Hei,
selailin vanhoja lehtiä ja satuinpa avaamaan tämänkin jutun
/2006/2/polku.pdfRupesin tekemään tehtäviä, ja olen tällähetkellä jumissa tehtävä numero kolmosessa:
Tehtävässä pyydetään ratkaisemaan kaikki derivoituvat funktiot f, joille kaikilla x,y kuuluu reaalilukuihin pätee f(x+y)=f(x)+f(y) + xy(x+y). Lisäksi tiedetään lim(x->0) f(x)/x =1.
En ole varma, kuinka tämänlainen tehtävä tulisi ratkaista.
Tähänastiset tulokseni: f(x+0) = f(x)+f(0) = f(x) => f(0)=0
f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) => f(x) = -f(-x)
Lisäksi arvelen tehtävässä tarvittaneen l'Hospitalin sääntöä ja ehkä erotusosamäärää?
Olen jumittanut tehtävän kanssa nyt lähes vuorokauden ja olen kokeillut monenlaisia tapoja ratkaista, ylempänä kokosin vain mielestäni tärkeimmät (ja ainakin oikeat) huomiot.
Eräs kelani oli tällainen: lim ((x+y)->0) f(x+y)/(x+y) = lim((x-> -y) [f(x) - f(-y)]/[x-(-y)] + xy = 1 <=> lim((x-> -y) [f(x) - f(-y)]/[x-(-y)] = 1 + y^2 (koska x-> -y) = f'(-y). Tämän ajatusleikin siis hylkäsin kylläkin.
Päätin pyytää tehtävään apua, jottei tehtävä jäisi vaivaamaan mieltäni. Jos joku pystyisi antamaan vinkkejä, tai ihan vain ratkaisun niin olisin kiitollinen!
Lisäksi: Alussa linkkaamani jutun tehtävä nro. 1:sessä sanotaan kulman OBO olevan 90 astetta. Onko kyseessä painovirhe?