Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2025

Daniel Slivinskiy

Vieraana kengurujen kotimaassa

Australia, Brisbane, Lone Pine Koala Sanctuary. Kengurut loikkivat aitauksessaan vierailijoiden keskuudessa. Ihmislauman sekaan on päätynyt kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissa Suomea edustava joukkue. Lukiolaiskisaajat pääsevät ruokkimaan pitkäkuonoisia kenguruja, silittämään niitä, ja vaikka kuvaamaan eksoottisen eläimen kanssa selfien. Samalla jotkut uppoavat ajatuksiinsa ja kävelevät hiljaa pohtien topologian harjoitustehtävää. Eräs opiskelija on nimittäin tuonut mukanaan Jussi Väisälän oppikirjan Topologia II, jota kisaajat ovat käyneet läpi kisamatkan aikana.

Kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissa Suomea edustivat vuonna 2025 Zhongyi Li, David Liu, Veikko Heikkinen, Ohto Katila, Lénárd Virág ja Albert Henriksson. Ensikertalaiskisaaja Ohto Katila palasi Australian seikkailusta pronssimitalistina. Zhongyi, Veikko ja Lénárd ansaitsivat kunniamaininnat ratkomalla täysin pistein vähintään yhden tehtävän. Kisaajien yhteinen panostus asettaa Suomen 61. sijalle tämän vuoden 110 osallistujamaasta.

Olympialaiset järjestettiin Novotel Sunshine Coast Resort -hotellilla, johon varajohtaja Veera Nurmela ja kisaajat majoitettiinkin tapahtuman ajaksi. Laguunin rannalle rakennettu lomakohde asettautuu luonnonsuojelualueen ja Korallimeren välille. Aamiaiselle kävellessä saattoi siis törmätä kenguruun, kun taas lounaalla pääsi ihailemaan ikkunasta rantamaisemaa. Illalliseen mennessä tuli kuitenkin jo pimeä — eteläisellä pallonpuoliskolla on nimittäin heinäkuussa talvi. Pitkiä, kylmiä öitä lukuunottamatta talvisää Sunshine Coastissa muistuttaa suomalaista alkukesää.

Kansainvälinen kisakokemus

Joukkueen suhteellistettu sijoitus oli paras seitsemään vuoteen. Kisaajat harjoittelivatkin olympialaisiin ahkerasti, ja useampi oli osallistunut jo edellisiin kisoihin. Joukkeen treenaus huipentui Pohjoismaiden yhteiseen valmennusleiriin, jossa suomalaisista oli opettamassa Lauri Hallila. Vuosittain Tanskan Sorøssä järjestetyn leirin ohjelmaan kuuluu luentoja, harjoituskokeita ja jopa suunnistusta. Leirillä järjestetään Suomen, Ruotsin, Tanskan, Norjan ja Islannin välinen matematiikkakilpailu, Viikinkitaistelu, jonka toisessa osiossa kisaajat pääsevät miettimään tehtäviä yhdessä. Tänä vuonna Viikinkitaistelun voitti Suomen joukkue.

Kilpailuhenkisyydestä huolimatta joukkueen jäsenet viihtyivät hyvin muiden maiden edustajien keskuudessa. Kisaajat viettivät vapaa-aikaansa lautapelien ja pöytätenniksen parissa, erityisesti muiden Pohjoismaiden ja Viron kisaajien kanssa. Muuten matematiikan parissa ahkeroinnista pääsi rentoutumaan mm. kahden eläintarhavierailun aikana, joista jälkimmäisen järjesti sijoitusfirma Jane Street kisoja seuraavan tapahtuman yhteydessä.

Tehtävät

Tehtävä 1. Tasossa oleva suora on aurinkoinen, jos se ei ole yhdensuuntainen \(x\)-akselin, \(y\)-akselin tai suoran \(x + y = 0\) kanssa.

Olkoon \(n \geqslant 3\) kokonaisluku. Määritä kaikki epänegatiiviset kokonaisluvut \(k\) siten, että tasosta löytyy \(n\) eri suoraa, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(a\) ja \(b\), joilla \(a + b \leqslant n + 1\), piste \((a, b)\) sijaitsee vähintään yhdellä suorista
suorista täsmälleen \(k\) ovat aurinkoisia.

