Hyvän todistuksen tuntomerkki on, että se tekee meidät viisaammiksi. Professori Yuri I. Manin Max-Planck Institute for Mathematics, Bonn, Saksa

Kysymys: Jotkut - joukossa on myös matemaatikkoja - väittävät, että todistuksen aika on ohi, osittain perustellen väitettään sillä, että tietokoneita on käytettävissä kaikkialla. Mitä mieltä olette tästä?

Manin: Jos puhutte matematiikasta ilman todistuksia, puhutte mahdottomasta asiasta. Todistaminen ei voi kuolla - se voi kuolla vain yhdessä matematiikan kanssa. Matematiikka voi tosin kuolla ihmiskunnan kulttuurin hyväksyttynä osana. Luullakseni näinä aikoina matemaatikot jatkavat työtään sellaisena, kuin sen tunnemme entuudestaan. Todistukset ovat ainoa tiedossamme oleva tapa tietää ajatustemme oikeus; vain näin voidaan asian ymmärrystämme kuvata. Todistus ei ole vain väitteitä, joilla vakuutetaan kuviteltu vastustapuoli - ei lainkaan. Todistus on meidän tapamme viestiä matemaattista totuutta. Kaikki muu - intuition hypyt, äkillisen keksinnön riemu, perustelemattomat, mutta vakaat uskomukset - jäävät vain yksityisasiaksemme. Tehdessämme tietokoneella laskuja toteamme vain, että tarkistamissamme tapauksissa asiat ovat niinkuin olemme uskoneet niiden olevan.

Tietokoneavusteisista todistuksista. Hiljattain oli sanomalehdessä uutinen, että tietokone on todistanut Herbert Robbinsin konjektuurin käymällä läpi kaikki mahdolliset tapaukset.

Manin: Tämä on tietenkin mahdollista. Miksi ei olisi? Jos on keksinyt hyvän todistusstrategian, johon kuitenkin kuuluu laaja haku tai pitkiä laskuja ja myöhemmin on kirjoittanut ohjelman, joka tekee tarvittavan haun, se on täysin hyväksyttävää.

Tietokoneavusteiset todistukset, samoin kuin todistukset, joissa ei käytetä konetta, voivat kuitenkin olla hyviä tai huonoja. Hyvä todistus on sellainen, joka tekee meidät viisaammiksi. Jos todistuksen ydin on valtavan työläs haku tai pitkä ketju identiteettejä, todistus on todennäköisesti huono. Jos jokin matemaattinen tulos on muista yhteyksistä niin erillään, että se saadaan ilmestymään kuvaruudulle vain näppäintä painamalla, niin tätä ei todennäköisesti kannata tehdä. Viisaus elää yhteyksien ymmärtämisessä.

Sovelletusta matematiikasta ja matematiikan rahoituksesta

Manin: Matematiikan sovellutuksiin anotaan paljon enemmän rahoitusta kuin puhtaaseen matematiikkaan. En kuitenkaan usko, että tässä olisi kysymys rajallisten varojen uudelleen jakamisesta. Matemaatikot eivät tarvitse eivätkä käytä paljoa rahaa. Ongelmana on suuren yleisön huomio ja arvot. Näen yhteiskunnassamme kasvavan vieraantumisen perinteisistä Valistuksen ajan arvoista, eikä yhteisö yksinkertaisesti halua käyttää varoja matematiikkaan, mahdollisesti tämä pätee yliopistoihin yleisemminkin.

Matematiikka - jos siitä nyt tulee uhri - on tämän yleisen prosessin uhri, ei siis sen, että varat menisivät sovellutuksiin. Uskon kuitenkin varmasti, että määrälliset resurssit suuntautuvat jatkuvasti sovellutuksiin ja tämäntapaisen työn houkuttelevuus lisääntyy nuorten ihmisten keskuudessa.

