"Todista, että suoran y = kx + b derivaatta on suoran kulmakerroin k."

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liiton (maksullisesta) koepaketista MAA7, mallikoe 2, tehtävä 3a, syksyltä 2010.

Ongelma: Miten määrittelet suoran y=kx+b derivaatan?

Olkoon x0 ja x1 kaksi muuttujan x eri suurta arvoa. Sijoittamalla nämä kaavaan saadaan arvot y0 ja y1,
ts.
y0=kx0+b
y1=kx1+b
Lasketaan funktion erotus
y0-y1=k(x0-x1)+ (b-b) eli
y0-y1=k(x0-x1)
Jakamalla (x0-x1):llä yhtälön molemmat puolet saadaan.
(y0-y1)/(x0-x1)=k(x0-x1)/(x0-x1)

(y0-y1)/(x0-x1)=k

Nyt tullaan ratkaisun ytimeen. Edellä oleva on täysin  tosi lause.
Määritellään derivaatta dy=y0-y1 kun y1 yhtyy y0:aan eli tulee määrällisesti =0, mutta sisältää tämän eroamisensa itsessään.
Samoin määritellään derivaatta x:n suhteen dx:nä.
Saadaan

dy/dx=k

dy, dx ovat siis määrällisesti nollia, mutta matemaattisesti ne ovat kelvollisia differentaaleja eli äärettömän pieniä osasia. dx ja dy sisältävät enää liikkeensä eli muuttujaluonteensa ja se sisältää myös suunnan k pisteessä x.

Tämä uusi määritelmä sisältää vanhan derivaatan määritelmän, jossa x1 lähestyy loputtomasti x0:aa ja on lopulta dx:n etäisyydellä siitä, eli äärettömän lähellä. Uutta on tuo pitää "eron itseensä sisältyvänä", joka tekee operoinnit dx:llä tai dy:llä mahdollisiksi.

Yllä oleva pätee yleisenkin tapauksen kohdalla paikkansa ja siitä voidaan johtaa funktion derivaatta kaikissa tapauksissa. Kunhan ei tee virhettä, vaan yhtälön oikealta puolelta voidaan oikeasti supistaa (x0-x1) ja jäljelle jää funktion derivaatta, jossa ero on vielä jäljellä. Mutta supistuksen jälkeen ero voidaan palauttaa määrällisesti nollaksi eli dy:ksi. Derivaatan etsiminen tapahtuu siis hajottamalla funktio f(x)=(x0-x1)f´(x), joilloin jako (x0-x1):llä voidaan sääntöjen mukaan tehdä, siis ennen kuin x0 ja x1 yhtyvät tai muuttuvat differentiaaliksi dx.

Palautumisen (x1 palautuu x0:aan) jälkeen f´(x) voidaan kutsua funktion derivaataksi. Palautuminen samalla tuo uudella tapaa muuttujan käsitteen, eli x säilyy muuttujana kun se sisältää operaationsa (x1->x0). Näin derivointi myös vahvistaa x:n muuttujana.

Tämäpä tässä.

Mathemaatikko kirjoitti on 01.12.2011 - 20:12:01:


Hiomista on, mutta ei se täysin ajatukseton ole. Reaalilukualuetta voi nimittäin täydentää ns. hyperreaaliluvuilla (ks. Tuomas Korpin lukualueen täydentämistä koskeva kirjoitus Solmun etusivulla), ja niiden avulla tuo "Leibnizin" kalkyyli tulee täsmälliseksi. Hyperreaaliluvut konstruoitiin tietääkseni 1960-luvulla, mutta vaikka niiden avulla analyysi saattaisi tulla muodollisesti nykyistä yksinkertaisemmaksi, ne eivät ainakaan vielä ole vakiintuneet opetuksessa. Syynä lienee se, että konstruktio ei ole kaikkein helpoimpia, ja vaatii paljon syvällistä tietämystä matemaattisesta logiikasta ja matematiikan perusteista yleensäkin. Olen yli 30 vuotta sitten istunut seminaarissa, jossa asia käytiin läpi, mutta tunnustan olleeni siellä lähinnä turistina. Äärettömän pienten differentiaalien käyttö on sinällään perin yksinkertaista, mutta ilman omakohtaista asian läpikäyntiä se lepää yhtä paljon tyhjän päällä kuin analyysin kouluopetus yleensäkin lukiotasolla. Siinä mielessä Leibnizin tapaa kirjoittaa derivaatta voisi enemmänkin suosia kouluopetuksessa, sillä yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion derivaatat tulevat sen avulla helpommiksi kuin raskaamman kalkyylin kautta esitettyinä.

