Esimerkkejä yksittäisistä oppitunneista Budapestin
Fazekas-koulusta

Tuntiselostuksissa on yritetty tuoda esille luokassa käytyä keskustelua.

Opettaja: Márta Oravecz
Taso: 1. luokka, oppilaat 6-7 vuotiaita
Aihe: lukujen havainnollistaminen

Aiheen käsittely aloitetaan värisauvoilla. Opettaja kiinnittää taululle punaisia sauvoja 6 kpl ja kysyy lukumäärää. Mietitään, miten se voidaan laskea eri tavoilla. Joukossa on 3 vähän vaaleampaa, joku käyttää tätä apuna 6 = 3 + 3. Sauvoja katsomalla seurataan laskemista lähtien yhdestä. Sitten tehdään sama vihreillä -- pidemmillä -- sauvoilla. Kuusi punaista sauvaa mitataan nauhalla. Tehdään sama vihreille. Opettaja kehottaa jokaista tekemään saman kuin taululla ja varmistaa, että kaikki tietävät, mitä tehdään. Valmiit viittaavat, opettaja kiertää ja neuvoo, jos on tarpeen. Jos tämän vaalensinisen sauvan pituus on yksi, niin minkä pituus on kaksi? Paljonko on vihreän pituus? Neljä. Kaikilla lapsilla on paperiliuska. Opettaja kysyy: Voinko sanoa, että tämän paperiliuskan pituus on 6? Oppilas perustelee: Voi, jos asetan 6 vaaleansinistä peräkkäin, se riittää juuri täsmälleen, siis se on 6.

Oppilaiden tehtävänä oli tuoda kouluun jotain, mitä on kuusi kappaletta. Oppilas: Toin 6 lusikkaa. Miksi niitä on kuusi? Yleensä ostetaan 6 haarukkaa, lusikkaa ja veistä. Toin 6 tussikynää. Jollain on Rubikin kuutio, siinä on 6 sivutahkoa. Joku on tuonut palapelin, jossa on 6 osaa, joku tietää, että leppäkertulla on 6 täplää. Eräs lapsi kertoo, ettei hän tuonut mitään, mutta Jumala loi maailman kuudessa päivässä ja lepäsi seitsemäntenä. Jonkun kotona on kylpyhuoneessa 6 kaappia, jollain on kengässä 6 reikää, jollain hiuksissa 6 kukkaa. Löytyykö vaatteista jotain 6 kappaletta, kysyy opettaja. Lapsella on 4 nappia takissa. Opettaja kysyy, montako puuttuu, jotta olisi 6. Opettaja näyttää syntymäpäiväkakun kuvaa, siinä on kynttilöitä. Kuinka monta? Kuka on 6 vuotta? Kenellä on lähellä 7. syntymäpäivä? Katsokaa ympärillenne, mitä on 6? Erään lapsen syntymäpäivä on 6.3. Laatikossa on lukusuora helmistä. Näyttäkää, missä on 6. helmi. Montako on kädessä, kun näytätte 6. helmen? Yksi, se 6.

Lattialla on lukusuora, johon oppilas merkitsee 0-kohdan. Kukkapurkki asetetaan 6:n kohdalle. Nollan paikkaa vaihdetaan nyt; joku lapsista näyttää, missä on 0 ja kaikki miettivät, mihin tulee 8. (Tämä on lapulla oleva talon kuva, jossa on numero 8). Miten voi tarkistaa, onko oikein? Oppilaat antavat ohjeet tarkistukselle: 6:sta kaksi (lukusuoran yksikön pituista) askelta oikealle. Sitten asetetaan 7 ja 5 paikoilleen. Jokaisella on oma lukusuora (helminauha). Opettaja kysyy: Voiko merkitä viidennen, vai onko tehtävä jotain sitä ennen? Mitä on tehtävä ensin? Ensin on valittava 0, sitten 5:n paikka. Mikä on 5:n suurempi, mikä pienempi naapuri? Mitkä ovat 4:n naapurit? Mitkä 6:n naapurit? Tehdään vastaava yhdessä: opettajalla on naru, jossa on pyykkipoikia tasaisin välein. Ensin valitaan 0, sitten asetetaan 5, 6 ja 7 paikalleen. (Kiinnitetään lappuja, joissa on numerot 5, 6 ja 7). Opettaja kysyy, missä on 6:n paikka. Joku saattaa huomata, että se riippuu siitä, kummasta suunnasta laskeminen aloitetaan. Opettaja tekee tahallaan virheen. Sen jälkeen hän kysyy, onko oikein. Asia korjataan ja laskemalla tarkistetaan lopuksi, että tuli oikein.

Opettaja kiinnittää taululle kuvan, jossa on 6 teepussia. Hän pyytää kertomaan kuvasta. Toisessa kuvassa on yksi teepussi. Niiden väliin merkitään nuoli muutosta merkitsemään. Lapset keksivät tarinan muutoksesta. Merkitään muutos taululle lapulla, jossa on $-5$. Lopuksi se sanotaan matematiikan kielellä: $6 - 5 = 1$. ("Kuudesta pois viisi, jää yksi.")

Opettaja pyytää lapsia sulkemaan silmät. Kun he avaavat silmät, he kertovat, mikä muutos on tapahtunut. Kuvat on vaihdettu toiseen järjestykseen. Taas tehdään tarina. Ajattele, että olet keittiössä, ensin oli 1 teepussi, sitten ostit 5 lisää. Muutos merkitään taululle lapulla, jossa on +5. Matematiikan kielellä 1 ja 5 on 6, 1 + 5 = 6.

Pidättekö teestä? Mistä muusta juomasta pidätte? Kuka pitää maidosta, teestä, kaakaosta, appelsiinimehusta? Taululle kiinnitetään näiden kuvat ja jokainen käy pistämässä napin (tytöt punaisen, pojat sinisen) mieluisen juomamerkin yläpuolelle (katso kuva ). Näin saadaan tilasto, jota tarkastellaan. Useimmat pitävät kaakaosta, harvat maidosta, teestä pitää 9, kuinka monta oppilasta enemmän pitää kaakaosta kuin teestä? 3 pitää appelsiinimehusta (1 tyttö ja 2 poikaa).

Taas suljetaan silmät, opettaja pistää oman nappulansa maidon kohdalle. Mitä muuttui? Nyt maidosta pitää 3, 11 kaakaosta. Miksi opettajalla on suurempi punainen nappula? Koska hän on opettaja ja suurempi ja nainen. Kotitehtäväksi tulee kirjoittaa vihkoon $6 - 2 = 4$, piirtää tästä tarina ja kertoa se. Tehtävä luetaan ''6:sta pois 2 on 4''.

Opettaja: Márta Oravecz
Taso: 1. luokka, oppilaat 6-7 vuotiaita
Aihe: luvun 6 hajoitelmat

Tunnin aihe on hankkia kokemuksia lukuun 6 liittyen. Tunnin alussa opettaja tarkistaa, onko kaikilla tarvittavat välineet. Kullakin oppilaalla on kangaspussi, näitä on neljää eri kangasta (ja samanlaisissa pusseissa on samanlainen sisältö). Pyöreästä pahvikotelosta on tehty laite; kotelon kanteen on liimattu tornimainen lisä ja kotelon sisus on jaettu neljään yhtäsuureen sektoriin pahviristillä. Kotelon “tornista” voidaan pudottaa pieniä esineitä, jotka pudotessaan joutuvat johonkin näistä neljästä sektorista. Kansi avaamalla voidaan tarkastella, miten jakautuminen on tapahtunut.

Tarkistetaan riveittäin, montako oppilasta on. Ensimmäisessä rivissä on 2 + 2 + 2, siis 6 oppilasta. Löytyykö toista samanlaista riviä? Yhdessä rivissä on 5, siis 6 – 1 oppilasta, viimeisessä 6 + 2 eli 8 oppilasta. Oppilaat sanovat nämä asiat. Edellisen tunnin harjoitus oli nopea laskutoimitus kuvasta. Nyt sama tehdään muistista, kääntyen selin piirtoheittimeen, jolla näytetään aikaisempi kuva. Kuvan ruuduissa on 1 – 6 esinettä, sormia, puun lehtiä, nappula, jossa on 6 pistettä, karkkeja. Mitä on 6? Mitkä kuvassa voidaan jakaa kahteen yhtäsuureen osaan (tämä pohjustaa parillisuutta)?

Jokaisella oppilaalla on helminauha, jossa on 10 helmeä. Jokainen laskee helmet. Sitten helminauha laitetaan selän taakse ja lasketaan helmet sormin tunnustelemalla. Näyttäkää 10 – 1, laskekaa 3 + 3 sormin selän takana, samoin yhtä suurempi kuin 6, kahta suurempi kuin 4, laskekaa sormin selän takana 1 + 2 + 3. Näyttäkää kuudes helmi. Tunnista on nyt kulunut n. 10 minuuttia.

Kangaspusseja on neljää erilaista. Kaikissa on helmiä. Lasketaan helmet tunnustelemalla.Ne, joiden pussissa on 10 helmeä, ottavat tulitikkulaatikkoon niistä 4, 9:n pussista otetaan 3, 8:n pussista 2, 7:n helmen pussista 1 helmi. Onko nyt jokaisessa pussissa 6 helmeä? Helmet otetaan ulos ja tarkistetaan. Jos joltakulta on hävinnyt helmiä, opettaja antaa tilalle. Taululle piirretään neljä pussia, jotka ovat samanlaisia kuin oppilaiden pussit. Niiden alle kiinnitetään (vastaaville kohdille) laput 8 – 2, 7 – 1, 9 – 3, 10 – 4.

Ensimmäisen tyyppisistä pusseista otetaan vasempaan käteen 2, oikeaan 4 helmeä. Toisesta pussista 1 ja 5, kolmannesta 3 ja 3, neljännestä 4 ja 2. Tähän toimintaan käytettiin n. 10 minuuttia.

Oppilaat ovat pareittain. Kullakin parilla on alussamainittu pyöreä kotelo. Toinen parista pudottaa yläaukosta sisään 6 helmeä. Mitä tapahtui? Toistetaan. Tuleeko sama tulos? Tämä tehdään parityönä ja oppilaat ovat innostuneita. Miten kerrotaan, että johonkin lokeroon ei tullut yhtään helmeä? Nolla helmeä. Toinen oppilas kirjaa tuloksia, esim. 2 + 0 + 0 + 4, 2 + 3 + 1 + 0. Vastaavaa on tehty aikaisemmin sini-punakiekoilla. Kuka on saanut kaikki eri tulokset? Kenellä on enemmän kuin 4 erilaista tulosta? Tämä tullaan tekemään myöhemmin uudelleen. Toimintaan kului n. 15 min. Inostuneen luokan rauhoittamiseksi opettaja sanoo, että kuudennella taputuksella jokainen menee hiljaa paikalleen.

Nyt aletaan katsella tulitikkulaatikoita. Montako helmeä siellä on? Niitä on yhdestä neljään, taululta näkee, montako pitäisi olla, koska eri pussit ovat näkyvissä. Montako on lisättävä, jotta saadaan 6? Näytä kädellä. Mitä tämä olisi matematiikan kielellä? Opettaja lisää pussien kuvien alle 2 + 4, 1 + 5, 3 + 3, 4 + 2. Nyt huomataan, että kaikki taulun hajoitelmat ovat 6. Aikaa on vielä 5 minuuttia, otetaan harjoituskirja esiin ja tehdään 6:n hajoitelmiin liittyviä tehtäviä, joissa osassa on myös kuvat, tehtävät on täydennettävä niin, että tulokseksi saadaan 6. Loput jätetään kotitehtäväksi. Onko kysymyksiä? Tehtävien tarkastusta tehdään myös pareittain.