Sovellettu matematiikka on yhteydessä tietokonesimuloinnin kanssa - tietokoneiden yleensäkin, tietokantojen, ohjelmistojen ja muiden sellaisten asioiden. Uzbekistanissa pidettiin kerran kokous Al´khorezmin kunniaksi. Käänsin siellä Donald Knuthin esitelmän venäjäksi. Knuth aloitti hassunkurisella väitteellä. Hänen mielestään tietokoneiden tärkein merkitys matemaatikoille on, että lopultakin ne ihmiset tulivat matematiikan piiriin, jotka olivat kiinnostuneita matematiikasta, mutta joilla on algoritmityyppinen ajattelutapa. Nyt he saattoivat tehdä sitä, mitä halusivat. Aikaisemmin tätä alakulttuuria ei ollut olemassa. Knuth kuvasi itseään tyyppinä, jonka mieli on erityisesti tehty ohjelmistojen kirjoittamista varten. Hän kertoi, kuinka onnellinen hän oli siitä, että hän saattoi lopultakin tehdä sitä, mitä halusi. Otan tämän väitteen vakavasti ja uskon, että tulevaisuuden mahdollisten matemaatikkojen joukossa on osajoukko, joiden aivot sopivat paremmin tietokoneohjelmien kirjoittamiseen kuin teoreemojen todistamiseen. Viime vuosisadalla he olisivat luultavasti todistaneet teoreemoja, mutta nyt eivät.

Luulenpa, että esimerkiksi Euler olisi nykyaikana käyttänyt paljon enemmän aikaansa kirjoittaen ohjelmia, koska hän käytti niin paljon aikaansa esimerkiksi yrittäen laskea taulukkoja kuun asemille. Uskon myös, että Gauss olisi käyttänyt paljon enemmän aikaa istuen kuvaruudun edessä.

Kysymys: Palatkaamme sovellettuun matematiikkaan. Eikö olekin totta, että matematiikan saavutuksista keräävät suurimman ansion tietojenkäsittelijät? Hyvä esimerkki on tietokonetomografia. Kukaan, jonka kanssa olen puhunut, ei ole koskaan kuullut Radon-muunnoksesta, joka on tietokonetomografian ydin. Jopa koulutetut henkilöt luulevat, että tomografia on syntynyt täysin tietojenkäsittelijöiden työn tuloksena.

Manin: Ongelma on siinä, että on vaikeaa yrittää perustella kiinnostuksensa kohteita sillä, että ne ovat hyödyllisiä. Hyödyllinen on insinööritieteen sana. Mitä sitten ymmärrätkin kvanttimekaniikasta (tai piisiruista tms), on se vain paperinpalalle kirjoitettujen kaavojen ymmärtämistä. Ei siinä ole hyötynäkökohtaa - se tulee mukaan vasta, kun sitä käytetään jossain yhteydessä.

Kysymys: Tulisiko matemaatikkojen ryhtyä hyökkäykseen? Tulisiko heidän astua ulos ja sanoa "täällä me olemme"? Olemmeko liian vastahakoisia mainostamaan saavutuksiamme?

Manin: Olen vahvasti sitä mieltä, ettei näin tule menetellä. Olen melko vetäytyvä ihminen, enkä mitenkään halua painostaa kantaani yhteisölle. Uskon, että hyvä työ tulee esille kuitenkin aikanaan, vaikkakin on olemassa yleinen kulttuurin myymisen ongelma - olettaen, että tuotamme jotain, jolla on kulttuurillista arvoa. Yleisön asia on päättää, haluaako se maksaa siitä tai olla maksamatta. Tietenkin meistä joidenkin varmaankin täytyy yrittää todistaa, että he ovat tärkeitä, mutta minusta se on vaikeaa. Ellet voi väittää olevasi hyödyllinen, niin mitä voit väittää? Miten olisi Rembrandt voinut kertoa ansioistaan ottaen huomioon, että hän kuoli täydellisessä kurjuudessa köyhänä? Miten? En tiedä, mitä matematiikka oikeastaan perimmiltään on. Kulttuuri on tällaista, emme myöskään tiedä, mitä Rembrandtin maalaukset lopulta ovat - miksi hän maalasi muotokuvia - kuten esimerkiksi vanhan miehen muotokuvan. Miksi tämä on tärkeää? Emme tiedä. Tämä on kulttuurin ongelma: Et voi kertoa,"miksi".

Kysymys: On paljon koulutettuja ihmisiä, jotka haluaisivat tietää, mitä matematiikka oikein on. He sanovat, että kysyessään tätä matemaatikoilta nämä vastaavat yleensä: tämä on liian monimutkaista, en voi selittää sitä. Pitäsikö tätä asennetta muuttaa? Pitäisikö meidän lähteä selittämään matematiikkaa ainakin niille, jotka haluavat tietää?

