Luet Solmun keskustelupalstan arkistoa. Uusia viestejä ei voi enää kirjoittaa. Solmu
Sivu: 1
2006 / 2 lehden kilpailumatematiikka-tehtävät (Luettu 29 kertaa)
Tuomas
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 2

2006 / 2 lehden kilpailumatematiikka-tehtävät
23.05.2010 - 18:32:07
 
Hei,

selailin vanhoja lehtiä ja satuinpa avaamaan tämänkin jutun
/2006/2/polku.pdf

Rupesin tekemään tehtäviä, ja olen tällähetkellä jumissa tehtävä numero kolmosessa:

Tehtävässä pyydetään ratkaisemaan kaikki derivoituvat funktiot f, joille kaikilla x,y kuuluu reaalilukuihin pätee f(x+y)=f(x)+f(y) + xy(x+y). Lisäksi tiedetään lim(x->0) f(x)/x =1.

En ole varma, kuinka tämänlainen tehtävä tulisi ratkaista.

Tähänastiset tulokseni: f(x+0) = f(x)+f(0) = f(x) => f(0)=0
f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) => f(x) = -f(-x)

Lisäksi arvelen tehtävässä tarvittaneen l'Hospitalin sääntöä ja ehkä erotusosamäärää?

Olen jumittanut tehtävän kanssa nyt lähes vuorokauden ja olen kokeillut monenlaisia tapoja ratkaista, ylempänä kokosin vain mielestäni tärkeimmät (ja ainakin oikeat) huomiot.

Eräs kelani oli tällainen: lim ((x+y)->0) f(x+y)/(x+y) = lim((x-> -y) [f(x) - f(-y)]/[x-(-y)] + xy = 1 <=> lim((x-> -y) [f(x) - f(-y)]/[x-(-y)] = 1 + y^2 (koska x-> -y)  = f'(-y).  Tämän ajatusleikin siis hylkäsin kylläkin.

Päätin pyytää tehtävään apua, jottei tehtävä jäisi vaivaamaan mieltäni. Jos joku pystyisi antamaan vinkkejä, tai ihan vain ratkaisun niin olisin kiitollinen!

Lisäksi: Alussa linkkaamani jutun tehtävä nro. 1:sessä sanotaan kulman OBO olevan 90 astetta. Onko kyseessä painovirhe?
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Hermanni
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 45

Re: 2006 / 2 lehden kilpailumatematiikka-tehtävät
Vastaus #1 - 23.05.2010 - 19:42:29
 
Tuomas kirjoitti on 23.05.2010 - 18:32:07:
Eräs kelani oli tällainen: lim ((x+y)->0) f(x+y)/(x+y) = lim((x-> -y) [f(x) - f(-y)]/[x-(-y)] + xy = 1 <=> lim((x-> -y) [f(x) - f(-y)]/[x-(-y)] = 1 + y^2 (koska x-> -y)  = f'(-y).  Tämän ajatusleikin siis hylkäsin kylläkin.

Ei tarvinne hylätä. Kun y ajatellaan kiinnitetyksi, olet laskenut, että f'(-y) = 1 + y2. Tästä saadaan sitten

f'(y) = f'(-(-y)) = 1 + (-y)2 = 1 + y2

eli f'(x) = 1 + x2.

Integroimalla saadaan f(x) = x + x3/3 + C. Ehto f(x)/x -> 1 kun x -> 0 toteutuu vain jos C = 0. Ainoa ratkaisuehdokas on siis f(x) = x + x3/3, ja laskemalla voidaan varmistaa, että se todellakin kelpaa.

Ehkä hieman nätimmin derivaatta saataisiin seuraavin merkinnöin:

f(x+y) = f(x) + f(y) + xy(x+y)
=> f(x+h) - f(x) = f(h) + xh(x+h)
=> [f(x+h) - f(x)]/h = f(h)/h + x(x+h) -> 1 + x2, kun h -> 0.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Tuomas
YaBB Newbies
*
Poissa

I Love YaBB 2!

Viestejä: 2

Re: 2006 / 2 lehden kilpailumatematiikka-tehtävät
Vastaus #2 - 23.05.2010 - 20:31:58
 
Kiitos paljon, nyt uskallankin aloittaa seuraavan tehtävän, kun edellinen ratkesi.
Siirry sivun alkuun
 
 
  IP on kirjattu
Sivu: 1