Näppärää numerologiaa

Petri Laarne
väitöskirjatutkija, Helsingin yliopisto
https://www.nollakohta.fi

Päässälasku on hauska harrastus. Monesta laskusta selviää nopeammin kuin kaveri ehtii avata kännykkänsä, kunhan osaa pyöritellä pieniä lukuja ja tuntee muutaman muistisäännön. Matemaattiselta kannalta jotkin säännöt menevät numerologian puolelle, eli kyse on enemmänkin satunnaisista yhteyksistä, mutta viihdyttäviä ne ovat yhtä kaikki.

Tästä listasta löytyy muutama laskutemppu, joilla voi ihastuttaa ystäviään ja hämmästyttää vihollisiaan – ja kaikki temput eivät olekaan sattumaa.

Lisää “matemaattisen ninjan” temppuja voit oppia esimerkiksi Colin Beveridgen blogista (englanniksi) [1].

Maileista kilometreihin

Fibonaccin lukujonolla \(1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(8\), \(13\), \(\dots\) on monta jännää ominaisuutta. Niistä yksi on, että peräkkäisten termien suhde lähestyy kultaista leikkausta, joka on likimain \(1{,}618\).

Vähemmän taianomainen juttu on, että yksi maili on noin \(1{,}609\) kilometriä. Tämä on kovin lähellä edellistä suhdelukua! Jos siis ihmettelet tienviittaa brittiläisen imperiumin jäänteillä, voit muuntaa yksiköiden välillä Fibonaccin jonoa käyttäen. 5 mailia on noin 8 kilsaa, ja 13 kilometriä vastaa noin 8 mailia.

(Toinen läheinen sattuma: \(\ln(5) \approx 1{,}609\). Logaritmien soveltaminen päässälaskuun on ihan oma tarinansa.)

Kymmenellä jaollisten mailien kohdalla \(1{,}6\) saattaa olla näppärämpi muuntosuhde – 20 mailia on 32 kilometriä. Kakkosen potenssit kunniaan!

Kakkosen neliöjuuri

Kakkosesta puheen ollen: tiesitkö, että \(\sqrt 2 \approx 1{,}414\)? Mutta vielä jännempää – tämän käänteisluku \(1/\sqrt 2\) on likimain \(0{,}707\). Desimaalit jaetaankin siis vain kahdella. Kun pohdit asiaa tarkemmin, huomaat ettei tämä ole ollenkaan sattumaa.

Paperimitta

Kakkosen neliöjuureen törmää usein vaikkapa geometriassa. Yksi näppärä trikki liittyy tavalliseen paperiarkkiin. A4-arkin koko on \(21 \times 29{,}7\) senttimetriä. Pitkä sivu on millimetrin tarkkuudella \(\sqrt 2\) kertaa niin pitkä kuin lyhyt.

Omituiset senttimitat selittyvät hienolla logiikalla. Kun A4-kokoisen paperin taittaa kahtia, saadaan A5-arkki. Tämän pitkä sivu on taas \(\sqrt 2\)-kertainen suhteessa lyhyeen sivuun. Toisin päin puolestaan kaksi vierekkäistä A4-arkkia muodostaa A3-arkin, jolla on sama suhdeluku.

Kaiken alku ja juuri on A0-arkki, jonka pinta-ala on\(\dots\) täsmälleen yksi neliömetri! Siispä A4:n pinta-ala on \((1/2)^4 = 1/16\) neliömetriä.

Paperin vahvuus ilmoitetaan yleensä grammoina per neliömetri. Esimerkiksi tavallinen tulostuspaperi on noin \(80\ \mathrm{g/m^2}\). Tästä voi näppärästi laskea, että yksi A4-arkki painaa 5 grammaa.

Korkojen 72-sääntö

Jos suosimasi paperi on ennemmin setelin muotoinen, kannattaa seuraava temppu panna korvan taakse.

Mikäli teet \(p\) prosenttia vuodessa kasvavan sijoituksen, menee sijoituksen tuplaantumiseen noin \(72/p\) vuotta. Esimerkiksi kuuden prosentin korolla alkupanos tuplaantuu suunnilleen \(12\) vuodessa.

Tämä sääntö on tunnettu jo vuoden 1500 tienoilla. \(72\) ei ole aina tarkin mahdollinen luku, mutta kahdella ja kolmella jaollisuus tekee siitä näppärän päässälaskuun. Viidellä jaollisiin prosentteihin \(70\) on toki helpompi suhdeluku.

