Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. Solmu
Sivu: 1
Funktio ei ole sääntö (Luettu 28 kertaa)
Tuomas Korppi
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 15

Funktio ei ole sääntö
20.03.2012 - 21:24:04
 
Hyvin usein, kun funktiokäsitettä opetetaan, opetetaan, että funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon maalijoukon alkioon. Tämä ei nähdäkseni pidä paikkaansa.

Sääntö on nähdäkseni jotain sellaista, joka voidaan ilmaista kielessä, esimerkiksi suomen kielessä. Koska jokainen suomen kielessä tapahtuva funktion kuvailu voidaan ilmaista äärellisenä merkkijonona äärellisessä aakkostossa, on tällaisia ilmauksia numeroituvasti ääretön määrä.

Toinen mahdollisuus on nähdä sääntö jonain sellaisena, joka voidaan laskea tietokoneella. Kaikki kunnolliset ohjelmointikielet ovat ilmaisuvoimaltaan yhteneviä, ja jollain kiinnitetyllä ohjelmointikielellä voidaan kirjoittaa numeroituvasti ääretön joukko ohjelmia (koska jokainen ohjelma on äärellinen merkkijono kiinteässä äärellisessä aakkostossa).

Näin, kummallakin tavalla saadaan se tulos, että sääntöjä on numeroituvasti ääretön määrä, joten säännön määräämiä funktioita on korkeintaan numeroituvasti ääretön määrä.

Tutkitaan sitten funktioita luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille. Jos A on mikä tahansa luonnollisten lukujen joukon osajoukko, voidaan muodostaa joukon A karakteristinen funktio, ja jos A ja B ovat eri osajoukkoja, myös niiden karakteristiset funktiot ovat eri funktiota. Näin ollen funktioita luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille on vähintään niin paljon kuin luonnollisten lukujen joukon osajoukkoja. Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että jälkimmäisten joukko on ylinumeroituva.

Siis jokaiselle funktiolle N -> N ei yksinkertaisesti riitä omaa sääntöään, joten on oltava funktioita, jotka eivät ole säännön määräämiä.

Itse asiassa tässä nähdään intuitionistisen ja klassisen matematiikan ero. Intuitionistisessa matematiikassa, joka siis ei ole yleisesti hyväksyttyä, funktiot määritellään nimenomaan säännöiksi, mutta klassisessa matematiikassa, joka on yleisesti hyväksyttyä, ylläesittämäni argumentti pätee.

Harjoitustehtäväksi voidaan jättää vaikkapa sellaisen funktion f : R -> R olemassaolon osoittaminen, joka saa kaikki reaalilukuarvot jokaisella avoimella välillä.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Usko Lahti
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 9
Tampere
Sukupuoli: male
Re: Funktio ei ole sääntö
Vastaus #1 - 03.04.2012 - 18:00:44
 
Mutta … tarkastellaan vaikkapa identtisiä funktioita, joiden määrittelyjoukko on {a} ja maalijoukko on tämä sama joukko. Mutta a voi olla mikä tahansa olio, joten määrittelimme ylinumeroituvan määrän eri funktiota – säännön avulla.

Olisi jännittävää nähdä esimerkki funktiosta, jota ei voida ilmaista säännön avulla.  
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Tuomas Korppi
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 15

Re: Funktio ei ole sääntö
Vastaus #2 - 03.04.2012 - 18:30:08
 
Usko Lahti kirjoitti on 03.04.2012 - 18:00:44:
Mutta … tarkastellaan vaikkapa identtisiä funktioita, joiden määrittelyjoukko on {a} ja maalijoukko on tämä sama joukko. Mutta a voi olla mikä tahansa olio, joten määrittelimme ylinumeroituvan määrän eri funktiota – säännön avulla.


Yritäpä tehdä sama niin, että lähtö ja maali ovat luonnollisten lukujen joukko. Osoitin, että jo tällaisia funktioita on ylinumeroituva määrä...

Lainaus:
Olisi jännittävää nähdä esimerkki funktiosta, jota ei voida ilmaista säännön avulla.  


Olkoon R reaalilukujen joukko, ja M kaikkien reaalilukujen joukon epätyhjien osajoukkojen joukko. Valinta-aksiooman nojalla on olemassa f : M -> R, jolle f(m) kuuluu joukkoon m kaikilla m in M. Tällaiselle funktiolle ei kuitenkaan ole käsittääkseni sen yksiselitteisesti spesifioivaa sääntöä. (Tuon funktion avulla on nimittäin helppo hyvinjärjestää reaalilukujen joukko, ja käsittääkseni säännön määräämä reaalilukujen joukon hyvinjärjestys on mahdottomuus.)
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Tuomas Korppi
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 15

Re: Funktio ei ole sääntö
Vastaus #3 - 03.04.2012 - 19:08:32
 
Tuomas Korppi kirjoitti on 03.04.2012 - 18:30:08:
Olkoon R reaalilukujen joukko, ja M kaikkien reaalilukujen joukon epätyhjien osajoukkojen joukko. Valinta-aksiooman nojalla on olemassa f : M -> R, jolle f(m) kuuluu joukkoon m kaikilla m in M. Tällaiselle funktiolle ei kuitenkaan ole käsittääkseni sen yksiselitteisesti spesifioivaa sääntöä. (Tuon funktion avulla on nimittäin helppo hyvinjärjestää reaalilukujen joukko, ja käsittääkseni säännön määräämä reaalilukujen joukon hyvinjärjestys on mahdottomuus.)


Toisaalta reaalilukujen joukon hyvinjärjestyksen avulla on helppo konstruoida edellisessä lainauksessa esittämäni kaltainen f. Wikipedian mukaan

Lainaus:
Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well-order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well-ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well-orders the reals, or indeed any set.


Eli tuon f:n määriteltävyys kaavalla on riippumaton ZFC:stä.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Funktio ei ole sääntö
Vastaus #4 - 03.04.2012 - 20:15:27
 
Tuomas Korppi kirjoitti on 20.03.2012 - 21:24:04:
Sääntö on nähdäkseni jotain sellaista, joka voidaan ilmaista kielessä, esimerkiksi suomen kielessä.


Eikö säännöiksi voisi kelpuuttaa myös kaikki funktiot, ts. tietynlaiset parien (x, y) joukot?

Funktion määritelmäksi "funktio on sääntö" ei toki tällöin kelpaa kehämäisyytensä takia, mutta enpä ole itse tuota täsmällisenä määritelmänä koskaan pitänytkään, ainoastaan jonkinlaisena asian kuvailuna. Sääntö-sanaa olennaisempi on kuvailun loppuosa: liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon täsmälleen yhden maalijoukon alkion.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Sivu: 1