Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. |
Matematiikan atrium › Keskustelu matematiikasta › Matematiikan maailma › Täydellisyysaksiooma |
‹ Edellinen aihe | Seuraava aihe › |
Usko Lahti
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 9 Tampere Sukupuoli: |
Reaalilukujen määrittelyyn liittyvän täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujen joukolla on pienin yläraja.
Epäilemättä käyttökelpoinen ja kaunis aksiooma - ei kuitenkaan aivan helppotajuinen eikä ”itsestään selvä” kuten muut reaalilukujen aksioomat. Mitäpä jos koulukurssissa aksiooma muotoiltaisiin seuraavasti. Olkoot A ja B mitä tahansa reaalilukujoukkoja siten, että x ≤ y kaikilla alkioilla x € A ja y € B. Tällöin on olemassa reaaliluku z siten, että x ≤ z ≤ y kaikilla x € A ja y € B. Aksiooma on erittäin ilmeinen, kun A ja B ajatellaan lukusuoralle. Jos A ja B ovat peräkkäin kerrottuja satuja, on aksiooma selvä aivan pikkunaperoillekin. Kahden sadun välissä ehtii nimittäin aina sanomaan ”z”. |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Simo Kivelä
YaBB Newbies
Poissa Viestejä: 5 Sukupuoli: |
Lausumassa
Olkoot A ja B mitä tahansa reaalilukujoukkoja siten, että x ≤ y kaikilla alkioilla x € A ja y € B. Tällöin on olemassa reaaliluku z siten, että x ≤ z ≤ y kaikilla x € A ja y € B. z ei ole yksikäsitteinen eikä tätä voi vaatiakaan. Kävisikö nyt niin, että ei voitaisi päätellä, että vaikkapa 1 ja 0.9999... ovat sama luku? |
Siirry sivun alkuun |
|
Kaizu
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 1 |
Minusta tuo Usko Lahden muotoilu on harvinaisen selkeä ja ymmärrettävä. Ja minusta 0,999999... ja 1 ovat eri käsitteitä - noin niin kuin jos ollaan ihan tarkkoja.
Tuo alkuperäinen määritelmä sanoo että jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujen joukolla on pienin yläraja - siis täsmällinen yksi luku. Tavallaan tuo lause kertoo sen että: - käsite pienin yläraja tarkoittaa sitä että on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku johon joukko on rajoitettu - käsite "yläraja" ja "ylhäältä rajoitettu" kertovat että reaaluvuille voidaan käyttää suurempi kuin ja pienempi kuin merkkejä (ne on järjestetty ihan niin kuin Usko ehdottaa) Minusta tuo Usko:n ehdotus on erinomainen - pitää vaan osoittaa että se on (nykyisessä muodossa tai vähän muutettuna) yhtäpitävä alkuperäisen aksioman kanssa tai että siitä voidaan johtaa reaalilukujen ominaisuudet. Tuo alkuperäinen lause on tosiaan aika hämäävä ja se ansaitsisi helpommin ymmärrettävän muotoilun. |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Simo Kivelä
YaBB Newbies
Poissa Viestejä: 5 Sukupuoli: |
Jatketaan keskustelua täydellisyysaksioomasta ja Usko Lahden sille esittämästä vaihtoehdosta, olkoon nimeltään UL. Näiden ekvivalenssi (tai ainakin syntyvien reaalilukuaksomatiikkojen yhtäpitävyys) siis pitäisi todistaa.
Selvää lienee, että pienimmän ylärajan olemassaolosta seuraa UL. Kääntäen: Jos UL pätee, joukkojen A ja B välissä on reaaliluku z, mahdollisesti useampia. Jokin näistä on pienin yläraja joukolle A. Mutta onko lukujen z joukossa pienintä elementtiä tai ainakin suurinta alarajaa? Tässä auttaisi tieto pienimmän ylärajan / suurimman alarajan olemassaolosta, mutta sitähän juuri yritetään todistaa. Onko ongelma kierrettävissä? Esiin nousi myös kysymys, ovatko reaaliluvut 1 ja 0.99999... samoja. Voisiko pienimmän ylärajan olemassaoloon vedoten todistaa, että ne ovat? Edellyttäen, että 0.99999... ylipäätään on reaaliluku ... Rehellisyyden nimessä todettakoon, että tämä on vähän sokraattista keskustelua. En aina sano kaikkea ja saatan jopa johtaa harhaan ... Mutta sellaistahan debatti, matemaattinenkin, voi parhaimmillaan olla. |
Siirry sivun alkuun |
|
Usko Lahti
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 9 Tampere Sukupuoli: |
Käänteisen osan todistamiseksi valitaan joukoksi B joukon A ylärajojen joukko. Eikä tällöin mitä ilmeisemmin z = sup A?
