Seuraten Tamás Varga - Eszter Neményi -menetelmää ovat kurssin kehittäneet Márta Oravecs ja Ágnes Kivovics.
Kurssimuistiinpanojen kirjoittaja: Kirsi Huttu-Nevanperä
Apuvälineiden käyttö kokonaisuuden ja sen osien hahmottamisessa
Esimerkkejä:
Pinta-alan laskeminen
- tässä voidaan käyttää apuvälineinä irrallisia neliösenttimetrin
palasia
- ruudukkokalvoja (eri määriä rivejä ja pylväitä)
Luvun asettaminen lukusuoralle, apuvälineinä
- paperintaittelu suikaleella, johon ei ole merkitty numeroita
- lukusuorakalvo, jossa näkyy tuhannet, sataviivat, satanumerot
(osa tai kaikki)
Geometria
- Nelikulmio (suunnikkaan nimitystä ei tarvitse tietää,
vain sen erityispiirteet)
- Passiivinen nimitysten käyttö, joka aktivoidaan 5.
luokalla
Ajattelutoimintaa
Analyysi:
- ongelma hajotetaan palasiksi, kootaan uudelleen yhteen
- olennaisin etsitään esiin; yhteyksien löytäminen
- piirtäminen, hyvät kysymykset
Synteesi:
- välitulokset takaisin alkuperäiseen tehtävään
- henkilö- ja tavarajunan kulkunopeus (päätellään
käyttämällä matkan pituutta ja siihen käytettyä aikaa)
ja päätelmä
- Esimerkki: Henkilöjuna kulkee 320 km neljässä tunnissa, tavarajuna 350 km
5 tunnissa tasaisella nopeudella. Kuinka pitkän matkan nopeampi juna kulkee
tunnissa? Lasketaan nopeudet, vastataan alkuperäiseen kysymykseen.
Vertailu:
- yhtäläisyydet ja erot
- 9 kolikkoa (foliolla päällystettyjä),
joista yksi "väärennetty" on kevyempi. Millä
tavoin käsin punnitsemalla saadaan mahdollisimman pian selville,
mikä niistä on väärennetty?
Vastaus: kolmea ja kolmea kolikkoa verrataan, jolloin oikea kolmen
kolikon joukko tunnistetaan. Tästä taas jatketaan
ja vertaillaan kahta (eli kaksi punnitusta)
Yhtäläisyyksien löytäminen:
1, (3 enemmän on) 4, (5 lisää on) 9,
(seitsemän enemmän on) 16;
lisätään siis seuraavaksi suurempi pariton luku
aloittaen luvusta 1.
Yleistäminen ja konkretisointi:
1 3 6 10 15 __ __
1,2 1,2,3 1,2,3,4 1,2,3,4,5
- lisätään aina seuraava kokonaisluku, josta tehdään yleistys
Järjestäminen:
- joukko jaetaan osajoukkoihin
- nelijalkaiset, koirat, pystykorvat
Analogia:
Mikä on johdonmukainen kuvio keskimmäiseen ruutuun sijoitettavaksi?
| X | O | V |
| O | X | |
| V | X | O |
Jokaisella vaaka- ja pystyrivillä on kulma (V), risti (X) ja pallo (O). Jokaisella vaaka- ja pystyrivillä on myös vihreä, punainen ja sininen kuvio. Tämä pätee riveille, joilla ei ole tyhjää ruutua. Jos keskelle sijoitetaan punainen kulma (V), se pätee kaikille riveille. Tällöin myös jokaista väriä on yhtä monta, samoin jokaista kuviota.
Luovuus ajattelussa
Kompakysymykset:
-Meillä on kolme lasia ja kymmenen kiekkoa/rahaa
- miten ne saadaan jaettua mukeihin niin, että
kaikkiin tulee pariton määrä?
- esim. kaksi mukia päällekkäin
(1 ja 9, 3 ja 7, 5 ja 5)
Vapaa ajattelu:
- Valtamerellä on 4 laivaa. Laivat sijaitsevat niin,
että minkä tahansa kahden laivan välissä on
200 m. Ensimmäinen on rahtilaiva, toinen matkustajalaiva,
kolmas öljytankkeri. Mikä on neljäs laiva?
- Kaikki laivat eivät voi sijaita meren pinnalla - neljäs
on ilmalaiva tai sukellusvene (uponnut?)
ARPAKUUTIO, luvut 0-9
- Otetaan kymmensivuinen kappale, jolla
heitetään kolmesti. Saadaan esimerkiksi 4, 0, 7. Nämä
muodostavat luvun 407.
- minuutin aikana heitetään niin monta kolmenumeroista
lukua kuin ehditään (ne sanotaan ääneen)
- arvataan, kuinka monta lukua tällä kappaleella voidaan
heittää
- sadat, kymmenet, ykköset merkitään systemaattisesti
(eriväriset nopat)
--- --- --- S K Y
Kuinka monta lukua voidaan muodostaa, jos kaksi ensimmäistä on jo arvottu? Vastaus 10. Esimerkiksi, jos kaksi ensimmäistä ovat 4 ja 4, ovat luvut
440, 441,..., 449
Ne luetaan ääneen.
Entä, jos ensimmäinen ja viimeinen on jo arvottu? Vastaus: 10. Esimerkiksi, jos luvut ovat 4, 0, niin 400, 410,...,490.
Kuinka monessa luvussa on 4 satojen paikalla ja kymmenten ja ykkösten
paikalla on 0-9?
- 400-499, 100 kpl
Entä niitä, joissa 1 on satojen paikalla?
- 100-199, 100 kpl
Kuinka monta kolminumeroista lukua on yhteensä?
- 100-199, 100 kpl
- 200-299, 100 kpl
- ...
- 900-999, 100 kpl
Vastaus: 9 . 10 . 10 (koska 0 ei voi olla sadoissa)
Heitetään noppaa ja yritetään muodostaa mahdollisimman suuri luku. Esimerkiksi, jos saadaan 6, 0, 2, näistä muodostetaan 620.
Tämän jälkeen tarkastellaan luvun paikkaa lukusuoralla miettimällä, mille kohdalle se kuuluu.
Mietitään, onko heitetyistä numeroista muodostettu luku suurin mahdollinen.
Heitetyistä numeroista yritetään muodostaa kolminumeroinen mahdollisimman suuri pariton luku. Esimerkiksi numeroista 0, 3, 4 saadaan 403.
Milloin hävitään?
- jos ykkösiin ei ole paritonta numeroa
Mahdollisimman pieni, kymmenissä parillinen luku
- milloin hävitään?
