c))
                =c-\int_0^c F(x)dx
                =\int_0^c(1-F(x)) dx,

mikä on tuo haluamasi esitys. Mikäli taas haluat yleisemmän ratkaisun, missä todennäköisyyslaskentaa käsitellään mittateorian puitteissa, niin todistuksen kulmakivi on fubinin lause. Jos \chi_A on joukon A indikaattorifunktio (eli \chi_A(t)=0, kun t ei ole joukon A alkio ja \chi_A(t)=1, kun t on joukon alkio) ja P on todennäköisyysavaruuden mitta, voit kirjoittaa

E(min(X,c))=\int dP min(X,c)
               =\int dP \int_0^c \chi_{\omega: X(\omega)>t}dt
               =\int_0^c dt \int dP \chi_{\omega: X(\omega)>t}
               =\int_0^c P(X>t) dt
               =\int_0^c (1-F(t))dt,

mikä on haluamasi tulos. Toisella rivillä käytettiin oleellisesti indikaattorifunktion määritelmää, kolmannella Fubinin lausetta (jonka ehdot pitäisi tietenkin tarkistaa) ja sitten vain ihan perusmääritelmiä.

Mikäli ihan lukiopohjalta näitä mietit, niin ei kannata tuosta jälkimmäisestä ratkaisusta pahemmin stressata. Ensimmäisessä tärkeintä oli ymmärtää, että sen integraalin voi jakaa kahteen osaan ja sen jälkeen pitää hoksata osittaisintegroida.

Yleisesti ottaen, jos g jokin funktio, niin odotusarvo E(g(X)) määritellään tällaisessa tapauksessa kaavalla

E(g(X))=\int g(x) f(x) dx.

Nyt kyseinen funktio g on vain g(t)=min(t,c). Yleisemmin g voisi olla mikä tahansa riittävän säännöllinen funktio. Esimerkkejä tästä esiintyy kyllä lukiossakin. Jos esimerkiksi g(t)=t^2, niin E(g(X)) on satunnaismuuttujan X varianssi.

Ehkä se mikä tässä tuntuu kummalliselta on, että käsitellään tavallaan kahta satunnaismuuttujaa: X ja Y=min(X,c). Halutaan selvittää Y:n odotusarvo muuttujan X jakauman suhteen eikä satunnaismuuttujan Y jakauman suhteen.

Aina tietenkin min(X,\infty)=X, joten voisi ajatella, että jos annat c->\infty, saisi

E(X)=\int_0^\infty (1-F(x)) dx.

Tämä kyllä pitää paikkansa, mutta mielestäni vaatisi hieman täsmällisyyttä. Raja-arvon määritelmää jne. Lähinnä kyse on odotusarvon jatkuvuudesta eli onko lim_{c->\infty} E(min(X,c))=E(lim_{c->\infty}min(X,c)). Tuon tuloksen voi kylläkin todistaa muillakin menetelmillä, mutta tämä taas vaatii vähän syvällisempää integroimisen ymmärtämistä ja sitä fubinin lausetta.

Tuon voi myös kirjottaa toisella ihan mielenkiintoisella tavalla:

E(X)=\int_0^\infty (1-F(x))dx
     =\int_0^\infty (1-P(X<= x))dx
     =\int_0^\infty P(X>x) dx.