Manin: Neljäntoista vuoden ikään asti elin Krimin niemimaalla - se on provinssia - enkä tiennyt, että on olemassa yliopistoja. Olin oppinut vähän matematiikkaa, differentiaali- ja integraalilaskennan perustiedot, koska minulla oli hyvä opettaja. Minulla ei kuitenkaan ollut mitään käsitystä siitä, mitä tällaisella harrastuksella voi tehdä, millaiseen ammattiin siitä voi päätyä. Kirjastossa ja kirjakaupoissa oli kuitenkin useita kirjoja, jotka auttoivat minua ymmärtämään, mitä matematiikka on. Löysin Courant-Robbinsin ja Pólya-Szegön. En todellakaan ajatellut, etten olisi voinut oppia, mitä matematiikka on, en siis ymmärrä yhtään, mistä nämä ihmiset puhuvat. Menkää vain kirjastoon - siellä on paljon kirjoja, jotka selittävät, mitä matematiikka on. Jos olet liian laiska avaamaan paksun kirjan, avaa jokin lehti kuten Mathematical Intelligencer tai American Mathematical Monthly, ja ala lukea.

Kysymys: Mikä mielestänne on matematiikan kulttuurirooli?

Manin: Mielestäni kaiken inhimillisen kulttuurin perusta on kieli ja matematiikka on erityinen kielellinen aktiviteetti. Tavallinen kieli on erittäin joustava työkalu sen olennaisen viestimiseksi, mitä tarvitaan eloonjäämiseksi, tai tunteiden esiintuomiseksi tai tahtonsa toimeenpanemiseksi tai runouden ja uskonnon luomiseksi, tai viettelemiseksi ja vakuuttelemiseksi.

Luonnollinen kieli ei kuitenkaan sovi kovin hyvin luonnon ymmärtämistä varten tarvittavien tietojen hankkimiseen, organisoimiseen ja säilyttämiseen. Nämä tiedot ovat modernin sivilisaation tärkein tunnusmerkki. Voidaan väittää Aristoteleen olleen viimeinen suuri tiedemies, joka venytti luonnollisen kielen kyvyn äärimmilleen. Galileon, Keplerin ja Newtonin tullessa luonnollinen kieli asetettiin korkean tason välittäjän osaan, jossa se on pystynyt luomaan yhteyden aivojemme ja astronomisiin taulukkoihin, kemian kaavoihin, kvanttikenttäteorian yhtälöihin, ihmisen perimän tietokantoihin kirjatun varsinaisen tieteellisen tiedon välille. Jos käytämme luonnollista kieltä luonnontieteiden opiskeluun ja opetukseen, tuomme siihen arvomme ja ennakkoluulomme, runollista mielikuvitusta, vallanhimoa ja petkutusta, mutta emme mitään olennaista tieteellisen keskustelun kannalta.

Kaikki olennainen on joko pitkissä listoissa enemmän tai vähemmän järjestäytynyttä dataa, tai matematiikassa. Matematiikka taas, jota alunperin käytetään, jotta voidaan kuvata paremmin tiedon rakennetta, tiivistää tietoa vähitellen niin, että alamme puhua "luonnon laeista", generoiden ja selittäen ilmiöiden ääretöntä valikoimaa. Lisäksi, sisäisen kehityksensä prosessissa ja sisäisen logiikkansa ajamana, matematiikka luo hyvin monimutkaisia ja sisäisesti kauniita virtuaalimaailmoja, jotka uhmaavat kaikkia yrityksiä kuvata niitä luonnollisen kielen avulla. Ne sen sijaan haastavat monien peräkkäisten sukupolvien muutamien spesialistien mielikuvituksen. Tästä syystä uskon, että matematiikka on yksi kulttuurin merkittävimmistä saavutuksista. Koko elämäni kestänyt matematiikan tutkijan ja opettajan toimintani yhä saa minut jokaisen työpäivän lopussa ihailun ja kunnioituksen valtaan. En kuitenkaan usko, että pystyisin puolustamaan tätä vakaumusta nyky-yleisölle julkisessa väittelyssä, joka koskisi tieteen arvoja ja inhimillisiä arvoja.

Kysymys: Miksi olette niin pessimistinen?