- jos pariton kymmeniin
Mikä on suurin kolminumeroinen luku, jolla on satasissa suurin paikka-arvo, kymmenissä todellinen arvo 10, ykkösissä muotoarvoltaan pienin luku? Vastaus: 911 (muotoarvo 6, paikka-arvo 6 kymppiä, todellinen arvo 60)
3. luokalla voidaan harjoitella myös setelirahoilla, esimerkiksi
5 (s) 41 (k) 1 (y), luku on 911 8 (s) 10 (k) 11 (y), luku on 911 11 (y) 9 (s) , luku on 911
Millä kolmella luvulla saat summaksi 911, jos
luvut ovat 511, 320, 130, 281, 500, 91, 270?
Vastaus: 320, 500 ja 91 tai 281, 500 ja 130 tai...
Osaatko tehdä kertolaskun, jonka tulo on 911?
Tutustuminen lukualueeseen 0-10000
Lukukäsitteen muodostamistehtäviä
Lukualueen laajentaminen lukusuoralla:
- ykkösittäin, kymmenittäin,
50 välein, sadoittain
- tummentaen ja etsien mitä lukuja siellä on;
sitten luvut kirjoitetaan (luonnollisia lukuja; mahdollisia
murtolukuja)
Suurennuslasilla tarkastellen tuhatsuoralta kahden tuhatluvun väliä
-> sataväli
-> kymmenväli
-> ykkösväli
Myös taulukkoja käyttämällä voidaan harjoitella
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100 2200 2300 2400
Harjoitellaan täydentämällä palasia edellisistä taulukoista.
LUKUTAULUKON 1-100 tehtäviä:
- Mikä on ensimmäisen rivin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
lukujen summa?
(irtopalasilla näytetään lukuparien yhteenlasku reunalta alkaen,
kullekin parille summa on 11). Pareja on 5, siis ensimmäisen rivin lukujen
summa on 55.
- Toinen rivi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20?
Kymmenen kymppiä (kasvu verrattuna 1. riviin) ja 55.
- Kolmas rivi? Kaksisataa ja 55.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 31 41 51 61 71 81 91
LUKUTAULUKKO 10-1000
- Mikä on ensimmäisen rivin lukujen summa? Vastaus: 550 (satakertainen edelliseen taulukkoon verrattuna)
- Toisen rivin lukujen summa? 1550 (koska kymmenen lukua on sadalla suurempi)
- Kolmas rivi? 2550
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 210 310 410 510 610 710 810 910
LUKUTAULUKKO 100-10000 (voidaan toteuttaa liimalapuilla)
- Hahmotatko lukusuoran? (asetetaan pystysuorassa langan päälle, esim. 1000-10000)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 2100 3100 4100 5100 6100 7100 8100 9100
- Mikä on ensimmäisen rivin lukujen summa? 5500
- Toinen rivi? 15500
- Kolmas rivi? 25500
HELMITAULU
Käytössä on 12 helmeä, joita asetetaan ykkös-, kymmen-, sata- ja tuhatpiikkeihin annetuilla ehdoilla. Näin muodostuu lukuja.
- Piirretään,
esitetään kiekoilla, lukuja luetaan ja merkitään.
- Tarkastellaan helmien määrää
suhteessa luvun suuruuteen (mikä piikki määrää?)
Lähestyminen kymmenjärjestelmän taholta
12 helmen tehtävä
- Satasia on yhdeksän. Kuinka monta lukua
voidaan muodostaa (t-s-k-y)?
- Muodostetaan ja merkitään
lukuina
3900 2910 2901 1920 1902 1911 930 903 921 912
- Merkitään ne myös lukusuoralle (lukujen suuruus:
mitä kauempana nollasta, sitä suurempi luku)
- Minkä kaikkien lukujen tapauksessa tuhansia
on kolminkertainen määrä satasiin verrattuna?
- Muodosta kaikki nämä luvut:
9300 6240 6204 6231 6213 6222 3180 3108 3171 3117 3162 3126 3153 3135 3144
- Luvussa tulee olla vähintään kolme yhtä suurta numeroa
9111 1911 1191 1119 2226 2262 2622 6222 3333 4440 4044 4404 444
Laskutoimitusten soveltamista todelliseen tilanteeseen - hyvän arvion opettelua
Papeririisien, kirjekuorinippujen ym. laskemista: 1 nippu - 10 nippua - 100 nippua - 1000 nippua
Pienen paperiliittimen mitattu pituus on 3 cm.
- Tehdään pitkä ketju, jonka pituus arvioidaan.
- Voisiko 5 m x 5 m -kokoisen hiekkalaatikon pituuden mitata
tuhannen 3 cm paperiliittimen mitalla?
- Isompi paperiliitin 5 cm, joista 10000 kappaleen ketju
- Pienempi paperiliitin 3cm, joista 10000 ketju
Ratkaisumahdollisuuksia:
3 cm . 5000 + 5 cm . 5000 tai (30000 cm + 50000 cm) tai (3cm + 5cm) . 5000
Mitä koulussa voisi olla 10000 kpl?
- Esim. kirjoja.
- Kuinka monta luokkaa, oppilasta
keskimäärin luokassa, oppilaalla kirjoja keskimäärin.
- Mittaluvuilla, pituuden, pinta-alan, tilavuuden mittaamien.
- Millimetripaperi: pieni neliö, sen sivun mittaaminen 1 mm
(alkuopetuksessa mitataan esim. lehden pinta-ala kiekoilla.
Neliöillä tai suorakulmioilla saadaan tarkempi tulos).
Huomataan: Mitä suurempi mittaväline, sitä vähemmän sitä tarvitaan, ja mitä suurempi mitattava, sitä enemmän mittavälinettä tarvittiin.
3. luokalla millimetripaperilla asetettiin kymmenen yhden neliömillimetrin palasta päällekkäin, saatiin pylväs.
Mitataan kymmenen pylvästä vierekkäin, saadaan neliösenttimetri. Asettamalla kymmenen neliösenttimetriä päällekkäin saadaan sauva. Kymmenen sauvaa vierekkäin muodostaa neliödesimetrin.
1000 . 10 = 10000, 100 . 10 = ___, 10 . 10 = ___, 10 . 1 = ___, 1000 . 100 = ___
Millimetripaperista leikatuilla tai kehystetyillä alueilla
voidaan helposti havainnollistaa suuria lukuja, jopa useita tuhansia.
Esim. 5372 ruutua voidaan varsin helposti erottaa millimetripaperilta.
- Millimetripaperilta palasten mittaamista.
- Useita laskutapoja.
- Miten suuri pinta-ala on peitettynä (voi
täydentää tarvittaessa piirtämällä
esim. neliösenttimetrejä).
- Jos lapsi laskee vielä ruudut yksitellen,
annetaan hänen laskea.
