Lovász

Matematiikan yhtenäisyys

Professori László Lovász
Department of Computer Science, Yale University, USA
Vuoden 1999 Wolf-palkinnon saaja (erinomaisista saavutuksista kombinatoriikan, teoreettisen tietojenkäsittelytieteen ja kombinatorisen ohjelmoinnin aloilla)

Kolme matematiikan maailmaa muuttavaa suuntausta

Tiedetään hyvin, että matemaattisten julkaisujen määrä (samoin kuin muidenkin tieteellisten julkaisujen) on kasvanut eksponentiaalisesti viimeisten 50 vuoden kuluessa. Matematiikka on kasvanut ulos siitä pienestä ja suljetusta yhteisöstä, joka se oli ennen. Koon kasvaessa matematiikasta tulee monimuotoisempi, siihen tulee enemmän rakennetta ja siitä tulee monimutkaisempi... ...Vuosisadan jälkipuoliskolla tapahtunut tieteellisen tutkimuksen kukoistus on johtanut monet muut tieteet vaiheeseen, missä ne tarvitsevat todellisia matemaattisia apuneuvoja. Varsin usein perinteiset työkalut eivät riitä.

Esimerkiksi biologia yrittää ymmärtää geneettistä koodia: valtava yritys, joka on avainasemassa elämän, ja lopulta meidän itsemme, ymmärtämiseksi. Geneettinen koodi on diskreetti: yksinkertaiset peruskysymykset, kuten yhteensopivien jaksojen löytäminen, tai geenipätkien pyörähtämisestä johtuvien seurausten jäljittäminen kuulostavat tutummalta graafiteoreetikosta kuin differentiaaliyhtälöiden tutkijasta. Informaatiosisältöä koskeva kysymys, redundanttisuus tai koodin stabiilisuus saattaa kuulostaa liian epämääräiseltä klassiselle matemaatikolle, mutta teoreettinen tietojenkäsittelijä keksii heti ainakin joitain työkaluja formalisoidakseen tilanteen (vaikkakin vastauksen löytäminen olisi tällä hetkellä liian vaikeaa)...

Taloustiede käyttää kovasti matematiikkaa - ja suuri osa sen tarpeista ei kuulu perinteiseen sovelletun matematiikan työkaluvarastoon. Lineaarisen ohjelmoinnin menestys taloustieteessä ja operaatioanalyysissä riippuu konveksisuusominaisuuksista ja rajattomasta jaollisuudesta; ottamalla edelleen jakautumattomat suureet huomioon (esimerkiksi loogiset päätökset tai yksilöt) päädytään kokonaislukuohjelmointiin ja muihin kombinatorisiin optimimointimalleihin, joita on paljon vaikeampaa käsitellä.

Lopuksi on vielä täysin uusi sovelletun matematiikan ala: tietojenkäsittely. Sähköisen laskennan kehitys tarjoaa laajan valikoiman hyvinmuotoiltuja, vaikeita ja tärkeitä matemaattisia ongelmia, jotka ovat nousseet esiin algoritmien tutkimuksen, datapankkien, formaalien kielten, kryptografian ja tietojen salauksen, VLSI-piirien suunnittelun ja monen muun mukana. Näistä useimmilla on liittymäkohtia diskreettiin matematiikkaan, formaaliin logiikkaan ja todennäköisyyteen.

...Ovatko tietokoneiden erilaiset käyttömuodot vain leikkikaluja tai parhaimmillaankin mukavuutta? En usko, vaan luulen, että niillä tulee olemaan syvällinen vaikutus tieteeseemme. Tämä on helpointa havaita Maplella, Mathematicalla, Matlabilla tai omilla ohjelmistoillanne tehtyjen kokeilujen avulla. Nämä ohjelmistot avaavat meille havaintojen ja kokeilujen alueen, johon ei ole päästy ennen tietokoneaikaa, ja jotka tarjoavat uutta dataa ja paljastavat uusia ilmiöitä...

Diskreetistä ja jatkuvasta:

- Äärettömästä äärelliseen. On ehkä tarpeetonta sanoa, että diskreetti ja jatkuva matematiikka täydentävät toisiaan ja että kumpikin käyttää toisen menetelmiä ja työkaluja. Monimutkaisen jatkuvan rakenteen diskretoiminen on aina ollut eräs perusmenetelmistä - Riemann-integraalin määritelmästä moniston kolmiointiin vaikka homologiateoriassa tai osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisemiseen hilassa...

- Äärellisestä äärettömään. On hiukan hienojakoisempi ajatus, että ääretön on usein (ehkä jopa aina?) suuren äärellisen aproksimointia. Jatkuvat rakenteet ovat usein selkeämpiä, symmetrisempiä ja rikkaampia kuin vastaavat diskreetit rakenteet (esimerkiksi tasohilalla on paljon pienempi symmetria-aste kuin koko euklidisella tasolla). Diskreettien rakenteitten tutkimuksessa on luonnollinen ja tehokas menetelmä "upottaa" ne jatkuvaan maailmaan. Klassinen esimerkki on generoivien funktioiden (joissa on jatkuva muuttuja) käyttö jonon rakenteen tutkimisessa...

- Matematiikan yhtenäisyydestä... Matematiikkaa ei voida millään luonnollisella tavalla jakaa osiin, mutta vakavia kommunikaatioaukkoja voi syntyä, ellemme huomaa, että meidän on uhrattava jotain, jos haluamme välttää tällaisia aukkoja. On pyrittävä kehittämään matematiikan ja sen sovellutusten yhteyksiä ja käytettävä aikaa myös yleistajuisten artikkelien kirjoittamiseen ja lukemiseen, matematiikan popularisointiin...

Edellinen artikkeli - Seuraava artikkeli - Kansi ja sisällysluettelo