Cramérin sääntö, determinantti ja yhtälöparin ratkaiseminen
Anne-Maria Ernvall-Hytönen
Helsingin yliopisto
Esimerkiksi MAOL:n taulukkokirjasta löytyy yhtälöparin ratkaisemiselle ns. Cramérin sääntö, joka antaa yhtälöparin ratkaisuille säännön determinantin avulla. Tämä herättää useita kysymyksiä, kuten miksi tämä sääntö toimii ja mikä tämä determinantti ylipäätään on.
Determinantti voidaan itse asiassa määritellä ns. \(n\times n\)-matriiseille, jotka ovat eräänlaisia lukutaulukoita. Matriiseilla on tietyt laskusäännöt, mutta ei välitetä tässä tilanteessa tästä, vaan tarkastellaan vain yksittäistä yhtälöparia vastaavia determinantteja sekä determinantin geometrista tulkintaa.
Miten tämä on esitetty MAOL:n taulukkokirjassa?
MAOL:n taulukkokirjasta löytyy kaksirivinen determinantti:
\[\begin{vmatrix}a& b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc.\]
Yhtälöparin alta taas löytyy sääntö, jonka mukaan yhtälöparin
\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]
ratkaisu saadaan laskemalla ensin
\[D=\begin{vmatrix}a_1& b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}, D_x=\begin{vmatrix}c_1& b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \text{ ja } D_y=\begin{vmatrix}a_1& c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}.\]
Tämän jälkeen yhtälöparin ratkaisuiksi on annettu
\[x=\frac{D_x}{D}\quad \textrm{ja}\quad y=\frac{D_y}{D}.\]
Tämän toimivuus on ensimmäinen mielenkiintoinen kysymys. Toinen taas on se, mitä tapahtuu, jos \(D=0\).
Lämmittely: numeerinen esimerkki
Ratkaistaan esimerkkinä syksyn 2022 lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tehtävän 2.2. yhtälöpari:
\[\begin{cases} 2x+4y=8\\ 2y=1-4x. \end{cases}\]
Helpointa tämä yhtälöpari on ratkaista ajattelemalla ensimmäinen rivi muodossa \(2x+2\cdot 2y=8\), jolloin voidaan vain sijoittaa toinen rivi ensimmäiselle riville:
\[8=2x+2(1-4x)=2x+2-8x=2-6x,\]
joten \(-6x=6\), eli \(x=-1\). Nyt \(y=\frac{1-4x}{2}=\frac{1-4\cdot (-1)}{2}=\frac{5}{2}\).
MAOL:n taulukkokirjasta löytyvää tapaa varten kirjoitetaan yhtälöpari muodossa
\[\begin{cases} 2x+4y=8\\ 4x+2y=1. \end{cases}\]
Cramérin sääntö antaa nyt seuraavat luvut
\[D=\begin{vmatrix}2& 4\\ 4 & 2 \end{vmatrix}=2\cdot 2-4\cdot 4=-12,\]
\[D_x=\begin{vmatrix}8& 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=8\cdot 2-4\cdot 1=12\]
ja
\[D_y=\begin{vmatrix}2& 8\\ 4 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-8\cdot 4=-30.\]
Nyt
\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{12}{-12}=-1\]
ja \[y=\frac{D_y}{D}=\frac{-30}{-12}=\frac{5}{2}.\]
Ainakin tässä erikoistapauksessa menetelmä näyttäisi toimivan.
Miksi menetelmä toimii, kun \(D\ne 0\)?