(Kuva kirjasta: C. Neményi Eszter ja Sz. Oravecz Márta: Matematika Munkafüzet általános iskola 1. osztály)

Parityöskentelyn aloitus on tärkeää, sitten 3. luokalla tätä tehdään enemmänkin. Jos joku on valmis, joko opettaja tarkistaa tai tarkistus tehdään parin kanssa. On helpompaa, jos virhe huomataan vain parin kanssa kahden. Lopuksi opettaja kehuu, että yhteistyö meni hyvin ja tarkistaa, että kaikki ymmärtävät, mikä on kotityö. Kotityö voidaan tarkistaa koulussa pareittain. Lopuksi oppilaat tekevät 6 kumarrusta luokassa vierailevalle.

Opettaja: Márta Oravecz
Taso: 1. luokka, oppilaat 6-7 vuotiaita, tukiopetus

Opettaja kysyy lapsilta: Montako teitä on? Miten teidät voitaisiin jaotella ryhmiin? Osaatte sanoa sen jo matematiikankin kielellä. Antakaa esimerkkejä. Lapset sanovat esimerkiksi: 1 + 6, 1 poika ja 6 tyttöä, 3 + 4, 3 vaaleatukkaista ja 4 ruskeatukkaista lasta, 3 + 4 sama päinvastoin, 6 + 1, 6 tyttöä ja 1 poika.

Opettaja: Entä 5 + 2? Mikä voisi olla näin? Yrittäkää keksiä. Osaatko antaa esimerkin?

• Ehkä koulutakki. (Lapset laskevat, mutta tulos ei ole oikea.)
• 5 lapsella on pitkä tukka ja 2 on lyhyt tukka.

(Lapset kääntyvät ja tarkastavat laskutoimituksen) Opettaja: - Menkää nyt jonoon, leikitään niin, että jotkut teistä menevät ensin ulos ja tulevat sitten takaisin. Sisään tultaessa on keksittävä, mitä luokassa on muuttunut. Ne voivat mennä ensin ulos, joilla on koulutakki päällä. Tulkaa takaisin, kun koputan. Mutta tarkistetaan ensin, kuinka monta meitä on. (Lapset laskevat että luokassa on 7 oppilasta, joista 4 menee ulos.) Opettaja: - Osaatteko kertoa, millainen muutos täällä luokassa tapahtui? (sanoilla) Montako lasta luokassa oli? 7. Sano se kokonaisella lauseella! Luokassa oli 7 oppilasta, joista 4 meni ulos, luokkaan jäi 3. Osaatko kertoa tämän saman asian matematiikan kielellä? 7 - 4 on 3.

Opettaja koputtaa.
Opettaja: - Osaatteko kertoa, mitä nyt tapahtui? Ensiksi sanoilla. Luokassa oli ensin 3 lasta, sitten 4 tuli vielä lisää.
Montako lasta luokassa nyt on?
7.
Osaatko kertoa tämän matematiikan kielellä?
3 + 4 on 7.
Jatketaanko vielä?
Kyllä.
Nyt voisivat mennä ulos, ne joilla on vaaleapunainen pusero päällä. Tule sitten takaisin, kun koputan oveen. (1 lapsi menee ulos)

Opettaja: - Kertokaa matematiikan kielellä, mitä äsken tapahtui.
Luokassa oli 7 lasta, 1 meni ulos ja luokkaan jäi 6.
Haluaisin, että sanoisit tämän nyt matematiikan kielellä.
7 - 1 on 6.
Hyvä.
Opettaja koputtaa ja vaaleanpunapuseroinen tyttö tulee sisään.
- Kerro (sanoilla) mitä tapahtui, kun Zsófi tuli sisään.
6 + 1 on 7.
Hyvä. Sanoitkin asian heti matematiikan kielellä.
Miettikääpäs nyt sitä, että Zsófi meni ensin ulos ja tuli sitten takaisin. Osaatteko sanoa nämä molemmat asiat matematiikan kielellä? 7 - 1 on 6.
Kyllä, mutta hän tuli sitten takaisin.
6 + 1 on 7.
Oikein hyvä.
Opettaja: - Nyt annan kaikille erilaiset tehtävät.
Muistipeli autokorteilla
Opettaja: Tehän tunnette säännöt. Yhdistäkää kortit pareittain sen mukaan, meneekö auto oikealle vai vasemmalle.

Pikkukorttipeli

Opettaja: - Muistatteko tämän pelin? Osaatteko kertoa sen säännöt?
Kortit laitetaan pöydälle kuvapuoli alaspäin. Käännetään yksi kortti ja sen päälle etsitään sellaista korttia, joka on samanvärinen tai jossa on sama luku.

Domino

- Keksitte varmasti tämän pelin säännöt. Jos ette, autan kyllä, mutta toivoisin, että keksisitte säännöt itse.
Seitsemäs lapsikin saa tehtävän:
Opettaja: - Haluaisin että sinä valmistelisit toisille lukusuoran. Mistähän olen alkanut sitä mittaamaan?

Opettaja tarkistaa, ovatko lapset ymmärtäneet pelit.
Opettaja: - Mihin suuntaan auto kulkee?
- Vasemmalle.
- Kumpi on sinun vasen kätesi? Näytä!
Opettaja: - Miten teidän pelinne sujuu. Mitä te etsitte?
- Vihreää tai kuutosta.
Opettaja: - Mihin suuntaan kulkee se, jota nyt etsitään?
- Oikealle.
Opettaja:- Jatketaan vähän eri tavalla. Jatketaan niin, että voit nostaa 5 korttia ja jos niiden joukossa on sopiva, voit pitää sen itselläsi. (Opettaja näyttää.)- No niin. Tälle ei nyt löytynyt paria. Nyt on sinun vuorosi. Voitte jatkaa. Onnistuuko?

Ensimmäinen lukusuora on jo valmis, opettaja antaa lukusuoratehtävän myös toiselle lapselle.
1, 2, 3, 4, 5, 6
Opettaja: Hyvää. Jätä leppäkerttu sinne. Tuoli on pikku mökki. Tuo se tänne.- 7 on pensas. Missä 5 on? Hyvä. Laita se sinne.- Nyt liikut leppäkertun kanssa.

(Opettaja auttaa tarvittaessa.)

Opettaja: - Astu 8 askelta. Montako askelta leppäkerttu on astunut, ja missä se on nyt? Missä pensas on?
Seitsemässä.
- Ja missä leppäkerttu on nyt?
- Kahdeksikossa.
Osaatko kertoa myös matematiikan kielellä, mitä on tapahtunut? Missä leppäkerttu ensin oli, montako askelta se meni eteenpäin? Kerro.
7 ja 1 on 8.
Opettaja: - Nyt leppäkerttu astuu 1 askeleen taaksepäin. Osaatko kertoa tämän matematiikan kielellä?
8 - 1 on 7.
Hyvä. Mene nyt etsimään pöydältä jotain sellaista, jota on 6.
Opettaja kysyy toisilta, miten peli etenee.
Opettaja: - Kun peli loppuu, menkää etsimään pöydältä jotain sellaista, mitä on 6.
Myöhemmin opettaja kysyy: - Mitä löysitte?
- Hyvä. Pikkuleipiä.
- Tämäkin on hyvä, eläimellä on 6 jalkaa. Vie se sinne taulun viereen.
- Voitte mennä omaan luokkaan, Bea voi jäädä tänne.
Bea saa lukusuoratehtävän.
Opettaja: - Leppäkerttu kulkee nyt pensaan luokse. Se lähtee tästä pikku mökistä. Kerro nyt tämä sama asia myös matematiikan kielellä.
Montako askelta oli pensaaseen asti?
Laskutoimitus ei onnistu, opettaja auttaa.
Opettaja: - Aloitetaanpa uudelleen, niin nähdään. 0 1 2 3 4 5 6 7
Se lähtee tästä. Muistatko, mikä se oli? Lasketaan. 0 1 2 3 4 5
Montako askelta se otti, kun se meni pensaan luokse?
2
- Kyllä. Osaatko kertoa sen matematiikan kielellä?
5 + 3
- Katso! 1, 2
5 + 2 on 7.

Opettaja: - Voiko se leppäkerttu mennä nyt takaisin pikku mökkiin?
- Kyllä. 1, 2
- Osaatko kertoa tämän asian matematiikan kielellä? Mistä se lähti kulkemaan takaisin?
7 - 2 on 5.
- Oikein hyvä. Voit istua sinne.

Seuraava tehtävä suoritetaan kahdella erilaisella välineellä. Toinen on sini-punainen kiekko ja toinen on paperinauha. Kaksi tyttöä tekee samaa tehtävää, mutta erilaisilla välineillä.
Opettaja: - Voit katsoa, mitä hän tekee ja yrittää tehdä saman asian tällä toisella välineellä.
Opettaja: - Montako punaista ja montako sinistä tässä on?
Ei yhtään punaista, mutta 6 sinistä.
Käännä niistä yksi toisin päin. Kerro matematiikan kielellä mitä nyt näet.
(Toinen tytöistä tekee samaa tehtävää paperinauhalla, hän taittelee nauhaa.)
1 + 5 on 6.
Opettaja sanoo toiselle tytölle:
- Sinäkin osaat nyt sanoa, mitä olet tehnyt. Kerro matematiikan kielellä.
1 + 5 on 6.
Opettaja: - Käännä 2 kiekkoa toisin päin.
Kerro matematiikan kielellä.
2 + 4 on 6.
Opettaja toiselle tytölle:
- Kerro sinäkin, mitä teit.
2 + 4 on 6.
- Osaatteko jatkaa tehtävää?
Tytöt jatkavat tehtävää.
Opettaja: - Oikein hyvä. Kerro sinä nyt ensiksi.
3 + 3 on 6.
Osaatteko jatkaa?
4 + 2 on 6.
5 + 1 on 6.
6 + 0 on 6.
Toinen lapsista lähtee, toinen saa "kiekkotehtävän".
1 + 5 on 6. 2 + 4 on 6. 3 + 3 on 6. 4 + 2 on 6. 5 + 1 on 6. 6 + 0 on 6. Opettaja: Osaatko kertoa tämän nyt silmät kiinni sillä tavalla, että vain kuvittelet sen? Voit näyttää kädellä.
Oppilas tekee tehtävän. - Oikein hyvä. Keksitkö sen heti? - Kyllä. Näytä nyt sormilla paljonko on 6.
Opettaja näyttää sormilla 2, oppilas näyttää 4, jne.

Seuraavat tehtävät tehdään värisauvoilla. Opettaja: Etsi sauva, jonka voi mitata kahdella vaaleanpunaisella.
Opettaja: - Tämä vaaleanpunainen on perusyksikkö. Mikä tämän nimi sitten olisi? (punainen)
2
Etsi, mikä sauva vastaa kolmosta.
Oppilas etsii sen laatikosta.
- Näytä, että todella se on 3. Oppilas mittaa sauvan.
Mikä on sitten 5 ?
Onkohan varmasti, todista se! Oppilas todistaa sen mittauksella. Opettaja näyttää erilaisia sauvoja ja oppilas kertoo sauvan "nimen". Mikä tämän sauvan nimi voisi olla? 6. Todista se!
Entä mikä tämän nimi voisi olla? Mittaa se!
- Minkä nimen haluat antaa tälle?
4.

