Mietteitä matematiikan tulevaisuudesta Professori Avner Friedman Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota, USA

Sensijaan, että ennustaisin matematiikan tulevaisuutta ensi vuosisadalla, tarjoan kolme esimerkkiä luonnontieteen ja teknologian avainaloista, joilla matematiikasta on tulossa olennainen osa; materiaalitieteet, biotieteet ja digitaaliteknologia.

(i) Matematiikka materiaalitieteissä.

Esimerkiksi polymeerit ovat materiaalia, joka koostuu yksinkertaisista, keskenään samankaltaisista molekyyleistä, monomeereista. Yksittäinen polymeerimolekyyli voi muodostua sadoista tai miljoonista monomeereista ja sillä voi olla lineaarinen, haarautuva tai verkkorakenne. Polymeeriaine voi olla joko nestemäisessä tai kiinteässä muodossa ja sen ominaisuudet riippuvat sen valmistusolosuhteista (esim. nopea kuumennus, hidas jäähdytys, suuri paine). Polymeeriketjujen kietoutuminen toisiinsa tarjoaa vaikean matemaattisen ongelman.

Joillain aloilla matemaattiset mallit ovat jo melko luotettavia. Osa näistä malleista perustuu tilastotieteelle tai statistiselle mekaniikalle, toiset taas äärellis- tai ääretönulotteisen avaruuden diffuusioyhtälölle. Nämä mallit ovat hyvin monimutkaisia, niinpä on saatu vain hyvin harvoja tuloksia, jotka voivat olla hyödyllisiä polymeerien valmistukselle. Yksinkertaisemmat mutta fenomenologisemmat polymeerimallit perustuvat kontinuumimekaniikkaan, jossa lisänä on aineen "muistia" kuvaavia termejä. Ratkaisujen stabiilisuus ja singulaarisuus ovat materiaalitieteilijöille tärkeitä, kuitenkin näiden yksinkertaisempienkin mallien matematiikka hallitaan vajavaisesti.

Toinen esiinnouseva, matemaattista tutkimusta käyttävä ala on komposiittien tutkimus. Jos lisätään johonkin materiaaliin toisen materiaalin rakeita, saadaan yhdistelmämateriaali, jolla voi olla ominaisuuksia, jotka poikkeavat radikaalisti sen alkuperäisten osamateriaalien ominaisuuksista. Esimerkiksi autojen valmistajat tutkivat alumiinin ja pii-hiili -osasten yhdistelmää, joka tarjoaa kevyen vaihtoehdon teräkselle...

Viime vuosikymmeninä matemaatikot ovat tehneet merkittäviä keksintöjä komposiittien tutkimuksessa. He ovat kehittäneet uusia työkaluja funktionaalianalyysin, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja numeerisen analyysin alueilla. Näiden avulla he ovat voineet arvioida tai laskea vallitsevia komposiittien ominaisuuksia. Uusien komposiittien lista kasvaa kuitenkin koko ajan ja uusia aineita kehitetään (esimerkiksi "muodon muistava aine", joka taitettaessa ja väännettäessä eri tavoin palaa aina alkuperäiseen muotoonsa kuumennettaessa). Ottaen huomioon näiden uusien materiaalien aiheuttaman laajan ymmärryksen ja analyysin tarpeen voidaan tähänastisia matemaattisia saavutuksia pitää vain hyvin vaatimattomana alkuna.

Matemaattisia haasteita on runsaasti myös vuosia tutkittujen tavanomaisten aineiden suhteen. Kun esimerkiksi homogeeninen elastinen kappale asetetaan korkeaan paineeseen, se halkeilee. Tutkimusongelmana on yhä edelleen, missä ja miten halkeamat alkavat, kehittyvät ja miten ne haarautuvat.

(ii) Matematiikka biologiassa.