Mittaaminen esim. kirjevaa'alla, punnitseminen
- 1 lankakerä painaa 50 g ja
siinä on n. 200 m (kerä avataan ja tutkitaan
asia viemällä lankaa pitkin käytävää)
Tehdään taulukko:
1 2 3 4 5 50 g 100 g 150 g 200 g 250 g 300 g 200 m 400 m 600 m 800 m 1400 m
Lasketaan esimerkiksi tällaisia tehtäviä:
- Kuinka paljon painaa 10000 m?
- Yhteen villapaitaan kuluu 1/2 kg lankaa.
Kuinka monta metriä lankaa tarvitaan?
(10 kerää on 2000 m; 1 kerä on 200m)
Koulun lattialaattojen määrä: ryhmittäin jaetaan laskettavat tilat (arvioidaan, ellei pystytä laskemaan tarkasti) ja kaikki tilat lasketaan yhteen.
Ostokset: mitä voit ostaa 10000 eurolla?
- Mitkä maksavat yhtä paljon tai enemmän kuin
1000 e ja mitkä vähemmän kuin 1000 e?
Villapaita
Moottoripyörä
Silitysrauta
Tietokone
Sohva
Kitaran vahvistin
Potkulauta
Auto
Matka maailman ympäri
| Yhtä paljon tai enemmän kuin 1000 e | Vähemmän kuin 1000 e |
| Moottoripyörä | Villapaita |
| Tietokone | Silitysrauta |
| Sohva | Potkulauta |
| Auto | Kitaran vahvistin |
| Matka maailman ympäri |
Keksitään laskutehtäviä
- Kuinka monta tavaraa saa 10000 eurolla?
- Jos saisin ostaa joka päivä yhden,
kuinka kauan 10000e riittäisi?
Apuvälineinä voidaan käyttää paperilokerikkoa, sadattuhannet,
kymmnettuhannet, ...
st - kt - t - s - k - y
Haltija taikoo rahat:
- kaksinkertaiseksi
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 |
| ___ | ___ | ___ | ___ | ___ |
- viisinkertaiseksi
| 1 | 10 | 100 |
| ___ | ___ | ___ |
- kymmenkertaiseksi
| 1 | 10 | 100 |
| ___ | ___ | ___ |
Rahamäärien kertominen
(paikka-arvo) taulukossa (nuoli ja siirto vasemmalle eli
kymmenkertaistus)
- nolla merkitään
Kuinka paljon arvo nousee, jos siirtyy kaksi
pykälää vasemmalle?
Vastaus: Luku tulee satakertaiseksi.
Taulukolla voidaan havainnollistaa vaiheittaista kymmenkertaistamista.
----> kymmenkertaistus
<---- kymmenesosa
| . 10 | ||
| 6 | ----> | 60 |
| <---- | ||
| ___ | ||
| 10 |
| kt | t | s | k | y | |
| 7 | . 10 | ||||
| 70 | . 10 | ||||
| 700 | . 10 | ||||
| 7000 | . 10 | ||||
| 70000 | . 10 |
Voidaan tarkastella esimerkiksi senttien ja millien suhdetta käyttäen langanpätkää apuna (mitataan 8 cm, siis 80 mm).
Taulukosta nähdään pituusyksikköjen suhteita.
1000000 mm 100000 mm 10000 mm 1000 mm 100 mm 10 mm 1 mm 100000 cm 10000 cm 1000 cm 100 cm 10 cm 1 cm 10000 dm 1000 dm 100 dm 10 dm 1 dm 1000 m 100 m 10 m 1 m m st kt t s k y
1242 mm pitkä lanka on siis
1 m 2 dm 4 cm 2 mm
3610 mm pitkä lanka on
36 dm 1 cm
Tämä voidaan lukea:
3 6 1 0 mm
3 m 61 cm
3 m 610 mm
Värisauvoilla voidaan laskea pituuksia, esim. 36 kpl kymmensenttisauvoja ja yksi 1 cm pala.
Vastaavaa harjoittelua voidaan tehdä tilavuusmitoilla:
1000 ml 100 ml 10 ml 1 ml 100 cl 10 cl 1 cl 10 dl 1 dl 1 l
Painomitoilla:
1000 g 100 g 10 g 1 g 1 kg
Roomalaiset numerot
CCCLXVI (366) Huomaa, että roomalaisen numeroesityksen
pituus ei kerro luvun suuruudesta.
XXXVIII (38)
Laskutoimitukset
- Summa, erotus, tulo ja osamäärä;
- Yhteenlaskettavat, vähenevä ja
vähentäjä, kertoja ja kerrottava, jaettava ja jakaja
- Yhteenlaskettavien paikat ovat vaihdettavissa (tämä
on reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisominaisuus)
- Jonkinlainen arvio kauppalaskun summasta on tarpeen
käytännön elämässä
- Pyöristäminen ja likiarvoilla laskeminen
Numerolappuja tehdään itse. Silloin käytämme
vain näitä lukuja, eikä samaa lappua useampia kertoja.
- Lukupareja, joista toinen on suunnilleen kymmenkertainen
toiseen verrattuna, poimitaan lapuista, esimerkiksi lapuista
| 39 ja 401 (10 . 40 on 400) | 31 ja 305, 513 ja 4985, 103 ja 980 |
Etsitään lukupareja, joista toinen on toisen
sadas- tai tuhannesosa.
Sadasosa
8401 ja 84
Numeroista 2 6 0 0 kirjoitetaan kaikki mahdolliset luvut.
On tiedettävä, voiko käyttää kaksi kertaa kakkosta.
26 62 260 206 620 602 2600 2060 2006 6200 6020 6002
- Etsi ne parit, joista toinen on toinen kymmenkertaisena
- Etsi ne parit, joista toinen on toinen satakertaisena
Langanpätkän kymmenkertaistaminen
Voidaan harjoitella myös käyttämällä millimetriruudukkoa.
Kymmenkertaistetaan yksikkö.
Tällöin ruutu suurenee joka suuntaan eli säilyttää
muotonsa, saadaan neliösenttimetri. Mitä tapahtuu pinta-alalle?
- Neliödesimetrin kokoisia papereita, joilla muodostetaan
kymmenkertainen alue.
- Papereilla peitetään jokin koulun alue
eli mitataan sen pinta-ala.
- Jos kuutiosenttimetrin särmä kaksinkertaistetaan,
mitä tapahtuu? Kappale ei kasva vain leveyttä,
vaan muutosta tapahtuu kolmeen suuntaan: pituus, leveys ja korkeus.
Jos kuution särmä on 1 cm ja se kymmenkertaistetaan, mitä tapahtuu
tilavuudelle?
