Matematiikkalehti Solmun etusivu

Unkarilaisvaikutteinen matematiikan opetus (4. luokka)



Seuraten Tamás Varga - Eszter Neményi -menetelmää ovat kurssin kehittäneet Márta Oravecs ja Ágnes Kivovics.

Kurssimuistiinpanojen kirjoittaja: Kirsi Huttu-Nevanperä


I KERTAUSTA JA VÄHÄN UUTTA

Apuvälineiden käyttö kokonaisuuden ja sen osien hahmottamisessa

Esimerkkejä:

Pinta-alan laskeminen
- tässä voidaan käyttää apuvälineinä irrallisia neliösenttimetrin palasia
- ruudukkokalvoja (eri määriä rivejä ja pylväitä)

Luvun asettaminen lukusuoralle, apuvälineinä
- paperintaittelu suikaleella, johon ei ole merkitty numeroita
- lukusuorakalvo, jossa näkyy tuhannet, sataviivat, satanumerot (osa tai kaikki)

Geometria
- Nelikulmio (suunnikkaan nimitystä ei tarvitse tietää, vain sen erityispiirteet)
- Passiivinen nimitysten käyttö, joka aktivoidaan 5. luokalla

Ajattelutoimintaa

Analyysi:
- ongelma hajotetaan palasiksi, kootaan uudelleen yhteen
- olennaisin etsitään esiin; yhteyksien löytäminen
- piirtäminen, hyvät kysymykset

Synteesi:
- välitulokset takaisin alkuperäiseen tehtävään
- henkilö- ja tavarajunan kulkunopeus (päätellään käyttämällä matkan pituutta ja siihen käytettyä aikaa) ja päätelmä
- Esimerkki: Henkilöjuna kulkee 320 km neljässä tunnissa, tavarajuna 350 km 5 tunnissa tasaisella nopeudella. Kuinka pitkän matkan nopeampi juna kulkee tunnissa? Lasketaan nopeudet, vastataan alkuperäiseen kysymykseen.

Vertailu:
- yhtäläisyydet ja erot
- 9 kolikkoa (foliolla päällystettyjä), joista yksi "väärennetty" on kevyempi. Millä tavoin käsin punnitsemalla saadaan mahdollisimman pian selville, mikä niistä on väärennetty? Vastaus: kolmea ja kolmea kolikkoa verrataan, jolloin oikea kolmen kolikon joukko tunnistetaan. Tästä taas jatketaan ja vertaillaan kahta (eli kaksi punnitusta)

Yhtäläisyyksien löytäminen:
1, (3 enemmän on) 4, (5 lisää on) 9, (seitsemän enemmän on) 16;
lisätään siis seuraavaksi suurempi pariton luku aloittaen luvusta 1.

Yleistäminen ja konkretisointi:

 1     3      6        10        15          __      __

      1,2   1,2,3   1,2,3,4   1,2,3,4,5

- lisätään aina seuraava kokonaisluku, josta tehdään yleistys

Järjestäminen:
- joukko jaetaan osajoukkoihin
- nelijalkaiset, koirat, pystykorvat

Analogia:

Mikä on johdonmukainen kuvio keskimmäiseen ruutuun sijoitettavaksi?

X O V
O X
V X O

Jokaisella vaaka- ja pystyrivillä on kulma (V), risti (X) ja pallo (O). Jokaisella vaaka- ja pystyrivillä on myös vihreä, punainen ja sininen kuvio. Tämä pätee riveille, joilla ei ole tyhjää ruutua. Jos keskelle sijoitetaan punainen kulma (V), se pätee kaikille riveille. Tällöin myös jokaista väriä on yhtä monta, samoin jokaista kuviota.

Luovuus ajattelussa

Kompakysymykset:
-Meillä on kolme lasia ja kymmenen kiekkoa/rahaa
- miten ne saadaan jaettua mukeihin niin, että kaikkiin tulee pariton määrä?
- esim. kaksi mukia päällekkäin (1 ja 9, 3 ja 7, 5 ja 5)

Vapaa ajattelu:
- Valtamerellä on 4 laivaa. Laivat sijaitsevat niin, että minkä tahansa kahden laivan välissä on 200 m. Ensimmäinen on rahtilaiva, toinen matkustajalaiva, kolmas öljytankkeri. Mikä on neljäs laiva?
- Kaikki laivat eivät voi sijaita meren pinnalla - neljäs on ilmalaiva tai sukellusvene (uponnut?)

ARPAKUUTIO, luvut 0-9
- Otetaan kymmensivuinen kappale, jolla heitetään kolmesti. Saadaan esimerkiksi 4, 0, 7. Nämä muodostavat luvun 407.
- minuutin aikana heitetään niin monta kolmenumeroista lukua kuin ehditään (ne sanotaan ääneen)
- arvataan, kuinka monta lukua tällä kappaleella voidaan heittää
- sadat, kymmenet, ykköset merkitään systemaattisesti (eriväriset nopat)

---  ---  ---
 S    K    Y

Kuinka monta lukua voidaan muodostaa, jos kaksi ensimmäistä on jo arvottu? Vastaus 10. Esimerkiksi, jos kaksi ensimmäistä ovat 4 ja 4, ovat luvut

440, 441,..., 449

Ne luetaan ääneen.

Entä, jos ensimmäinen ja viimeinen on jo arvottu? Vastaus: 10. Esimerkiksi, jos luvut ovat 4, 0, niin 400, 410,...,490.

Kuinka monessa luvussa on 4 satojen paikalla ja kymmenten ja ykkösten paikalla on 0-9?
- 400-499, 100 kpl

Entä niitä, joissa 1 on satojen paikalla?
- 100-199, 100 kpl

Kuinka monta kolminumeroista lukua on yhteensä?
- 100-199, 100 kpl
- 200-299, 100 kpl
- ...
- 900-999, 100 kpl

Vastaus: 9 . 10 . 10 (koska 0 ei voi olla sadoissa)

Heitetään noppaa ja yritetään muodostaa mahdollisimman suuri luku. Esimerkiksi, jos saadaan 6, 0, 2, näistä muodostetaan 620.

Tämän jälkeen tarkastellaan luvun paikkaa lukusuoralla miettimällä, mille kohdalle se kuuluu.

Mietitään, onko heitetyistä numeroista muodostettu luku suurin mahdollinen.

Heitetyistä numeroista yritetään muodostaa kolminumeroinen mahdollisimman suuri pariton luku. Esimerkiksi numeroista 0, 3, 4 saadaan 403.

