pdf  Solmu 2/2024

Kulman kolmiajako harppiviivoitinmenetelmällä

Reijo Hautakangas

Johdanto

On todistettu, että ei voi löytyä tapaa mielivaltaisen annetun kulman kolmasosan piirtämiseen tarkasti harppiviivoitinmenetelmällä. Tässä ratkaisussa on ollut tavoitteena löytää niin tarkka piirtämistapa tuolle menetelmälle, että vaihteleva piirtämisepätarkkuus jää suurimmaksi ratkaisun virhelähteeksi.

Tässä ratkaisussa syntyvä kuvio muistuttaa jossain määrin erästä Arkhimedeen oikeaksi todistettua kulmien kolmisuhdegeometriaa. Tässä on vain ‘arvattu’ tuolle viistolle kolmasosakulman kyljelle lähes oikea pituus, jolloin vältytään liu’utettavan merkityn viivoittimen käytöltä ja piirtäminen voidaan suorittaa hyväksyttävällä tavalla. Katso aiheesta lisää: https://fi.wikipedia.org/wiki/Kulman_kolmiajako

Piirtämisohje

  1. Piirrä ympyrä, jonka keskipisteenä on jaettavan kulman \(a\) kärkipiste \(O\). Piste \(A\) on ympyrän kehän ja kulman \(a\) ylemmän kyljen leikkauspiste.

  2. Piirrä jana kohtisuoraan kulman \(a\) alempaa kylkeä vasten pisteestä \(A\) pisteeseen \(D\).

  3. Jatka kulman \(a\) alempaa kylkeä oikealle säteen verran ohi ympyrän kehän pisteeseen \(C\).

  4. Piirrä janan \(DC\) pituinen jana alkaen pisteestä \(A\) päättyen kulman \(a\) alemman kyljen jatkeelle pisteeseen \(B\). Muodostunut uusi jana on \(AB\) ja syntynyt uusi kulma on \(ABD\) eli \(b\).

Tulos: Kulma \(b\) on kulman \(a\) kolmasosa varsin tarkasti. Virhe on \(< \frac{1}{3}^{\circ}\) ja \(a\):n ollessa \(90^{\circ}\) tulos on jopa täysin tarkka (katso taulukko).

Kulman \(b\) arvojen laskemiseksi taulukkoa varten muodostetaan trigonometrinen lauseke. Kuvassa on suorakulmainen kolmio \(AOD\), jonka hypotenuusa on ympyrän säde. Merkitään sille pituudeksi luku 1. Tällöin se on myös kuvan yksikkömittajana, josta seuraa janoille pituudet: \(AD = 1 \times \sin a\), \(DO = 1 \times \cos a\), \(DC\) ja \(AB = 1 \times \cos a + 2\). Edellisen perusteella saadaan \(\sin b\):lle lauseke: \[\sin b = \frac{\sin a}{\cos a + 2},\] josta saadaan \[b = \arcsin \left( \frac{\sin a}{\cos a + 2} \right),\] jonka tuloksena: \(b \approx a/3\), kun \(a = 0..90^{\circ}\).

Muuta

Ratkaisumenetelmän on tarkoitus tuottaa käytäntöön riittävä arvio, eli kun otetaan huomioon piirtämisen aiheuttama epätarkkuus, itse jakomenetelmän virhe peittyy sen alle. Harpilla ja viivaimella ei voi jakaa kulmaa kolmeen osaan, mutta on olemassa työkaluja kulmien kolmiajakoa varten. Lisäksi kolmiajako onnistuu erikoistapauksissa, kuten 90 asteen kulman tapauksessa. Varsinaisessa kolmiajaon ongelmassa on kysymys geometrisen tehtävän ratkaisemisesta oikealla menetelmällä eikä käytännön piirtämisestä, jossa vanha keksintö astelevy on ollut käytössä. Senkin ovat nykyään cad-ohjelmat syrjäyttäneet esim. tekniikan mekaniikkasuunnittelussa.