Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. Solmu
Sivu: 1 2 3 
Suoran derivaatta? (Luettu 179 kertaa)
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #15 - 04.01.2012 - 12:21:33
 
Hermanni kirjoitti on 04.01.2012 - 11:39:56:
Mallin luominen olisi juuri sitä konstruoimista, jota ei ole mikään pakko tehdä. Aina voi vain OLETTAA, että jotain on olemassa, ja katsoa mitä oletuksista sitten seuraa.

Entä, jos aksioomien "määrittämää" oliota ei sitten lopultakaan ole olemassa? Tällöin on harrastettu "tyhjän joukon matematiikkaa", joka ei ole johtanut mihinkään. Muistan hämärästi kuulleeni, että Suomessa on ollut tällainen tapaus 50-luvulla; tarina oli edennyt julkaisuiksi asti, kunnes joku oli huomannut tarkasteltavan objektijoukon tyhjäksi.

Hermanni kirjoitti on 04.01.2012 - 11:39:56:
Matematiikkaa ei syntyisi ollenkaan, jos kaiken olemassaolo olisi osoitettava. Tyhjästä ei voi nyhjäistä, vaan aina on oletettava jonkin olemassaolo, jotta päästään liikkeelle. Se, mistä lähdetään liikkeelle, onkin sitten pitkälti makuasia. Kannattaa muistaa, että matematiikan sisältö ei ole niinkään siinä, mitä oletetaan, vaan siinä, mitä oletuksista seuraa.
Vai miten loisit mallin vaikkapa luonnollisille luvuille ilman että oletat (eli otat aksioomiksi) yhtään mitään?

Reaaliluvutkin voidaan määritellä abstraktisti aksioomilla ja johtaa niiden ominaisuudet, ja vaikka analyysin opiskelu usein alkaa juuri näistä aksioomista, on silti tarpeen osoittaa Dedekindin leikkauksilla yms., että voidaan tunnettujen objektien (tässä tapauksessa rationaalilukujen) avulla konstruoida aksioomat toteuttavia olioita. Tyhjästä ei siis lähdetä. Vastaavasti hyperreaaliluvut on voitava konstruoida esimerkiksi reaaliluvuista, jotka siis tämän työn alkaessa ovat tunnettuja ja olemassaolevia. Ja eiköhän loogikot ole kehittäneet malleja luonnollisille luvuille omista tunnettuina pitämistään lähtökohdista. Onko meillä tässä jokin ongelma?
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #16 - 04.01.2012 - 12:38:31
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 04.01.2012 - 12:21:33:

Entä, jos aksioomien "määrittämää" oliota ei sitten lopultakaan ole olemassa?


En ihan ymmärrä, mitä tarkoitat. Että aksioomien mukaisen olion olemassaolo onkin ristiriidassa joidenkin muiden aksioomien kanssa? Ei siinä ole mitään ongelmaa. Silloin vain hyväksytään, että nämä aksioomasysteemit ovat ristiriitaiset.

Markku Halmetoja kirjoitti on 04.01.2012 - 12:21:33:

Ja eiköhän loogikot ole kehittäneet malleja luonnollisille luvuille omista tunnettuina pitämistään lähtökohdista. Onko meillä tässä jokin ongelma?


Varmasti malleja voidaan luoda luonnollisillekin luvuille. Pointti on se, että JOTAIN on aksioomiksi aina valittava.

Tunnut olettavan, että olisi olemassa jokin perimmäinen ja pohjimmainen aksioomien joukko, joka kaikkien on hyväksyttävä ja josta lähtien kaikki muu matematiikka on konstruoitava. Mutta asia ei ole niin. Aksioomissa on valinnan vapaus.

En varmasti tee matemaattista virhettä, jos väitän vain, että valitsemistani aksioomista seuraa sitä ja tätä (ja jos näissä seuraamuspäättelyissä ei ole loogisia virheitä), ts. jos en edes ota kantaa siihen, miten aksioomani suhtautuvat jonkun toisen käyttämiin aksioomiin.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #17 - 04.01.2012 - 13:38:55
 
Hermanni kirjoitti on 04.01.2012 - 12:38:31:
En ihan ymmärrä, mitä tarkoitat.