Laskukaavan taustalla on totta kai oikeaa matikkaa. Tarpeeksi tiheästi maksettavaa korkoa voidaan arvioida eksponenttifunktiolla, ja yhtälöstä \((1+p/100)^n = 2\) voidaan ratkaista \[n = \frac{\log(2)}{\log(1 + p/100)} \approx \frac{72}{p}.\] Arvio on tarkin muutaman prosentin tienoilla, joten pikavippien vuosikorkoihin tätä ei kannata käyttää!

Riittävän tarkat \(\pi\) ja \(e\)

Lienee pakko mainita myös se vakio, jota on muodikasta opetella ulkoa. “How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics\(\dots\)” Lorun sisältöä en ala suomentamaan, mutta sanojen pituuksia laskemalla saa selvitettyä 14 desimaalin edestä piitä. Se riittää ihan kaikkeen.

Sanon siltikin: tylsää! Tällä likiarvolla ei laske ilman apuvälineitä juuri mitään. Sitä paitsi kansainvälisen matikkapäivän juhliminen \(\pi\)rakoita nauttien 14.3. on takaperoista ja kovin\(\dots\) amerikkalaista.

Paljon paremmat bileet ovat 22. heinäkuuta. Nimittäin \(22/7\) on erittäin hyvä likiarvo piille, ja murtolukuna se sopii päässälaskuun. Eikä tämän arvion desimaaleihin tarvita laskinta – jatka lukemista!

Sitä ennen kuitenkin pieni historiallinen tärppi. Luvun \(e\) desimaalien \(2{,}7\;1828\;1828\;4\ldots\) alussa toistuu neljän numeron pätkä. Luonnolliseen logaritmiin voi siis hyvin liittää jonkin menneen tapahtuman: vuonna 1828 yliopisto muutti Turusta Helsinkiin, Elias Lönnrot lähti ekalle runonkeruureissulleen, ja esimerkiksi Jules Verne syntyi. Kaksi faktaa yhdellä muistisäännöllä!

Seitsemäsosan desimaalit

Toistuvista desimaaleista ehkä kummallisin liittyy seitsemällä jakamiseen. Huomaatko kuvion? \[\begin{aligned} \frac 1 7 &= 0{,}142857 \; 142857\dots\\ \frac 2 7 &= 0{,}285714 \; 285714\dots\\ \frac 3 7 &= 0{,}428571 \; 428571\dots\\ \frac 4 7 &= 0{,}571428 \; 571428\dots\\ \frac 5 7 &= 0{,}714285 \; 714285\dots\\ \frac 6 7 &= 0{,}857142 \; 857142\dots \end{aligned}\] Jokaisessa desimaalikehitelmässä toistuu loputtomiin sarja \(142857\), vain eri kohdasta aloitettuna. Sarjankin voi pilkkoa vielä tuplautuviin osiin \(14\), \(28\) ja \(56 + 1\).

Tämä kaikki ei voi olla yhteensattumaa. Mistä on kyse?

No, \(1/7\) on jakolaskuna “\(0\), jää \(1\)”. Kerrotaan jakojäännös kymmenellä, ja \(10/7\) on “\(1\), jää \(3\)”. Siispä ensimmäinen desimaali on \(1\). Toista desimaalia varten lasketaan \(30/7\) eli “\(4\), jää \(2\)”, kolmatta varten \(20/7\), ja niin edelleen.

Jatka itse tätä laskua! Huomaat pian, että lasket samaa laskua toista kertaa. Jäännökset muodostavat kuuden luvun mittaisen syklin, ja vieläpä sellaisen, jossa esiintyvät luvut \(1\), \(\dots\), \(6\) mutta eri järjestyksessä. Eri jakolaskut \(n/7\) vastaavat eri aloituskohtia tässä syklissä.

Samanlaisia sääntöjä, mutta toki huomattavasti pidempiä sellaisia, löytyy tietyille muillekin alkuluvuille. Seitsemästä seuraava on \(17\). Koko lista löytyy OEIS-tietokannasta [2].

Viitteet

[1] https://flyingcoloursmaths.co.uk/blog/

[2] A001913: Full reptend primes: primes with pri- mitive root 10. Online Encyclopedia of Integer Sequences. https://oeis.org/A001913