Manin: Aloitan pessimismini selittämisen muistuttamalla, että nykykäytännössä "kulttuuri"-sanasta on tullut täydellisen itsemääritelty. Pidetään nimittäin itsestään selvänä, että mikä tahansa kulttuurin määrittely tapahtuu olemassaolevalta kulttuuripohjalta, vaikkakaan tätä ei tehdä selväksi. Tästä seuraa, ettei mikään objektiivinen kulttuurin selitys tai arviointi ole mahdollista. Lisäksi jokainen arvovaltaiseksi tuleva väite kulttuurista muuttaa kulttuurin julkista käsitettä ja siten kulttuuria itseään. Jokainen julkinen kulttuuria koskeva keskustelu tulee jotenkin osaksi kulttuuria. Kaikkein tärkeintä on, että nykyinen kulttuurikeskustelu on suuresti poliittisen keskustelun vaikutusvallan alla.

Emme olleet niin hyvin selvillä tästä, kun C.P. Snow aloitti keskustelun "kahdesta kulttuurista". Alunperin Snow oli huolestunut siitä, että hänen ympäristössään ei pidetty luonnontieteellistä kulttuuria sivistyneen ihmisen kasvatuksen olennaisena osana, päinvastoin kuin antiikin Kreikassa tai kuten Shakespeare teki. Lisäksi saatettiin tuoda julki jopa kerskuen tietämättömyys fysiikan peruslaeista ilman, että henkilön maine sivistyneenä ihmisenä kärsi. Snow oli sitä mieltä, että tämä johtui yhteisön virheellisestä käsityksestä siitä, mitä kulttuuri oikein on ja toivoi, että julkinen väittely asiasta ja koulutuksen uudistaminen auttaisi tasapainon saamisessa.

Kysymys: Vieläkö kahden kulttuurin väite on ajankohtainen?

Manin: Snow´n huomioiden merkittävyys meidän kannaltamme riippuu kyvystämme identifioida itsemme hänen ihannoimansa Kulttuurin suhteen, isolla K:lla, mukaan lukien Homeros ja Bach, Galilei ja Shakespeare, Tolstoi ja Einstein. Pelkään, että tämä kyky on suurelta osin menetetty. Itse asiassa populaari idea monikulttuurisuudesta luo käsityksen monista yhtä arvokkaista kulttuureista, joista jokainen kuuluu vähemmistölle ja joka itse asiassa yhtyy tuon vähemmistön määritelmään. Suuri eurooppalainen kulttuuri rinnastetaan muihin paikallisiin kulttuureihin ja sitä väheksytään halveksivin nimityksin kuten kulttuuri-imperialismi ja Eurokeskisyys. Ympäristönsuojelijat syyttävät luonnontieteitä ja teknologiaa niiden avulla tekemästämme tuhosta, näin edelleen vähentäen niiden kulttuurista vetovoimaa.

Ironista kyllä, samat argumentit, joita tutkijat käyttivät perustellakseen toimintaansa kääntyvät nyt heitä vastaan. Dekonstruktionistiset ja postmodernit suuntaukset ja päättelytyyli asettavat epäilykselle alttiiksi peruskriteerit, joilla tieteellinen totuus tunnistettiin alkaen aina Galileista ja Baconista, ja yrittävät korvata ne villin mielivaltaisilla älyllisillä konstruktioilla. Tällä tavoin monet vaikutusvaltaisista ajattelijoista eivät vain ole välittämättä vaan jopa agressiivisesti hylkäävät nykykulttuurin luonnontieteellisen osan.

Saatan (kuten teen) olla sitä mieltä, että tilanne on valitettava, mutta en voi realistisesti lähteä siitä, että lähitulevaisuudessa tulisi parannus. Itse asiassa kaikki vaikuttavat tekijät ovat ilmaantuneet varsin äskettäin, eikä niiden voi olettaa menettävän voimaansa kovinkaan pian. Paradoksaalisesti, nykyinen läntisen kulttuurin itseään väheksyvä asenne on looginen seuraus sen liberaaleista arvoista, joiden kehittämiseen Valistus ja luonnontiede niin ratkaisevalla tavalla osallistuivat. Näissä olosuhteissa on vain luonnollista, että mikä tahansa keskustelu matematiikan kulttuuriarvosta on merkityksetöntä kaikille, paitsi matemaatikkojen muodostamalle pienelle vähemmistölle.

Edellinen artikkeli - Kansi ja sisällysluettelo