Toki aksioomia voi valita mielensä mukaan, mutta entäpä sellainen hypoteettinen tilanne, että aksioomat sisältävät implisiittisen ristiriitaisuuden, joka paljastuu vasta miljoonannen teoreeman todistamisen jälkeen? Periaatteessahan tämä on mahdollista. Tällöin aksiomaatikko olisi ährännyt ikänsä tyhjän joukon alkioiden ominaisuuksia todistamalla. No nyt, jos joku hatustaan määrittelee hyperreaaliluvut, eli niinkuin tämä mathemaatikko tekee, niin kuka takaa, että tällä määritelmällä on jotakin relevanssia ennenkuin joku todella konstruoi mallin, jossa nämä aksioomat ovat voimassa?

Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #18 - 04.01.2012 - 14:24:22
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 04.01.2012 - 13:38:55:
Toki aksioomia voi valita mielensä mukaan, mutta entäpä sellainen hypoteettinen tilanne, että aksioomat sisältävät implisiittisen ristiriitaisuuden, joka paljastuu vasta miljoonannen teoreeman todistamisen jälkeen? Periaatteessahan tämä on mahdollista.

Kyllä niin voi tosiaan käydä. Työ menee aika lailla hukkaan, koska ristiriidastahan seuraa aina mitä vain. Ristiriitaisten aksioomien käyttö ei kuitenkaan ole virhe päättelylogiikan kannalta.

Markku Halmetoja kirjoitti on 04.01.2012 - 13:38:55:
No nyt, jos joku hatustaan määrittelee hyperreaaliluvut, eli niinkuin tämä mathemaatikko tekee, niin kuka takaa, että tällä määritelmällä on jotakin relevanssia ennenkuin joku todella konstruoi mallin, jossa nämä aksioomat ovat voimassa?

Lienee totta, että jos systeemi konstruoidaan jonkin "hyväksi havaitun" aiemman aksioomasysteemin pohjalta, niin systeemin relevanssi on helpommin nähtävissä.

Mutta jos yhtään olen Gödelin tekemisiä ymmärtänyt, niin ristiriidattomuuden osoittaminen on kiven takana jopa näissä "vanhoissa ja niin luotettavissa" systeemeissä:  

http://users.jyu.fi/~juhaleh/godel.html

"Sen lisäksi, että Gödel todisti jokaisen aritmetiikan formalisoinnin epätäydelliseksi, hän osoitti myös ettei systeemin ristiriidattomuutta voida todistaa tällaisen järjestelmän sisällä. Gödel ei siis suinkaan todistanut järjestelmää ristiriitaiseksi, eikä edes sitä, ettei ristiriidattomuutta voitaisi jollain muulla keinolla osoittaa; mutta ainakaan aksioomista lähtien tämä ei siis onnistu."

Valaisevaa tekstiä ristiriidattomuuden osoittamisen hankaluudesta on myös Lassi Kuritun monisteen http://users.jyu.fi/~lkurittu/matlog.pdf sivulla ii.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #19 - 05.01.2012 - 12:03:58
 
Hermanni kirjoitti on 04.01.2012 - 14:24:22:
Mutta jos yhtään olen Gödelin tekemisiä ymmärtänyt, niin ristiriidattomuuden osoittaminen on kiven takana jopa näissä "vanhoissa ja niin luotettavissa" systeemeissä.

Jos reaalilukujen avulla luodaan malli hyperreaaliluvuista, niin silloinhan niillä on yhtä turvallista laskea kuin reaaliluvuillakin. Emme me niitäkään hylkää Gödelin lauseiden perusteella. Olen kyllä kuullut matematiikkaan vihamielisesti suhtautuvilta tahoilta, että Gödel on osoittanut kaiken matematiikan sisäisesti ristiriitaiseksi ja täysin loogisesti kelvottomaksi ihmismielen tuotteeksi, mutta nämä tahot lienevät ymmärtäneet Gödelin ajatuksista vielä vähemmän kuin minä.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #20 - 05.01.2012 - 13:06:11
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 05.01.2012 - 12:03:58:
Jos reaalilukujen avulla luodaan malli hyperreaaliluvuista, niin silloinhan niillä on yhtä turvallista laskea kuin reaaliluvuillakin. Emme me niitäkään hylkää Gödelin lauseiden perusteella.
"Turvallisuuden" arviointi jää tosiaan itse kunkin matemaatikon pähkäiltäväksi - jos turvallisuutta vaivautuu edes miettimään. Aina voi vain listata haluamansa aksioomat, ryhtyä päättelemään ja pitää hauskaa.