Milloin hävitään?
- jos ykkösiin ei ole paritonta numeroa

Mahdollisimman pieni, kymmenissä parillinen luku
- milloin hävitään?
- jos pariton kymmeniin

Mikä on suurin kolminumeroinen luku, jolla on satasissa suurin paikka-arvo, kymmenissä todellinen arvo 10, ykkösissä muotoarvoltaan pienin luku? Vastaus: 911 (muotoarvo 6, paikka-arvo 6 kymppiä, todellinen arvo 60)

3. luokalla voidaan harjoitella myös setelirahoilla, esimerkiksi

5  (s)	41 (k)    1 (y), luku on 911
8  (s)	10 (k)   11 (y), luku on 911
11 (y)   9 (s)         , luku on 911

Millä kolmella luvulla saat summaksi 911, jos luvut ovat 511, 320, 130, 281, 500, 91, 270?
Vastaus: 320, 500 ja 91 tai 281, 500 ja 130 tai...

Osaatko tehdä kertolaskun, jonka tulo on 911?


II LASKUOPPI-ALGEBRA

Tutustuminen lukualueeseen 0-10000

Lukukäsitteen muodostamistehtäviä

Lukualueen laajentaminen lukusuoralla:
- ykkösittäin, kymmenittäin, 50 välein, sadoittain
- tummentaen ja etsien mitä lukuja siellä on; sitten luvut kirjoitetaan (luonnollisia lukuja; mahdollisia murtolukuja)

Suurennuslasilla tarkastellen tuhatsuoralta kahden tuhatluvun väliä
-> sataväli
-> kymmenväli
-> ykkösväli

Myös taulukkoja käyttämällä voidaan harjoitella

   0   100   200   300   400   500   600   700   800   900

1000

2000

3000

4000

5000

6000


2000  2010  2020  2030  2040  2050  2060  2070  2080  2090

2100

2200

2300

2400

Harjoitellaan täydentämällä palasia edellisistä taulukoista.

LUKUTAULUKON 1-100 tehtäviä:
- Mikä on ensimmäisen rivin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 lukujen summa? (irtopalasilla näytetään lukuparien yhteenlasku reunalta alkaen, kullekin parille summa on 11). Pareja on 5, siis ensimmäisen rivin lukujen summa on 55.
- Toinen rivi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20? Kymmenen kymppiä (kasvu verrattuna 1. riviin) ja 55.
- Kolmas rivi? Kaksisataa ja 55.

 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

11

21

31

41

51

61

71

81

91

LUKUTAULUKKO 10-1000

- Mikä on ensimmäisen rivin lukujen summa? Vastaus: 550 (satakertainen edelliseen taulukkoon verrattuna)

- Toisen rivin lukujen summa? 1550 (koska kymmenen lukua on sadalla suurempi)

- Kolmas rivi? 2550

 10   20   30   40   50   60   70   80   90   100

110

210

310

410

510

610

710

810

910

LUKUTAULUKKO 100-10000 (voidaan toteuttaa liimalapuilla)

- Hahmotatko lukusuoran? (asetetaan pystysuorassa langan päälle, esim. 1000-10000)

 100   200   300   400   500   600   700   800   900   1000

1100

2100

3100

4100

5100

6100

7100

8100

9100

- Mikä on ensimmäisen rivin lukujen summa? 5500
- Toinen rivi? 15500
- Kolmas rivi? 25500

HELMITAULU

Käytössä on 12 helmeä, joita asetetaan ykkös-, kymmen-, sata- ja tuhatpiikkeihin annetuilla ehdoilla. Näin muodostuu lukuja.

- Piirretään, esitetään kiekoilla, lukuja luetaan ja merkitään.
- Tarkastellaan helmien määrää suhteessa luvun suuruuteen (mikä piikki määrää?)

Lähestyminen kymmenjärjestelmän taholta

12 helmen tehtävä
- Satasia on yhdeksän. Kuinka monta lukua voidaan muodostaa (t-s-k-y)?
- Muodostetaan ja merkitään lukuina

3900 2910 2901 1920 1902 1911 930 903 921 912

- Merkitään ne myös lukusuoralle (lukujen suuruus: mitä kauempana nollasta, sitä suurempi luku)
- Minkä kaikkien lukujen tapauksessa tuhansia on kolminkertainen määrä satasiin verrattuna?
- Muodosta kaikki nämä luvut:

9300 6240 6204 6231 6213 6222 3180 3108 3171 3117 3162 3126 3153 3135 3144

- Luvussa tulee olla vähintään kolme yhtä suurta numeroa

9111 1911 1191 1119 2226 2262 2622 6222 3333 4440 4044 4404 444


III LASKUTOIMITUKSIA LUKUALUEELLA 0-10000

Laskutoimitusten soveltamista todelliseen tilanteeseen - hyvän arvion opettelua

Papeririisien, kirjekuorinippujen ym. laskemista: 1 nippu - 10 nippua - 100 nippua - 1000 nippua

Pienen paperiliittimen mitattu pituus on 3 cm.
- Tehdään pitkä ketju, jonka pituus arvioidaan.
- Voisiko 5 m x 5 m -kokoisen hiekkalaatikon pituuden mitata tuhannen 3 cm paperiliittimen mitalla?
- Isompi paperiliitin 5 cm, joista 10000 kappaleen ketju
- Pienempi paperiliitin 3cm, joista 10000 ketju


- Kuinka pitkä ketju tulee pienemmistä paperiliittimistä? 30000 cm
- Ketjuun tulee joka toinen pieni ja joka toinen iso paperiliitin ja niitä on yhteensä 10000. Kuinka pitkä ketju on?

Ratkaisumahdollisuuksia:

3 cm . 5000 + 5 cm . 5000 tai (30000 cm + 50000 cm) tai (3cm + 5cm) . 5000

Mitä koulussa voisi olla 10000 kpl?
- Esim. kirjoja.
- Kuinka monta luokkaa, oppilasta keskimäärin luokassa, oppilaalla kirjoja keskimäärin.
- Mittaluvuilla, pituuden, pinta-alan, tilavuuden mittaamien.
- Millimetripaperi: pieni neliö, sen sivun mittaaminen 1 mm (alkuopetuksessa mitataan esim. lehden pinta-ala kiekoilla. Neliöillä tai suorakulmioilla saadaan tarkempi tulos).

Huomataan: Mitä suurempi mittaväline, sitä vähemmän sitä tarvitaan, ja mitä suurempi mitattava, sitä enemmän mittavälinettä tarvittiin.

3. luokalla millimetripaperilla asetettiin kymmenen yhden neliömillimetrin palasta päällekkäin, saatiin pylväs.

Mitataan kymmenen pylvästä vierekkäin, saadaan neliösenttimetri. Asettamalla kymmenen neliösenttimetriä päällekkäin saadaan sauva. Kymmenen sauvaa vierekkäin muodostaa neliödesimetrin.

1000 . 10 = 10000, 100 . 10 = ___, 10 . 10 = ___, 10 . 1 = ___, 1000 . 100 = ___

Millimetripaperista leikatuilla tai kehystetyillä alueilla voidaan helposti havainnollistaa suuria lukuja, jopa useita tuhansia. Esim. 5372 ruutua voidaan varsin helposti erottaa millimetripaperilta.
- Millimetripaperilta palasten mittaamista.
- Useita laskutapoja.
- Miten suuri pinta-ala on peitettynä (voi täydentää tarvittaessa piirtämällä esim. neliösenttimetrejä).
- Jos lapsi laskee vielä ruudut yksitellen, annetaan hänen laskea.