Muilla biologian aloilla, kuten fysiologiassa, on kehittymässä vähemmän julkisuutta saaneita, mutta pitkän aikavälin haasteita. Otetaan esimerkiksi munuainen, jonka tehtävä on säädellä veren koostumusta säilyttäen toivotulla tasolla kriittisten aineiden, kuten suolan pitoisuus. Jos henkilö syö liikaa suolaa, on munuaisen eritettävä virtsaa, jonka suolapitoisuus on suurempi kuin veren. Miljoonat pienet putket, munuaiskeräset, keräävät suolaa verestä munuaiseen. Sekä osmoottinen paine että suodattaminen vaikuttavat tässä prosessissa, mutta vaikka biologit ovatkin pystyneet identifioimaan tähän liittyvät kudokset ja yhdisteet, prosessin tarkkoja lakeja ei tunneta. Munuaisprosessin ensimmäinen matemaattinen malli, vaikkakin yksinkertainen, valaisee jo vähän virtsan muodostusta ja munuaisen eräänlaista päätöksentekoa - esimerkiksi erittääkö paljon laimeaa virtsaa vai vähän konsetroitua. Olemme kuitenkin vasta tämän mekanismin ymmärtämisen alkuvaiheessa. Monimutkaisempi malli sisältänee osittaisdifferentialaliyhtälöitä, stokastisia yhtälöitä, hydrodynamiikkaa, kimmoteoriaa, suodatus- ja kontrolliteoriaa ja ehkä muitakin työkaluja, joita meillä ei vielä ole....

Biologiset prosessit ovat luonnostaan hyvin monimutkaisia ja niihin liittyvät matemaattiset haasteet tulevat antamaan työtä tutkijoille vuosikymmeniksi, ehkä sadoiksi vuosiksi.

(iii) Matematiikka multimediassa.

Multimedian matematiikka käsittää laajoja tutkimusaloja, sisältäen tietokonenäön, kuvan käsittelyn, puheen tunnistuksen ja kielen ymmärtämisen, tietokoneavusteisen suunnittelun ja uudet verkostoitumismahdollisuudet. Näillä tulee olemaan laajat sovellusmahdollisuudet tavaroiden valmistuksessa, liike- ja pankkimaailmassa, lääketieteellisessä diagnostiikassa, tietoliikenneteollisuudessa, visualisoinnissa, viihdeteollisuudessa, mainitakseni joitain. Multimedian matemaattisiin työkaluihin saattaa hyvinkin sisältyä stokastiset prosessit, Markovin kentät, tilastolliset mallit, päätöksentekoteoria, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, numeerinen analyysi, graafiteoria, graafiset algoritmit, kuva-analyysi, väreet ja monet muut. Muutamat näistä näyttävät ehkä nyt vähän esoteerisilta, kuten keinotekoinen elämä ja virtuaalitodellisuus. Monet haasteet kohtaavat meidät yhä lisääntyvänä vaatimuksena tiivistää, varastoida ja sitten purkaa informaatiota, erityisesti, koska visuaalinen informaatio vaatii valtavia määriä dataa.

Tietokoneavusteinen suunnittelu on tulossa monilla teollisuudenaloilla voimakkaaksi työkaluksi: Tuotteet, jotka ovat täysin tietokoneella suunniteltuja, ilmaantuvat näppäimen näpäytyksellä vähän matkan päähän tehtaan lattialle. Voisiko tästä teknologiasta tulla työkalu tutkijamatemaatikolle?

Internetistä on tullut multimediateknologian voimakkain kone. Sen tuleva käyttö riippuu monien uusien matematiikan ideoiden ja algoritmien kehittymisestä - nyt ne ovat lapsenkengissään. Kun multimediateknologiat laajenevat, kasvaa tarve kehittää tiedonsiirtoprotokollia datan suojausta varten. Matemaatikkojen on kehitettävä yhä varmempia kryptografisia menetelmiä. Tällöin he varmasti hyödyntävät uutta kehitystä lukuteorian, diskreetin matematiikan, algebrallisen geometrian, dynaamisten systeemien ja muilta matematiikan aloilta.

Matematiikka tulee näyttelemään yhä laajenevaa osaa fysikaalisessa, bio- ja teknologiatieteissä. Tämä takia sen ydin tulee rikastumaan ja uusia aloja syntyy...

Viime vuosisatoina olemme saaneet valtavasti tietoa, mutta kuten Arkhimedes ja Newton, olemme yhä alati laajenevien matemaattisten näköalojen kynnyksellä.

Edellinen artikkeli - Seuraava artikkeli - Kansi ja sisällysluettelo