Ei pidä yleistää, että emme hylkää reaalilukuja. Joku matemaatikko saattaa haluta tutkia jotakin muuta systeemiä, ja hänkin saattaa tehdä täysin kelvollista matematiikkaa.

Markku Halmetoja kirjoitti on 05.01.2012 - 12:03:58:
Olen kyllä kuullut matematiikkaan vihamielisesti suhtautuvilta tahoilta, että Gödel on osoittanut kaiken matematiikan sisäisesti ristiriitaiseksi ja täysin loogisesti kelvottomaksi ihmismielen tuotteeksi, mutta nämä tahot lienevät ymmärtäneet Gödelin ajatuksista vielä vähemmän kuin minä.
Joo, ei Gödel sanonut että lukujen aritmetiikka on kelvoton systeemi. Hän vain osoitti, ettei aritmetiikkaa voi osoittaa ristiriidattomaksi aritmetiikan omin keinoin. Joillain muilla keinoilla ehkä voi. Mutta se, mitkä kaikki keinot matematiikassa ovat niitä hyväksyttäviä, siihen ei ole mitään absoluuttista vastausta.

Mites Markku muuten, pidätkö valinta-aksioomaa hyväksyttävänä, vaikka se julistaa sellaisten joukkojen olemassaolosta, joita ei pystytä (aiemmilla keinoilla) konstruoimaan?
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #21 - 05.01.2012 - 16:56:51
 
Hermanni kirjoitti on 05.01.2012 - 13:06:11:
Mites Markku muuten, pidätkö valinta-aksioomaa hyväksyttävänä, vaikka se julistaa sellaisten joukkojen olemassaolosta, joita ei pystytä (aiemmilla keinoilla) konstruoimaan?

Opiskeluaikana opinnäytetöissä piti turvautua käsitteisiin, joiden olemassaolo perusteltiin valinta-aksiooman avulla. Myös hyperreaalilukujen konstruoimisen taustalla kummittelevat ultrafiltterit, joiden olemassaolo perustellaan Zornin lemmalla. Hiljattain jouduin turvautumaan eräässä yhteydessä reaalilukujen joukkoon niin, että se tulkitaan vektoriavaruudeksi, jonka skalaarikunta on Q. Tämän avaruuden ns. Hamel-kannan olemassaolo perustuu valinta-aksioomaan. Kaitpa minä tämän aksiooman näinmuodoin hyväksyn, mutta minun kannallani ei ole painoarvoa, sillä en pysty tätä asiaa kriittisesti erittelemään.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #22 - 05.01.2012 - 17:11:39
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 05.01.2012 - 16:56:51:
Kaitpa minä tämän aksiooman näinmuodoin hyväksyn, mutta minun kannallani ei ole painoarvoa, sillä en pysty tätä asiaa kriittisesti erittelemään.

Onneksesi sinun ei tarvitse mitään perusteluja esittääkään. Hymiö Sitä itse kukin joko käyttää valinta-aksioomaa, jos siitä tykkää, tai sitten ei. He, jotka sitä käyttävät, eivät ole valintansa vuoksi sen parempia tai huonompia matemaatikoita kuin he, jotka eivät käytä.

Tätä olen tässä yrittänyt sanoa.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #23 - 05.01.2012 - 18:36:13
 
Hermanni kirjoitti on 05.01.2012 - 17:11:39:
He, jotka sitä käyttävät, eivät ole valintansa vuoksi sen parempia tai huonompia matemaatikoita kuin he, jotka eivät käytä.
Tätä olen tässä yrittänyt sanoa.