Oppilaan vastaus on väärä ja opettaja kysyy siten, että lapsi itse keksii oikean ratkaisun. Tämä on 4 ja tämä toinenkin on 4. Kumpi näistä on perusyksikkö neljään kertaan?
Tummanpunainen.

Seuraava värisauvatehtävä on "maton kutominen" erilaisista värisauvoista.
Opettaja: - Etsi laatikosta sellaisia sauvoja, joita jo on pöydällä. Tehdään niistä matto. Olemme tehneet sellaisen jo aikaisemminkin, muistatko?

Matto on vihreän mittainen. Muistatko, mikä on tämän nimi, jos perusmittana on vaaleanpunainen?
6.
Opettaja: Joka riville tehdään erilainen yhdistelmä palikoista. Mikä on ensimmäinen?
Oppilas tekee yhdistelmän.
Opettaja: - Keksi vielä uusia yhdistelmiä!
- Saisiko sinusta kokonaisen rivin vaaleanpunaisista?
Kyllä.
Näytä sitten.
Saisiko kokonaisen rivin violeteista?
Kyllä.
Kokeile.

Opettaja: Onko vielä sellaisia sauvoja, että niistä saa kokonaisen rivin?
- Punaiset.
- Tarkista, toimiiko?

Opettaja auttaa ja aloittaa rivin, oppilas jatkaa.
Opettaja: - Minä aloitan, jatka sinä sitten. Osaatko sanoa, mikä voisi olla seuraava?
- Punainen.
- Näytä.
- Oikein hyvä. Matto on jo aika suuri, luetaan siitä nyt.
Muistatko, mikä tämän nimi oli? (vaaleanpunainen)
1
- Entä tämän?
2

Opettaja valmistelee tehtävää siten, että hän panee pöydälle myös vaaleanpunaisia sauvoja.
Opettaja: - Otetaan tänne vielä vaaleanpunaisia sauvoja, sitten voit lukea matosta helpommin. Kuinka monta sauvaa minun pitäisi panna tänne, että sinä voisit mitata kaikki sauvat?
6
Opettaja: - Lue matosta näin:
Vihreä sauva on yhtä pitkä kuin vaaleanpunainen ja tummanpunainen ja vaaleanpunainen yhteensä.
Osaatko toistaa?
Oppilas toistaa.
Opettaja: - Osaatko kertoa saman asian myös matematiikan kielellä?
6 on 1 + 4 + 1.
Sano vielä kerran.
6 on 1 + 4 + 1.
Oikein hyvä.

Opettaja: - Katsotaanpa tätä. Ensiksi sanoilla, sitten matematiikan kielellä.
- Vihreä on yhtä pitkä, kuin punainen ja violetti ja oranssi.
Lapsi sanoo oranssi, mutta sauva onkin vaaleanpunainen.
Opettaja: - Katso, tämä on oranssi.
- Niin, vaaleanpunainen eikä oranssi.
- Kerro nyt vain luvuilla!
6 on 2 + 3 + 1
Opettaja: - Osaatko kertoa tällä tavalla ? 6 on yhtä pitkä, kuin 1 ja 2 ja 3 yhteensä
Opettaja: - Mitä tästä voisi rakentaa?
Portaat.
Kerro sillä tavalla.
6 on yhtä paljon kuin 1 + 2 + 3.
Opettaja: - Kerro vain näistä riveistä.
6 on yhtä paljon kuin 3 + 3.
6 on yhtä paljon kuin 2 + 2 + 2.
Oikein hyvä. Kiitos ja pyydä nyt Doraa tulemaan tänne.
Uusi oppilas, Dora, tulee. Hänkin saa värisauvatehtävän.
Opettaja: 1 2 3 4 5 6
Etsi saman pituinen sauva. Jos vaaleanpunaisen nimi on 1, mikä vihreän nimi on?
Etsi sauva, jonka nimi on 3.
Hyvä. Pane sen viereen sellainen sauva, että ne ovat yhteensä samanpituisia kuin 6.
Tehdään niistä matto.
Oppilas rakentaa maton.
- Oikein hyvä. Mikä violetin nimi voisi olla?
3
Etsi sauva, jonka nimi on 4.
Lisää sauva siten, että ne ovat yhteensä samanpituisia kuin vihreä.
Hyvä. Mikä 5 on?
- Voitko todistaa minulle, että niistä todellakin tulee 5.
1 2 3 4 5
Hyvä, olet aivan oikeassa.
Miten voisit rakentaa siten, että ne yhteensä olisivat yhtä pitkiä kuin vihreä?
- Voidaan vielä jatkaa, mutta nyt haluaisin tietää, osaatko lukea tästä.
Opettaja: - Minä kerron ensiksi. Vihreä on yhtä pitkä kuin vaaleanpunainen ja vaaleanpunainen ja vaaleanpunainen ja vaaleanpunainen ja vaaleanpunainen ja vaaleanpunainen.
6 on yhtä paljon kuin ? kerro luvuilla!
Oppilas: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Opettaja: - Luetaan vielä. Vihreä on yhtä pitkä kuin 2 violettia.
Niin, tai voi sanoa että violetti ja violetti.
6 on yhtä monta kuin 3 + 3.
Seuraava.
6 on yhtä monta kuin ?
Oppilas ei osaa jatkaa.
Opettaja: - Voit mitata, jos haluat. Oppilas mittaa sen.
Oppilas: - yhtä monta kuin 4 + 2.
Oppilas: - 6 on monta kuin 1 + 5.
- Oikein hyvä. Kerro nyt, mitä minä teen.
6 on yhtä monta kuin 3 + 3.
6 on yhtä monta kuin 5 + 1.
6 on yhtä monta kuin 2 + 4.

Opettaja: Márta Oravecz
Taso: 1. luokka, oppilaat n. 6-7 vuotiaita

Luokan eteen kerätään ne, joilla on koulutakki. Kuka on jossain suhteessa erilainen? (Opettajalla on mielessä jotain, joka oppilaiden tulee arvata.) Kahdella oppilaalla oli saappaat jalassa.

Luokan eteen kerätään 5 tyttöä. Heistä tehdään tosia lauseita. Kaikki ovat tyttöjä, kaikilla on poninhäntä. Mikä väite heistä ei ole totta? He eivät ole poikia. Opettaja haluaa jakaa heidät jotenkin kahteen ryhmään. Hän ottaa erikseen kaksi tyttöä. Mikä oli peruste? Ne, joilla on hiusnauha, valittiin. Kuka luokasta tulisi vielä tähän joukkoon? Kuka heistä on erilainen? Yhdellä on valkoinen hiusnauha, muilla punainen. Miten voitte esittää piirroksella tätä ryhmää? Minkä merkin voisitte antaa sille? Joka on valmis, näyttää koko luokalle. Ovatko piirrokset samanlaisia? Sopivatko ne kaikki hiusnauhallisten ryhmän merkiksi? Miten saisi kaikille yhteisen merkin? Punainen ei sovi kaikille. Sellainen merkki, josta näkyy vain että on kyseessä hiusnauha kelpaa kaikille, ilman väriä.

Opettajalla on suuri kori, jossa on kaikenlaisia tavaroita (lankakerä, muki, taulusieni, hiusharja, sakset, pullo, ankkalelu). Päättelyä: onko näissä eläviä olentoja? Onko ankkalelu elävä? Osaako se puhua? Vastaus: vain, jos oppilas puhuu lelun puolesta. Kasvaako se suureksi ankaksi? Opettaja valikoi tavaroita ja kysyy, osaako joku jatkaa samalla periaattella. Esim. kaikki valitut tavarat ovat vihreitä. Luokitteluja jatketaan, jokainen tuo esineen, joka ei ole vihreä. Symboleilla näytetään, mitä halutaan. Esimerkiksi vihreä ruutu tarkoittaa, että halutaan vihreää väriä, yliviivattuna samanlainen ruutu, että halutaan esineitä, jotka eivät ole vihreitä. Opettajalla on piilossa kuva, kysymyksillä selvitetään, mitä siinä on. Näytetään kyllä (tosi) lappuja ja ei (epätosi) lappuja, kun opettaja tekee kysymyksiä. Oppilaat tekevät omia lauseita.

Opettaja Agnes Kivovics.
Taso: 3. luokka, oppilaat n. 9 vuotiaita
Aihe: Harjoituksia luvuilla

Taululla on isoja lukudominoita, esim. 728 999 ja 542 300 + 76. Pulpetit on järjestetty 4:n oppilaan ryhmiin, kummallakin laidalla 2 oppilasta. He ottavat matematiikkalaatikot esiin. Leikitään lukudominoilla. Opettaja on kiinnittänyt niitä taululle. Lapuissa on lukuja erilaisissa muodoissa. Etsikää taululta 802. Dominoita jatketaan lattialla. Jotkut ovat muodossa 4 5k 0t (eli 54) tai 50k – 1 (eli 499). Ratkaisut myös luetaan. Tähän kuluu 10 minuuttia.

Etsikää näin paljon rahaa: lapulla lukee 33 sataa ja 3. Pussissa on itse tehtyjä leikkirahoja. Samoin jatketaan. Sitten opettaja ottaa ison pallon ja heittää sen jollekulle, ensin lähdetään luvusta 57 ja jokainen pallon saaja lisää yhden ja sanoo luvun ääneen. Sitten aletaan luvusta 370 ja tehdään samoin. Sitten lähdetään luvusta 70 edeten 10:n lisäyksillä, sitten 170:stä kymmenen lisäyksin, pallo heitetään opettajalle joka toinen kerta. Lähdetään 370:stä, 10:n lisäyksin, sitten 320:stä 10:n vähennyksin. Tätä tehdään 15 minuuttia, josta pallolla heittelyä 5 minuuttia. Otetaan harjoituskirja ja tehdään täydennystehtäviä, jokainen täydentää kuvaa ja opettaja kiertää luokassa.

Taulukkoon väritetään ne luvut, joissa on 6 ykköstä, ne, joissa on 8 kymmentä. Kuka on valmis? Piirtoheittimellä tarkistetaan sama harjoitus, opettaja täyttää, kun oppilas lukee tuloksia. Kenellä on oikein? Missä ovat ne luvut, jotka ovat etäisyydellä 10 tästä luvusta (opettaja näyttää luvun kohtaa)? Tarkistetaan kalvolta. Kalvolla on ruudukko, johon opettaja merkitsee oppilaiden ehdotusten mukaan merkittyihin kohtiin lukuja, kun ensimmäinen on 370. Luvut luetaan, tehdään uusia tehtäviä pistämällä kalvolle nappuloita. Täydennetään taulukkoa erilliselle lukuarkille, johon on merkitty osa luvuista. Tehdään samaa arkille, johon on merkitty vain lukujen paikkoja erilaisina kuvioina, kuten edellä. Piirtoheittimelle asetetaan nappuloita ja oppilaat kertovat, mitä lukuja niihin paikkoihin kuuluu.

(Kuvat kirjasta: C. Neményi Eszter ja Wéber Anikó: Matematika Munkafüzet általános iskola 3. osztály)

Opettaja antaa lompakkotehtävän: On kolme erilaista lompakkoa, yhdessä on 200 forinttia, toisessa 500 forinttia ja kolmannessa 750 forinttia. Nahkaisessa lompakossa on vain yksi seteli. Vetoketjullisessa on kolme rahaa. Kolmannessa lompakossa jokainen raha on suurempi kuin 100 forinttia ja tässä kukkarossa on vähemmän rahaa kuin nahkaisessa. Mitkä rahat ovat missäkin kukkarossa? Käytettävissä olevat rahat ovat: setelit: 200, 500, 1000, kolikot: 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200.