Mittaaminen esim. kirjevaa'alla, punnitseminen
- 1 lankakerä painaa 50 g ja siinä on n. 200 m (kerä avataan ja tutkitaan asia viemällä lankaa pitkin käytävää)

Tehdään taulukko:

  1       2       3       4       5       

 50 g   100 g   150 g   200 g   250 g   300 g 

200 m   400 m   600 m   800 m                     1400 m

Lasketaan esimerkiksi tällaisia tehtäviä:
- Kuinka paljon painaa 10000 m?
- Yhteen villapaitaan kuluu 1/2 kg lankaa. Kuinka monta metriä lankaa tarvitaan? (10 kerää on 2000 m; 1 kerä on 200m)

Koulun lattialaattojen määrä: ryhmittäin jaetaan laskettavat tilat (arvioidaan, ellei pystytä laskemaan tarkasti) ja kaikki tilat lasketaan yhteen.

Ostokset: mitä voit ostaa 10000 eurolla?
- Mitkä maksavat yhtä paljon tai enemmän kuin 1000 e ja mitkä vähemmän kuin 1000 e?

Villapaita
Moottoripyörä
Silitysrauta
Tietokone
Sohva
Kitaran vahvistin
Potkulauta
Auto
Matka maailman ympäri
Yhtä paljon tai enemmän kuin 1000 eVähemmän kuin 1000 e
MoottoripyöräVillapaita
TietokoneSilitysrauta
SohvaPotkulauta
AutoKitaran vahvistin
Matka maailman ympäri

Keksitään laskutehtäviä
- Kuinka monta tavaraa saa 10000 eurolla?
- Jos saisin ostaa joka päivä yhden, kuinka kauan 10000e riittäisi?

Apuvälineinä voidaan käyttää paperilokerikkoa, sadattuhannet, kymmnettuhannet, ...
st - kt - t - s - k - y

Haltija taikoo rahat:
- kaksinkertaiseksi

151050100
_______________

- viisinkertaiseksi

110100
_________

- kymmenkertaiseksi

110100
_________

Rahamäärien kertominen (paikka-arvo) taulukossa (nuoli ja siirto vasemmalle eli kymmenkertaistus)
- nolla merkitään

Kuinka paljon arvo nousee, jos siirtyy kaksi pykälää vasemmalle?
Vastaus: Luku tulee satakertaiseksi.

Taulukolla voidaan havainnollistaa vaiheittaista kymmenkertaistamista.

----> kymmenkertaistus
<---- kymmenesosa

. 10
6---->60
<----
___
10

kt t s k y
7 . 10
70 . 10
700 . 10
7000 . 10
70000 . 10

Voidaan tarkastella esimerkiksi senttien ja millien suhdetta käyttäen langanpätkää apuna (mitataan 8 cm, siis 80 mm).

Taulukosta nähdään pituusyksikköjen suhteita.

1000000 mm    100000 mm    10000 mm    1000 mm    100 mm    10 mm    1 mm
100000 cm     10000 cm     1000 cm     100 cm     10 cm     1 cm
10000 dm      1000 dm      100 dm      10 dm      1 dm
1000 m        100 m        10 m        1 m
m             st           kt          t          s         k        y

1242 mm pitkä lanka on siis

                                       1 m         2 dm     4 cm     2 mm

3610 mm pitkä lanka on

                                                   36 dm    1 cm
Tämä voidaan lukea:
                                       3           6        1        0 mm
                                       3 m         61 cm
                                       3 m         610 mm 

Värisauvoilla voidaan laskea pituuksia, esim. 36 kpl kymmensenttisauvoja ja yksi 1 cm pala.

Vastaavaa harjoittelua voidaan tehdä tilavuusmitoilla:

1000 ml    100 ml    10 ml    1 ml
100 cl     10 cl     1 cl
10 dl      1 dl
1 l

Painomitoilla:

1000 g    100 g    10 g    1 g
1 kg

Roomalaiset numerot

CCCLXVI (366) Huomaa, että roomalaisen numeroesityksen pituus ei kerro luvun suuruudesta.
XXXVIII (38)

Laskutoimitukset
- Summa, erotus, tulo ja osamäärä;
- Yhteenlaskettavat, vähenevä ja vähentäjä, kertoja ja kerrottava, jaettava ja jakaja
- Yhteenlaskettavien paikat ovat vaihdettavissa (tämä on reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisominaisuus)
- Jonkinlainen arvio kauppalaskun summasta on tarpeen käytännön elämässä
- Pyöristäminen ja likiarvoilla laskeminen

Numerolappuja tehdään itse. Silloin käytämme vain näitä lukuja, eikä samaa lappua useampia kertoja.
- Lukupareja, joista toinen on suunnilleen kymmenkertainen toiseen verrattuna, poimitaan lapuista, esimerkiksi lapuista

43319 508
39 ja 401 (10 . 40 on 400)
31 ja 305, 513 ja 4985, 103 ja 980

Etsitään lukupareja, joista toinen on toisen sadas- tai tuhannesosa.
Sadasosa
8401 ja 84

Numeroista 2 6 0 0 kirjoitetaan kaikki mahdolliset luvut. On tiedettävä, voiko käyttää kaksi kertaa kakkosta.
26 62 260 206 620 602 2600 2060 2006 6200 6020 6002

- Etsi ne parit, joista toinen on toinen kymmenkertaisena
- Etsi ne parit, joista toinen on toinen satakertaisena

Langanpätkän kymmenkertaistaminen

Voidaan harjoitella myös käyttämällä millimetriruudukkoa. Kymmenkertaistetaan yksikkö. Tällöin ruutu suurenee joka suuntaan eli säilyttää muotonsa, saadaan neliösenttimetri. Mitä tapahtuu pinta-alalle?
- Neliödesimetrin kokoisia papereita, joilla muodostetaan kymmenkertainen alue.
- Papereilla peitetään jokin koulun alue eli mitataan sen pinta-ala.
- Jos kuutiosenttimetrin särmä kaksinkertaistetaan, mitä tapahtuu? Kappale ei kasva vain leveyttä, vaan muutosta tapahtuu kolmeen suuntaan: pituus, leveys ja korkeus. Jos kuution särmä on 1 cm ja se kymmenkertaistetaan, mitä tapahtuu tilavuudelle?
- Kymmenkertaistettu on 1000 kuutiosenttimetriä (uusi tilavuus on 1000-kertainen)

Laskutoimitusten muutoksia

1986 + 14 = _____, 1986 + 24 = _____, 1986 + 114 = _____

Mitä tapahtuu, kun yhteenlaskettava lisääntyy yhdellä, kymmenellä tai sadalla?