Tehtävä 2. Olkoon \(\Omega\) ympyrä, jonka keskipiste on \(M\), ja olkoon \(\Gamma\) ympyrä, jonka keskipiste on \(N\). Oletetaan lisäksi, että ympyrän \(\Omega\) säde on pienempi kuin ympyrän \(\Gamma\) säde. Ympyrät \(\Omega\) ja \(\Gamma\) leikkaavat pisteissä \(A\) ja \(B\), missä \(A \neq B\). Suora \(MN\) leikkaa ympyrän \(\Omega\) pisteessä \(C\), ja ympyrän \(\Gamma\) pisteessä \(D\) siten, että pisteet \(C, M, N\) ja \(D\) ovat suoralla \(MN\), tässä järjestyksessä. Olkoon \(P\) kolmion \(ACD\) ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Suora \(AP\) leikkaa ympyrän \(\Omega\) jälleen pisteessä \(E\neq A\). Suora \(AP\) leikkaa ympyrän \(\Gamma\) jälleen pisteessä \(F\neq A\). Olkoon \(H\) kolmion \(PMN\) ortokeskus.

Osoita, että pisteen \(H\) kautta kulkeva, suoran \(AP\) kanssa yhdensuuntainen suora sivuaa kolmion \(BEF\) ympäri piirrettyä ympyrää.

(Kolmion ortokeskus on tämän korkeusjanojen leikkauspiste.)

Tehtävä 3. Olkoon \(\mathbb{N}\) positiivisten kokonaislukujen joukko. Funktio \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) on nasta, jos \[f(a) \text{ jakaa luvun } b^n - f(b)^{f(a)}\] kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(a\) ja \(b\).

Määritä pienin reaaliluku \(c\) siten, että \(f(n) \leqslant cn\) kaikilla nastoilla funktioilla \(f\) ja kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(n\).

Tehtävä 4. Positiivisen kokonaisluvun \(N\) aito jakaja on luvun \(N\) positiivinen jakaja, joka ei ole \(N\) itse.

Äärettömän positiivisten kokonaislukujen jonon \(a_1,a_2,\dots\) jokaisella jäsenellä on vähintään kolme aitoa jakajaa. Kaikilla \(n\geqslant 1\) luku \(a_{n+1}\) on luvun \(a_n\) kolmen suurimman aidon jakajan summa.

Määritä mahdolliset lukujonon jäsenen \(a_1\) arvot.

Tehtävä 5. Alisa ja Bazza pelaavat koalarajapeliä. Kaksinpelin säännöt riippuvat kummankin pelaajan tiedossa olevasta positiivisesta reaaliluvusta \(\lambda\). Pelin vuorolla \(n\) (peli alkaa vuorosta \(n = 1\)) toimitaan seuraavasti:

Jos \(n\) on pariton, Alisa valitsee epänegatiivisen reaaliluvun \(x_n\) siten, että

\[x_1+x_2+\cdots + x_n \leqslant \lambda n.\]
Jos \(n\) on parillinen, Bazza valitsee epänegatiivisen reaaliluvun \(n\) siten, että

\[x_1^2+x_2^2+\cdots + x_n^2 \leqslant n.\]

Jos jompikumpi pelaajista ei voi valita sopivaa lukua \(x_n\), peli loppuu muun pelaajan voittoon. Jos peli jatkuu loputtomasti, kumpikaan pelaajista ei voita. Kaikki valitut luvut ovat kummankin pelaajan tiedossa.

Määritä ne luvun \(\lambda\) arvot, joilla Alisalla on voittostrategia, ja ne luvun \(\lambda\) arvot, joilla Bazzalla on voittostrategia.

Tehtävä 6. Tarkastellaan \(2025 \times 2025\)-ruudukkoa. Matilda asettaa ruudukolle vaihtelevankokoisia suorakulmion muotoisia laattoja siten, että jokaisen laatan reunat asettuvat ruudukon viivoille ja että jokaisen ruudun peittää enintään yksi laatta.

Määritä pienin laattojen lukumäärä, jolla Matilda voi asettaa laatat siten, että ruudukon jokaisella rivillä ja jokaisella sarakkeella on täsmälleen yksi ruutu, jota ei peitä mikään laatta.