Opettaja: Agnes Kivovicz
Taso: 3. luokka, oppilaat n. 9 vuotiaita
Aihe: murtoluvut

Opettaja jakaa apuvälineitä: riisiä, hiekkaa, eri muotoisia paperinpaloja. Lopuksi hän varmistaa, että kaikilla on tehtävää, jokaisen tulisi muodostaa neljännes saamastaan materiaalista. Kaksi oppilasta saa litran vettä ja heidän tehtävänään on jakaa se neljään yhtä suureen osaan. Heillä on laseja apuna. Hiekkakasan saaneet jakavat sen ensin kahtia ja sitten vielä kahtia. Valmiit oppilaat viittaavat. Kun melkein kaikki ovat valmiita, oppilaat selvittävät, miten he ratkaisivat tehtävän. Oppilas kertoo leikanneensa omenan ensin puoliksi ja sitten puolikkaat vielä puoliksi. Näin tulee neljä osaa, jotka ovat suunnilleen saman kokoisia. Mikä tämä yksi pieni osa on? Osaatko sanoa sen? Neljäs osa. Oikein hyvä. Montako neljäsosaa on kokonainen?

Mitä tapahtui riisille? Ensin yritimme jakaa sen kahtia ja sitten vielä osat kahtia, näistä osista tuli suunnilleen saman suuruisia. Osaatko näyttää, mikä näistä on neljäsosa? Onko tämä ainoa neljäsosa? Tämäkin on neljäsosa. Toinenkin on neljäsosa ja neljäskin on.

Miten hiekan kanssa kävi? Miten työskentelitte? Jaoimme sen ensin kahtia ja sitten vielä kahtia, näin syntyi 4 samanlaista osaa. Näytä, mikä on yksi neljäsosa. Tämä ja nämä kaikki ovat neljäsosia.

Mitä välineitä vielä oli? Kenellä oli lankaa? Taitoin langan kahtia ja sitten vielä kahtia. Tämä on siis neljäsosa. Montako osaa täytyy tehdä, jotta saamme neljäsosia? Mikä on yhden osan nimi? Neljäsosa. Jollakin oli ympyränmuotoinen paperinpala. Tämä on myös neljäsosa, ympyrän neljäsosa. Moneksiko osaksi hän jakoi sen? Neljäksi. Miksi näitä osia sanotaan? Näytä minulle neljäsosa.

Oliko vielä muita tehtäviä? Paljonko vettä oli tässä astiassa? Yksi litra. Mitä sille tehtiin? Yritettiin kaataa kaikkiin laseihin yhtä paljon vettä ja kun sitä jäi jäljelle, kaadettiin vielä lisää ja siitä, jossa oli enemmän, kaadettiin muihin. Näin kaikkiin tuli suunnilleen yhtä paljon. Paljonko vettä on yhdessä lasissa? Oppilas vastaa 250 dl. Jos jaamme litran vettä, on 250 dl liian paljon. Toinen vastaa 2 ja puoli desilitraa. Juuri niin, voimmeko mitata tämän? Mitataan tällaisella mitta-astialla. Minkä takia kaadoitte neljään lasiin eikä kolmeen tai viiteen? Koska näin oli helpointa jakaa se neljään osaan.

Kenellä oli paperiliuska? Tämä oli aika pitkä paperinpala. Taitoin sen kahtia ja sitten taitoin vielä kahtia. Siis yksi kokonainen paperiliuska on montako neljäsosaa?

Tällä välin on tarkistusmittaus valmistunut, mitta-astian mukaan vettä oli 2 ja puoli dl.

Miten tämä toinen (neliapila, jossa on varsi) paperinpala onnistui? Piirtäkää vihkoihinne ja kokeilkaa. Ei onnistunut. Osat eivät olleet saman suuruisia. Tässä oli pieni osa, josta oli vain yksi kappale.

Yrittäkää keksiä, montako tällaista pientä kantaa siinä pitäisi olla, jotta sen voisi jakaa täsmälleen neljään osaan. Joku ehdottaa: mutta sen voisi leikata poiskin. Sen voi kyllä puolittaa, mutta pitäisi laskea, mistä kohdasta se pitäisi taittaa, niin että jäisi yhtä paljon paperia molempiin osiin. Sen voisi kyllä jakaa neljään osaan, mutta pitäisi laskea kauan ja monimutkaisesti. Sen voisi jakaa, mutta pinta-ala olisi hyvin monimutkainen.

Mitä taululla on? 1 t, 1 l, 1 km, 1 kg. Nämä pitäisi nyt jakaa neljään osaan. Tunnista neljäsosa on neljännestunti, se on 15 minuuttia, litran neljäsosa on kaksi ja puoli desilitraa, kilometrin neljäsosa on 250 metriä ja kilon neljäsosa 250 gr tai 25 dekagrammaa. Nämä ovat siis yhtä suuria, 250 gr ja kaksi ja puoli dekagrammaa. Voidaan käyttää kumpaa tahansa.

Opettaja: Nyt näytän taululla jotain. Pyysin lapsia tuomaan minulle neljäsosan jostain paperista. Nämä paperit taululla ovat niitä. Mitkä näistä ovat neljäsosia?

Oppilas vastaa: kaikki. Voivatko ne kaikki olla neljäsosia, ne ovat eri kokoisia? Ovatko kaikki neljäsosia jostain paperista? Nehän ovat kaikki erilaisia. Kaikkien pitäisi olla jonkinlaisia neljäsosia. Voivatko ne olla? Vastaus: esim. kolmioon voisi lisätä kolme samanlaista kolmiota ja siitä tulisi paperi, jonka neljäsosa se kolmio on. Se olisi vain erilainen paperi. Meidän tulisi löytää niiden toiset osat. Siis mihin verrattuna nämä ovat neljäsosia? Onko jossain se loppupaperikin, siis nämä ovat neljäsosia vain jos niitä verrataan johonkin kokonaisuuteen. Tässä on suuri paperi. Jos tämä on kokonainen, niin mikä on tämän neljäsosa tuolla taululla? Aivan oikein. Onko tämä oikea neljäsosa? Montako kertaa tämä mahtuu tämän paperin päälle? Kahdestiko? Monestiko sen pitäisi mahtua siihen? Neljästi. No niin, se sopii siihen 4 kertaa.

Tässä on toinen paperi. Mikä on tämän neljäsosa? Kuinka monta kertaa tämä paperiliuska mahtuu tuohon paperille? Sen pitäisi mahtua neljästi. Laskekaa, kuinka monesti se mahtuu siihen. Kolmesti ja vielä neljännenkin kerran. Tämäkin oli siis oikea ratkaisu. Mikä tämän neljäsosa olisi? Tämäkin sopii neljästi. Mitä näille lopuille tapahtuu? Kuka löytäisi pöydältä sellaisen paperin, joka on näiden nelinkertainen määrä? Minusta nämä sopivat yhteen. Yritetään mitata. Miksi tämä ei sovi? Oppilas: Tämä ei mahdu neljä kertaa tälle paperille. Hän pani sen siihen kahdesti, mutta siihen jäi liikaa tilaa jäljelle. Se paperi mahtuu tälle paperille 8 kertaa. Tämä on siis kahdeksasosa, tämän suuren paperin 8. osa. Tämä paperi taas on siitä juuri puolet. Tämä on puolet, siihen mahtuisi täsmälleen 4 kertaa se paperi. Mikä tämä pieni paperi on, joka jäi jäljelle? Mittaapa tällä paperin palalla. Se on 4. osa. Nyt löysimme kokonaisen. Onko tämä pieni paperi näinkin päin sen 4. osa? Kahdesti se mahtuu näinkin päin, entäs vielä? Mahtuuko se 3. kerran? Näin se ei mahdu, mutta reunasta jää kuitenkin vielä lisää paperia. Se on näinkin 4. osa. Onko se 4. osa? Onko se näinkin 4. osa? On, mutta se pitää panna siihen toisin päin. Mutta jos tämä pieni paperi asetetaan siihen pystyasennossa, niin se mahtuu siihen 4 kertaa. Sen täytyy siis olla 4. osa. Mutta, entä jos paperi asetetaan makuuasennossa, eikö se silloin ole 4. osa? Otetaan esimerkiksi tämä omena. Katsotaan tätä 4. osaa. Jos otan sen pois ja leikkaan sen pieniksi paloiksi, onko se silloinkin neljännes omena, siinä hedelmäsalaatissa pieneksi leikattuna? Onko sekin 4. osa? Oppilas: On se edelleenkin.

Kuka voisi leikata tämän pienen paperin sillä tavalla osiin, että se mahtuisi neljä kertaa tälle suurelle paperille? Kaksi tyttöä alkaa miettiä tätä tunnin loppuun saakka.

Haluaisin, että kaikki ottavat tämän pienen sauvan eteensä, eikä pulpetilla ole mitään muuta. Ottakaa esiin tällainen punainen sauva. Etsikää sen 4. osa. Mitatkaa siitä 4. osa. Piilottakaa 4. osa kämmeneenne ja näyttäkää se sitten. Kaikki ottivat vaaleanpunaisen sauvan. Mistä voitte tietää, että tämä vaaleanpunainen on 4. osa punaisesta? Koska vaaleanpunaisia saa panna 4 kpl sen päälle. Millaisia osia nämä vaaleanpunaiset ovat? Ne ovat samanlaisia, yhtäsuuria ja niitä mahtuu 4 kpl. Ota nyt käteesi 3 neljäsosaa. Näyttäkää minulle kolme neljäsosaa. Montako vaaleanpunaista sauvaa tässä on? Kolme. Kuinka paljon tämä on enemmän kuin neljäsosa? Kaksi neljäsosaa enemmän.

Etsikää nyt puolta tästä punaisesta. Näyttäkää nyt yhtä aikaa. No niin, kaikki löysivät tämän. Mikä on toiselta nimeltä tämä puolet? Kahdesosa. Mikä sen nimi voisi vielä olla? Kaksi neljäsosaa. Miksi yksi kahdesosa ja kaksi neljäsosaa on yhtä paljon? Koska 2 vaaleanpunaista sauvaa on yhtä pitkä kuin tämä pidempi. Ja jos tämä vaalenpunainen on yksi neljäsosa, se on ehkä 2 cm, mutta sitä nimitetään nyt yhdeksi neljäsosaksi. Mihin verrattuna tämä oli yksi neljäsosa? Tähän viininpunaiseen sauvaan verrattuna. Ja jos vaalenpunaiset ovat neljäsosia, mikä on viininpunaisen nimi? Yksi kokonainen, yksikkö. Mikä se on numeroina ilmaistuna? Jos vaalenpunainen on yksi neljäsosa, se on yksi.

Valitkaa vielä yksi sauva. Vaaleansininen on neljäsosa jostain muusta. Mikä on se, joka on 4 kertaa vaaleansinisen pituinen? Ottakaa se käteenne ja näyttäkää sitten, kun sanon. Nyt näyttäkää! Kaikki löysivät vihreän. Mutta jos vaalensininen on neljäsosa, mikä on vihreän nimi? Vihreän nimi on yksi, yksikkö.

Etsikää sellainen, joka on 4 kertaa punaisen pituinen, josta punainen on neljäsosa. Minkä löysitte? Mikä on siis tämä ruskea sauva, jos punainen on yksi neljäsosa? Ruskea on siis yksi kokonainen yksikkö.