Usko Lahti |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Simo Kivelä
YaBB Newbies
Poissa Viestejä: 5 Sukupuoli: |
Usko Lahti kirjoitti on 17.11.2008 - 19:08:26:
Käänteisen osan todistamiseksi valitaan joukoksi B joukon A ylärajojen joukko. Eikä tällöin mitä ilmeisemmin z = sup A? Usko Lahti Tässä tulee ongelmaksi, että aksiooman UL mukaan välissä voi olla useita alkioita z, jolloin kysymys kuuluu, mikä näistä on sup. Ongelma on kai kierrettävissä osoittamalla yksikäsitteisyys, jolloin saadaan aikaan tavanomaisen ja UL-aksioomasysteemin yhtäpitävyys. En nyt aivan loppun saakka miettinyt. Syntyykö tästä sitten helpommin koulumaailmassa hahmotettava aksioomasysteemi, on minusta vähän kyseenalaista. Eihän sitä pienimmän ylärajan olemassaoloa ole pakko esittää niin hatusta tempaistuna kuin yleensä tehdään. Ja se on kuitenkin aika laajassa käytössä, mikä on arvo sekin. SKK |
Siirry sivun alkuun |
|
Usko Lahti
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 9 Tampere Sukupuoli: |
En malta olla vertaamatta näitä täydellisyysaksiooman muotoiluja pinta-alan määrittelyssä.
Tavanomainen muotoilu Olkoon G rajoitettu tason osajoukko, k sen sisämonikulmio (ala Sk) ja K ulkomonikulmio (ala SK). Koska k on K:n osajoukko, on aina Sk <= SK. Sisämonikulmioiden alojen joukko {Sk} on ylhäältä rajoitettu ja ulkomonikulmioiden alojen joukko {SK} on alhaalta rajoitettu, joten edellisen sup ja jälkimmäisen inf ovat äärellisiä ja lisäksi sup <= inf. Jos edellä yhtäsuuruus pätee, sanotaan, että G:llä on pinta-ala, jonka arvo on S = sup{Sk} = inf{SK}. Tähän tapaan määritellään teoksessa Myrberg. L., Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, luku 10.1. Asian ymmärtämiseksi on hahmotettava sisämonikulmioiden alojen joukko, sen ylärajojen joukko ja pienin yläraja sekä ulkomonikulmioiden alojen joukko, sen alarajojen joukko ja suurin alaraja. Nämä eivät ole aloittelijalle itsestään selvyyksiä kuten ei myöskään pinta-alan olemassaolon ehto. ”z”-muotoilu Aloitetaan kuten edellä. Koska aina Sk <= SK, on olemassa luku z siten, että Sk <= z <= SK. Jos tällaisia lukuja z = S on tasan yksi, sanotaan että G:llä on pinta-ala, jonka arvo on S. Määritelmä selvästi yksinkertaistuu ja innostaa konstruoimaan joukkoja, jolla ei ole pinta-alaa. Usko Lahti |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Matti Lehtinen
Global Moderator
toimitus Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 74 |
Koska täydellisyysaksiooma on osa reaalilukujen määritelmää, ei sihhen tietenkään voi tulla sitä kautta, että lähdetään kahdesta reaalilukujoukosta A ja B. Ennen täydellisyysaksioomaa ei voi olla reaalilukujoukkojakaan, ainakaan lauseessa tarvittavine ominaisuuksineen (järjestyshän siinä on mukana). Muutenhan Uskon lause on sama kuin (yhdessä) reaalilukujen konstruktiivisessa määritelmässä esiintyvä Dedekindin leikkaus. Olennaista siinä on, että joukot A ja B ovat rationaalilukujen joukon ositus.