1986 + 15 = _____, 1986 + 34 = _____, 1986 + 214 = _____

1986 + 16 = _____, 1986 + 44 = _____

1986 + 17 = _____, 1986 + 54 = _____

Mitä tapahtuu, kun vähentäjä suurenee yhdellä, kymmenellä tai sadalla?

1986 - 14 = _____, 1986 - 24 = _____, 1986 - 114 = _____

1986 - 15 = _____, 1986 - 34 = _____, 1986 - 214 = _____

Kertolasku

24 . 15 = (10 + 10 + 4) . 15 tai 24 . (10 + 5) tai (8 + 6 + 10) . 15 tai (12 + 12) . 15

Kertolaskua voidaan harjoitella täydentämällä kertotaulukkoja.

     30             7     70     14

9                                       72

25         7500

18                                      144     1440

50

                                 70

27

3

30

15

                          4200



3              30


. 10
3---->30
<----
___
10

Laskutapojen opettamisen järjestys

Päässälasku
- Yhteen- ja vähennyslasku päässä 10000 saakka huomioiden erityisesti suuret luvut
- Kertominen kympeillä ja satasilla
- Jakaminen 1-numeroisilla ja kympeillä

Kirjallisesti
- Yhteen- ja vähennyslaskut
- 1-numeroinen kertoja
- Kertolaskut 2- ja 3-numeroisilla luvuilla
- Jaollisuuden tarkastelua
- Jakolaskuja; jakajana 1- ja 2-numeroinen luku

Esimerkkejä

1000 + 7000 (1t + 7t)
3000 + 600 (3t + 6s)
3200 + 2000
3200 + 3100 (3t + 3t + 2s + 1s)

Analogiaa voidaan hyödyntää.

4 + 7     40 + 70     400 + 700
14 + 27	  140 + 270   1400 + 2700
54 + 17	  540 + 170   5400 + 1700

15 - 9	  150 - 90    1500 - 900
35 - 19	  350 - 190   3500 - 1900
65 - 59
85 - 29

3600, 1800, 2500, 2700 Kuinka monta yhteenlaskua voit tehdä näistä luvuista silloin, kun käytät kolmea yhteenlaskettavaa?

Lukujonoja voidaan harjoitella, esimerkiksi edelliseen lukuun lisätään aina 23:

23   46   69   ___   ___   ___   ___   ___   ___   ___   ___   ___   ___
                92   115   138   161   184   207   230   253   276   299
                                                         322   345   368
                                                         391   414   437
                                                         460   483   506
                                                         529   552   575
                                                         598   621   644
                                                         667   690

Kirjoittamalla luvut sopivasti allekkain huomataan toistoa. Mitä näkyy viimeisistä numeroista? Entä muista? 3-6-9-2-5-8-1-4-7-0 tai 2-4-6-9-11-13-16-18-20-23-25

Kymmenkerrat 23-230 jne

Jos luvut kirjoitetaan kymmenen riveissä: ykköset samat, kympit lisääntyvät kolmella ja sadat kahdella.

23   46   69   92   115  138  161  184  207  230     Satojen lisäys rivillä:
253  276  299  322  345	 368  391  414  437  460     + 2
483  506  529  552  575  598  621  644  667  690     + 2
713                 805                      920     + 3 
943                 1035                     1150    + 2
                    1265                     1380    + 2
                    1495                     1610    + 3
                    1725                     1840    + 3
                    1955                     2070
                    2185                     2300

Missä kohdissa satasten määrä muuttuukin kolmella?

Kymmenennen sarakkeen luku on 115 pienempi kuin viidennen sarakkeen luku.

Tarkastele viidennen sarakkeen lukuja satojen osalta, missä kohdissa ne lisääntyvät 2:lla, missä 3:lla?

         +2    +2       +3    +2      +2      +2          +3

1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   1   1   1   1   1   1   1   1
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18

Jakolasku
Esimerkkejä

6 . 2 = _____, 9 . 5 = _____

6 . 20 = _____, 9 . 50 = _____

120 : 2 = _____, 450 : 5 = _____

120 : 20 = _____, 450 : 50 = _____

120 : 6 = _____, 450 : 9 = _____

120 : 60 = _____, 450 : 90 = _____

7200 : 3 = _____

Tämän tehtävän avattu muoto on (3000 + 3000 + 1200) : 3. Ositellen jakamalla saadaan tulos 1000 + 1000 + 400= 2400.

Laskutoimitusten järjestys

Sulut otetaan käyttöön 2. luokalla
- Harjoitellaan sanallisen tehtävän avulla (kaksi ratkaisumahdollisuutta): neliön muotoisen pöytäliinan sivun pituus on 87 cm. Tätä varten ostetaan 4 metrin pituinen reunanauha. Kuinka paljon reunanauhaa jää jäljelle?
- Oppilaat arvioivat liinan koon, se piirretään oikean kokoisena mittaamalla. Mille pöydälle se sopisi?

I-----I     87 cm

I-----I-----I-----I-----I	87 cm x 4 = 348 cm
 400 cm - (87 cm x 4) = _______

tai

I-----------------------I-----------I	400cm      400 cm - 348 cm = 52 cm
    4 x 87 cm

Sulut, kerto- ja jakolaskut, yhteen- ja vähennyslaskut

Järjestelmällinen ratkaisumenetelmä:

Aluksi luetaan tehtävä

Katostaan, onko siinä sulkumerkit

Jos on, ratkaistaan suluissa olevat laskut ja kirjoita alle tulos

Ellei, katsotaan, onko vain samanarvoisia laskutoimituksia.

Jos on, ratkaistaan laskut vasemmalta oikealle

Ellei, laske ensin kertolaskut, jakolaskut, ja kirjoitetaan tulokset niiden alle

Esimerkkejä

430 + (7200 - 1500) - 3 - 430 . 5 = 430 + 7200 - (1500 - 3 - 430 ) . 5 =
430 + 5700 - 3 - 430 . 5 = 430 + 7200 - 1067 . 5 =
430 + 5700 - 3 - 2150 = 430 + 7200 - 5335 =
6130 - 3 - 2150 = 7630 - 5335 =
6127 - 2150 = 2295
3977

Apuna voidaan käyttää eri värejä eri vaiheiden laskutoimituksille!

     (    )

     .    :

     +    -

Laskujärjestys

1. 2.3. 2. 1.3.
(3500- 750).2+800 3500- 750.2+ 800
Arvioi tulos, laske ja päättele

(560 - 180) : 2	                        560 - 180 : 2	piirrä

    560 - 180				180 : 2	?

I---------------------I-------I	        I---------I----------------I
       ?				       560

1. Teatterissa oli aamupäivällä 560 lippua jäljellä. Keskipäivään mennessä myytiin 180 lippua. Iltapäivällä lopuista lipuista myytiin puolet. Kuinka monta lippua jäi?