Pistäkää värisauvat pois ja ottakaa esille eilinen paperista taiteltu kuvio. Eilen siis taittelimme tämän paperin palan. Ensiksi puoliksi, mitä osia syntyi silloin? Puolikkaita. Siis 2 puolikasta. Mutta sitten taiteltiin se vielä kahtia ja taas saimme saman kokoisia paloja ja mikä niiden nimi voisi olla? Ne ovat 4. osia. Ja sitten taiteltiin vielä. Mikä osan nimi voisi olla nyt? Joku sanoi, että ne ovat 6. osia, joku, että 8. osia. Mitähän ne ovat? Minusta 8. osia, aloitimme puolesta ja tuli 4. osia, siis 2 kertaa 2. Sekin taitettiin kahtia, tuli vielä 2 kertaa enemmän, 8. osia. Siis jos 4. osa kerrotaan kahdella, tulee 8. osa. Onko tämä totta? Siitähän tulisi isompi, jos se kerrotaan kahdella. Katsokaa tänne. Kuinka monta osaa tässä paperissa on? 4 samanlaista osaa. Mikä tämän pienen osan nimi on? 4. osa. Jos se kerrotaan kahdella, tulee puolikas, eli yksi kahdesosa. Tuliko siitä suurempi vai pienempi? Suurempi. Mutta mitä tässä äsken haluttiin sanoa, mitä niille tapahtuu, jos paperi jaetaan edellen? Tulee 8. osa. Tuleeko se pienemmäksi vai suuremmaksi? Pienemmäksi.

Avatkaa paperi, jota eilen taittelimme. Laskekaa siitä nämä pienet osat. Kuinka monta samanlaista osaa tässä on? 8. Ja mikä on yhden osan nimi? 8. osa. Taitellaan taas paperi pieneksi. Mitä tapahtuu, jos tämä taitetaan vielä kahtia? Mitähän siitä syntyy? Kuudestoistaosia. Niin minustakin. Ajattelevatko kaikki 16:ta? Taittakaa vielä kahtia. Avatkaa paperinpala. Sanoitte, että siihen tulisi 16 osaa. Laskekaa nämä osat. Montako osaa tässä paperissa on? 16 samanlaista osaa. Mikä yhden mini on? 16. osa.

Mitähän seuraavaksi tulee? 32. osa. Avatkaa edelleen taitettu paperi. Montako osaa tässä on? Montako samanlaista osaa tässä on? 32. Mikä niiden nimi siis on? 32. osa. Taittakaa uudelleen paperi pieneksi, pankaa kynäkoteloon. Kotitehtävänä on taittaa vielä eteenpäin ja miettiä, millaisia osia sitten tulee. Joka haluaa, voi taittaa vielä kahtia.

Ottakaa työvihko, sivu 109, tehtävä numero 1. Värittäkää ruudukosta sopivat osat punaisella kynällä. Jos asetatte suuruusjärjestykseen nämä pienet osat, mikä niistä on suurin ja mikä kaikkein pienin? Tunnista on jäljellä 5 minuuttia ja kaikki alkavat tehdä kotitehtävää.

On selitettävä ilman katsomista, miksi saatiin 8 samanlaista osaa taittamalla paperi kolmesti. Kotitehtäväksi: kirjoita vihkoon suuruusjärjestyksessä neljäsosa, kolmasosa, puolet, kahdeksasosa, kuudesosa, kahdestoistaosa.

Opettaja: Agnes Kivovics
Taso: 3. luokka, oppilaat n. 9 vuotiaita, erityislahjakkaat

Opettaja antaa vetää kaksi lukukorttia (4 ja 5) ja lasketaan niiden summa, 9. Ensin varmistetaan, että jokainen ymmärtää seuraavan tehtävän: jos kahdella lukukortilla saadaan summaksi 9, voisivatko ne olla muitakin kuin 4 ja 5? Voivat, 6 ja 3 tai 2 ja 7. Voiko olla sama luku kaksi kertaa? Onko muita mahdollisuuksia? 4 ja 5 tai 5 ja 4. Onko parempi kokeilla vai ajatella? Lasten mielestä on parempi ajatella. Eräs tyttö kysyy, pistetäänkö numerokortit takaisin. Ei. Tässä siis otetaan pois.

Lapsille annetaan ratkaistavaksi seuraava tehtävä. Viisi lasta leikkii luvuilla. Lukukortit ovat 1-10, yksi kutakin, ne pistetään laukkuun. Kukin lapsi nostaa kaksi korttia ja kertoo muille vain summan. Agi: 11, Eva: 4, Peti: 7, Zoli: 16, András: 17. Mitkä kortit he nostivat? Kirjataan taululle ratkaisuja.

summa	mahdolliset kortit
11	1 + 10	2 + 9	3 + 6	4 + 7	5 + 6
4	1 + 3	2 + 2 (ei käy)
7	2 + 5	3 + 4	1 + 6 (ei käy)

Poistetaan turhat päättelemällä ja päädytään ratkaisuun.

Toinen tehtävä: 7 tyhjää, 7 täyttä, 7 puoliksi täyttä säkkiä viinirypäleitä lastataan kolmeen autoon niin, että jokaiseen tulee tasan 7 säkkiä ja viinirypälemäärät ovat samat. Ensin keskustellaan tehtävästä, jotta varmistuu, että lapset ovat ymmärtäneet tehtävän. Piirretään taululle 3 autoa ja säkit. Oppilaat tekevät itsenäisesti 5 minuuttia, opettaja kiertää ja korjaa väärinkäsityksiä. Hän pyytää tehtävän jo ratkaisseen oppilaan tarkastamaan vastauksen. Lopuksi käydään läpi tehtävä taululla yhdessä. Oppilas tekee ratkaisua taululla, tarvittaessa toinen jatkaa. Toisetkin ideat esitetään. Tarkistus tehdään aina lopuksi.

Opettaja kysyy, miten tehtävä olisi voitu ratkaista toisella tavalla. Käytetään lappuja, joissa on 0, 1/2 ja 1. 0 merkitsee tyhjää säkkiä, 1/2 puoliksi täyttä, 1 täyttä. Mikä on lappujen summa? Puolikkaat yhdistetään pareiksi, niistä saadaan 3 ja 1/2, siis yhteensä 10 1/2. Tämä jaetaan kolmella, tulee 3 1/2. Tehtävä tehdään loppuun taululla ja tarkistetaan.

Kotitehtävä: Tamás pitää vadelmakarkista. Auta häntä löytämään se allaolevista kuudesta karkista. Pilkullinen ei ole sitruunan makuinen. Raidallisen maku ei ole ananas eikä suklaa. Parittomissa ei ole omenanmakua eikä mansikanmakua. Parillisissa ei ole ananaksen eikä sitruunan makua. Ensimmäisessä rivissä ei ole vadelmakarkkia, mutta on suklaa. Toisessa rivissä suklaakarkin oikealla puolella oleva on mansikanmakuinen.

Opettaja: Agnes Kivovics
Taso: 3. luokka, oppilaat n. 9 vuotiaita
Aihe: tilastollisen aineiston esittäminen

Oppitunnin alussa tervehditään ja kerrotaan, ketkä ovat poissa. Luokassa on 25 oppilasta. Opettaja näyttää aluksi erilaisia kuvia ja taulukkoja. Niistä keskustellaan ja yritetään päätellä, mitkä niistä voivat esittää tilastollista aineistoa. Keskustelun jälkeen siirrytään yksityiskohtaisempaan työskentelyyn.

Kuvassa on eri väristä mustetta sisältäviä kyniä. Väriä on jäljellä erilaisia määriä. Mitä kynistä on käytetty eniten? Perustelu? Entä vähiten? Perustelu? Jos kynät olisivat sinun, mikä niistä olisi (värin takia) suosikkisi?

Näytetään kuva, josta näkyy, kuinka moni tyttö ja poika juo aamulla kaakaota tai maitoa. Kummasta pidetään enemmän? Asia esitetään kaakaokupeilla ja maitolaseilla. Jos kaakaokuppeja on enemmän, se merkitsee, että useammat lapset juovat aamulla kaakaota kuin maitoa.

Opettaja ottaa esiin vihkopinot. Tehtävät on korjattu ja vihkot on järjestetty tehtyjen virheiden lukumäärän mukaan. Hyvät tulokset, keskimääräiset ja vähemmän hyvät on luokiteltu virheiden lukumäärän 0, 1, 2, 3, 4 mukaan. Näistä tehdään yhdessä taulukko, jossa esitetään tulokset tason mukaan.

Kolmannessa kuvassa on esitettynä erilaisia tapoja, miten lapset tulivat kouluun (jalan, polkupyörällä, bussilla, raitiovaunulla, metrolla), yksikkö ja kullakin tavalla tulevien lukumäärä annetaan janana. Arvioidaan lukumäärät kuviosta mittaamalla eri janojen pituudet. Lasketaan kokonaislukumäärä, se on 25. Onko taulukko tästä luokasta? Miksi? Kuvion mukaan 3 oppilasta tulee henkilöautolla, voiko olla tästä luokasta? Oppilaat huomauttavat, että on muitakin samankokoisia luokkia, joten ei ole varmaa, onko taulukko tästä luokasta.

Keskustellaan lempiaineiden esittämisestä kiekkokuviona. Opettaja kertoo, että matematiikka vastaa punaista, ympäristöoppi vihreää, äidinkieli valkoista ja näyttää kiekkokuvan, jossa on valkoista, vihreää, punaista, Hän kysyy, mikä on kunkin oppilaan lempiaine. Jokainen kertoo vastauksen. Miten tämä tieto voidaan esittää kiekkomallilla? Opettaja antaa jokaiselle sektoripalan, jossa ei ole väriä. Oppilas antaa ohjeet: jos pidät eniten matematiikasta, värjäät punaiseksi. Nämä väritetään lempiaineen värillä. Kun oppilaat ovat valmiit, he nostavat kätensä. Sitten kerätään palat väreittäin, punaiset ensin, lasketaan lukumäärä. Saadaan 14 matematiikkaa, 10 ympäristöoppia, 1 äidinkieli. Tehdään tästä aineistosta huomioita. Huomataan esimerkiksi, että tämän luokan useimpien oppilaiden lempiaine on matematiikka. Kerätään palat kiekkokuvioon ja tarkistetaan laskemalla palat.