Niinpä; aksiooma mikä aksiooma. Mutta kyllä valinta-aksiooman liepeillä on enemmän keskustelua kuin esimerkiksi reaalilukujen kertolaskun vaihdantalain kohdalla. Olen kuullut tai lukenut, että eräät yrittävät perustella valinta-aksiooman avulla saatuja tuloksia niin, ettei tätä aksioomaa tarvitsisi käyttää. Jotakin onnistumisiakin on, mutta en tunne asiaa tarkemmin.
Siirry sivun alkuun
 
« Viimeksi muokattu: 05.01.2012 - 22:31:10 Kirjoittaja Markku Halmetoja »  
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #24 - 05.01.2012 - 23:39:08
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 05.01.2012 - 18:36:13:
Olen kuullut tai lukenut, että eräät yrittävät perustella valinta-aksiooman avulla saatuja tuloksia niin, ettei tätä aksioomaa tarvitsisi käyttää. Jotakin onnistumisiakin on, mutta en tunne asiaa tarkemmin.

Enpä tunne minäkään.

Lisään vielä yhden huomion, ettei syntyisi väärinkäsityksiä. Vaikka matemaatikko ei haluaisikaan itse käyttää valinta-aksioomaa, hän ei tuomitse vääräksi sellaistakaan matematiikkaa, jossa aksioomaa käytetään. Häntä itseään ei ehkä kiinnosta, mitä valinta-aksioomasta seuraa, mutta ei hän kiistä sitä, etteikö aksioomalla olisi niitä seuraamuksia, joita jotkut ovat osoittaneet sillä olevan. Eikä matemaatikon todellakaan tarvitse mitään leiriä valita, hän voi hyvin tutkia sekä valinta-aksiooman seuraamuksia että valinta-aksioomattoman järjestelmän tuloksia.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Tuomas Korppi
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 15

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #25 - 24.01.2012 - 19:48:08
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 04.01.2012 - 13:38:55:
Toki aksioomia voi valita mielensä mukaan, mutta entäpä sellainen hypoteettinen tilanne, että aksioomat sisältävät implisiittisen ristiriitaisuuden, joka paljastuu vasta miljoonannen teoreeman todistamisen jälkeen? Periaatteessahan tämä on mahdollista. Tällöin aksiomaatikko olisi ährännyt ikänsä tyhjän joukon alkioiden ominaisuuksia todistamalla. No nyt, jos joku hatustaan määrittelee hyperreaaliluvut, eli niinkuin tämä mathemaatikko tekee, niin kuka takaa, että tällä määritelmällä on jotakin relevanssia ennenkuin joku todella konstruoi mallin, jossa nämä aksioomat ovat voimassa?



Ongelma vain on se, että matemaattiset konstruktiotkin pitää tehdä valituilla oikeaoppisen konstruoimisen säännöillä, ja käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että ne tehdään niin, että sama konstruktio voidaan toistaa ZFC-joukko-opissa. Eli tässä ZFC saa normatiivisen luonteen oikeaoppisen matematiikan mittapuuna. Suuri ongelma on se, että Gödelin epätäydellisyyslause puree myös ZFC:hen, eli emme voi todistaa ZFC:stä käsin ZFC:n ristiriidattomuutta (ja koska ZFC on matemaattisen konstruktion mittapuu, emme voi todistaa sitä muistakaan lähtökohdista käsin.) Meillä on siis aktuaalisesti käsillä tilanne, ettemme voi koskaan olla varmoja siitä, johtavatko matemaattisen konstruoinnin sääntömme ristiriitaan.

Eli emme ole sen paremmassa asemassa konstruktioinemme kuin mielivaltaisen aksioomajoukon valitseva vaihtoehtoinen matemaatikko. Täytyy lisäksi muistaa, että joukko-opin ristiriitaisuus on oikeasti historiassa ollut ongelma: Alun perin houkuttelevimpaan tapaan tehdä joukko-oppia oli jäänyt piilemään Russellin paradoksi.

Mitä taas luonnollisiin lukuihin tulee, en ainakaan ole kuullut, että kukaan olisi konstruoinut luonnollisten lukujen joukkoa mistään luonnollisten lukujen joukkoa yksinkertaisemmista periaatteista käsin. ZFC:ssä toki luonnollisten lukujen joukon olemassaolo on teoreema, mutta lähinnä siksi, että äärettömyysaksiooma sanoo suht suoraan, että luonnollisten lukujen joukko on olemassa.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #26 - 25.01.2012 - 11:07:32
 