2. Kerrostalossa asui 180 ihmistä. Näista puolet muutti pois. Ennen muuttoa alueella asui 560 asukasta. Kuinka paljon asukkaita jäi?

IV LUKUKÄSITTEEN MUODOSTAMISTA: MURTOLUVUT

3. luokalla otetaan esiin puolikas, neljännes jne. mittaamisen ja vertailun avulla; esim. veden kaataminen, paperin taittelu.
- otetaan esille nimityksiä
- (3.lk) yksi viidennes
- (4. lk) 1/5

Yksikkömurtoluvut
- murtoluku ilmaisee osan suhdetta kokonaiseen
- hiekkakasan/jauhojen/riisin jakaminen kolmeen kasaan, jolloin yksi kasa on kolmannes koko hiekka/jauho/riisimäärästä

- mittaamalla väritangoilla voidaan harjoitella murtolukuja

- esimerkiksi jos tummanpunainen sauva on 1 (kokonainen), etsi sen puolikas (on punainen), sen neljäsosa (on vaaleanpunainen), sen kuudesosa (ei voi ratkaista värisauvoilla, sillä tummanpunaisen sauvan pituus pitäisi jakaa kuuteen yhtäpitkään osaan)

- piirretään neliöpaperille puutarhoja, jaetaan näitä neljään osaan, joista yksi väritetään

- opettaja värittää kahdeksasosan ja oppilas nimeää sen

- paperintaittelulla, langanpätkällä, geolaudalla, vaa'alla niin, että painavampaa on 1 kpl ja kevyempää 2 kpl jne.

Yksikkömurtolukujen monikerrat


- puoli tai 1/2
- neljä kahdeksasosaa 4/8
- kaksi neljäsosaa 2/4
- yksi kahdesosa 1/2

Tehtäviä:

- Näytetään puolikas värisauvoilla, muodosta 1 kokonainen.

- Ruuduista on neljä väritetty. Tämä on yksi kokonainen. Kuinka paljon on 12 ruutua? 3 kokonaista eli 3/1.

- Ruuduista 12 väritetty, tämä on 1. Kuinka paljon on 4 ruutua? 1/3.

Lukusuoralle sijoitetaan murtolukuja. Esimerkiksi: Kaksi kolmasosaa (2/3) on enemmän kuin yksi kahdesosa.

           1/2 2/3
<--|--------*---*-----|-------------------|-------------------|-->
   0                   1                   2                   3

Paperintaittelulla

A4-paperi taitellaan kolmeen yhtäsuureen osaan. Yksi osa väritetään ja merkitään 1/3.

Paperi taitetaan vielä pituussuunnassa kerran. Kuinka monta osaa nyt on? (6) Kuinka monta kuudesosaa on yhdessä kolmasosassa?

Taitetaan kuudesosa vielä molempiin suuntiin. Etsitään paperilta havainnollistus sille, että 1/3 = 2/6 = 4/12 = 8/24.

1/24 , 1 osoittaja, 24 nimittäjä, murtoviiva kertoo osiin jakamisesta (murtamisesta).

1/3, 5/5, 6/4, 1/10, 3/4, 2/3, 3/3, 3/2 Ympyröi luku, jonka ajattelet olevan kokonainen. (Varmista taitellen, värisauvoilla.)

Nopilla: punainen noppa on osoittaja, valkoinen nimittäjä. Heitetään, sanotaan tulos ja kirjoitetaan murtoluku. Osoittaja kertoo kuinka monta osaa on otettu, nimittäjä sen, kuinka moneen osaan on jaettu.
- Lapset keksivät itse muun tavan havainnollistaa esim. värikynillä. Värisauvoilla 3/2 (oranssi ja keltainen värisauva, mikä on 1? oranssi).
- Kuinka monta murtolukua voit muodostaa kahdella nopalla? 36
- Ympyröi kaikki kokonaisluvut värikynällä taulukosta. Lisäksi etsitään yhtä suuret luvut.

1/1   1/2   1/3   1/4   1/5   1/6

2/1   2/2   2/3   2/4   2/5   2/6

3/1   3/2   3/3   3/4   3/5   3/6

4/1   4/2   4/3   4/4   4/5   4/6

5/1   5/2   5/3   5/4   5/5   5/6

6/1   6/2   6/3   6/4   6/5   6/6

Numerokortit 1, 2, 3, 4, 6, 9 asetetaan nurinpäin pöydälle. Nostetaan ensin nimittäjä ja sitten osoittaja.

Toinen harjoitus: Nostetaan osoittaja ja kortti palautetaan. Sitten nimittäjä.

Kokonaislukujen murto-osa

1000/5

Isä ja äiti järjestivät 120 km pyöräretken. Ensimmäisenä päivänä he polkivat kolmanneksen matkasta, toisena päivänä jäljellä olevasta matkasta 5/8. Lopun matkan äiti ja isä polkivat kolmantena päivänä. Kuinka monta kilometriä he polkivat kolmantena päivänä?

Havainnollista vihreällä sauvalla tai erottamalla 12 cm viivaimesta:

4 cm      5 cm       3 cm       12 cm
40 km     50 km      30 km      120 km
1/3       5/12       1/4
Punainen  Keltainen  Vaalean-   Vihreä
                     sininen

120 km / 3 = 40 km

120 km - 40 km = 80 km

80 km / 8 . 5 = 50 km

80 km - 50 km = 30 km

Mirri ja Misse jakoivat lautasellisen maitoa. Kun Mirri oli juonut, Misse joi jäljelle jääneestä viidenneksen ja lisäksi myös 20 cl. Näin kissat joivat yhtä paljon ja lautanen tyhjeni. Kuinka monta dl maitoa kissat jakoivat?
- Vastaus: 5 dl

Kolme kullankaivajaa, Jussi, Joel ja Ville istuivat piiriin työnsä päätteeksi, jotta he voisivat jakaa aarteet sopimuksen mukaisesti. Puolet kullasta oli luvattu Jussille, koska hän tunsi paikan. Joel sai kolmasosan, koska hän toi työkalut. Neljännes kuului Villelle, koska hän auttoi työssä. Jussi otti nopeasti puolet ja häipyi. Joel ja Ville rupesivat riitelemään. Miksi? (1/2 + 1/3 + 1/4 > 1)

Lukukäsitteen laajennusta: negatiiviset luvut

3. luokalla tulee esiin negatiivisia lukuja lämpömittarista, lukusuoralla astellen.

Lämpömittari: kuminauha kartongin läpi, puolet kuminauhasta punaiseksi, puolet siniseksi.