- Kymmenkertaistettu on 1000 kuutiosenttimetriä
(uusi tilavuus on 1000-kertainen)
Laskutoimitusten muutoksia
1986 + 14 = _____, 1986 + 24 = _____, 1986 + 114 = _____
Mitä tapahtuu, kun yhteenlaskettava lisääntyy yhdellä, kymmenellä tai sadalla?
1986 + 15 = _____, 1986 + 34 = _____, 1986 + 214 = _____
1986 + 16 = _____, 1986 + 44 = _____
1986 + 17 = _____, 1986 + 54 = _____
Mitä tapahtuu, kun vähentäjä suurenee yhdellä, kymmenellä tai sadalla?
1986 - 14 = _____, 1986 - 24 = _____, 1986 - 114 = _____
1986 - 15 = _____, 1986 - 34 = _____, 1986 - 214 = _____
Kertolasku
24 . 15 = (10 + 10 + 4) . 15 tai 24 . (10 + 5) tai (8 + 6 + 10) . 15 tai (12 + 12) . 15
Kertolaskua voidaan harjoitella täydentämällä kertotaulukkoja.
30 7 70 14
9 72
25 7500
18 144 1440
50
70
27
3
30
15
4200
3 30
| . 10 | ||
| 3 | ----> | 30 |
| <---- | ||
| ___ | ||
| 10 |
Laskutapojen opettamisen järjestys
Päässälasku
- Yhteen- ja vähennyslasku päässä
10000 saakka huomioiden erityisesti suuret luvut
- Kertominen kympeillä ja satasilla
- Jakaminen 1-numeroisilla ja kympeillä
Kirjallisesti
- Yhteen- ja vähennyslaskut
- 1-numeroinen kertoja
- Kertolaskut 2- ja 3-numeroisilla luvuilla
- Jaollisuuden tarkastelua
- Jakolaskuja; jakajana 1- ja 2-numeroinen luku
Esimerkkejä
1000 + 7000 (1t + 7t)
3000 + 600 (3t + 6s)
3200 + 2000
3200 + 3100 (3t + 3t + 2s + 1s)
Analogiaa voidaan hyödyntää.
4 + 7 40 + 70 400 + 700 14 + 27 140 + 270 1400 + 2700 54 + 17 540 + 170 5400 + 1700 15 - 9 150 - 90 1500 - 900 35 - 19 350 - 190 3500 - 1900 65 - 59 85 - 29
3600, 1800, 2500, 2700 Kuinka monta yhteenlaskua voit tehdä näistä luvuista silloin, kun käytät kolmea yhteenlaskettavaa?
Lukujonoja voidaan harjoitella, esimerkiksi edelliseen lukuun lisätään aina 23:
23 46 69 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
92 115 138 161 184 207 230 253 276 299
322 345 368
391 414 437
460 483 506
529 552 575
598 621 644
667 690
Kirjoittamalla luvut sopivasti allekkain huomataan toistoa. Mitä näkyy viimeisistä numeroista? Entä muista? 3-6-9-2-5-8-1-4-7-0 tai 2-4-6-9-11-13-16-18-20-23-25
Kymmenkerrat 23-230 jne
Jos luvut kirjoitetaan kymmenen riveissä: ykköset samat, kympit lisääntyvät kolmella ja sadat kahdella.
23 46 69 92 115 138 161 184 207 230 Satojen lisäys rivillä:
253 276 299 322 345 368 391 414 437 460 + 2
483 506 529 552 575 598 621 644 667 690 + 2
713 805 920 + 3
943 1035 1150 + 2
1265 1380 + 2
1495 1610 + 3
1725 1840 + 3
1955 2070
2185 2300
Missä kohdissa satasten määrä muuttuukin kolmella?
Kymmenennen sarakkeen luku on 115 pienempi kuin viidennen sarakkeen luku.
Tarkastele viidennen sarakkeen lukuja satojen osalta, missä kohdissa ne lisääntyvät 2:lla, missä 3:lla?
+2 +2 +3 +2 +2 +2 +3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Jakolasku
Esimerkkejä
6 . 2 = _____, 9 . 5 = _____
6 . 20 = _____, 9 . 50 = _____
120 : 2 = _____, 450 : 5 = _____
120 : 20 = _____, 450 : 50 = _____
120 : 6 = _____, 450 : 9 = _____
120 : 60 = _____, 450 : 90 = _____
7200 : 3 = _____
Tämän tehtävän avattu muoto on (3000 + 3000 + 1200) : 3. Ositellen jakamalla saadaan tulos 1000 + 1000 + 400= 2400.
Laskutoimitusten järjestys
Sulut otetaan käyttöön 2. luokalla
- Harjoitellaan sanallisen tehtävän avulla
(kaksi ratkaisumahdollisuutta): neliön muotoisen
pöytäliinan sivun pituus on 87 cm. Tätä varten ostetaan
4 metrin pituinen reunanauha. Kuinka paljon reunanauhaa jää
jäljelle?
- Oppilaat arvioivat liinan koon, se piirretään
oikean kokoisena mittaamalla. Mille pöydälle se sopisi?
I-----I 87 cm
I-----I-----I-----I-----I 87 cm x 4 = 348 cm
400 cm - (87 cm x 4) = _______
tai
I-----------------------I-----------I 400cm 400 cm - 348 cm = 52 cm
4 x 87 cm
Sulut, kerto- ja jakolaskut, yhteen- ja vähennyslaskut
Järjestelmällinen ratkaisumenetelmä:
Aluksi luetaan tehtävä
Katostaan, onko siinä sulkumerkit
Jos on, ratkaistaan suluissa olevat laskut ja kirjoita alle tulos
Ellei, katsotaan, onko vain samanarvoisia laskutoimituksia.
Jos on, ratkaistaan laskut vasemmalta oikealle
Ellei, laske ensin kertolaskut, jakolaskut, ja kirjoitetaan tulokset niiden alle
Esimerkkejä
| 430 + (7200 - 1500) - 3 - 430 . 5 = | 430 + 7200 - (1500 - 3 - 430 ) . 5 = | |
| 430 + 5700 - 3 - 430 . 5 = | 430 + 7200 - 1067 . 5 = | |
| 430 + 5700 - 3 - 2150 = | 430 + 7200 - 5335 = | |
| 6130 - 3 - 2150 = | 7630 - 5335 = | |
| 6127 - 2150 = | 2295 | |
| 3977 |
Apuna voidaan käyttää eri värejä eri vaiheiden laskutoimituksille!
( )
. :
+ -
Laskujärjestys
| 1. | 2. | 3. | 2. | 1. | 3. | ||||||||||
| (3500 | - | 750) | . | 2 | + | 800 | 3500 | - | 750 | . | 2 | + | 800 |
(560 - 180) : 2 560 - 180 : 2 piirrä
560 - 180 180 : 2 ?