Tuomas Korppi kirjoitti on 24.01.2012 - 19:48:08:
Ongelma vain on se, että matemaattiset konstruktiotkin pitää tehdä valituilla oikeaoppisen konstruoimisen säännöillä, ja käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että ne tehdään niin, että sama konstruktio voidaan toistaa ZFC-joukko-opissa. Eli tässä ZFC saa normatiivisen luonteen oikeaoppisen matematiikan mittapuuna. Suuri ongelma on se, että Gödelin epätäydellisyyslause puree myös ZFC:hen, eli emme voi todistaa ZFC:stä käsin ZFC:n ristiriidattomuutta (ja koska ZFC on matemaattisen konstruktion mittapuu, emme voi todistaa sitä muistakaan lähtökohdista käsin.) Meillä on siis aktuaalisesti käsillä tilanne, ettemme voi koskaan olla varmoja siitä, johtavatko matemaattisen konstruoinnin sääntömme ristiriitaan.

Tätä en ole kiistänyt.

Tuomas Korppi kirjoitti on 24.01.2012 - 19:48:08:
Eli emme ole sen paremmassa asemassa konstruktioinemme kuin mielivaltaisen aksioomajoukon valitseva vaihtoehtoinen matemaatikko.

Käsitykseni mukaan mielivaltaisesti valittu aksioomajoukko voi helpostikin sisältää ristiriidan, joka paljastuu muutaman aksioomista johdetun teoreeman seurauksena, mutta "oikeaoppisessa matematiikassa" tämä mahdollisuus ei ole näköpiirissä vaikka se todellinen onkin. Tämän vuoksi katson, että esim. hyperreaalilukuja ei voi tuoda kehiin noinvain aksioomia tuomalla, vaan on esitettävä "oikeaoppinen" matemaattinen konstruktio, joka takaa niiden olemassaolon siinä mielessä kuin matemaattisten olioiden olemassaolo yleensä taataan.

Tuomas Korppi kirjoitti on 24.01.2012 - 19:48:08:
Mitä taas luonnollisiin lukuihin tulee, en ainakaan ole kuullut, että kukaan olisi konstruoinut luonnollisten lukujen joukkoa mistään luonnollisten lukujen joukkoa yksinkertaisemmista periaatteista käsin. ZFC:ssä toki luonnollisten lukujen joukon olemassaolo on teoreema, mutta lähinnä siksi, että äärettömyysaksiooma sanoo suht suoraan, että luonnollisten lukujen joukko on olemassa.

Ehkä kirjoitin tämän ketjun jossakin nootissa huolimattomasti loogikoista. Tarkoitin, että  voidaan laatia Peanon aksioomat toteuttavia useitakin malleja. Sanon tämän suurin varauksin, sillä omista tämän alan vaatimattomista pohdinnoistani on kulunut kymmeniä vuosia, ja ne ovat saattaneet silloinkin olla virheellisiä.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #27 - 25.01.2012 - 15:34:47
 
Markku Halmetoja kirjoitti on 25.01.2012 - 11:07:32:
Käsitykseni mukaan mielivaltaisesti valittu aksioomajoukko voi helpostikin sisältää ristiriidan, joka paljastuu muutaman aksioomista johdetun teoreeman seurauksena, mutta "oikeaoppisessa matematiikassa" tämä mahdollisuus ei ole näköpiirissä vaikka se todellinen onkin. Tämän vuoksi katson, että esim. hyperreaalilukuja ei voi tuoda kehiin noinvain aksioomia tuomalla, vaan on esitettävä "oikeaoppinen" matemaattinen konstruktio, joka takaa niiden olemassaolon siinä mielessä kuin matemaattisten olioiden olemassaolo yleensä taataan.

Minusta yksi hienoimmista asioista matematiikassa on se, että saa valita lähtökohdaksi mitä haluaa. Luonnontieteilijän on katsottava ympärilleen ja otettava lähtökohdaksi se, mitä hän aistii. Matemaatikon vapautta on valita lähtökohta itse.

Varmastikin huolimattomasti kiireessä valittu aksioomajoukko johtaa nopeammin ristiriitaan kuin vaikkapa ZFC. Mutta jospa ZFC:n mahdollinen ristiriita onkin vain niin paljon "syvemmällä", että sen löytäminen kestää siksi kauemmin?