Miten funktio f(x) = x^x derivoituu tällä "uudella" menetelmällä?

Miten johdetaan derivoinnin ketjusääntö.

Käytän tässä apunani
https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/58366795/Analyysi1H-S.pdf
sivulla 48 olevaa määrittelyä.
Kun tulkitaan delta f, delta g, delta x näiksi aiemmin mainitsemakseni
f0-f1, g0-g1, x0-x1 :ksi, niin johto noudattaa lähteen 4-todistusta,
delta f , delta g ja delta x vain tulevat df , dg ja dx :ksi.
Jotka tosin menevät aidosti omiksi äärettömän pieniksi osikseen.

Eli todistus oikeastaan menee helpommaksi tässä "uudessa" tapauksessa, kunhan hyväksyy lähtökohdassa "uuden" derivoinnin oikeaksi.

Oikeastaan jatkokeskustelu täytyisi käydä tämän uuden dy/dx luonteesta sekä 0/0 :na, että erikseen dy:nä ja dx:nä.

sivulla: http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
tehdään seuraava derivaatan määrittely.
Derivoitava yhtälö: f(x)=x^2
....
f'(x)=st(2x+dx)
f'(x)=2x
perusteluna ei ole muuta kuin se, että dx voidaan jättää pois koska se on "äärettömän pieni" kuitenkin dx>0 tässä käytetyn määritelmän mukaan, jossa dx kuuluu ns. hyper-reaaliin lukumaailmaan.
st-tarkoittaa standardi-osa eli derivaatta määritellään muutoin hyperreaalin luvun standardiosana eli reaalilukuna (ei hyper-reaalilukuna). Eikö hyperreaalifunktoita sitten voida derivoida siten, että tuloksena olisi hyperreaaliluku/-funktio?
Kun tarkastellaan esimerkin derivointia, niin en näe sen poikkeavan mitenkään Newtonin/Leibnizin derivoinnista, jossa myös dx (Leibniz) ¨x (Newton eli fluxioni x) jätetään huomiotta pienuutensa takia.

Eli edelleen väitän,että dy/dx=0/0=2x. Tälle vain täytyisi keksiä parempi perustelu kuin em. hyperreaaliluku-matematiikka tekee. Täytyy puuttua nollan logiikkaan ja matematiikkaan.

Minulle päänvaivaa tuottaa lähinnä se ovatko dx ja dy samoja kaikissa tapauksissa, vai pitävätkö ne sisällään tuottamisensa logiikan (ja niiden algebralliset ominaisuudet ovat sidoksissa juuri tähän logiikkaan). Tämän tuottamisen logiikan olen esittänyt monessa esimerkissä aiemmin, mutta onko dx joka kerta sama dx?

Markku Halmetoja kirjoitti on 03.01.2012 - 23:10:47:


Tai sitten voi vain listata tarvittavat aksioomat, jos ei jaksa konstruoida hyperreaalilukuja yksinkertaisemmista olioista lähtien. Lainaus sivulta http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number:

"The hyperreals can be developed either axiomatically or by more constructively oriented methods."

Tuolla wikipediasivullahan kerrotaan, miten hyperreaaliluvut voidaan konstruoida reaalilukujen pohjalta (The ultrapower construction). Näyttäisi siltä, että hyperreaaliluvun määritellään olevan reaalilukujono.

Markku Halmetoja kirjoitti on 04.01.2012 - 11:13:53:


Mallin luominen olisi juuri sitä konstruoimista, jota ei ole mikään pakko tehdä. Aina voi vain OLETTAA, että jotain on olemassa, ja katsoa mitä oletuksista sitten seuraa.

Matematiikkaa ei syntyisi ollenkaan, jos kaiken olemassaolo olisi osoitettava. Tyhjästä ei voi nyhjäistä, vaan aina on oletettava jonkin olemassaolo, jotta päästään liikkeelle. Se, mistä lähdetään liikkeelle, onkin sitten pitkälti makuasia. Kannattaa muistaa, että matematiikan sisältö ei ole niinkään siinä, mitä oletetaan, vaan siinä, mitä oletuksista seuraa.

Vai miten loisit mallin vaikkapa luonnollisille luvuille ilman että oletat (eli otat aksioomiksi) yhtään mitään?