Raastetun ruoan palakoon jakaumaa voidaan kuvata eksponenttijakaumalla
Mikko I. Malinen
FT, Itä-Suomen yliopisto
Mikko.I.Malinen@gmail.com
Johdanto
Ruokaprosessori on esitetty kuvassa 1 ja sen terä kuvassa 2.
Havainnollistamme, että raastetun ruoan palakoko noudattaa eksponenttijakaumaa.
Teoria
Eksponenttijakauman todennäköisyyden tiheysfunktio on
\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x} = \frac{1}{\mu}e^{\frac{x}{\mu}},\]
missä \(\lambda\) (tahti) tai vaihtoehtoisesti \(\mu\) (keskiarvo) on ainoa parametri.
Laitamme 100 ruokapalaa kukin kokoa 1 ruokaprosessoriin. Kokojen keskiarvo on
\[\mu = \frac{100}{\text{palojen lukumäärä}},\]
joten jos prosessointi tehdään 10.000 palaan asti, kokojen keskiarvo on
\[\mu = \frac{100}{10000} = 0{,}01.\]
Mallinnamme paloja yksiulotteisina objekteina; niillä on vain pituus, joka määrittelee koko-ominaisuuden. Kun valitsemme, mikä pala leikataan seuraavaksi, todennäköisyys valita juuri tietty pala on suoraan verrannollinen palan kokoon. Kun pala on valittu, leikkaamme sen satunnaisesta kohdasta, niin että
\[\begin{gathered} \text{pienemmän palan koko} + \text{isomman palan koko} \nonumber\\ = \text{alkuperäisen palan koko.} \end{gathered}\]
Simulointitulokset
Leikkaaminen 10000 palaan antaa \(\mu _{10000} = 0{,}01\) (Kuva 3) ja 95 % luottamusvälin \(\mu_{ci} = [0{,}0092; 0{,}0110]\). Leikkaaminen 100000 palaan antaa \(\mu_{100000} = 0{,}001\) (Kuva 4) ja 95 % luottamusvälin \(\mu_{ci} = [0{,}0010; 0{,}0010]\).
Johtopäätökset
Tulokset antavat vahvaa näyttöä, että leikkaus antaa eksponenttijakautuneen kokojen histogrammin. Leikkaus 100000 palaan antaa jo luottamusvälin, jolla ei ole pituutta kahdessa ensimmäisessä merkitsevässä numerossa.