I---------------------I-------I I---------I----------------I
? 560
1. Teatterissa oli aamupäivällä 560 lippua jäljellä. Keskipäivään mennessä myytiin 180 lippua. Iltapäivällä lopuista lipuista myytiin puolet. Kuinka monta lippua jäi?
2. Kerrostalossa asui 180 ihmistä. Näista puolet muutti pois. Ennen muuttoa alueella asui 560 asukasta. Kuinka paljon asukkaita jäi?
3. luokalla otetaan esiin puolikas, neljännes jne.
mittaamisen ja vertailun avulla; esim. veden kaataminen, paperin taittelu.
- otetaan esille nimityksiä
- (3.lk) yksi viidennes
- (4. lk) 1/5
Yksikkömurtoluvut
- murtoluku ilmaisee osan suhdetta kokonaiseen
- hiekkakasan/jauhojen/riisin jakaminen kolmeen kasaan,
jolloin yksi kasa on kolmannes koko hiekka/jauho/riisimäärästä
- mittaamalla väritangoilla voidaan harjoitella murtolukuja
- esimerkiksi jos tummanpunainen sauva on 1 (kokonainen), etsi sen puolikas (on punainen), sen neljäsosa (on vaaleanpunainen), sen kuudesosa (ei voi ratkaista värisauvoilla, sillä tummanpunaisen sauvan pituus pitäisi jakaa kuuteen yhtäpitkään osaan)
- piirretään neliöpaperille puutarhoja, jaetaan näitä neljään osaan, joista yksi väritetään
- opettaja värittää kahdeksasosan ja oppilas nimeää sen
- paperintaittelulla, langanpätkällä, geolaudalla, vaa'alla niin, että painavampaa on 1 kpl ja kevyempää 2 kpl jne.
Yksikkömurtolukujen monikerrat
- puoli tai 1/2
- neljä kahdeksasosaa 4/8
- kaksi neljäsosaa 2/4
- yksi kahdesosa 1/2
Tehtäviä:
- Näytetään puolikas värisauvoilla, muodosta 1 kokonainen.
- Ruuduista on neljä väritetty. Tämä on yksi kokonainen. Kuinka paljon on 12 ruutua? 3 kokonaista eli 3/1.
- Ruuduista 12 väritetty, tämä on 1. Kuinka paljon on 4 ruutua? 1/3.
Lukusuoralle sijoitetaan murtolukuja. Esimerkiksi: Kaksi kolmasosaa (2/3) on enemmän kuin yksi kahdesosa.
1/2 2/3
<--|--------*---*-----|-------------------|-------------------|-->
0 1 2 3
Paperintaittelulla
A4-paperi taitellaan kolmeen yhtäsuureen osaan. Yksi osa väritetään ja merkitään 1/3.
Paperi taitetaan vielä pituussuunnassa kerran. Kuinka monta osaa nyt on? (6) Kuinka monta kuudesosaa on yhdessä kolmasosassa?
Taitetaan kuudesosa vielä molempiin suuntiin. Etsitään paperilta havainnollistus sille, että 1/3 = 2/6 = 4/12 = 8/24.
1/24 , 1 osoittaja, 24 nimittäjä, murtoviiva kertoo osiin jakamisesta (murtamisesta).
1/3, 5/5, 6/4, 1/10, 3/4, 2/3, 3/3, 3/2 Ympyröi luku, jonka ajattelet olevan kokonainen. (Varmista taitellen, värisauvoilla.)
Nopilla: punainen noppa on osoittaja, valkoinen nimittäjä.
Heitetään, sanotaan tulos ja kirjoitetaan murtoluku.
Osoittaja kertoo kuinka monta osaa on otettu, nimittäjä sen,
kuinka moneen osaan on jaettu.
- Lapset keksivät itse muun tavan havainnollistaa esim.
värikynillä. Värisauvoilla 3/2 (oranssi ja keltainen
värisauva, mikä on 1? oranssi).
- Kuinka monta murtolukua voit muodostaa kahdella nopalla? 36
- Ympyröi kaikki kokonaisluvut värikynällä
taulukosta. Lisäksi etsitään yhtä suuret luvut.
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 5/6 6/1 6/2 6/3 6/4 6/5 6/6
Numerokortit 1, 2, 3, 4, 6, 9 asetetaan nurinpäin pöydälle. Nostetaan ensin nimittäjä ja sitten osoittaja.
Toinen harjoitus: Nostetaan osoittaja ja kortti palautetaan. Sitten nimittäjä.
Kokonaislukujen murto-osa
1000/5
Isä ja äiti järjestivät 120 km pyöräretken. Ensimmäisenä päivänä he polkivat kolmanneksen matkasta, toisena päivänä jäljellä olevasta matkasta 5/8. Lopun matkan äiti ja isä polkivat kolmantena päivänä. Kuinka monta kilometriä he polkivat kolmantena päivänä?
Havainnollista vihreällä sauvalla tai erottamalla 12 cm viivaimesta:
4 cm 5 cm 3 cm 12 cm
40 km 50 km 30 km 120 km
1/3 5/12 1/4
Punainen Keltainen Vaalean- Vihreä
sininen
120 km / 3 = 40 km
120 km - 40 km = 80 km
80 km / 8 . 5 = 50 km
80 km - 50 km = 30 km
Mirri ja Misse jakoivat lautasellisen maitoa. Kun Mirri oli
juonut, Misse joi jäljelle jääneestä
viidenneksen ja lisäksi myös 20 cl. Näin kissat
joivat yhtä paljon ja lautanen tyhjeni. Kuinka monta dl
maitoa kissat jakoivat?
- Vastaus: 5 dl
Kolme kullankaivajaa, Jussi, Joel ja Ville istuivat piiriin työnsä päätteeksi, jotta he voisivat jakaa aarteet sopimuksen mukaisesti. Puolet kullasta oli luvattu Jussille, koska hän tunsi paikan. Joel sai kolmasosan, koska hän toi työkalut. Neljännes kuului Villelle, koska hän auttoi työssä. Jussi otti nopeasti puolet ja häipyi. Joel ja Ville rupesivat riitelemään. Miksi? (1/2 + 1/3 + 1/4 > 1)
Lukukäsitteen laajennusta: negatiiviset luvut
3. luokalla tulee esiin negatiivisia lukuja lämpömittarista, lukusuoralla astellen.
Lämpömittari: kuminauha kartongin läpi, puolet kuminauhasta punaiseksi, puolet siniseksi.