- Väritä lämpömittareihin
6, -2, -4, 3, -5, -10, 12, 4 Celsiusastetta
12, 2, 5, -10, -7, 3, -4, 6 Celsiusastetta

- Etsi kaksi positiivista lämpötilaa ja vertaa kumpi on suurempi ___ < ___

- Etsi sekä positiivinen että negatiivinen lämpötila

- Etsi kaksi negatiivista lämpötilaa ja vertaa niitä ("suurempi" luku ei olekaan lämpimämpi)

- Himalaja on 8848 m korkea (merenpinnasta eli nollasta). Mariaanien hauta on 11034 m syvä.

Tehdään taulukko

Keskimääräinen syvyysSuurin syvyys (pienin korkeus)
Tyyni valtameri4028 m11034 m
Atlantin valtameri3743 m9219 m
Intian valtameri3963 m7450 m

Merkitään syvyys negatiivisena kun merkitään nämä lukusuoralle. Merenpinta on nollakohta.

                 <--                              -->

-----------------------------------|----------------------------
-i---i---i---i---i---i---i---i---|---i---i---i---i---i---i---i---

häät        sisko           oma syntymäsi                  koulun alku

Tee kuvan mukainen "aikataulu" itsestäsi.
- Kuinka monta vuotta vanhempasi olivat olleet naimisissa ennen kuin sinä synnyit?
- Kuinka monta vuotta vanha isosiskosi oli, kun sinä synnyit?

Rahoilla
- ympyrä tarkoittaa yhtä euroa käteistä, neliö yhtä euroa velkaa (voit käyttää loogisia paloja)
- jos neliöitä on enemmän, on lopputulos "miinuseuroja" eli velkaa
- piiroksista kerrotaan, paljonko käteisiä euroja on ja paljonko velkaa sekä kuinka paljon rahaa/velkaa lopulta on (merkitään lapuilla)
- täytetään kukkaro (piirtäen / paloilla / päässä laskien) niin, että lopputulos on esim. velkaa 2 euroa (monia ratkaisuja)

- jälleen piiroksista:
- lapset keskustelevat, kenellä on eniten rahaa
- verrataan ensin positiivisia summia ___ < ___
- sitten negatiivista positiiviseen
- viimeiseksi negatiivisia keskenään

- lukusuoralla: positiivisilla luvuilla oikealle siirtyminen merkitsee suurenemista, negatiivisilla luvuilla luku pienenee vasemmalle mentäessä

- nopilla: harjoitellaan siirtelemällä esim. kynää pahvilukusuoralla, punaisen nopan silmäluvulla siirrytään askelia vasemmalle ja valkoisen oikealle
- voidaan myös ottaa askelia käytävällä oikealle ja vasemmalle; ylös ja alas

V HUOMIOITA JAOLLISUUDESTA

10 omenaa jaetaan kolmelle, kukin saa 3 ja jää 1 (joka voidaan jakaa, kullekin 1/3)

Luku on jaollinen kolmella, jos saamme osamääräksi kokonaisluvun, jolloin jakojäännös on nolla

-Mitkä seuraavista luvuista ovat jaollisia kolmella?

  23       24       25       250       240       2400       2399       399
2401     2402     2404      2405      2406         30
3000     3010     3240      5400      5399

24 on, (25 ei, koska kolmea ei mahdu yhtä kertaa lisää), toisaalta luku on jaollinen kolmella, jos sitä pienemmästä jää jakojäännökseksi 2. 3 ja 9 ovat kolmella jaollisia, 2406 on, 30 ja 3000 ovat sen monikertoja, 3240 on 3000 ja 240, 5400 voidaan jakaa summamuotoon 3000 ja 2400

Kolmella jaollisuutta voidaan havainnollistaa merkitsemällä ympyrät O, kulmat V ja ristit X (liimalapuilla):

Luku0123 456 789 101112
Luvun merkkiOVX OVX OVX OVX__

Täydennä:

Luku2589 101317 182021 101
Luvun merkkiXXX OVV XO__ __X

Tehtävä. Ajattelin lukua, johon lisäsin 14 ja sitä merkitään ympyrällä. Mikä ajattelemani luku voi olla?

30 : 6 = 5, jolloin 6 on tekijä, koska jako menee tasan.
32 : 6 = 5, jää 2, jolloin 6 ei ole 32:n tekijä
- etsi kaikki 36:n tekijät
1 . 36
2 . 18
3 . 12
4 . 9
6 . 6 = 2 . 2 . 3 . 3

- etsi lukuja, joiden monikerta on 36
1 . 36
2 . 18 = 18 . 2
3 . 12 = 12 . 3
4 . 9 = 9 . 4
6 . 6

Aivastusleikki: joka 3:s sanoo "atsii" ja joka 4:s "terveydeksi". Kuinka monennella kerralla ne sanotaan yhtä aikaa?

Neliössä liikkuminen: piirretään maahan kaksi niin suurta neliö, että lapsi pystyy yhdellä askeleella siirtymään nurkasta toiseen. Neliöihin merkitään aloituspiste ja kulkusuunnan osoittava nuoli. Toinen lapsi saa halkaista neliön keskeltä eli kulkea kolmiota. Mitä tapahtuu, kun lapset ottavat askelia samassa tahdissa?

Pellet pyöräilevät. Toisen pyöränä on kolmio, toisen neliö. Kolmion yksi kulma on punainen ja se jättää punaisen jäljen. Neliön yksi kulma on sininen ja se jättää sinisen jäljen.

Merkitse:

__15___14___13___12___11___10___9___8___7___6___5___4___3___2___1___0

47___48___49

46___45___44___43___42___41___40___39___38___37___36___35___34

16___17___18___19___20___21___22___23___24___25___26___27___28___29___30___31___32___33___

Pellet pyöräilevät:

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 (punaisia, 4:llä jaollisia)

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 (sinisiä, 3:lla jaollisia)

0 12 24 36 48 (kohtauspaikat)

Lastentarhanopettaja jakaa kolmelle lapselle värillisiä papereita. Kuinka monta paperia hän jakaa? Täydennä taulukko.

Toisella kerralla tulee yksi lapsi lisää.
Papereita yhteensä12243648
Ensimmäisellä kerralla481216
Toisella kerralla36912

Koputtamalla: opettaja koputtaa tasaisesti. Lapsi koputtaa joka neljännellä kerralla ja toinen lapsi joka kolmannella kerralla. Milloin he molemmat koputtavat yhtä aikaa?

Kolmikulmaiseksi pyöritetty lukusuora (kolmioksi taitettu kartonkipötkö ja paperisuora, jossa luvut päällekkäin niin, että kullekin kolmikulmaisen pötkön sivulle tulee kolmella jaolliset luvut).

Minne kuuluvat seuraavat luvut? 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13

Entä luvut 0, 8, 16, 1, 9, 17, 2, 18, 22, 7, 19, 20, 40, 21, 37, 38, 23, 39?

Mihin seuraavista joukoista edelliset luvut kuuluvat?

