Matematiikan kauneus on ennen kaikkea sisäistä kauneutta. Tällä kauneudella on ollut oma lumoava vaikutuksensa moniin ihmisiin. Kauneus on matemaattisessa ajattelussa ja sen tuotteessa: matematiikan rakenteessa. Solmussa 1/1997-1998 tarjosin erään 1980-luvun oppikirjan virheestä sopivan tehtävän matemaattiselle pohdinnalle. Tämän virheen löytäminen oppikirjasta vaatii jonkin verran perehtymistä euklidiseen geometriaan. Kun nykyoppikirjat eivät tarjoa tällaista mahdollisuutta, en ole saanut tähän asti sopivaa ratkaisua koulujen opiskelijoilta. Tällä kertaa valitsin eräässä nykyoppikirjassa toistuvan virheen, jonka löytäminen ei vaadi kuin alkeellista matematiikkaa. Virheen pohjalta tarjoan tehtävän, jonka ratkaisu ei ole vaikea, mutta se edustaa erästä aspektia matematiikan sisäisestä kauneudesta.
Oppijat kyllä laskevat kuvioiden piirin ja pinta-alan, vaikka tällaisia kuvioita ei ole olemassa. Tällainen virhe toistuu kirjan geometrian kertaustehtävissä. Siinä on piirretty suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on 90 m ja kateettien pituudet ovat 32 m ja 84 m. Vaikka tällaista kolmiota ei ole olemassa Pythagoraan lauseen mukaan, oppikirjan mukaan piiri ja pinta-ala ovat 206 m ja 1344 m2. Pythagoralaiset tarjosivat seuraavat kaksi menetelmää sopivan kokonaisluvun löytämiseksi suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksiksi: 1. Valitse mikä tahansa pariton luku (suurempi kuin 1). Etsi kaksi lukua, joiden summa on valitun parittoman luvun neliö, ja niiden erotus on 1. Nämä kaksi lukua ja alkuperäinen pariton luku ovat suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. (Esimerkiksi 3, 4 ja 5) 2. Valitse mikä tahansa parillinen luku (suurempi kuin 2). Tällöin tämä luku, sen puolikkaan neliö -1 ja sen puolikkaan neliö +1 ovat suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. (Esimerkiksi 4, 22-1 ja 22+1, eli 4, 3 ja 5)
Viimeksi mainittu menetelmä liitetään enemmän Platoniin, vaikka pythagoralaiset ja vielä aiemmin babylonialaiset tunsivat sen.
Tehtäväsi on näiden menetelmien perusteiden löytäminen. Siis todista, että ne ovat oikeat.
Lähetä ratkaisusi minulle. Toivon, että tällä kertaa saan paljon postia lukioiden ja mahdollisesti myös yläasteiden opiskelijoilta.
George Malaty
Joensuun yliopisto
PL 111
80101 Joensuu