Lainaus:Tai sitten aksioomaksi voisi valita jonkin jonoihin liittyvän, kun ohjelmassa kerran puhutaan jonoista. Vaikkapa että jokaisella vähenevällä, alhaalta rajoitetulla jonolla on raja-arvo. Siitäkin seuraa tavanomainen täydellisyysaksiooma:
Täydellisyysominaisuus voidaan määritellä näin, mutta asiassa on pari ikävää ongelmaa. Jonon suppeneminen on määriteltävä ennen kuin varsinaisesti on selvää mitä reaaliluvut ovat, ja ennen kuin voi antaa ensimmäistäkään konkreettista esimerkkiä suppenevasta jonosta, on todistettava, että Arkhimedeen ominaisuus on voimassa. Martio kirjoitti tästä lähestymistavasta Dimensiossa 62, (1998) 5: 33-38, ja olimme erästä kirjaa varten laatineet käsikirjoitusversion tältä pohjalta, mutta sitten tuli vastaan nuo ongelmat. Mitään tieteellistä virhettä tuossa tavasssa ei siis ole, mutta tiettyä takaperoisuutta se tuo perusteiden käsittelyyn, ja palasimme sitten normaaliin ylärajan aksioomaan. Ko. kirja on Merikoski, minä ja Tossavainen: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan, WSOY 2004. Koulumatematiikassa ongelmaa ei sinänsä ole, koska raja-arvo määritellään mielikuvin, ja Arkhimedeen ominaisuutta ei edes osata ajatella. Silti, monotonisen jonon suppenemislauseen kohottaminen aksioomaksi tuntuu jotenkin tyylittömältä. Parempi olisi, jos jonoissa haluaa pysyä, määritellä Q:ssa Cauchyn jonot, ja täydellistää Q R:ksi sanomalla, että jokainen tällainen jono suppenee. Q:n Arkhimedeen ominaisuus on tällöin todistettava ennen Cauchyn jonon määrittelyä. Koulussa tämä olisi ehdottomasti liian vaikeaa, ja kaikkein selvintä on antaa ylärajan aksiooma, ellei sitten tämä UL satu olemaan vielä havainnollisempi. -markku h.-