Kyllä kai koulukurssissakin mielekkäämpää kuin reaalilukujen aksiomaattinen käyttöön otto on kiinnittää huomiota rationaalilukujen riittämättömyyteen maailman kuvailemisessa ja sen kertomiseen, että asioa korjataan laajentamalla lukualuetta. "Päättymättömät desimaaliluvut" ovat käsitteenä sumea ilman jonkinlaista sarjan suppenemisen käsitystä. Tätä osoittaa yhtälön 1 = 0,9999... usein esiintyvä kyseenalaistaminen. |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Hannu Korhonen
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 2 |
Koulukurssejakin on niin monenlaisia. Kuudesluokkalaisten kanssa lukua 0,999... käsiteltiin aikanaan seuraavasti. Ensin mietittiin, mitkä luvut ovat samoja. On monta mahdollisuutta, joista yksi on se, että lukujen erotus on 0. Sitten lasketaan 1 - 0,999... vaikkapa allekkain. Tuloksena on luku 0,000... Olennainen kysymys on nyt, milloin tulee nollasta poikkeava desimaali. Kuudesluokkalaisille rajatta jatkuva lainaaminen ei tuntunut olevan mikään ongelma. Vastaus on tietysti, että jokaisen nollan jälkeen tulee taas nolla. Mikä on siis sellainen luku, että desimaaliesityksessä kokonaisosa on nolla ja jokainen desimaali on nolla? Tietysti 0,000... = 0. Siis 1 - 0,999... = 0,000... = 0, mistä seuraa, että 0,999... = 1.
|
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 44 |
Täydellisyysaksioomasta
Täällä on suhtauduttu lähinnä skeptisesti täydellisyysaksiooman opettamiseen lukiossa. Seuraavassa pohditaan, mitä sen opettaminen edellyttäisi, ja miksi se ehkä kannattaisi opettaa. On selvää, ettei sitä voi suoraan pläjäyttää lasten silmille lukion alkaessa. Aksiooma on suomeksi selviö. Peruskoulussa opitun matematiikan pohjalta ei ilmeisestikään voida pitää selviönä irrationaalilukujen olemassaoloa. Asiaa on lähestyttävä pienin askelin, esimerkkejä käyttäen. On aloitettava lukioon tulevan oppilaan lukukäsityksestä. Peruskoulun käynyt tietää desimaaliluvut, ja on laskimestaan nähnyt, että tietyt jakolaskut antavat näytön täydeltä desimaaleja, esim. 0,333... . Siis joidenkin lukujen jaksollisuuskin on havaittu. Myös murtoluvut tunnetaan, (vaikka niillä ei välttämättä osata laskea). Tältä pohjalta asiaa on ryhdyttävä rakentamaan. Seuraava polku tuntuisi sopivalta: 1) Oletetaan pohjatiedoiksi Pythagoraan lause suuntaan '' jos kolmio on suorakulmainen, niin ...'' , minkä yksinkertainen todistus vaatii myös tiedon kolmion kulmien summasta. Kumpaakaan asiaa ei nykyisin perustella peruskoulussa. Perustelut olisi kuitenkin esitettävä, siitä lisää myöhemmin. 2) Todetaan, että jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää kokonaislukujen suhteena. Tämä on tehtävä ''puolivillaisesti'' ilman sarjoja aloittamalla 1-jaksoisista luvuista. Jos esim. x=0,222..., niin 10x = 2 + x, josta x:lle seuraa murtolukuesitys. (Sarjaoppi sisältyy syventävään kurssiin 13, joka yleensä opiskellaan viimeisenä kurssina ennen kertauskurssia.) 3) Todetaan, että yksikköneliön lävistäjä x toteuttaa yhtälön x2 = 2. Epäilemättä yksikköneliöllä on lävistäjä ja sillä tietty pituus, joten ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys ei ole ongelma. 