                              
            A        B        C               

Jakojäännös 0        1        2               

Jakojäännöspyörä: Tässä on kyse 8:lla jaollisuudesta, joten numerot ovat 0-1-2-3-4-5-6-7, nuoli myötäpäivään osoittaa kulkusuunnan, viisari liikkuu
- mihin viisari osoittaa yhdeksän siirron jälkeen (vastaus: 1)
- mihin numeroon viisari päätyy 17 askelen jälkeen? (kaksi kokonaista, jää yksi)
- värisauvoilla: Mitkä sauvat voidaan muodostaa pienemmillä sauvoilla?

 _____
|_____|
|__|__|

 ___________
|___________|
|_____|_____|
|__|__|__|__|

 _________________
|_________________|
|________|________|
|_____|_____|_____|
|__|__|__|__|__|__|

Lukujen 1-24 tekijät näkyvät taulukosta.

   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1  x
2  x  x
3  x     x
4  x  x     x
5  x           x
6  x  x  x        x
7  x                 x
8  x  x     x           x
9  x     x                 x
10 x  x        x              x
11 x                             x
12 x  x  x  x     x                 x
13 x                                   x
14 x  x              x                    x
15 x     x     x                             x
16 x  x     x           x                       x
17 x                                               x
18 x  x  x        x        x                          x
19 x                                                     x
20 x  x     x  x              x                             x
21 x     x           x                                         x 
22 x  x                          x                                x
23 x                                                                 x
24 x  x  x  x     x     x           x                                   x

Tehdään lukulaput 1-32 niistä luvuista, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja ykkösellä

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23

jäljellä olevat kahdella jaolliset

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

sekä loput

1 9 15 21 25 27 29 31

Annetuista lapuista toinen etsii kaikki 24:n tekijät ja toinen 32:n tekijät.

    24                      32

1   2   4   6           1   2   4   8    molemmille yhteiset tekijät 1, 2, 4, 8
8   12  24              16  32

Muodostetaan tuloja luvuista

2    3    5    7    11    13

3 . 5 = 15
7 . 11 = 77
2 . 2 . 2 = 8
2 . 2 . 2 . 3 = 24
3 . 2 . 2 . 2 . 3 = 72

Ylöspäin siirtyminen merkitsee 2:lla kertomista, oikealle 3:lla. Täydennetään jälkimmäinen kuvio.

8   24   72           __   __   __
4   12   36           4    __   __
2   6    18           __   __   __
1   3    9            1    __   __

VI GEOMETRIA NELJÄNNELLÄ LUOKALLA

Rakennellaan 4 cm pillin pätkistä pyramidin runko, pyramidit päällekkäin, tetraedri.
Kirjoitetaan taulukkoon kuinka monta pilliä tarvitaan (sivua).
Kuinka monta kärkeä (joissa ainakin 3 särmää kohtaa)?
Kuinka monta tahkoa?
Huom. Kaikki todetaan koskettaen kappaleesta!

Ryhmittele esim. kaarevat ja ei-kaarevat esineet omiin ryhmiinsä, suoratahkoiset ja ei, suoratahkoiset (kuten kuutio tai tulitikkuaski) ovat kuusitahkoisia, 8-kärkisiä ja 12-särmäisiä.

Mikä kappaleista ei ole suorakulmainen särmiö?

Tulitikkuaski: kokeillaan vastakkaiset tahkot käsien välissä ja todetaan, että vastakkaiset tahkot ovat yhdensuuntaiset.
- vierekkäiset tahkot ovat suorassa kulmassa toisiinsa nähden.

Vastakkaiset tahkot ovat yhdensuuntaisia ja yhteneväisiä
- kotitehtäväksi tehdä esim. 3 cm x 4 cm x 5 cm mittainen suorakulmainen särmiö

Leikkaa paperisuikaleesta erimallisia nelikulmioita (ja etsi yhtäläisyyksiä, jaottele). Esim. etsi
- yhdensuuntaisia sivuja
- nelikulmioita, joiden vierekkäiset sivut kohtaavat suorassa kulmassa
(opettajalla on kassissa nelikulmiot, joiden sivut ovat yhdensuuntaiset, rasiassa suorakulmaiset)
- epämääräisen paperipalan voi taittaa suorakulmaiseksi ja sen avulla todetaan suorat kulmat

Havainnollistetaan sitä, että neliökin on suorakulmio. Leikataan ruutupaperista esim. 5 x 8 ruudun palanen. Todetaan, että sen kulmat ovat suorat ja vastakkaiset sivut yhdensuuntaiset. Leikataan pois lyhemmän sivun suuntainen ruuturivi, jolloin jää 5 x 7 ruutua. Todetaan taas kulmien suoruus ja sivujen yhdensuuntaisuus. Jatketaan, kunnes meillä on neliö, jossa myös kulmat ovat suorat ja vastakkaiset sivut yhdensuuntaiset.

Vastaava harjoitus tehdään suorakulmaisella muovailuvahasärmiöllä. Tutkitaan kulmien suoruutta, särmien yhdensuuntaisuutta, tahkojen, särmien ja kärkien lukumäärää, tahkojen yhdensuuntaisuutta. Leikellään pois tasapaksuja viipaleita, kunnes saadaan kuutio.

Tasokuviosta kootaan suorakulmainen särmiö (joko kuvittelun tai leikkaamisen ja kokoamisen avulla).

Loogisilla paloilla: neliöistä teipataan kuutio, joka leikataan tasokuvioksi, vaipaksi (ja kootaan taas kuutioksi)
- voiko leikata useammilla tavoilla?

Väritä vaipasta samalla värillä ne, jotka tulevat vastakkaisiksi tahkoiksi
- leikkaa, kokoa ja tarkista

Tehtävämonisteessa on aukileikattuja kuution vaippoja, joiden sivutahkoihin on merkitty lukuja. Tehtävänä on etsiä ne, joista koottujen kuutioiden vastakkaisten sivutahkojen lukujen summat ovat jaollisia viidellä.

Pinta, pinta-ala ja piiri

Loogisista paloista verrataan neliön ja ympyrän piiriä: miten sen voi tehdä?
- mittaamalla langan avulla tai merkitsemällä aloituskohta

Verrataan neliöistä yhdistämällä saatua pinta-alaa ja piiriä. Tämä voidaan tehdä myös liimalapuilla; lappuja lisätään yksi kerrallaan, jolloin

pinta-ala   |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |    |    |    |      |  20 |
---------------------------------------------------------- .... -------
piiri       |  4  |  6  |  8  |  10 |  12 |    |    |    |      |  42 |

Siis kun pinta-ala on 1, on piiri 4

pinta-ala 2, piiri 4 . 2 - 2

pinta-ala 3, piiri 4 . 3 - 2 . 2

pinta-ala 4, piiri 4 . 4 - 2 . 3

pinta-ala 20, piiri 4 . 20 - 2 . 19 = 42

Oppilailla on 1 cm2 paperipalat suorassa rivissä (opettajalla liimalaput taululla)
- suorakulmion muotoa muutetaan itse valitun muotoiseksi
- lyhyempi sivu kaksinkertaistui; pitempi puolittui; pinta-ala pysyi samana ja piiri pieneni
- kun lyhyempi sivu nelinkertaistuu, pitempi sivu on neljäsosa

Mitä pitempi jono paperinpaloja, sitä pitempi piiri.