- Väritä lämpömittareihin
6, -2, -4, 3, -5, -10, 12, 4 Celsiusastetta
12, 2, 5, -10, -7, 3, -4, 6 Celsiusastetta
- Etsi kaksi positiivista lämpötilaa ja vertaa kumpi on suurempi ___ < ___
- Etsi sekä positiivinen että negatiivinen lämpötila
- Etsi kaksi negatiivista lämpötilaa ja vertaa niitä ("suurempi" luku ei olekaan lämpimämpi)
- Himalaja on 8848 m korkea (merenpinnasta eli nollasta). Mariaanien hauta on 11034 m syvä.
Tehdään taulukko
| Keskimääräinen syvyys | Suurin syvyys (pienin korkeus) | |
| Tyyni valtameri | 4028 m | 11034 m |
| Atlantin valtameri | 3743 m | 9219 m |
| Intian valtameri | 3963 m | 7450 m |
Merkitään syvyys negatiivisena kun merkitään nämä lukusuoralle. Merenpinta on nollakohta.
<-- -->
-----------------------------------|----------------------------
-i---i---i---i---i---i---i---i---|---i---i---i---i---i---i---i--- häät sisko oma syntymäsi koulun alku
Tee kuvan mukainen "aikataulu" itsestäsi.
- Kuinka monta vuotta vanhempasi olivat olleet naimisissa
ennen kuin sinä synnyit?
- Kuinka monta vuotta vanha isosiskosi oli, kun sinä
synnyit?
Rahoilla
- ympyrä tarkoittaa yhtä euroa käteistä,
neliö yhtä euroa velkaa (voit käyttää loogisia paloja)
- jos neliöitä on enemmän, on lopputulos
"miinuseuroja" eli velkaa
- piiroksista kerrotaan, paljonko käteisiä euroja on ja
paljonko velkaa sekä kuinka paljon rahaa/velkaa lopulta on
(merkitään lapuilla)
- täytetään kukkaro (piirtäen / paloilla /
päässä laskien) niin, että lopputulos
on esim. velkaa 2 euroa (monia ratkaisuja)
- jälleen piiroksista:
- lapset keskustelevat, kenellä on eniten rahaa
- verrataan ensin positiivisia summia ___ < ___
- sitten negatiivista positiiviseen
- viimeiseksi negatiivisia keskenään
- lukusuoralla: positiivisilla luvuilla oikealle siirtyminen merkitsee suurenemista, negatiivisilla luvuilla luku pienenee vasemmalle mentäessä
- nopilla: harjoitellaan siirtelemällä esim. kynää
pahvilukusuoralla, punaisen nopan silmäluvulla siirrytään askelia
vasemmalle ja valkoisen oikealle
- voidaan myös ottaa askelia käytävällä oikealle ja vasemmalle;
ylös ja alas
10 omenaa jaetaan kolmelle, kukin saa 3 ja jää 1 (joka voidaan jakaa, kullekin 1/3)
Luku on jaollinen kolmella, jos saamme osamääräksi kokonaisluvun, jolloin jakojäännös on nolla
-Mitkä seuraavista luvuista ovat jaollisia kolmella?
23 24 25 250 240 2400 2399 399 2401 2402 2404 2405 2406 30 3000 3010 3240 5400 5399
24 on, (25 ei, koska kolmea ei mahdu yhtä kertaa lisää), toisaalta luku on jaollinen kolmella, jos sitä pienemmästä jää jakojäännökseksi 2. 3 ja 9 ovat kolmella jaollisia, 2406 on, 30 ja 3000 ovat sen monikertoja, 3240 on 3000 ja 240, 5400 voidaan jakaa summamuotoon 3000 ja 2400
Kolmella jaollisuutta voidaan havainnollistaa merkitsemällä ympyrät O, kulmat V ja ristit X (liimalapuilla):
| Luku | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Luvun merkki | O | V | X | O | V | X | O | V | X | O | V | X | __ |
Täydennä:
| Luku | 2 | 5 | 8 | 9 | 10 | 13 | 17 | 18 | 20 | 21 | 101 |
| Luvun merkki | X | X | X | O | V | V | X | O | __ | __ | X |
Tehtävä. Ajattelin lukua, johon lisäsin 14 ja sitä merkitään ympyrällä. Mikä ajattelemani luku voi olla?
30 : 6 = 5, jolloin 6 on tekijä,
koska jako menee tasan.
32 : 6 = 5, jää 2, jolloin 6 ei ole 32:n
tekijä
- etsi kaikki 36:n tekijät
1 . 36
2 . 18
3 . 12
4 . 9
6 . 6 = 2 . 2 . 3 . 3
- etsi lukuja, joiden monikerta on 36
1 . 36
2 . 18 = 18 . 2
3 . 12 = 12 . 3
4 . 9 = 9 . 4
6 . 6
Aivastusleikki: joka 3:s sanoo "atsii" ja joka 4:s "terveydeksi". Kuinka monennella kerralla ne sanotaan yhtä aikaa?
Neliössä liikkuminen: piirretään maahan kaksi niin suurta neliö, että lapsi pystyy yhdellä askeleella siirtymään nurkasta toiseen. Neliöihin merkitään aloituspiste ja kulkusuunnan osoittava nuoli. Toinen lapsi saa halkaista neliön keskeltä eli kulkea kolmiota. Mitä tapahtuu, kun lapset ottavat askelia samassa tahdissa?
Pellet pyöräilevät. Toisen pyöränä on kolmio, toisen neliö. Kolmion yksi kulma on punainen ja se jättää punaisen jäljen. Neliön yksi kulma on sininen ja se jättää sinisen jäljen.
Merkitse:
__15___14___13___12___11___10___9___8___7___6___5___4___3___2___1___0
47___48___49
46___45___44___43___42___41___40___39___38___37___36___35___34
16___17___18___19___20___21___22___23___24___25___26___27___28___29___30___31___32___33___
Pellet pyöräilevät:
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 (punaisia, 4:llä jaollisia)
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 (sinisiä, 3:lla jaollisia)
0 12 24 36 48 (kohtauspaikat)
Lastentarhanopettaja jakaa kolmelle lapselle värillisiä papereita. Kuinka monta paperia hän jakaa? Täydennä taulukko.
Toisella kerralla tulee yksi lapsi lisää.
| Papereita yhteensä | 12 | 24 | 36 | 48 |
| Ensimmäisellä kerralla | 4 | 8 | 12 | 16 |
| Toisella kerralla | 3 | 6 | 9 | 12 |
Koputtamalla: opettaja koputtaa tasaisesti. Lapsi koputtaa joka neljännellä kerralla ja toinen lapsi joka kolmannella kerralla. Milloin he molemmat koputtavat yhtä aikaa?
Kolmikulmaiseksi pyöritetty lukusuora (kolmioksi taitettu kartonkipötkö ja paperisuora, jossa luvut päällekkäin niin, että kullekin kolmikulmaisen pötkön sivulle tulee kolmella jaolliset luvut).