Eikös useimmiten uudet oliot keksitä juuri siten, että joku ensin vain julistaa niiden olemassaolon (ts. ottaa aksioomaksi). Esimerkkinä imaginaariluvut, aluksi vain ryhdyttiin laskeskelemaan luvun -1 neliöjuurella. Myöhemmin sitten keksittiin, miten neliöjuuri -1 voidaan määritellä aiempia käsitteitä käyttäen (reaalilukuparina). Olisikohan imaginaarilukuja koskaan ryhdytty käyttämään, jos heti alkuunsa olisi tiukasti vaadittu reaalilukuihin pohjautuvaa konstruktiota?
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #28 - 26.01.2012 - 08:12:54
 
Tämän keskustelun voinee tiivistää seuraavaan vuoropuheluun:

Minä: Kyllä minulla on täysi oikeus valita lähtökohdikseni ZFC (tämä jätetään usein eksplisiittisesti mainitsematta) + tietyt hyperreaalilukujen aksioomat. Aksioomani ovat siis ZFC + H.

Markku: Ei, sinun tulee konstruoida H lähtien ZFC:stä. Muuten et tiedä, ovatko hyperreaaliluvut olemassa.

Minä: Mutta minähän OLETAN, että ne ovat olemassa.

Markku: Mutta entä jos kohta käykin ilmi, että ZFC + H on ristiriitainen? Silloin olet tehnyt turhaa työtä.

Minä: En murehtisi sitä liikaa. Voi nimittäin olla, että pelkkä ZFC:kin on ristiriitainen. Silloin ei auta yhtään, vaikka pystyisin konstruoimaan hyperreaaliluvut ZFC:stä lähtien.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Markku Halmetoja
Global Moderator
toimitus
*****
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 44

Re: Suoran derivaatta?
Vastaus #29 - 26.01.2012 - 13:25:54
 
Hermanni kirjoitti on 26.01.2012 - 08:12:54:
Markku: Mutta entä jos kohta käykin ilmi, että ZFC + H on ristiriitainen? Silloin olet tehnyt turhaa työtä.

Minä: En murehtisi sitä liikaa. Voi nimittäin olla, että pelkkä ZFC:kin on ristiriitainen. Silloin ei auta yhtään, vaikka pystyisin konstruoimaan hyperreaaliluvut ZFC:stä lähtien.

Minä pelkään sitä vaihtoehtoa, että ZFC ei ole ristiriitainen mutta ZFC+H on. Se, ettei ZFC:tä kyetä osoittamaan ristiriidattomaksi ei tarkoita, että se on ristiriitainen. Sen sijaan äkkinäisesti kyhätty aksioomakokoelma hyvin voi sitä olla, mutta tämä on käyty läpi.

Hermanni kirjoitti on 26.01.2012 - 08:12:54:
Eikös useimmiten uudet oliot keksitä juuri siten, että joku ensin vain julistaa niiden olemassaolon (ts. ottaa aksioomaksi). Esimerkkinä imaginaariluvut, aluksi vain ryhdyttiin laskeskelemaan luvun -1 neliöjuurella. Myöhemmin sitten keksittiin, miten neliöjuuri -1 voidaan määritellä aiempia käsitteitä käyttäen (reaalilukuparina). Olisikohan imaginaarilukuja koskaan ryhdytty käyttämään, jos heti alkuunsa olisi tiukasti vaadittu reaalilukuihin pohjautuvaa konstruktiota?

Imaginaariyksikkö tosiaan on otettu käyttöön kuvaamallasi tavalla, samoin Diracin Delta, mutta tässä ei varsinaisesti ole kyseessä aksioomien valinta mielivaltaisesti. Kun i otettiin käyttöön, ei reaalilukujen aksiomatiikka ollut vielä selkiytynyt; tällaisia asioita ei matematiikassa edes pohdittu. Yleisen topologian kehittyminen on parempi esimerkki aksiomatisoinnista. Lähtökohtina oli mm. se, että funktion raja-arvo ja jatkuvuus onnistuttiin ilmaisemaan etäisyyskäsitettä eksplisiittisesti käyttämättä, samoin kompaktisuus, pelkästään avoimien joukkojen avulla. Tämä avasi tien esittää analyysiä abstraktimpi teoria aksiomatisoimalla avoimet joukot, tai vaihtoehtoisesti ympäristöt tai suljetut joukot, etc.. Aksioomien valinnassa ei kuitenkaan ollut mitään mielivaltaista.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Sivu: 1 2 3