Teoreemoja vai malleja? Professori David Mumford (USA) Kansainvälisen Matemaattisen Unionin (IMU) presidentti

Mitä pidämme tärkeimpänä päämääränämme, kun "teemme" matematiikkaa? Ainakin puhtaiden matemaatikkojen on tapana sanoa, että yritämme todistaa teoreemoja. Teoreemat ovat alan ainoa käypä valuutta, niillä saadaan väitöskirjoja, kutsuja pitämään esitelmiä ja erityisesti työpaikka. Matematiikassa on suuren teoreeman pitkä mystinen perinne. Erdös puhui Jumalan kirjasta, jossa oli jokaiselle teoreemalle kauneimmat ja oivaltavimmat todistukset. Ällistyttävän pitkä todistus, kuten äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu, herättää melkeinpä kunnioituksen sekaista kauhua. On myös romanttinen idea pitkään kestäneestä yrityksestä löytää todistus tietylle väitteelle. Fermat´n viimeinen teoreema on malliesimerkki tästä. Wilesin hienot tulokset ovat tehneet suuria palveluksia sekä lukuteorialle että alamme suhdetoiminnalle - romanttisella kertomuksella hänen pitkästä kamppailustaan tämän todistuksen kimpussa ullakkohuoneessaan.

Kaikki meistä voivat yhtyä tähän: Yksi alamme tunnusmerkeistä on yksinäinen kamppailu yrittäen selvittää ideoiden ja päättelyketjujen viidakkoa ja saada ne jotenkin järjestettyä kokonaisuudeksi.

Vastakohta edelliselle on kuitenkin mallin idea. Mallit ovat selvimmin näkyvissä sovelletussa matematiikassa; ne ilmaisevat olennaista vaihetta, jossa kokeen kaaos saadaan muutetuksi hyvin määritellyksi matemaattiseksi ongelmaksi. Puhdas matematiikka on kuitenkin myös täynnä malleja: Olettakaamme, että jokin ala on löytänyt monimutkaisen joukon esimerkkejä eikä pääse etenemään yrittäessään suoraa hyökkäystä niihin. Usein paras lähestymistapa on eristää osa rakennetta, itse asiassa määritellä malli, jonka kimppuun voidaan helpommin käydä. Näin algebrallinen topologia lähti käyntiin 1950-luvulla: Avaruuksien homotopiatyyppien kategoria määriteltiin ja ala räjähti kasvuun heti, kun tämä topologisten avaruuksien "malli" oli saatu kehitettyä. Tällainen malli perustuu siihen, että heitetään menemään osa rakennetta, jotta voidaan keskittyä erityisiin aspekteihin, jotka jo sellaisenaan toimivat omana epätriviaalina rakenteenaan.

Toisentyyppinen malli saaadaan, kun alueella, joka näyttää mahdottomalta lähestyä, eristetään yksi tai useampia erikoistapauksia, jotka sisältävät jonkin tämän alueen syvällisen ominaisuuden olennaisen osan. Esimerkiksi käy Isingin malli. Statistinen mekaniikka oli jäänyt jumiin. Tiedettiin, että faasimuutoksia oli olemassa, mutta ei pystytty luomaan niille mitään matemaattista teoriaa. Isingin malli oli ensimmäinen esimerkki, mutta myöhemmin siitä on tullut keskeinen todennäköisyysteorian monissa ongelmissa. Korteweg-de Vries -yhtälö on toinen esimerkki. Tästä yhtälöstä singonneet ideat ovat tunkeutuneet algebraliseen geometriaan, Lien teoriaan jne.

Mallin teko tarkoittaa prosessia, jossa eristetään joitakin ongelman erityispiirteitä, joita pystytään analysoimaan. Tämä prosessi on puhtaan matematiikan tutkimuksessa aivan yhtä tärkeä kuin sovelletun. Aikoinaan oli Hilbertin ja Bourbakin ideasta kehittynyt paradigma; että alalla oli yksi tosi aksiomatisointi. Tällöin väitettiin, että matematiikka tarkoitti mahdollisten struktuurien puun läpikäymistä, eri oksilla oletettaisiin erilaisia vaihtoehtoja. Tällä puulla on omina oksinaan eri epäeuklidiset geometriat, erilaiset epäkommutatiiviset tai epäassosiatiiviset algebrat. Tämä täysin ylhäältä lähtevä näkemys pitää enemmän tai vähemmän mahdottomana mallien teon. Päinvastoin, käytännössä mallien teko alkaa alhaalta, maailmassa on kuohuva ilmiöparvi, joka tarvitsee selvitystä ja analysointia. Tästä parvesta yritetään siepata joitakin erityisiä ominaisuuksia, jotka sallivat täsmällisen analyysin. Tämä voidaan tehdä vain yksinkertaistamalla radikaalisti tilannetta samalla säilyttäen olennaisen osan sen täydestä kompleksisuudesta.

Tietenkin, jotta malli olisi hyvä, on näytettävä, että se johtaa johonkin: Tämä voidan tehdä matemaattisella "kokeilla", laskemalla tai mallin analysoinnilla. Väitöskirjoja, kutsuesitelmiä ja työpaikkoja pitäisi antaa vaikeiden teoreemien todistamisen ohella myös hyvien mallien löytämisestä.

Rahoittavien tahojen suorittamasta tutkimuksen ohjailusta:

...Kantani on, ettei mitään merkittävää edistysta ole koskaan saatu komiteoiden suositusten tuloksena. USA:ssa on surullinen laki "Government Performance and Results Act", joka ohjaa kaikki rahoittavat tahot vaatimaan kaikesta tutkimusrahoituksesta jatkuvaa arviointia. Mitä olisi Wiles kertonut heille, kun oli kuluttanut viisi vuotta työhuoneessaan, eikä hänellä ollut näyttää yhtään julkaisua!

On vaikeaa vastustaa rahoittavaa tahoa ja pyytää "metsästyslupaa" ilman seurantaa. Kuitenkin meidän on mielestäni yritettävä kertoa näille tahoille selkeästi, ettei matematiikan tuloksia voi ennustaa ja että uudet ideat kukoistavat juuri älyllisen vapauden kasvualustalla...

Tämä ei ehkä sovi puritaaniseen etiikkaan, mutta leikki ja viehtymys kauneuteen on olennainen osa pyrkimystämme syvempään ymmärrykseen.

Seuraava artikkeli - Kansi ja sisällysluettelo