Minne kuuluvat seuraavat luvut? 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13
Entä luvut 0, 8, 16, 1, 9, 17, 2, 18, 22, 7, 19, 20, 40, 21, 37, 38, 23, 39?
Mihin seuraavista joukoista edelliset luvut kuuluvat?
A B C
Jakojäännös 0 1 2
Jakojäännöspyörä: Tässä on kyse 8:lla jaollisuudesta,
joten numerot ovat 0-1-2-3-4-5-6-7, nuoli myötäpäivään
osoittaa kulkusuunnan, viisari liikkuu
- mihin viisari osoittaa yhdeksän siirron jälkeen (vastaus: 1)
- mihin numeroon viisari päätyy 17 askelen jälkeen?
(kaksi kokonaista, jää yksi)
- värisauvoilla: Mitkä sauvat voidaan muodostaa
pienemmillä sauvoilla?
_____ |_____| |__|__| ___________ |___________| |_____|_____| |__|__|__|__| _________________ |_________________| |________|________| |_____|_____|_____| |__|__|__|__|__|__|
Lukujen 1-24 tekijät näkyvät taulukosta.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 x 2 x x 3 x x 4 x x x 5 x x 6 x x x x 7 x x 8 x x x x 9 x x x 10 x x x x 11 x x 12 x x x x x x 13 x x 14 x x x x 15 x x x x 16 x x x x x 17 x x 18 x x x x x x 19 x x 20 x x x x x x 21 x x x x 22 x x x x 23 x x 24 x x x x x x x x
Tehdään lukulaput 1-32 niistä luvuista, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja ykkösellä
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23
jäljellä olevat kahdella jaolliset
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
sekä loput
1 9 15 21 25 27 29 31
Annetuista lapuista toinen etsii kaikki 24:n tekijät ja toinen 32:n tekijät.
24 32
1 2 4 6 1 2 4 8 molemmille yhteiset tekijät 1, 2, 4, 8
8 12 24 16 32
Muodostetaan tuloja luvuista
2 3 5 7 11 13
3 . 5 = 15
7 . 11 = 77
2 . 2 . 2 = 8
2 . 2 . 2 . 3 = 24
3 . 2 . 2 . 2 . 3 = 72
Ylöspäin siirtyminen merkitsee 2:lla kertomista, oikealle 3:lla. Täydennetään jälkimmäinen kuvio.
8 24 72 __ __ __ 4 12 36 4 __ __ 2 6 18 __ __ __ 1 3 9 1 __ __
Rakennellaan 4 cm pillin pätkistä
pyramidin runko, pyramidit päällekkäin, tetraedri.
Kirjoitetaan taulukkoon kuinka monta pilliä tarvitaan (sivua).
Kuinka monta kärkeä (joissa ainakin 3 särmää kohtaa)?
Kuinka monta tahkoa?
Huom. Kaikki todetaan koskettaen kappaleesta!
Ryhmittele esim. kaarevat ja ei-kaarevat esineet omiin ryhmiinsä, suoratahkoiset ja ei, suoratahkoiset (kuten kuutio tai tulitikkuaski) ovat kuusitahkoisia, 8-kärkisiä ja 12-särmäisiä.
Mikä kappaleista ei ole suorakulmainen särmiö?
Tulitikkuaski: kokeillaan vastakkaiset tahkot käsien
välissä ja todetaan, että
vastakkaiset tahkot ovat yhdensuuntaiset.
- vierekkäiset tahkot ovat suorassa kulmassa toisiinsa
nähden.
Vastakkaiset tahkot ovat yhdensuuntaisia ja yhteneväisiä
- kotitehtäväksi tehdä esim. 3 cm x 4 cm x 5 cm
mittainen suorakulmainen särmiö
Leikkaa paperisuikaleesta erimallisia nelikulmioita
(ja etsi yhtäläisyyksiä, jaottele). Esim. etsi
- yhdensuuntaisia sivuja
- nelikulmioita, joiden vierekkäiset sivut kohtaavat suorassa kulmassa
(opettajalla on kassissa nelikulmiot, joiden sivut ovat
yhdensuuntaiset, rasiassa suorakulmaiset)
- epämääräisen paperipalan voi
taittaa suorakulmaiseksi ja sen avulla todetaan suorat kulmat
Havainnollistetaan sitä, että neliökin on suorakulmio. Leikataan ruutupaperista esim. 5 x 8 ruudun palanen. Todetaan, että sen kulmat ovat suorat ja vastakkaiset sivut yhdensuuntaiset. Leikataan pois lyhemmän sivun suuntainen ruuturivi, jolloin jää 5 x 7 ruutua. Todetaan taas kulmien suoruus ja sivujen yhdensuuntaisuus. Jatketaan, kunnes meillä on neliö, jossa myös kulmat ovat suorat ja vastakkaiset sivut yhdensuuntaiset.
Vastaava harjoitus tehdään suorakulmaisella muovailuvahasärmiöllä. Tutkitaan kulmien suoruutta, särmien yhdensuuntaisuutta, tahkojen, särmien ja kärkien lukumäärää, tahkojen yhdensuuntaisuutta. Leikellään pois tasapaksuja viipaleita, kunnes saadaan kuutio.
Tasokuviosta kootaan suorakulmainen särmiö (joko kuvittelun tai leikkaamisen ja kokoamisen avulla).
Loogisilla paloilla:
neliöistä teipataan kuutio, joka leikataan
tasokuvioksi, vaipaksi (ja kootaan taas kuutioksi)
- voiko leikata useammilla tavoilla?
Väritä vaipasta samalla värillä ne,
jotka tulevat vastakkaisiksi tahkoiksi
- leikkaa, kokoa ja tarkista
Tehtävämonisteessa on aukileikattuja kuution vaippoja, joiden sivutahkoihin on merkitty lukuja. Tehtävänä on etsiä ne, joista koottujen kuutioiden vastakkaisten sivutahkojen lukujen summat ovat jaollisia viidellä.
Pinta, pinta-ala ja piiri
Loogisista paloista verrataan neliön ja ympyrän
piiriä: miten sen voi tehdä?
- mittaamalla langan avulla tai merkitsemällä aloituskohta
Verrataan neliöistä yhdistämällä saatua pinta-alaa ja piiriä. Tämä voidaan tehdä myös liimalapuilla; lappuja lisätään yksi kerrallaan, jolloin
pinta-ala | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | | | | 20 | ---------------------------------------------------------- .... ------- piiri | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | | | | | 42 |
Siis kun pinta-ala on 1, on piiri 4
pinta-ala 2, piiri 4 . 2 - 2
pinta-ala 3, piiri 4 . 3 - 2 . 2
pinta-ala 4, piiri 4 . 4 - 2 . 3
pinta-ala 20, piiri 4 . 20 - 2 . 19 = 42
Oppilailla on 1 cm2
paperipalat suorassa rivissä (opettajalla liimalaput taululla)
- suorakulmion muotoa muutetaan itse valitun muotoiseksi
- lyhyempi sivu kaksinkertaistui; pitempi puolittui;
pinta-ala pysyi samana ja piiri pieneni
- kun lyhyempi sivu nelinkertaistuu, pitempi sivu on neljäsosa
Mitä pitempi jono paperinpaloja, sitä pitempi piiri.