Opettaja kysyy, kuka pitää jäätelöstä. Kaikki vastaavat yhtäaikaa. Sitten hän kysyy, kuka pitää eniten mansikkajäätelöstä, vaniljajäätelöstä, suklaajäätelöstä. Oppilaat vastaavat ryhmänä. Opettaja ottaa pahviset jäätelön kuvat, suklaa, mansikka, vanilja ja antaa kunkin jollekin oppilaalle, joka pitää juuri tästä jäätelöstä eniten. Kaikki oppilaat ryhmittyvät riviin lempijäätelönsä taakse. Ryhmiksi tulee 9 vanilja, 7 suklaa, 5 mansikka, 4 jää erikseen. Nämä 4 oppilasta eivät pidä jäätelöstä. Mitä havaintoja voidaan tehdä nyt? Esimerkiksi, että tytöistä enemmistö pitää eniten vaniljajäätelöstä. Poikien joukossa on suklaa suosituin. Nyt halutaan esittää tulokset niin, että tytöt ja pojat esitetään erikseen. Miten tämän voi tehdä? Opettaja kirjaa taululle luvut, oppilaat ehdottavat. Saadaan taulukko:

	pojat	tytöt	yhteensä
vanilja	0	9	9
suklaa	3	4	7
mansikka	2	3	5
ei mitään	2	2	4

Opettaja kysyy: Miten voit esittää tämän yhdellä kuvalla? Asiasta keskustellaan, kerätään ideat. Löytyy ongelma: miten voidaan esittää myös ne, jotka eivät pidä lainkaan jäätelöstä? Oppilaiden ratkaisuja on useita, yksi niistä on: punainen kiekko vastaa tyttöä, sininen kiekko poikaa, jäätelön laatu esitetään väritangolla. Väritankojen alle kerätään punaisia ja sinisiä kiekkoja edellisen taulukon mukaisesti. Joku ehdottaa, että värin tummuudella voidaan erotella tytöt ja pojat. Jokainen piirtää oman ratkaisunsa, jossa koko luokka esitetään yhdellä kuvalla. Toinen ratkaisu on pylväät, joissa väritetään tyttöjen ja poikien lukumääriä vastaten eri päät väreillä. Opettaja kiertää luokassa ja kommentoi eri ratkaisuja ja kyselee, mitä kuvioista näkyy tarkistaen näin, että jokainen lapsi on ymmärtänyt asian. Montako poikaa yhteensä, mikä esittää poikaa, mitä tämä tarkoittaa? Montako lasta on yhteensä? Jos joku ei ole vielä valmis tunnin päättyessä, jää tehtävän lopettaminen koti- tai iltapäivätehtäväksi. Kotitehtäväksi jaetaan kaikille uusi kuva ja tehtävänä on siinä esitetyn tilastollista aineistoa esittävän taulukon tulkinta. Tunnin lopussa noustaan ylös ja sanotaan meille vierailijoille näkemiin.

Opettaja: Agnes Kivovics
Taso: 4. luokka
Aihe: jaollisuus, oppitunnin pituus 45 min.

Opettaja on tehnyt kalvolle ruudukon

Oppilailla on samanlainen paperiruudukko. Ruudukkoon merkitään lukujen 1 - 24 jakajat ristillä tätä lukua vastaavalle vaakariville. Alku tehdään yhdessä, sitten oppilaat jatkavat itsenäisesti. Opettaja johdattelee kysymyksillä, joihin oppilaat vastaavat. Milloin luku on toisen jakaja? Onko 1 on 2:n jakaja? Miksi? Entä onko 2 on 2:n jakaja? Miksi? Mikä on jakojäännös? Miksi kysyn jakojäännöksestä? Jakojäännös 0 on sama asia, kuin että kyseessä on luvun jakaja (tekijä). 3 on 3:n tekijä, 3 sisältyy kerran 3:een ja jakojäännös on 0. Mitkä ovat 5:n tekijät? Kokeillaan lukuja 1,2,3,4,5. Onko minkään luvun kohdalla merkitty koko riviä lävistäjälle asti? Ykköselle on. Miksi? Onko lävistäjällä aina risti? Miksi? Etsitään yhdessä luvun 7 tekijät, sitten luvun 11. Jatketaan itsenäisesti. Joku oppilaista käy tekemässä merkinnät kalvolle. Nimitystä "alkuluku" ei käytetä vielä tässä vaiheessa, nyt vain hankitaan siitä kokemuksia myöhempää varten. Näkyykö jossain rivissä jotain mielenkiintoista? Oppilas: 2:n rivissä on risti joka toisessa ruudussa, 3:n joka kolmannessa, 4:n joka 4:ssä. Tästä keskustellaan hetki. Mitä on 16:n kohdalla? Kynien avulla tarkstellaan esille tullutta mallia, kynä 1:n kohdalle pystysarakkelle, toinen lävistäjälle. Etsitään lisää suoria, joihin asetetaan kyniä. Mitä yhteistä näillä on? Oppilas: kynät ovat kuin auringon säteet. Tähän on kulunut tunnista n. 20 minuuttia. Jatketaan itsenäisesti suurempien lukujen, kuten 24 tekijöiden etsimistä ja merkitsemistä, joku oppilaista tekee tämän kalvolle.

Oppilaat tarkastavat oman työnsä ja kalvolla olevat ristit. Mitä jäi huomaamatta? Montako askelta on kussakin pylväässä x:ien välissä? Oliko malli oikein? Millä luvuilla on vähiten jakajia? Vastaus: ykkösellä. Miksi? 1:n jakaa vain 1. Onko sellaisia lukuja, joilla on tasan kaksi jakajaa? Onko niitä monta vai vähän? Löytyy 1 ja 5. Väritetään värikynällä ne rivit, joilla on vain 2 jakajaa. Tämä tehdään itsenäisesti, väri valitaan itse, mutta ei kovin tummaa. Millä riveillä on 2 x:ää, miten ne sijoittuvat riville? Tarkastetaan värjätyt rivit. Mitkä ne ovat? Oppilaat vastaavat ja opettaja merkitsee kalvolle niitä, löytyy 3,7. Kerätään ne kaikki kalvolle. Minne x:t sijoittuvat? Luku itse ja 1. Miksi ääripäät ovat l ja lävistäjä? Löytyykö esimerkkiä luvusta, joka on jaollinen 1:llä ja itsellään? Onko 2 7:n tekijä?

Onko 24:ää suurempia lukuja, joilla on vain 1 ja luku itse tekijänä? Vastaus: 41, se sisältää 41:n kerran ja 1:n 41 kertaa. Onko sillä muita tekijöitä? Ei ole. Oppitunnista on nyt kulunut 30 minuuttia. Tehdään uuteen taulukkoon parityönä niiden lukujen väritys, jotka ovat 4:n monikertoja.

Tarkastetaan tulos. Joku oppilaista kertoo, mitä on merkinnyt. Oliko virheitä? 0 ei ollut mukana. Miksi 4 on 0:n tekijä? Onko jakojäännöstä, kun 0 jaetaan 4:llä? Tarkastetaan kyseinen kohta oppikirjasta. Kirjassa on esimerkki 0 13 = 0, siis jako menee tasan, ei ole jakojäännöstä. Pitikö 0 värjätä? Kyllä. Värjätään toisella värillä luvut, jotka voidaan jakaa vain 1:llä ja luvulla itsellään. Opettaja kiertää luokassa tämän itsenäisen työn aikana ja neuvoo tarvittaessa. Eräs pari kiistelee siitä, onko 2 värjättävä vai ei. Mitkä luvut on värjätty? Katsotaan myös edellistä kalvoa. Saadaan lukuja..., 17,..., 23, 31. Onko kahden viimeisen välillä tällaisia lukuja? Oppilas ehdottaa lukua 27. Onko tämä oikein? Ei, sillä 3 jakaa 27:n ja 9 myös.

Leikataan ruudut irti paperista, saadaan lukukortit. Joku on vielä epävarma, pitikö 0 värjätä. Kun oppilaat ovat valmiita, he nostavat kätensä. Opettaja auttaa tarvittaessa. Tunnista on jäljellä 5 minuuttia. Oppilaat tekevät tilaa pulpetille. Ikkunan puoleinen oppilas kustakin parista ottakoon ne kortit, joissa oleva luku on 24:n tekijä, toinen 32:n tekijät ja kerätköön ne erilleen. Taululle kirjoitetaan 24 ja 32. Opettaja: Nostakaa käsi ylös, jos olette valmiita.

Parit alkavat kiistellä yhteisistä tekijöistä. Onko sellaisia, pareja, joissa toisella on kaikki 24:n ja toisella kaikki 32:n tekijät? Oppilas: Tuolla toisella on tarvitsemiani tekijöitä! Opettaja antaa kotitehtävän ja tarkastaa, että kaikki ymmärtävät, mitä tulee tehdä. Lukusuoralle on merkittävä 24:n tekijät ja on tehtävä joukkokaavio 24:n ja 36:n tekijöistä. Opettaja: Miettikää, onko 0 mukana.

Opettajan kommentteja: lukukorttien leikkaaminen voi näyttää ajan haaskaukselta, mutta se on vaihtelua ja leikkausjoukko tullaan muistamaan. Jaollisuuteen liittyviä vaikeuksia: 0:n rooli, milloin jaetaan, milloin kerrotaan, 1 ja alkuluvut, tässä kuva auttaa. 1 jakaa jokaisen luvun, myös itsensä. Tässä tapauksessa se on ainoa tekijä.

Opettaja: Agnes Kivovics
Taso: 4. luokka
Aihe: jaollisuus, edellistä seuraava tunti

Taululla on valmiina kuva ja keltaisilla liimautuvilla lapuilla lukuja 1 - 24, yksi kullakin lapulla. Samanlaisia lappuja on useita päällekkäin.

Minne sijoitetaan 7? Toiseen ryhmään. Minne 11? Toiseen. Minne 12? Muistatteko viime tunnin kuvan? Otetaan esiin kalvo. Opettaja pyytää ehdotuksia. Toiseen ryhmään tulevat vain ne luvut, jotka ovat jaollisia 1:llä ja itsellään. Esimerkiksi 2:lla on 2 jakajaa (tekijää). Millaiset luvut tulevat 3. ryhmään? Minne 13 sijoitetaan? Toiseen. Miksi? Oppilaat käyvät taululla sijoittamassa keltaiset laput ryhmiin. 3. ryhmään ne, joilla on enemmän kuin 2 jakajaa. Luetellaan lukujen jakajia. Asetellaan uusia lappuja paikoilleen. Mitkä ovat 18:n jakajat? Jatketaan lappujen sijoittelua. Tuleeko ryhmään 1 uusia lukuja? Ei, vain 1 on kaikkien lukujen jakaja. Onko tämä oikein? Mikä nimi tulee 1. ryhmälle? 1:n jakajat. Voidaanko jokainen 3. ryhmän luku saada täsmälleen kahden 2. ryhmän luvun tulona? Taululle kirjoitetaan tuloksia ja sijoitellaan lappuja.

Joku ehdottaa 24 = 3 8, häntä täytyy korjata, koska vain 2. ryhmän lukuja saa nyt käyttää. Joku ehdottaa 24 = 3(3+5). Tämäkään ei kelpaa, koska saa käyttää vain tuloja. Joku ehdottaa 2 11, mutta tämä on 22, ei käy. Samaa lukua voi nyt käyttää useamman kerran. Oppilaille annetaan parin minuutin itsenäinen työ täydentää 24 = 3 . Vastaukseksi tulee 24 = 3 2 2 2. Tulokset tarkastetaan. Oppilaat saavat valita jäljelläolevista lukuista jonkin ja tehdä sille vastaavasti. Opettaja kehottaa heitä tekemään kaikille jäljelläoleville samoin. esimerkiksi 12 = 2 3 2, 18 = 2 3 3, 16 = 2 2 2 2 Onko oikein? Tarkastetaan ketomalla. Oppilaita kehotetaan tekemään sama 22:lle. Uusi tehtävä: Nyt on käytettävissä vain 3 kappaletta lukuja 2 ja 2 kappaletta lukuja 3, näitä saadaan vain kertoa. Mitä lukuja saadaan? Tämä tehdään itsenäisesti ja vastauksia kirjoitetaan, nyt siis saadaan käyttää enintään näitä lukuja.

(nimitykset alkuluku, yhdistetty luku tulevat vasta 5. luokalla, nyt vain kerätään kokemuksia) Mitä saadaan, jos käytetään kaikkia näistä luvuista? Tuleeko eri tulos, jos käyttää toista tai ensimmäistä kakkosta? Ei. Mitä lukuja löysitte? 36 = 2 2 3 3. Kuka sai tämän? Entä muita?

