Periaatteessa kyseessä on kaksiulotteisen kuvan muodostaminen kolmiulotteisesta kohteesta. Tällöin tarvitaan jonkinlainen funktio eli kuvaus kolmiulotteisesta avaruudesta kaksiulotteiseen tasoon, jossa periaatteessa jokaisen avaruuden pisteen kuvaksi asetetaan jokin tason, ns. kuvatason piste.
Tämän funktion tulee varmasti olla ainakin jatkuva: Jos kaksi pistettä on avaruudessa lähellä toisiaan, niiden kuvapisteidenkin tulee olla lähellä toisiaan. Tätähän jatkuvuus varsinaisesti on; lukija älköön heti ajatelko lausekkeita sanan 'jatkuvuus' kuullessaan. Jatkuvuus ei kuitenkaan ole riittävä vaatimus, vaan kuvauksella tulee olla enemmän säännöllisyyttä.
Mikäli muuta ei vaadita kuin jatkuvuus, kyseeseen voisivat tulla vaikkapa sellaiset kuvaukset, joita voi nähdä eräissä hollantilaisen taiteilijan M. C. Escherin töissä. Näitä löytyy verkostakin; hyvä lähtökohta on 'The Official M. C. Escher Website'. Erinomaisia esimerkkijä ovat vaikkapa 'Kuvagalleria' tai 'Parveke'. Escher itse ei kylläkään pitänyt kuviaan matemaattisina, vaan hänen näkemyksensä perustui muunlaiseen ajatteluun.
Escherin kuvat eivät kuitenkaan ole sitä, mitä tavalliselta havainnolliselta kuvalta odotetaan. Luontevampaa onkin käyttää kuvauksena jotakin projektiota. Tärkeimmät ja yleisimmin käytetyt vaihtoehdot ovat yhdensuuntaisprojektio ja keskusprojektio. Edellisellä muodostettuja kuvia sanotaan aksonometrisiksi kuviksi, jälkimmäisellä syntyy persektiivikuvia.
Yhdensuuntaisprojektio saadaan määritellyksi, kun kiinnitetään jokin avaruuden taso kuvatasoksi ja valitaan kiinteä suunta, projektiosäteiden suunta. Tämä ei saa olla kuvatason suuntainen. Avaruuspisteen P kuvaksi asetetaan tällöin se piste P', jossa P:n kautta kulkeva projektiosäde leikkaa kuvatason.
 |
 |
|
| Yhdensuuntaisprojektio | Keskusprojektio |
Jos projektiosäteiden suunta on kohtisuorassa kuvatasoa vastaan, sanotaan, että yhdensuuntaisprojektio on ortogonaaliprojektio. Jos näin ei ole, kyseessä on vino projektio.
Keskusprojektiossa kiinteä suunta korvataan kiinteällä pisteellä, projektiokeskuksella K. Tämä ei saa sijaita kuvatasossa. Pisteen P kuva P' on suoran KP - projektiosäteen - ja kuvatason leikkauspiste.
Yhdensuuntaisprojektiolla voidaan kuvata - projisioida - koko avaruus kuvatasoon, keskusprojektiolla sen sijaan ei. Jos nimittäin piste P sijaitsee siten, että projektiosäde KP on kuvatason suuntainen, ei kuvapistettä ole. Projisioimatta siis jää projektiokeskuksen kautta kulkeva kuvatason suuntainen taso (jolla on nimi katoamistaso, koska sen pisteiden kuvat 'katoavat' kuvatasosta).
Keskusprojektion luonnollisuus perustuu siihen, että ihmissilmä ja kamera muodostavat kuvia keskusprojektion periaatteella. Projektiokeskus sijaitsee tällöin silmän tai kameran linssin optisessa keskipisteessä. Jostakin kohteesta muodostettu keskusprojektiokuva on siten samanlainen kuin silmän verkkokalvolle kohteesta syntyvä kuva. Aivan tarkoin näin ei ole: Verkkokalvo ei ole taso, vaan hieman kaareva. Keskeisellä tarkan näkemisen alueella se ei tasosta kuitenkaan paljon poikkea.
Jos projektiokeskus etääntyy äärettömän kauaksi kuvatasosta kohteen pysyessä paikallaan, projisioinnissa tarvittavat projektiosäteet muuttuvat yhdensuuntaisiksi, ts. keskusprojektiosta tulee yhdensuuntaisprojektio.
Luontevaa on, että kuvaa katsotaan kohtisuorasti kuvatasoa vastaan. Tällöin myös kuvan synnyttävässä projektiokuvauksessa tulisi projektiosäteiden olla kohtisuorassa kuvatasoa vastaan, ts. yhdensuuntaisprojektion tulisi olla ortogonaalinen ja keskusprojektiossa kuvatasoa vastaan kohtisuoran projektiosäteen, ns. päänäkösäteen tulisi kulkea kohteen keskiosan kautta.
Jos näitä vaatimuksia ei oteta huomioon, voivat sekä aksonometriset että perspektiivikuvat näyttää sangen kummallisilta.
Seuraavat kuvat esittävät kaikki samaa katkaistusta kartiosta ja sen päällä olevasta lieriöstä muodostuvaa kappaletta. Kolme ensimmäistä on ortogonaalisia yhdensuuntaisprojektioita, kolme seuraavaa vinoja yhdensuuntaisprojektioita ja kolme viimeistä keskusprojektioita, ts. perspektiivikuvia. Kuvissa näkyvät myös koordinaattiakselien yksikköpisteet, so. pisteiden (1,0,0), (0,1,0) ja (0,0,1) kuvat. Kaikissa kuvissa on piirretty näkyviin sekä näkyvissä olevat viivat että kappaleen taakse näkymättömiin jäävät.
 |
 |
 |
||
| Isometrinen projektio | Dimetrinen projektio | Trimetrinen projektio |
 |
 |
 |
||
| Kavaljeeriprojektio | Sotilasprojektio | Eräs vino projektio |
 |
 |
 |
Lukija kiinnittäköön huomiota vinojen projektioiden tietynlaiseen venähtäneisyyteen. Nekin näyttävät luonnollisemmilta, jos niitä katsotaan riittävän vinosti projetiosäteiden suunnasta. Oikeaa suuntaa ei vain ole ihan helppoa päätellä kuvasta!
Kaikki aksonometriset kuvat voidaan mieltää kahdella tavalla: kappaletta katsotaan joko yläviistosta tai alaviistosta. Eri tapauksissa eri viivat ovat kappaleen taakse ja siis näkymättömiin jääviä.
Aksonometrisissa kuvissa kappaleessa olevat yhdensuuntaiset suorat näkyvät yhdensuuntaisina; esimerkkinä lieriön sivuviivat. Perspektiivikuvissa ei näin välttämättä ole.
Kartio- ja lieriöosan pohjaympyrät näkyvät kaikissa kuvissa ellipseinä. Aksonometrisissa kuvissa nämä ovat kussakin kuvassa keskenään yhdenmuotoisia, perspektiivikuvissa sen sijaan eivät.
Yhdensuuntais- ja keskusprojektion määritelmien perusteella voidaan johtaa kuvien piirtämisessä perinteisesti käytetyt lainalaisuudet. Näitä tutkiva geometrian osa-alue tunnetaan nimellä deskriptiivinen geometria. Lähempi tarkastelu on kuitenkin toisen tarinan aihe.
Simo K. Kivelä
