Markku Halmetoja kirjoitti on 26.01.2012 - 13:25:54:

Voithan toki uskoa ZFC:n olevan ristiriidaton, mutta valitettavasti et tule koskaan saamaan uskollesi vahvistusta. Jos jotain, niin vain pettymys eli ristiriidan löytyminen on edessä.

Ja tätä ei pidä ymmärtää niin, että vastustan ZFC:n käyttöä tai uskon sen oleva ristiriitainen. En vastusta sitä enkä mitään muutakaan aksioomajärjestelmää. Kunhan minulle selkeästi kerrotaan, mitä aksioomia on käytetty, olen tyytyväinen.

Markku Halmetoja kirjoitti on 26.01.2012 - 13:25:54:

Hmm, jos aiemmin on puhuttu vain reaaliluvuista ja sitten joku ilmoittaa ryhtyneensä laskemaan lausekkeilla, joissa on negatiivisten lukujen neliöjuuria, niin eikö silloin ole varsin mielivaltaisesti otettu käyttöön täysin uudenlaisia objekteja? Ja kun jollain ryhdytään laskemaan, niin kyllä varmaan niiden joidenkin olemassaolo ainakin jollain tasolla otetaan lähtökohdaksi (ts. aksioomaksi).

Markku Halmetoja kirjoitti on 26.01.2012 - 13:25:54:

No ei tietenkään. Totta kai on hyödyllistä tietää, miten asiat linkittyvät toisiinsa. Kumpikin on ok, se että käytetään olioita aksiomaattisesti, ja se, että ne konstruoidaan ne jonkin muun pohjalta. Nämä ovat vain erilaisia lähestymistapoja, joista kumpikaan ei ole väärä.

Markku Halmetoja kirjoitti on 26.01.2012 - 13:25:54:

Ohhoh! Annatpa matematiikalle paljon valtaa.

Matematiikassa osoitetaan, että jos A, niin B. Ja kun on kerran osoitettu, niin se pätee aina. Silloinkin, jos A:sta löytyy ristiriita.

Jos luonnossa havaitaan A, niin matemaatikot osaavat kertoa, että myös B. Kun matemaatikot kertovat havainneensa A:ssa ristiriidan, niin ehkäpä luonnontieteilijät tarkistelevat havaintojaan?

Kun koneet on kerran saatu toimimaan - keinolla millä hyvänsä, vaikka sitten "virheellisellä matematiikalla" - niin kyllä ne toimivat jatkossakin. Sille, miksi ne toimivat, joudutaan ehkä keksimään toisenlaisia selityksiä.  

Kiitos antoisasta keskustelusta.

Minulle myös sopii, että tämä keskustelu voi loppua. Oikeastaan se meni sivuraiteelle kun otettiin hyperreaalit luvut esiin, vaikka siitäkin on kysymys kun asiaa tarkastellaan sen kautta miksi matematiikan historia Leibnizin äärettömän pienen käsitteen on saanut.

Minunhan keskustelunavaus oli siinä, että ensin tehtiin muutos x0 ja x1 erillisinä muuttujan x arvoina ja sitten tehtiin tällä laskutoimitukset ja saatiin aikaan derivaatan esivaihe. Sitten palautettiin tämä muutos takaisin lähtökohtaansa ja saatiin ristiriita, esimerkkiksi 0/0=k (kun alkuperäinen funktio oli y=kx), tämä sitten määriteltiin Leibnizilta otetuiksi käsitteiksi dy ja dx koska haluttiin jotain olemassa olevaa näkyviin. Sillä täytyyhän jotain olla olemassa kuin kerta yhtälön oikealla puolella on varsin konkreettinen k, jonka olemassa oloa ei kukaan voi kiistää.
Minusta on varsin luonnollista, että k määritellään funktion y=kx kulmakertoimeksi tai ylipäätään funktion tangentin kulmakertoimeksi, sillä siitähän lähdettiin. Näinhän se myös tapahtui historiallisesti, sillä Leibniz lähti geometriasta ja tangentista määritellessään. Dx oli hänellä vain apujana, johon hän funktion (käyrän) muutosta vertasi.

Sen sijaan keskustelua ei käyty siitä mitä täytyy olla olemassa yhtälön vasemmalla puolella, sillä olen varma, että jotain sielläkin on. Ja sinne määrittelin nämä dy/dx, jotka siis täytyy olla myös olemassa. Tilannetta ei paranna se, että unohdetaan mitä aiemmin on tapahtunut.  Tapahtunut on muutos x:n arvoissa eli oikeasti on tehty erilliset luvut kuuluviksi muuttujan x luokkaan.
Mutta matematiikan lukujen logiikat eivät (eivät reaalilukujen eivätkä hyperreaalilukujen logiikat) käsittele muuttujia, joten kysymystä ne eivät myöskään voi avata.

Muuttujista olisi pitänyt puhua.

Jatkan nyt omin päin pohdiskelua, luen parhaillaan Henri Poincaren käännettyä teosta "The Foundations of Science: Science and Hypothesis, The Value of Science, Science and and Methods." Se käsittelee matematiikan ja geometrian perusteita, mutta on kirjoitettu 1900-luvun taitteessa, joten aivan hyperreaalilukuihin ei vielä olla päästy. Mutta epäeuklidinen geometria, Lobachevski, Cantor, Peano, ym. ovat Poincarella työn alla.

Kiitos.

Löysin kirjasta Charles Seife (2000): Nollan elämäkerta. WSOY sivuilta 261-262 käytetyn tässä esittämääni derivointimenetelmää, siinä tosin jätettiin epsilon mukaan tulokseen muuttujana joka saa positiivisia arvoja >0, kuten nonstandard-menetelmääkin käytettäessä, mutta periaate oli melkein sama. Epsilonin pitäminen mukana kaavoissa tekee mahdolliseksi nimittäjän hävittämisen, mikä juuri on se pointti, jota yritän esittää eli (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) pitää pystyä laskemaan loppuun ja tulos syntyy vasta kun termi (x1-x0) katoaa luonnolloista tietä (ei raja-arvona) ja tulosta voidaan pitää ensin derivaatan esivaiheena ja lopulta sijoitetaan x1=x0=x yhtälö, joka antaa lopputuloksen. Seife esittää esimerkissään yhtälön y=x^2 + x + 1 derivoinnin ja saa tulokseksi dy/dx=2x+1+e ja vasta nyt hän antoi epsilonille arvon 0 ja pitää tulosta esimerkkifunktionsa derivaattana.
Täytyy myös huomata se, että vasen puoli on pelkkä derivaatan symboli vaikka se onkin 0/0 tai jos se jotain lohduttaa, niin voihan sen jättää symbolitasolle dy/dx ja leikkiä, että dy,dx>0, niin päästään nonstandardiin laskentaan. Minusta kuitenkin olisi hyvä kehittää teoria tai matematiikan haara, jossa 0/0 olisi luonnollinen teoreema ja sen merkitys olisi derivaatta eli funktion tangentin kulmakerroin. Olisi jännää nähdä mitä lisää se toisi funktioteoriaan. Jo pelkästään derivaatalla ja integroinnilla saatavat hyödyt tieteessä todistavat, että ne eivät ole mitään hämäriä olioita tai mustia aukkoja joita matemaatikon pitää pelätä.