72 = 3 3 2 2 2. Oppilas ehdottaa 54 = 3 3 2 3. Opettaja toteaa, että ehto voi unohtua, varsinkin, kun on kuuma päivä. Tässä on liikaa lukuja 3. Oppials ehdottaa 48 = 2 2 2 3 3. Joku huomauttaa, ettei se voi olla oikein, tämä olisi sama kuin 72. Lukua ehdottanut oppilas korjaa virheensä laskemalla. Seuraavaksi tehdään itsenäinen työ: Oppilaiden tulee täydentää kuvio

ja viitata, kun ovat valmiita. Opettaja kysyy, näyttävätkö luvut tutuilta. Mistä alkutunnin joukosta ne ovat? Tehdään ensimmäinen pylväs yhdessä ja tarkastetaan samalla. Etsitään vaiheittain lukuja, esim. 12. Opettaja kehottaa menemään 24:ään useammalla kuin yhdellä tavalla. Reitti merkitään värikynällä harjoituskirjaan. Taululla näytetään reittejä. Seuraavaksi mennään lukuun 72. Montako kertaa käytetään lukuja 2 ja 3? Vastaus: 2 3 kertaa,3 2 kertaa. Oliko oikein? Lasketaan eri tavoilla. Vasemmalla kädellä lasketaan, montako lukua 2, oikealla, montako lukua 3. Luetaan laskutoimituksia samalla, kun liikutaan kuviossa. Löydättekö kaikki 72:n tekijät, jos katsotte kuvaa? Kyllä. Etsikää kaksi lukua, jotka kertomalla saadaan 72. Ne voivat olla 8 ja 9 tai 2 ja 36 tai 24 ja 3. Ovatko myös nämä tekijöitä? Ovat. Saadaanko samoin 6 12 = 72? Miten se saadaan? Jos jaetaan 24 2:lla ja 3 kerrotaan 2:lla.

Jos on käytössä monta lukua 2 ja 3, saadaan kertomalla paljon lukuja. Voidaanko 72 jakaa osiin? Miten se jaetaan kahden luvun tuloksi? Esimerkiksi 72 = 72 1. Pitääkö luku 1 kirjoittaa tähän? Tarkoittavatko nämä samaa 72 ja 72 1? tarvitaanko sulkuja?

Jatketaan tekijöihin jakoa. Samalla keskustellaan: Voidaanko 2 jakaa kahteen osaan? Ei. Entä 36? Jatkakaa itsenäisesti. Etsikää suurin ja pienin tekijä. Entä 9? Joku ehdottaa tekijäksi lukua 4. Entä, jos kerrotaan 2 4? Saadaankin 8. Todetaan, että 3 3 = 9. Nyt muodostetaan luku 72 tästä ketjusta eri tavoin. Ketjussa nähdään 2. ryhmän lukuja, joilla on 2 tekijää. Lopuksi annetaan kotitehtävät.

Opettaja: Rubóczky
Taso: 5. luokka, oppilaat n. 11 vuotiaita
Aihe: kombinatoriikka

Eräitä tunnilla tehtyjä harjoituksia: miten moneen järjestykseen voidaan kirjoittaa kolme eri kirjainta? Miksi? Luokalla tehdään arpajaiset vetämällä lakista arpalippuja.

Viisi oppilasta valitaan kättelemään kukin toisiaan, montako eri kättelyä tulee? Opettajan johdolla yritetään selvittää asia.

Opettaja: Paróczai
Taso: 5. luokka, oppilaat n. 11 vuotiaita
Aihe: negatiiviset luvut (ensimmäinen oppitunti, jolloin puhutaan negatiivisista luvuista, kaksoistunnista ensimmäinen)

Opettaja kertoo, että tällä tunnilla tulee uusi asia, joka ei kuitenkaan ole kokonaan uutta. Luonnolliset luvut tunnetaan jo, nyt laajennetaan lukualuetta.

Opettaja kirjoittaa taululle 53 + 17 ja kysyy, millaisilla lausekkeilla voidaan esittää sitä viidellä pienempi luku. Oppilaat ehdottelevat erilaisia lausekkeita:

$$\begin{array}{l} 53 + 17 > 53 + (17 - 5), \quad 53 + 17 > (5... ...) + (17 - 2), \quad 53 + 17 > (53 + 10) + (17 - 15) \end{array}$$

Opettaja kysyy: Mitä tapahtuu, jos ensimmäisessä sulkulausekkeessa suurennetaan jälkimmäistä lukua, 10:n sijasta lisätäänkin 20. Miten se vaikuttaa jälkimmäiseen? $53 + 17 > (53 + 20) + (17 - 25)$. Viimeisen lausekkeen alle opettaja piirtää kysymysmerkin ja toteaa, että tällaista lukua ei ole näkynyt aikaisemmin. Onko tällainen olemassa? Käydään läpi vielä toinen samantapainen esimerkki ja päädytään yhtälailla (negatiiviseen) lausekkeeseen, jonka alle opettaja piirtää kysymysmerkin. Nämä eivät ole posiitivisia lukuja, tietääkö joku niiden nimen? Joku tietää: negatiiviset luvut. Opettaja kirjoittaa sen taululle ja sanoo, että tällä ja seuraavilla tunneilla tutustutaan näihin enemmän. Aloitetaan keskustelulla. Opettaja kysyy: Mitä sinulle merkitsee negatiivinen luku? Missä jokapäiväisen elämän tilanteissa niitä tavataan?

Keskustellaan siitä, missä negatiivisia lukuja tavataan: säätiedoituksissa, esim. jos on pakkasta $-13$, on hyvin kylmä. Opettaja kertoo, että tässä tilanteessa negatiivinen luku ei merkitse hänelle, että luku on outo, vaan $-13$ merkitsee, että hän tarvitsee paljon vaatteita, hän hytisee kertoessaan tätä. Lämpötila on siis nollan alapuolella 13:lla asteella. Lukusuora on toinen yhteys, missä on alusta alkaen nähty negatiivisia lukuja (mutta niihin ei ole kiinnitetty huomiota). Opettaja kysyy: tiedättekö, mikä on pankkikortti ja mitä sillä voi tehdä? Pankkitilille voi tulla rahaa, mutta laskujen maksaminen vie pois rahaa. Tulot ovat positiivisia ja maksettavat menot negatiivisia, pankkitili on esimerkki, jossa voidaan joutua negatiiviselle puolelle. Pankista voidaan myös ottaa laina, tällöin ollaan negatiivisella puolella. Hintojen alennukset, esim. 20% ale, pörssikurssien alamäki ovat esimerkkejä. Opettaja kertoo leikkineensä pienenä kartoilla. Tällöin hän löysi negatiivisia lukuja. Karttaan oli merkitty meren syvyyttä väreillä. Meren syvyys on negatiivinen nollatasoon verrattuna. Esimerkiksi Hollannissa on merenpinnan alla olevaa maata. Missä Hollanti onkaan? Mitkä ovat Hollannin naapurimaat? Kotitehtäväksi tulee: tarkastele kartan avulla Panaman kanavaa, Panaman kanava yhdistää eri korkeudella olevat meret. Miten tämä on mahdollista? Oppilaiden tulee hakea eri syvyydet, jotka on merkitty karttaan. Opettaja kertoilee, että negatiiviset luvut ovat matematiikan historiassa aika uusia. Aikaisemmin pelättiin negatiivisia lukuja ja ajateltiin, että negatiiviset luvut ovat absurdeja -- tiedättekö, mitä sana absurdi tarkoittaa? Negatiivisia lukuja pidetiin kuviteltuina, ei todellisina. Nyt niitä tarvitaan jokapäiväisessä elämässä.

Mikä on negatiivisten lukujen yhteys lukusuoraan?

Opettaja piirtää suoran, merkitsee 0:n ja kysyy, mitä muuta tarvitaan. Yksikkö. Opettaja toistaa: tarvitaan 0 ja yksikkö. Hän kysyy, mikä on kasvava suunta ja piirtää näkyviin positiivisia kokonaislukuja sekä kirjoittaa niiden alle ''positiiviset kokonaisluvut''. Onko 0 positiivinen? Mikä on positiivisten kokonaislukujen ja nollan nimitys? Hän lisää niiden alle ''luonnolliset luvut''. Nyt pitäisi sijoittaa negatiiviset luvut lukusuoralle. Minne tulee 3:n vastaluku $-3$? Lapset ehdottavat: Otetaan 3 (yksikön pituista) askelta nollasta eri suuntaan kuin positiiviset luvut. Oppilaat etsivät $-3$:n paikan lukusuoralta. Opettaja käyttää koko ajan nimitystä ''vastaluku''. Keskustellaan lämpimistä ja kylmistä väreistä, lukusuorassa negatiivinen puoli on sininen (kylmä) ja positiivinen punainen (lämmin). Mikä luku on $-8$:n vastaluku? Keskustellaan etumerkeistä. Huomataan, ettei positiivisen luvun eteen tarvitse merkitä +:aa. Negatiivinen merkitään, joten ellei ole etumerkkiä, on luku positiivinen. Näin säästetään energiaa. Tarvitseeko 0 etumerkkiä? Mikä on 0:n vastaluku? Mietitään askelilla lukusuoralla. Ei yhtään askelta. 0:n vastaluku on $-0$, tämän sijasta kirjoitetaan 0, sillä on vain yksi 0.

Nyt tulee vaikea kysymys: minkä vastaluku on 5? Havainnollistus: 5 askelta vastapäiseen suuntaan 0:sta kuin 5. Mikä on $-5$:n vastaluku? Selitetään kaava $5 = -(-5)$. Kaksi miinusta kumoaa toisensa. Opettaja tuo mukaan logiikan: kyllän vastakohta on ei ja ei:n kyllä. Verrataan kahta miinusta logiikan kaksoisnegaatioon: ''Ei ole totta, ettei sada'' on sama, kuin että ''sataa''. Jossain vaiheessa oppilas ehdottaa värien käyttöä negatiivisten lukujen suhteen ja opettaja toteaa, ettei se auta, sillä voi olla tapaus, jossa on vain yksi väri käytössä.

Yhteenveto: Positiivisten ja negatiivisten lukujen läheinen yhteys; positiiviset luvut, 0, negatiiviset luvut. Lukusuora, 0, yksikkö. Merkitään vastalukujen pareja. Mitä havaitaan? Ne ovat eri puolilla ja yhtä kaukana 0:sta. Toinen on positiivinen, toinen negatiivinen (nolla!). Vastaluvut ovat 0:sta yhtä etäällä.

Opettaja merkitsee lukusuoralle luvut 1 ja $-1$. Mitä yhteistä näillä on? Hän lisää lukuja, 3 ja $-3$. Miten ne näkyvät lukusuoralla, havainnollistetaan askelilla 0:sta. Uusi käsite: itseisarvo. Mitä se tarkoittaa? Opettaja antaa itseisarvon merkinnän. Se on etäisyys 0:sta, 0:sta tarvittavien ''askelten määrä''. Luvut, joilla on sama itseisarvo, ovat yhtä kaukana 0:sta. Mitä tarkoittaa $\vert 1\vert = \vert-1\vert$? Se tarkoittaa, että 1:n ja $-1$:n etäisyys nollasta on sama, 1 ''askel''. $1 = \vert 1\vert = \vert-1\vert$. Mikä on $\vert-5\vert$? Mikä on 0:n itseisarvo? Montako ''askelta'' 0:sta? Joku lapsi huomaa, ettei itseisarvo voi olla negatiivinen. Tämä kirjoitetaan taululle. Minkä luvun itseisarvo on 12? Montako ratkaisua? 12 on ratkaisu, $-12$ kelpaa myös. Onko enemmän ratkaisuja? Miksi? Vain kaksi suuntaa 0:sta.