4) Todistetaan, että minkään rationaaliluvun neliö ei ole 2. Tämä todistus sisältyy ohjattuna harjoitustehtävänä ainakin yhteen lukion oppikirjasarjaan. Tuloksesta seuraa, että jos jonkin desimaaliluvun neliö on 2, niin tällä luvulla ei ole jaksoa. Näin nähdään vakuuttavasti, että rationaaliluvut eivät riitä kovin kehittyneeseen matematiikkaan, sillä edes yksikköneliön lävistäjän pituus ei ole rationaalinen. Lukualuetta on siis laajennettava käsittämään päättymättömät, jaksottomat luvut. Lävistäjän pituus toki osataan jo peruskoulunkin tiedoilla merkitä \sqrt{2}:ksi. 5) Kehitetään yksinkertainen menetelmä \sqrt{2}:n likiarvon laskemiseksi. Newtonin menetelmä ei käy, sillä nyt ollaan opintojen alussa. Tiedot riittävät kuitenkin \sqrt{2}:n esittämiseen päättymättömänä ketjumurtolukuna, mistä katkaisemalla saadaan rationaalinen likiarvo. 6) Miten tästä sitten päästään pienimpään ylärajaan? Näytetään kuten Lindelöf Johdatuksessaan (luku 8.), että ei ole olemassa suurinta ehdon a2 < 2 eikä pienintä ehdon b2 > 2 toteuttavaa rationaalilukua, mistä seuraa, että ehdon a2 < 2 toteuttavien positiivisten rationaalilukujen joukolla ei ole pienintä rationaalista ylärajaa eikä ehdon b2 > 2 toteuttavien rationaalilukujen joukolle ole suurinta alarajaa. Pienimmäksi ylärajaksi (ja suurimmaksi alarajaksi) tajutaan nyt helposti \sqrt{2}. Asiaa voi havainnollistaa muodostamalla kasvavan jonon (an ) \sqrt{2}:n rationaalisia alalikiarvoja jaksollisista luvuista a1 = 1,000000000... a2 = 1,400000000... a3 = 1,410000000... a4 = 1,414000000... ...................., mistä niin'ikään on helppo oivaltaa, että lukua \sqrt{2} esittävä jaksoton luku on näiden alalikiarvojen pienin mahdollinen yläraja. 7) Nyt voidaan sanoa, että lukualue täydentyy päättymättömillä, jaksottomilla luvuilla, siis irrationaaliluvuilla, jos vaadimme, että jokaisella ylhäältä rajoitetulla (rationaali)lukujoukolla on pienin yläraja. Eli siis todetaan selviönä \sqrt{2}:n kaltaisten lukujen olemassaolo. 8) Nykyopsin mukaan järjestetyssä opetuksessa lähimmäs täydellisyysaksioomaa päästään kursseilla 9 ja 13, joihin sisältyy lukujonon suppenemistarkasteluja. Näillä kursseilla on esillä monotonisen jonon suppenemislause, joka sanoo, että kasvavalla, ylhäältä rajoitetulla jonolla on raja-arvo. Lausetta ei voi nykyisellään todistaa, ja se annetaankin perusteluitta. Jos nyt olisi ylärajan aksiooma käytössä, niin lause tietenkin todistuisi, ja todistuksen yhteydessä voisi jopa tapailla epsilonia. Nyt sen sijaan koko lause jää hieman ilmaan roikkumaan, ehkä samalla tavalla kuin geometriassa samankohtaisia kulmia koskeva lause, jonka avulla perustellaan kolmion kulmien summa. (Olenkin sen takia päätynyt esittämään kolmion kulmien summan kierrättämällä ''nokkaeläintä'' kolmion piirin ympäri; eläimen kokonaiskiertymä on täysi kulma ja samalla se on kolmion kulmien vieruskulmien summa, mistä väite seuraa. Tämän jälkeen voi perustella Pythagoraan lauseen tutulla neliökonstruktiolla.) Tämän kahdeksan kohdan ohjelman voisi joku kirjoittaa Solmu-jutuksi. Idea on vapaasti käytettävissä. Lienee mahdotonta, että nykyisen curling-oppimisen oloissa kukaan kustantaja antaa pistää näin vaikeaa asiaa oppikirjaan. Myynti kärsii. Curling tarkoittaa tässä sitä, että sekä opettajat että oppimateriaalien tekijät toimivat kuten curling-joukkueen harjaosasto siivoten kaikki nyppylät pois lukion läpi kivenä liukuvan oppilaan tieltä. Törmäys tapahtuu sitten vasta sitten, kun lukioksi kutsutun jäärata on ohitettu. -markku h.- |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Matti Lehtinen
Global Moderator
toimitus Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 74 |
Markku Halmetojan curling-analogia on mainio. Siihen voisi lisätä sen havainnon, että harjaamisesta huolimatta kivi saattaa myös jämähtää paikalleen jo ennen tavoitekohtaa.
