Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. Solmu
Sivu: 1 2 3 
Täydellisyysaksiooma (Luettu 327 kertaa)
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #15 - 11.01.2010 - 12:59:13
 
Hermannilta Lainaus:
Ei, vaan kysymys on siitä, voidaanko täydellisyysaksiooman tavanomainen muoto (epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukon osajoukolla on pienin yläraja) korvata Usko Lahden ehdotuksella. Ja vastaus on, että voidaan, koska tavanomainen muoto ja Uskon ehdotus ovat yhtäpitävät.

Mitkä tahansa kaksi UL:n esittämää rationaalilukujoukkoa A ja B
toteuttavat UL:n aksiooman niin, että z on rationaalinen, mutta kaikilla
ylhäältä rajoitetuilla rationaalilukujoukoilla ei ole pienintä ylärajaa
rationaalilukujen joukossa. Siis, nämä aksioomien muotoilut eivät
ole yhtäpitäviä. -markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #16 - 11.01.2010 - 13:29:44
 
Lainaus:
Mitkä tahansa kaksi UL:n esittämää rationaalilukujoukkoa A ja B toteuttavat UL:n aksiooman niin, että z on rationaalinen


Valitaan

A = positiiviset rationaaliluvut, joiden neliö < 2
B = positiiviset rationaaliluvut, joiden neliö > 2.

Mikä rationaaliluku z on mielestäsi joukkojen A ja B välissä?

Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #17 - 11.01.2010 - 15:03:50
 
Esitin huolimattoman kommentin,
jonka samalla vastaesimerkillä
tajusin vääräksi kotiin kävellessäni.
Yritän myöhemmin jotakin esittää
jotakin rakentavampaa tästä asiasta,
tai jos en keksi, niin jään kuulolle. -markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #18 - 11.01.2010 - 15:36:40
 
Yritän kirjoittaa tähän selväsanaisen todistuksen yhtäpitävyydelle.

(T = tavanomainen) Jokaisella epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukon osajoukolla A on pienin yläraja.

(UL) Jos A ja B ovat epätyhjiä reaalilukujoukon osajoukkoja ja jos x <= y aina kun x E A ja y E B, niin on olemassa sellainen reaaliluku z, että x <= z <= y kaikilla x E A ja y E B.

T => UL
Etsityksi z:ksi kelpaa tietenkin joukon A pienin yläraja, joka on T:n nojalla olemassa, koska A on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu (rajoittuneisuus seuraa joukon B epätyhjyydestä). Pienin yläraja on ylärajana suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki A:n alkiot ja pienimpänä ylärajana pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki B:n alkiot (sillä ne ovat A:n ylärajoja).

UL => T
Valitaan joukoksi B joukon A ylärajojen joukko. Silloin kaikki B:n alkiot ovat suurempia tai yhtä suuria kuin kaikki A:n alkiot. UL:n nojalla on olemassa z, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki A:n alkiot, ts. z on A:n yläraja, ja pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki B:n alkiot eli kaikki A:n ylärajat. Siispä z on joukon A pienin yläraja.


Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #19 - 11.01.2010 - 16:20:03
 
Kyhäsin itse puolestani seuraavan:

Olkoon X joukko, jossa on voimassa
muut reaalilukuaksioomat, paitsi
täydellisyysaksiooma on korvattu
UL-aksioomalla. Todistetaan, että
tällöin jokaisella ylhäältä rajoitetulla
joukolla A on pienin yläraja.

Jos A on ylhäältä rajoitettu ja
B = {kaikki A:n ylärajat}, niin
ensinnäkin kaikille a \in A ja
b \in B on voimassa: a \leq b.
UL-aksiooman mukaan on olemassa
z, jolle a \leq z \leq b kaikille
a \in A ja b \in B. Tämä z on siis
A:n yläraja, joten z \in B.
Koska toisaalta z \leq b
kaikilla b \in B, on z lukujoukon
B pienin luku, ja siis A:n pienin
yläraja. Jos näitä lukuja on kaksi,
esim z ja w, niin z \leq w ja w \leq z,
joten w = z.