Minkä luvun itseisarvo on -5:n itseisarvo? $\vert-5\vert = \vert 5\vert = 5$, $0 = \vert\vert$, onko muita ratkaisuja? $\vert Y\vert = -3$. Onko tällaista lukua? Lapsi ehdottaa lukua 3. Muistutetaan, että itseisarvo on aina ei-negatiivinen ja kerrataan vielä ''askeleet'' 0:sta. Lopuksi opettaja kertaa, mitä nyt tiedetään, ja mitä ei vielä tiedetä: voiko negatiivisia lukuja käyttää laskutoimituksiin? Tämä selviää seuraavalla tunnilla. Näkemiin.

Koko tunnin ajan opettaja ja luokka ovat tiiviissä yhteistyössä, ideat tulevat lapsilta, opettaja kertaa ne. Hän tekee lyhyitä hyppäyksiä muuhun (lämpimät/kylmät värit, maantiede, ...) mutta palaa hyvin pian ja täsmälleen lähtökohtaan.

Opettaja: Jakucs
Taso: 6. luokka, oppilaat n. 12 vuotiaita
Geometrian tunti, aiheena peilaus ja symmetria.

Luokan alussa oppilaat (joille on kerrottu, että tuntia seuraavat henkilöt ovat tulleet Suomesta) lähettävät suomeksi terveisiä joulupukille (joulu on pian tulossa). Kotitehtävänä on ollut selvittää, onko annetussa kuviossa peilaussymmetriaa. Kuviossa on janoja siroteltuna tasoon. Opettaja käyttää kalvoja ja taittamalla kalvon ehdotetun symmetria-akselin kohdalta tarkistaa, menevätkö kuviot päällekkäin. Symmetria-akselit voivat olla eri suuntaisia. (Oppilaat käyttävät kaksipuolista peiliä symmetrian opetteluun jo ensimmäisestä luokasta lähtien.)

Kotitehtävänä on ollut myös tarkastella kuvia, joihin on kätketty symmetrinen kuva (katso kuva ).

Tunnilla tarkastellaan ensin arvaamalla, voidaanko erilaisia kolmioita (tasasivuinen, suorakulmainen, tasakylkinen, ei mitenkään säännöllinen kolmio) käyttämällä peittää yhdensuuntaisten suorien välinen tason osa. Arvaukset merkitään taulukkoon, viimeiseen kohtaan (ei säännöllinen kolmio) tulee kysymysmerkki. Arvauksia tarkistetaan kokeilemalla ja oppilaat esittävät taululla ratkaisunsa. Luokassa on erilaisia mielipiteitä. Oppilailla on omat muoviset kolmionsa, joilla he voivat kokeilla itse.

Opettaja piirtää myös yhdensuuntaisvyön jaon suunnikkaisiin ja kysyy, voidaanko peittäminen tehdä kolmioilla. Kolmioiden lisäksi tarkastellaan myös muita monikulmioita. Säännöllisillä kuusikulmioilla voidaan peittää yhdensuuntaisvyö, millaisia kolmiojakoja tähän liittyy? Montako tapaa on peittää yhdensuuntaisvyö tasasivuisilla kolmioilla? Entä suorakulmaisilla? Oppilaat esittävät ratkaisunsa tai perustelevat, ettei ratkaisua ole. Tällöin päädytään laskemaan kulmia. Oppilaat eriytetään, toiset hakevat kokeellisesti mahdollisimman monta tapaa, toiset yrittävät todistaa tuloksia.

Symmetristä pisarakuviota peilataan erisuuntaisten suorien suhteen. Aloitetaan yhdensuuntaisten suorien tapauksesta.

Mitä tapahtuu?

Käytetään kahta peilausta. Mikä on lopputuloksessa olevien kuvien lukumäärä, jos lähdetään pisara (tai kukan terälehti) kuviosta? Tuleeko aina 4-lehtinen kukka (joka on lopputulos, jos lähtökuvio on keskellä ensimmäistä koordinaattineljännestä -- akselit peilausakseleina). Tuleeko aina parillinen lukumäärä terälehtiä? Onko pariton lukumäärä terälehtiä mahdotonta saada muuttelemalla peilien asemaa?

Entä peilaus, jossa kuvio peilautuu itselleen? Miten voidaan saada lopputulokseksi kolme terälehteä? Millainen kulma peilaussuorien väliin tulee? Entä 5 terälehteä? Mitä tapahtuu, jos peilaussuorien välinen kulma on $45^{\circ}$?

Tutkitaan peilin avulla kuvaa

Lopuksi tarkastellaan lyhyiden tikkukirjaimilla kirjoitettujen sanojen ja niiden kirjainten symmetriaominaisuuksia. Sanoja ovat BIBE, BEOE, DODI sekä pystysuuntaan kirjoitetut OTTO, MOHA, HIT. Kotitehtävänä on koota lisää sanoja ja kuvioita, joissa on symmetriaa.

Opettaja: Kovácz
Taso: 6. luokka, oppilaat n. 12 vuotiaita
Aihe: geometria

Opettaja on kätkenyt pienen merkin erään kiekon alle, hän näyttää kalvolla kuvan.

Kyselemällä on löydettävä sen kiekon keskipisteen koordinaatit, jonka alla merkki on. Vastaukset ovat vain kyllä/ei. Oppilaat kyselevät ja käyvät sitten poistamassa turhat kiekot. Onko ensimmäinen koordinaatti pienempi kuin 2? Ei. Onko ensimmäinen koordinaatti suurempi kuin 0 ja pienempi kuin 4? Ei. Onko jälkimmäinen koordinaatti pienempi kuin 3? Ei. Onko jälkimmäinen koordinaatti suurempi kuin 3 ja pienempi kuin 5? On. Nyt on jäljellä enää kaksi mahdolisuutta (4,4) ja (5,4). Onko ensimmäinen koordinaatti suurempi kuin 5? Onko tämä hyvä kysymys, kysyy opettaja. Ei ole, todetaan. Onko ensimmäinen koordinaatti suurempi kuin jälkimmäinen? Ei. Nyt merkki löytyy kohdalta (4,4).

Toistetaan vastaava niin, ettei saa käyttää koordinaattien numeroarvoja ja koordinaatit ovat väliltä 0-4. Oppilas kysyy: Onko ensimmäinen koordinaatti suurempi kuin jälkimmäinen? Vapaaehtoisena valittu toinen oppilas vastaa nyt kysymyksiin. Poistaessaan turhia kiekkoja oppilas epäröi, jolloin opettaja tulee apuun ja kysyy erikseen tiettyjä kiekkoja. Onko tämä poistettava? Jäävätkö muut varmasti? Uusi kysymys: onko jälkimmäinen koordinaatti parillinen?

Oppilaat ovat piirtäneet vaakunoita. Opettaja ajattelee niistä yhtä, oppilaiden saatava kyselemällä selville, mikä on kyseessä. Vastaukset ovat jälleen vain kyllä/ei. Käytetään symmetria-akseleiden olemassaoloa ja suuntaa, pyörityssymmetrian olemassaoloa, värejä. Joskus opettaja kysyy, oliko turha kysymys, erotteliko kysymys kuvat, ja pyytää perustelun. Kaksi kuvista ei ole symmetristä, mitkä ne ovat?

Opettaja näyttää kalvon ja kertoo, että voimme ajatella, että siinä on kylän kartta ja yksikkönä sentti. Poliisiasema on merkitty pisteellä P, sairaala pisteellä S. Sairaala on kauempana kuin 4 cm P:stä. Todellisuudessa etäisyys olisi paljon suurempi, mutta nyt puhutaan kartasta ja senttimetrin etäisyys sentin kartalla vastaa todellisuudessa kilometriä. Tie kulkee niiden välissä, kumpikaan pisteistä ei ole tiellä. Roisto (tai koulu, kumpaa haluatte ajatella) on yhden sentin etäisyydellä tiestä ja 4 cm etäisyydellä poliisiasemasta.

Ensin etsitään, missä ovat ne pisteet, jotka ovat sentin etäisyydellä tiestä. Montako ratkaisua? Saadaan kaksi tien suuntaista suoraan. Seuraava tieto on, että etsitty piste (missä roisto on) on neljän sentin päässä poliisiasemasta. Missä nämä pisteet ovat kartalla? Montako ratkaisua olisi nyt? Minne poliisiasema tulisi siirtää, jottei tulisi yhtään ratkaisua? Yli 5 sentin päähän tiestä. Entä jos se on tasan 5 sentin etäisyydellä? Lisäksi tiedetään, että roisto ei voi olla kauempana sairaalasta kuin 3 cm. Kalvolle asetetaan punainen kiekko, jonka säde on 3 yksikköä. Opettaja liikuttelee kiekkoa ja tutkitaan, montako ratkaisua milloinkin on. Oppilaat piirtävät kuvia eri tilanteista.

Opettaja antaa uuden tehtävän. Kaksi kaupunkia on merkitty sinisellä ja vihreällä. Huono tie ei kulje kummankaan kaupungin kautta. Kumpikin kaupunki maksaa tien korjauksesta itseään lähimmän osan edestä. Kuka maksaa minkäkin osan korjauksen? Ratkaisu värjätään sinisellä ja vihreällä. Miten löysitte pisteen, joka erottaa sinisen ja vihreän viivan osan? Kyseessä on kahden pisteen välisen janan keskinormaali. Nämä pisteet ovat yhtä kaukana molemmista. Nyt tulee mukaan myös punainen kaupunki, joka haluaa osallistua samoin ehdoin. Miten saadaan selville heille maksettavaksi tuleva tien osa? Värjätään punaiseksi ne pisteet, jotka lähinnä punaista kaupunkia.

Otetaan esille paperi, johon merkitään kaksi pistettä esittämään kahta ihmistä, heitä merkitään A:lla ja P:llä. A:n sukulaiset asuvat lähempänä A:ta, P:n P:tä. Miten paperin voi taittaa niin, että nähdään, missä kummankin sukulaiset asuvat? Mitä pitää tehdä taululla, jota ei voi taittaa? Mukaan tulee kolmas henkilö, B. Käytetään värejä, punainen, sininen ja vihreä. Kuvioon tulee keskelle kolmio, jota ei osata värittää. Missä on virhe? Todetaan, että suorat leikkaavat yhdessä pisteessä, eikä kolmiota tulekaan.

Kotitehtäväksi tulee vastaava tehtävä: neliö, jonka kulmissa on 4 ''henkilöä'', ja valitaan johonkin sisäpisteeseen viides. Tehtävä ratkaistaan taittelulla ja värittämällä. Mitä tapahtuu, jos viides piste on lähellä kärkipistettä? On tutkittava, mitä tapahtuu, jos piste valitaan eri tavoin neliön sisältä.

Opettaja: János Pataki
Taso: 11. luokka, oppilaat n. 17 vuotiaita, matematiikan erityisryhmä

7. luokasta lähtien voi olla 6-8 tuntia matematiikkaa viikossa. Ryhmässä oli 18 oppilasta, voidaan myös jakaa ryhmä. Geometriassa käsitellään esim. inversio, analyysiä, kuten derivaatta, integraali, sarjat, jonot ja raja-arvot. Oppilaiden kotitöitä kerätään kirjallisina ja arvioidaan. Kotityöt ovat pakollisia, oppilaat saavat numeroita ja pisteitä.

Aiheina on myös analyyttistä geometriaa, esimerkiksi tasossa suoran yhtälö käyttäen pistetuloa, pisteen etäisyys suorasta jne.