Huomaa, että neliökin on suorakulmio.

Lasketaan suorakulmioiden pinta-aloja ja piirejä:

lyhyempi sivu1 cm2 cm3 cm 4 cm6 cm
pitempi sivu36 cm18 cm12 cm 9 cm6 cm
pinta-ala36 cm236 cm2 36 cm236 cm236 cm2
piiri74 cm40 cm30 cm 26 cm24 cm

Pyyheliinan piirin mittaaminen: voidaan tehdä
pitkä + lyhyt + pitkä + lyhyt tai
pitkä + pitkä + lyhyt + lyhyt tai
(lyhyt + pitkä) . 2

Kuution vaipan laskeminen: tahkojen (6) pinta-alojen summa
- suorakulmaisen särmiön vaippa on yhtä suurten vastakkaisten palojen summa

VII MUUT MATEMAATTISET AIHEPIIRIT NELJÄNNELLÄ LUOKALLA

Todennäköisyyteen liittyvät pelit ja leikit

- lapset lukevat itse säännöt (yksin tai ryhmissä) tai opettaja kertoo

- 50-peli: vihko, kynä ja noppa; 4-6 henkeä
- kaikki heittävät noppaa vuorollaan, voittaja on se, joka saavuttaa pisterajan 50 ensimmäisenä.


- jokainen kirjoittaa muistiin oman heittonsa arvon. Lukuun lisätään aina seuraavan heiton arvo. Kun heittää 1, menettää kaikki pisteensä ja putoaa pelistä pois.

- kissa-hiiri -leikki (kissan ja hiiren korvat)
- pelikentällä 20 ruutua peräkkäin; kissa lähtee 1. ruudusta ja hiiri 10. ruudusta. Noppaa heitetään vuorotellen: hiiri liikkuu eteenpäin, kun heittää 1, 2, 3 tai 4. Kissa pääsee eteenpäin heittäessään 5 tai 6. Jos kissa ohittaa tai saa hiiren kiinni, kissa voittaa.
- hiiren siirtymämatkan oletusarvo (1 + 2 + 3 + 4 + 0 + 0)/6 = 10/6
- kissan siirtymämatkan oletusarvo (0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 6)/6 = 11/6
- arvioidaan todennäköisyyttä toistamalla peliä useasti

- noppaleikki pareittain: Jos kahden heiton summa on parillinen, saa toinen parista pisteen. Jos tulo on parillinen, saa toinen pisteen.

- kahdenkymmenen heiton sarja

         1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.
---------------------------------------------------------------
Summa/tulo
---------------------------------------------------------------
pelaaja A
---------------------------------------------------------------
pelaaja B
---------------------------------------------------------------
         11.  12.  13.  14.  15.  16.  17.  18.  19.  20.
---------------------------------------------------------------
Summa/tulo
---------------------------------------------------------------
pelaaja A
---------------------------------------------------------------
pelaaja B
---------------------------------------------------------------

Miksi tulosta tulee useammin parillinen? Tätä tutkitaan taulukoilla.

x on merkitty kohtiin, joissa summa on parillinen.

  1 2 3 4 5 6
1 x   x   x
2   x   x   x
3 x   x   x
4   x   x   x
5 x   x   x
6   x   x   x

x on merkitty kohtiin, joissa tulo on parillinen.

  1 2 3 4 5 6
1   x   x   x
2 x x x x x x
3   x   x   x
4 x x x x x x
5   x   x   x
6 x x x x x x

Harjoitellaan yhteenlaskua käyttämällä lukukortteja 13, 21, 29 ja 45. Onko summa parillinen vai pariton? Miksi?
- kun otetaan kaksi korttia kerrallaan, summa on aina parillinen
- otetaan lisäksi kortti 36. Onko summa nyt useammin parillinen vai pariton?

13 + 21          21 + 29          29 + 45          45 + 36
   + 29             + 45             + 36
   + 45             + 36
   + 36

10:stä mahdollisuudesta 6 on paritonta ja 4 parillista

Onko totta, että
- parillinen ja pariton luku voidaan saada yhtä monella tavalla summaksi?
- mahdollisista summista kolmasosa on parittomia ja kaksi kolmasosaa parillisia?
- jos lukukorteista neljäsosa on parittomia ja kolme neljäsosaa parillisia, on yhtä suuret mahdollisuudet saada parillinen kuin pariton summa?

Pussissa on 3 punaista ja 1 sininen helmi. Nostetaan monta kertaa kaksi helmeä kerrallaan.
- kuinka todennäköistä on, että helmet ovat samanvärisiä?

- punaiset helmet voi merkitä numeroilla, jolloin kaikki mahdolliset nostot voidaan merkitä

S   P1   P1   P2
S   P2   P1   P3
S   P3   P2   P3

- eli on yhtä todennäköistä, että sattuu samanväriset tai eriväriset helmet

Tilastotiede

Etsimme luokkahuoneen ulkopuolelta kiinnostavia aiheita
-maan korkeimpien paikkojen tilastosta merkitään kolme korkeinta: suurimmasta pienimpään tai pienimmästä suurimpaan
- piirretään pylväsdiagrammit; tarkastellaan, missä on suurin/pienin pyöristysvirhe, kun pyöristetään lähimpään sataan metriin
- kuinka monta rajanaapuria maallamme on?
- naapurimaiden kanssa yhteisen rajan pituus arvioidaan kartasta
- etsitään oikea maan nimi annettujen pituuksien kohdalle
- piirretään vaakadiagrammit (histogrammi vaakasuorassa)
- etsitään maan viiden asukasluvultaan (tai pinta-alaltaan) suurimman kaupungin nimet
- diagrammien piirtäminen
- värisauvoilla (merkitse kaupungin alkukirjain) tai esitä jollakin seuraavista tavoista:

Esimerkiksi
- cm voi kuvata 100000 asukasta
- kiekko voi kuvata 100000 asukasta

VIII SANALLISET TEHTÄVÄT

Näitä esitetään sekä suullisia että kirjallisia

Sanallisten tehtävien ratkaisemisen vaiheet:

1. ongelman tulkinta

2. matemaattisen mallin luominen eli kääntäminen matematiikan kielelle

3. matemaattisen ongelman ratkaiseminen

4. ratkaisun kääntäminen takaisin ja tulkitseminen alkuperäiseen ongelmaan
- näytteleminen, toiminta, piirtäminen, keskusteleminen, olennaisten ja epäolennaisten tietojen löytäminen apuna


Solmu © 2004 Matematiikkalehti Solmu
17.8.2004 ISSN 1458-8048 Tekijänoikeudet