Kääntäen, joukossa R on helppo todistaa
UL-ominaisuus lauseena. Siis UL on
yhtäpitävä täydellisyysaksiooman kanssa.

Eri asia on sitten se, onko tästä mitään
didaktista hyötyä opetuksessa. Mutta sitäkin
sopii pohtia. -markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #20 - 11.01.2010 - 16:48:44
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 11.01.2010 - 16:20:03:
Jos näitä lukuja on kaksi,
esim z ja w, niin z \leq w ja w \leq z,
joten w = z.


Supin yksikäsitteisyyttä ei tässä kohtaa tarvitse perustella. Yksikäsitteinenhän se toki on, niin kuin minimit yleensäkin, koska järjestysaksiooman (yhden niistä) mukaan a < b ja b < a eivät voi olla yhtä aikaa voimassa.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #21 - 11.01.2010 - 17:05:53
 
Lainaus:
Supin yksikäsitteisyyttä ei tässä kohtaa tarvitse perustella. Yksikäsitteinenhän se toki on, niin kuin minimit yleensäkin, koska järjestysaksiooman (yhden niistä) mukaan a < b ja b < a eivät voi olla yhtä aikaa voimassa.

Ok. Tästä saattaisi sittenkin olla etua, jos lähtee toteuttamaan
aikaisemmin esittämääni 8 kohdan ohjelmaa. Kohta 7 voidaan
korvata UL-vaatimuksella, mikä on aika havainnollinen temppu
sen jälkeen, kun kohta 6 on näytetty. Joka tapauksessa lukiolaisille
on tehtävä tämä esityö, mikä perustelee lukualueen laajentamisen.
-markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #22 - 11.01.2010 - 19:25:18
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 11.01.2010 - 17:05:53:
Tästä saattaisi sittenkin olla etua, jos lähtee toteuttamaan
aikaisemmin esittämääni 8 kohdan ohjelmaa. Kohta 7 voidaan
korvata UL-vaatimuksella, mikä on aika havainnollinen temppu
sen jälkeen, kun kohta 6 on näytetty.


Tai sitten aksioomaksi voisi valita jonkin jonoihin liittyvän, kun ohjelmassa kerran puhutaan jonoista. Vaikkapa että jokaisella vähenevällä, alhaalta rajoitetulla jonolla on raja-arvo. Siitäkin seuraa tavanomainen täydellisyysaksiooma:

Poimitaan joukon A ylärajojen joukosta jono siten että jäsen xn on aina edellistä jäsentä xn-1 pienempi ja korkeintaan etäisyydellä 1/n jostakin joukon A luvusta. Valitun aksiooman mukaan tällä jonolla on raja-arvo x. Jos x ei olisi joukon A yläraja, sen oikealta puolelta löytyisi A:n alkio y. Tästä taas seuraisi, että kaikki jonon jäsenet olisivat vähintään y, koska jonon jäsenet ovat A:n ylärajoja. Jono ei silloin tietenkään voisi supeta kohti x:ää. Siis x on yläraja. Jos x ei olisi ylärajoista pienin, löytyisi vasemmalta puolelta pienempi yläraja z. Silloin xn:t eivät voisi olla riittävän suurilla n:n arvoilla korkeintaan etäisyydellä 1/n jostain joukon A luvusta. Siis x on myös pienin yläraja.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #23 - 11.01.2010 - 20:47:38
 
Lainaus:
Tai sitten aksioomaksi voisi valita jonkin jonoihin liittyvän, kun ohjelmassa kerran puhutaan jonoista. Vaikkapa että jokaisella vähenevällä, alhaalta rajoitetulla jonolla on raja-arvo. Siitäkin seuraa tavanomainen täydellisyysaksiooma:

Täydellisyysominaisuus voidaan määritellä näin, mutta asiassa on pari ikävää ongelmaa. Jonon suppeneminen on määriteltävä ennen kuin varsinaisesti on selvää mitä reaaliluvut ovat, ja ennen kuin voi antaa ensimmäistäkään konkreettista esimerkkiä suppenevasta jonosta, on todistettava, että Arkhimedeen ominaisuus on voimassa. Martio kirjoitti tästä lähestymistavasta Dimensiossa 62, (1998) 5: 33-38, ja olimme erästä kirjaa varten laatineet käsikirjoitusversion tältä pohjalta, mutta sitten tuli vastaan nuo ongelmat. Mitään tieteellistä virhettä tuossa tavasssa ei siis ole, mutta tiettyä takaperoisuutta se tuo perusteiden käsittelyyn, ja palasimme sitten normaaliin ylärajan aksioomaan. Ko. kirja on Merikoski, minä ja Tossavainen: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan, WSOY 2004. Koulumatematiikassa ongelmaa ei sinänsä ole, koska raja-arvo määritellään mielikuvin, ja Arkhimedeen ominaisuutta ei edes osata ajatella. Silti, monotonisen jonon suppenemislauseen kohottaminen aksioomaksi tuntuu jotenkin tyylittömältä. Parempi olisi, jos jonoissa haluaa pysyä, määritellä Q:ssa Cauchyn jonot, ja täydellistää Q R:ksi sanomalla, että jokainen tällainen jono suppenee. Q:n Arkhimedeen ominaisuus on tällöin todistettava ennen Cauchyn jonon määrittelyä. Koulussa tämä olisi ehdottomasti liian vaikeaa, ja kaikkein selvintä on antaa ylärajan aksiooma, ellei sitten tämä UL satu olemaan vielä havainnollisempi. -markku h.-
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Matti Lehtinen
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 74

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #24 - 12.01.2010 - 18:30:58
 
Toki Usko Lahden aksiooma yhdessä rationaalilukujen ominaisuuksien kanssa on yhtäpitävä täydellisyysaksiooman kanssa. Siinä mielessä numerossa 10 lausumani oli epätarkkaa. Bolzanon lause tai lause "Jokaisella kasvavalla ja ylhäältä rajoitetulla jonolla on raja-arvo" tai "Jokaisella Cauchyn jonolla on raja-arvo" kelpaisivat itse kukin reaalilukuja karakterisoimaan. Kaikissa on kuitenkin enemmän rakennetta ja lisämäärittelyä kuin tavallisessa täydellisyysaksioomassa.

Mietin, miten todistaisin monotonisen ja rajoitetun jonon raja-arvon olemassaolon Usko Lahden aksiooman perusteella. Silloin toinen joukko olisi jonon alkioiden joukko ja toinen joukko vaikkapa jonon kaiikkien ylärajojen joukko. Luku z olisi jokin luku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin mikään jonon luku, siis eräs jonon yläraja, mutta pienempi tai yhtä suuri kuin mikään yläraja, siis pienin yläraja. Jos z ei olisi raja-arvo, ristiriita syntyisi juuri tämän pienimmyyden kanssa. Tuntuu, että ainakaan tässä täydellisyysaksiooman keskeisessä sovelluksessa ei Usko Lahden muotoilu tuo etua, joskaan ei kovin suurta monimutkaistustakaan.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #25 - 12.01.2010 - 19:30:28
 
Matti Lehtinen kirjoitti on 12.01.2010 - 18:30:58:
Mietin, miten todistaisin monotonisen ja rajoitetun jonon raja-arvon olemassaolon Usko Lahden aksiooman perusteella. Silloin toinen joukko olisi jonon alkioiden joukko ja toinen joukko vaikkapa jonon kaiikkien ylärajojen joukko. Luku z olisi jokin luku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin mikään jonon luku, siis eräs jonon yläraja, mutta pienempi tai yhtä suuri kuin mikään yläraja, siis pienin yläraja. Jos z ei olisi raja-arvo, ristiriita syntyisi juuri tämän pienimmyyden kanssa. Tuntuu, että ainakaan tässä täydellisyysaksiooman keskeisessä sovelluksessa ei Usko Lahden muotoilu tuo etua, joskaan ei kovin suurta monimutkaistustakaan.