Huomaa, että neliökin on suorakulmio.
Lasketaan suorakulmioiden pinta-aloja ja piirejä:
| lyhyempi sivu | 1 cm | 2 cm | 3 cm | 4 cm | 6 cm |
| pitempi sivu | 36 cm | 18 cm | 12 cm | 9 cm | 6 cm |
| pinta-ala | 36 cm2 | 36 cm2 | 36 cm2 | 36 cm2 | 36 cm2 |
| piiri | 74 cm | 40 cm | 30 cm | 26 cm | 24 cm |
Pyyheliinan piirin mittaaminen: voidaan tehdä
pitkä + lyhyt + pitkä + lyhyt tai
pitkä + pitkä + lyhyt + lyhyt tai
(lyhyt + pitkä) . 2
Kuution vaipan laskeminen: tahkojen (6) pinta-alojen summa
- suorakulmaisen särmiön vaippa on yhtä
suurten vastakkaisten palojen summa
Todennäköisyyteen liittyvät pelit ja leikit
- lapset lukevat itse säännöt (yksin tai ryhmissä) tai opettaja kertoo
- 50-peli: vihko, kynä ja noppa; 4-6 henkeä
- kaikki heittävät noppaa vuorollaan, voittaja on se,
joka saavuttaa pisterajan 50 ensimmäisenä.
- kissa-hiiri -leikki (kissan ja hiiren korvat)
- pelikentällä 20 ruutua peräkkäin;
kissa lähtee 1. ruudusta ja hiiri 10. ruudusta. Noppaa
heitetään vuorotellen: hiiri liikkuu eteenpäin,
kun heittää 1, 2, 3 tai 4. Kissa pääsee
eteenpäin heittäessään 5 tai 6. Jos kissa
ohittaa tai saa hiiren kiinni, kissa voittaa.
- hiiren siirtymämatkan oletusarvo (1 + 2 + 3 + 4 + 0 + 0)/6 = 10/6
- kissan siirtymämatkan oletusarvo (0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 6)/6 = 11/6
- arvioidaan todennäköisyyttä toistamalla peliä useasti
- noppaleikki pareittain: Jos kahden heiton summa on parillinen, saa toinen parista pisteen. Jos tulo on parillinen, saa toinen pisteen.
- kahdenkymmenen heiton sarja
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. --------------------------------------------------------------- Summa/tulo --------------------------------------------------------------- pelaaja A --------------------------------------------------------------- pelaaja B ---------------------------------------------------------------
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. --------------------------------------------------------------- Summa/tulo --------------------------------------------------------------- pelaaja A --------------------------------------------------------------- pelaaja B ---------------------------------------------------------------
Miksi tulosta tulee useammin parillinen? Tätä tutkitaan taulukoilla.
x on merkitty kohtiin, joissa summa on parillinen.
1 2 3 4 5 6 1 x x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x
x on merkitty kohtiin, joissa tulo on parillinen.
1 2 3 4 5 6 1 x x x 2 x x x x x x 3 x x x 4 x x x x x x 5 x x x 6 x x x x x x
Harjoitellaan yhteenlaskua käyttämällä lukukortteja
13, 21, 29 ja 45. Onko summa parillinen vai pariton? Miksi?
- kun otetaan kaksi korttia kerrallaan, summa on aina parillinen
- otetaan lisäksi kortti 36. Onko summa nyt useammin
parillinen vai pariton?
13 + 21 21 + 29 29 + 45 45 + 36 + 29 + 45 + 36 + 45 + 36 + 36
10:stä mahdollisuudesta 6 on paritonta ja 4 parillista
Onko totta, että
- parillinen ja pariton luku voidaan saada yhtä
monella tavalla summaksi?
- mahdollisista summista kolmasosa on parittomia ja
kaksi kolmasosaa parillisia?
- jos lukukorteista neljäsosa on parittomia ja kolme
neljäsosaa parillisia, on yhtä suuret mahdollisuudet
saada parillinen kuin pariton summa?
Pussissa on 3 punaista ja 1 sininen helmi.
Nostetaan monta kertaa kaksi helmeä kerrallaan.
- kuinka todennäköistä on, että helmet
ovat samanvärisiä?
- punaiset helmet voi merkitä numeroilla, jolloin kaikki mahdolliset nostot voidaan merkitä
S P1 P1 P2 S P2 P1 P3 S P3 P2 P3
- eli on yhtä todennäköistä, että sattuu samanväriset tai eriväriset helmet
Tilastotiede
Etsimme luokkahuoneen ulkopuolelta kiinnostavia aiheita
-maan korkeimpien paikkojen tilastosta merkitään
kolme korkeinta: suurimmasta pienimpään tai
pienimmästä suurimpaan
- piirretään pylväsdiagrammit; tarkastellaan,
missä on suurin/pienin pyöristysvirhe, kun pyöristetään
lähimpään sataan metriin
- kuinka monta rajanaapuria maallamme on?
- naapurimaiden kanssa yhteisen rajan pituus arvioidaan kartasta
- etsitään oikea maan nimi annettujen pituuksien kohdalle
- piirretään vaakadiagrammit (histogrammi vaakasuorassa)
- etsitään maan viiden asukasluvultaan (tai pinta-alaltaan)
suurimman kaupungin nimet
- diagrammien piirtäminen
- värisauvoilla (merkitse kaupungin alkukirjain) tai
esitä jollakin seuraavista tavoista:
Esimerkiksi
- cm voi kuvata 100000 asukasta
- kiekko voi kuvata 100000 asukasta
Näitä esitetään sekä suullisia että kirjallisia
Sanallisten tehtävien ratkaisemisen vaiheet:
1. ongelman tulkinta
2. matemaattisen mallin luominen eli kääntäminen matematiikan kielelle
3. matemaattisen ongelman ratkaiseminen
4. ratkaisun kääntäminen takaisin ja tulkitseminen
alkuperäiseen ongelmaan
- näytteleminen, toiminta, piirtäminen,
keskusteleminen, olennaisten ja epäolennaisten tietojen
löytäminen apuna
| Solmu | © 2004 Matematiikkalehti Solmu |
| 17.8.2004 | ISSN 1458-8048 Tekijänoikeudet |