Tuli luettua tuo ketjun aloittava Usko Lahden ehdotus uudestaan. Uskon aksioomanhan toteuttavat kaikki sellaiset järjestetyt joukot, joiden rajoitetuilla osajoukoilla aina on suurin tai pienin alkio, esimerkiksi kokonaislukujen joukko. Ei se siis oikein kelpaa reaalilukuja karakterisoimaan. Täydellisyysaksiooma tai vastaava tulee tarpeeseen silloin, kun tällaista suurinta tai pienintä alkiota ei löydy, niin kuin tuossa neliön lävistäjän ja rationaalilukujen tilanteessa. |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Hermanni
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 45 |
Matti Lehtinen kirjoitti on 11.01.2010 - 06:43:09:
Tuli luettua tuo ketjun aloittava Usko Lahden ehdotus uudestaan. Uskon aksioomanhan toteuttavat kaikki sellaiset järjestetyt joukot, joiden rajoitetuilla osajoukoilla aina on suurin tai pienin alkio, esimerkiksi kokonaislukujen joukko. Ei se siis oikein kelpaa reaalilukuja karakterisoimaan. Kelpaa se, kun se otetaan viimeiseksi aksioomaksi muiden tunnettujen lisäksi, kuten tapana on. Kokonaislukujen joukko ei toteuta käänteislukuaksioomaa. |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 44 |
Hermanni kirjoitti
Lainaus: Kelpaa se, kun se otetaan viimeiseksi aksioomaksi muiden tunnettujen lisäksi, kuten tapana on. tarkoittaen, että reaaliluvut määrittäviin aksioomiin voitaisiin lisätä U.L..n esittämä lause. Mutta kun reaalilukuaksioomat jo määrittävät reaaliluvut, ei niiden lisäksi tarvita enää muita aksioomia. Aksioomien tulee olla toisistaan riippumattomia sikäli, että mitään "aksioomaa" ei voi todistaa muiden perusteella. Tuo U.L.:n "aksiooma" on itse asiassa lause, ja helppo sellainen. -markku h.- |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Hermanni
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 45 |
Ei, vaan kysymys on siitä, voidaanko täydellisyysaksiooman tavanomainen muoto (epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukon osajoukolla on pienin yläraja) korvata Usko Lahden ehdotuksella. Ja vastaus on, että voidaan, koska tavanomainen muoto ja Uskon ehdotus ovat yhtäpitävät.
|
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
Hermanni
YaBB Newbies
Poissa I Love YaBB 2! Viestejä: 45 |
Eräs vaihtoehto tavanomaiselle muotoilulle on myös Bolzanon lause. Siitä nimittäin seuraa tavanomainen täydellisyysaksiooma:
Oletus: Bolzanon lause pätee. Väite: Epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukon osajoukolla A on pienin yläraja. Todistus: Olkoon a joukon A alkio ja b joukon A yläraja. Määritellään f: [a, b] -> R seuraavasti: f(x) = -1, jos x ei ole joukon A yläraja f(x) = 1, jos x on joukon A yläraja. Jos nyt f(a) = 1 eli a on joukon A yläraja, niin a on triviaalisti pienin yläraja (koska se kuuluu joukkoon A). Voidaan siis olettaa, että f(a) = -1. Lisäksi pätee f(b) = 1. Jos EI ole olemassa joukon A pienintä ylärajaa, funktio f on jatkuva. Perustelut: Jos x ei ole yläraja, on olemassa sitä suurempi A:n alkio, joten f saa arvon -1 luvun x lähistöllä. Jos x on yläraja, tiedetään että se ei ole pienin yläraja, joten f saa arvon 1 luvun x lähistöllä. Siis f on jatkuva mutta ei saa arvoa 0 missään, mikä on vastoin oletusta eli Bolzanon lausetta. Siis pienin yläraja on olemassa. |
Siirry sivun alkuun |
IP on kirjattu
|
‹ Edellinen aihe | Seuraava aihe › |