Kai tässä suurin ongelma on jonon raja-arvon määritelmän ymmärtäminen. Jos sen ymmärtää, tuo todistuskin on helppo ymmärtää. Koska z on yläraja, jonon alkiot eivät pääse sen yli. Toisaalta koska z on pienin yläraja, z - e ole yläraja vaikka e > 0 olisi miten pieni tahansa, joten jonon alkiot ylittävät luvun z - e jossain vaiheessa. Siis z on jonon raja-arvo.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Usko Lahti
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 9
Tampere
Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #26 - 15.01.2010 - 20:25:15
 
Molemmat täydellisyysaksioomien muotoilut ovat loogisesti hyvin lähellä toisiaan. Kumpikaan ei siis voi olla ylivertainen lauseiden todistuksissa. Kuitenkin, kuten matematiikan historia vääjäämättä osoittaa, muotoilu vaikuttaa usein ratkaisevasti ymmärtämiseen ja sujuvuuteen. Parempi muotoilu tarjoaa myös laajemmat eväät määritelmien rakenteluun, esim. kohta 6 edellä.

Seuraavassa vielä esimerkkinä tunnettu sisäkkäisten välien lause.

Lause. Tarkastellaan sisäkkäisiä suljettuja välejä, joiden pituudet lähestyvät nollaa. Välien leikkaus käsittää täsmälleen yhden pisteen.

Todistus. Välien vasemmat päätepisteet muodostakoot joukon A ja oikeat päätepisteet joukon B, jolloin A:n luvut ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin B:n luvut. Täydellisyysaksiooman mukaan on olemassa luku z, joka kuuluu jokaiseen väliin. Toista lukua c, joka kuuluisi jokaiseen väliin, ei voi olla olemassa. Luku c jää nimittäin välien ulkopuolelle heti, kun välien pituus alittaa pisteiden z ja c etäisyyden.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Simo Kivelä
YaBB Newbies
*
Poissa



Viestejä: 5

Sukupuoli: male
Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #27 - 09.02.2010 - 15:01:18
 
Näkyy keskustely täydellisyysaksioomasta jälleen leimahtaneen. UL-aksiooma on mahdollinen vaihtoehto. En kuitenkaan pitäisi sitä pedagogisesti hyvänä:

Ensinnäkin pienimmän ylärajan olemassaolo on yleisesti käytetty eikä minusta ole perusteltua opettaa muotoa, joka poikkeaa yleisestä käytännöstä, vaikka se olisikin ekvivalentti ja jopa joissakin yhteyksissä helpommin ymmärrettävä.

Toiseksi: Pienimmän ylärajan olemassaolo ei ole niin mystinen lausuma, kuin valitettavan usein esitetään. Asianhan voi nähdä niin, että jos jollekin asialle voidaan laskea eri menettelyillä alalikiarvoja, jotka aina ovat rajoitettuja, niin päätämme kutsua luvuksi sitä, jolle nämä ovat alalikiarvoja. Epätäsmällistä tekstiä, mutta motivoi asian. Ja aksiooman asettamisen jälkeen ollaankin sitten täsmällisellä pohjalla.

Huomattakoon, että 'aksiooma' ei tällöin tarkoita itsestään selvyyttä (vaikka kreikkalaiset niin ajattelivatkin), vaan se asetetaan, se on sopimus. Ei siis koululaisenkaan tarvitse luonnostaan pitää irrationaalilukuja jotenkin itsestään selvinä, vaan hänen kanssaan sovitaan, että alamme käyttää tällaisia lukuja. Pakkohan tätä sopimusta ei ole tehdä: Kaikessa numeerisessa laskennassa selvitään ilman irrationaalilukuja, mutta kaiken formulointi pelkästään rationaaliluvuilla tekee kyllä maailman paljon vaikeammaksi.

SKK
Siirry sivun alkuun
 
 
WWW   IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #28 - 09.02.2010 - 20:24:32
 
Simo Kivelä kirjoitti on 09.02.2010 - 15:01:18:
Huomattakoon, että 'aksiooma' ei tällöin tarkoita itsestään selvyyttä (vaikka kreikkalaiset niin ajattelivatkin), vaan se asetetaan, se on sopimus.


Tärkeä pointti. Matematiikan sisältö on päättelyissä eikä oletuksissa. Aksioomiksi saa valita mitä haluaa, vaikka sellaista, joka tuntuu täysin järjettömältä.

Kansantajuistaen voisi sanoa, että matemaatikko on yhtä kiinnostunut neli- kuin viisijalkaisista lehmistä. Ei ole mitään matemaattisesti väärää ottaa lähtökohdaksi viisijalkainen lehmä. Sen sijaan kelvollista luonnontieteellistä tutkimusta viisijalkaisista lehmistä ei toistaiseksi oikein voi tehdä. Tilanne tietysti muuttuu, jos viisijalkaisia lehmiä alkaa havaintopiiriimme ilmaantua (ja matemaatikko rientää rinta rottingilla esittelemään jo vuosia vanhoja viisijalkalehmäteoreemojaan  Hymiö). Matematiikkaa uudet havainnot eivät heivauta, koska matematiikka ei ota kantaa lähtökohtien "oikeellisuuteen". Kunhan lähtöoletuksien jälkeiset päättelyt ovat hyväksyttäviä, matemaattinen teoria ei vanhene koskaan.

Minusta tuota voisi koulussa painottaa enemmän. Matematiikan ja luonnontieteiden eroa ei kerrota, vaikka ero on noin yksinkertainen.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
jt
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 2

Re: Täydellisyysaksiooma
Vastaus #29 - 18.05.2010 - 13:50:26
 
minusta tuossa on pikkasen menneet aksioomat ja lauseet sekaisin.

jos reaaliluvut on jo konstruoitu, niin usko lahden esittämä väite on lause. samoin supremumin olemassaolo on tällöin lause.

aksiomaattisesti edeten voidaan määritellä järjestetty kunta ja lisätä sitten vaatimus sup-ominaisuudesta, tai UL-ominaisuudesta. tämä ei kuitenkaan takaa että joukko jolla on nämä ominaisuudet olisi olemassa. tämän takia reaaliluvut konstruoidaan sitten rationaaliluvuista joko dedekindin leikkauksilla tai metrisen avaruuden täydellistämisellä.

asia kenties selviää parhaiten katsomalla rudinin principlesiä. lause 1.19 sanoo että on olemassa järjestetty kunta jolla on sup-ominaisuus. sitten huomautetaan, että tätä rakennetta kutsutaan reaaliluvuiksi. eka luvun appendixissa puolestaan on konstruktio dedekindin leikkausten avulla. siinä step 3 sanoo (lause), että joukolla joka konstruoitiin on sup-ominaisuus.

pienellä modifioinnilla UL-ominaisuutta voidaan jopa pitää reaaliluvun z määritelmänä dedekindin leikkausten avulla.

conway on muuten mielenkiintoisella tavalla yleistänyt dedekindin konstruktiota (conway: on numbers and games, winning ways). tällöin saadaan paitsi reaaliluvut myös infinitesimaalit ja äärettömän suuret luvut. lisäksi saadaan pelit (game) joita conway on käyttänyt kombinatoristen pelien analyysissä (nim, hackenbush, go,...)

simolle vielä kommenttina että numeerisessa laskennassa ei tarvita rationaalilukuja: kaikki laskenta tehdään liukuluvuilla.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Sivu: 1 2 3