Se, että \(D\ne 0\), tarkoittaa, että \(a_2b_1-a_1b_2\ne 0\). Tarkastellaan yhtälöparia
\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2.\end{cases}\]
Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla \(a_2\) ja toinen yhtälö luvulla \(a_1\). Saadaan
\[\begin{cases} a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1\\ a_1a_2x+a_1b_2y=a_1c_2.\end{cases}\]
Vähennetään yhtälöt toisistaan, jolloin saadaan
\[(a_2b_1-a_1b_2)y=a_2c_1-a_1c_2,\]
josta
\[y=\frac{a_2c_1-a_1c_2}{a_2b_1-a_1b_2}=\frac{D_y}{D}.\]
Tuntematon \(x\) voitaisiin ratkaista vastaavasti tai se voidaan ratkaista sijoittamalla luvun \(y\) arvo. Tehdään nyt sijoitus. Ainakin toisen luvuista \(a_1\) ja \(a_2\) on oltava nollasta poikkeava, koska muuten olisi \(D=0\). Oletetaan, että \(a_1\ne 0\). Nyt
\[\begin{aligned} x &=\frac{c_1-b_1y}{a_1}=\left(c_1-b_1\cdot \frac{a_2c_1-a_1c_2}{a_2b_1-a_1b_2}\right)a^{-1}\\ &=\frac{c_1(a_2b_1-a_1b_2)-b_1(a_2c_1-a_1c_2)}{a_1(a_2b_1-a_1b_2)}\\ &=\frac{-c_1a_1b_2+a_1b_1c_2}{a_1(a_2b_1-a_1b_2)} =\frac{-c_1b_2+b_1c_2}{a_2b_1-a_1b_2}\\ &=\frac{-D_x}{-D}=\frac{D_x}{D}. \end{aligned}\]
Mitä tapahtuu, jos \(D=0\)?
Tarkastellaan tilanne, jossa \(D=0\). Koska
\[D=\begin{vmatrix}a_1& b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1,\]
niin tällöin \(a_1b_2=a_2b_1\). Jos \(a_1=0\), niin \(a_2=0\) tai \(b_1=0\). Mikäli \(a_1=b_1=0\), niin yhtälöpari on muotoa
\[\begin{cases} 0x+0y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}\]
Mikäli \(c_1=0\), niin yhtälöparilla on äärettömästi ratkaisuja paitsi, jos \(a_2=b_2=0\) ja \(c_2\ne 0\), jolloin ratkaisuja ei ole lainkaan. Jos taas \(c_1\ne 0\), niin ratkaisuja ei ole.
Mikäli taas \(a_1=a_2=0\), niin yhtälöryhmä muuttuu muotoon
\[\begin{cases}b_1y=c_1\\b_2y=c_2.\end{cases}\]
Tällä yhtälöparilla joko ei ole lainkaan ratkaisuja, jolloin alkuperäiselläkään yhtälöparilla ei ole ratkaisuja, tai tällä on ratkaisuna tasan yksi tuntemattoman \(y\) arvo, mutta kaikki muuttujan \(x\) arvot kelpaavat.
Kaiken kaikkiaan siis jos \(D\ne0\), on yhtälöparilla yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan determinantin avulla, ja jos \(D=0\), niin yhtälöparilla on joko ääretön määrä ratkaisuja tai ei yhtään ratkaisua.
Mikä determinantti on yhtälönratkaisun ulkopuolella?
Determinantilla on mukava geometrinen tulkinta: Jos piirretään suunnikas, jonka kärjet ovat pisteissä \((a,b)\) ja \((c,d)\), niin tämän suunnikkaan ala on
\[\left|\begin{vmatrix}a& b\\ c & d \end{vmatrix}\right|=|ad-bc|.\]
Todistetaan nyt tämä. Aloitetaan piirtämällä kuva tilanteesta. Merkitään origoa kirjaimella \(O\) ja otetaan lisäksi seuraavat merkinnät käyttöön suunnikkaan kulmille:
Olkoon \(\alpha\) se kulma, joka jää janojen \(OA\) ja \(OC\) väliin.
Huomataan ensin, että suunnikkaan \(OADC\) pinta-ala on
\[|OA||OC|\sin \alpha.\]
Nyt \(|OA|=\sqrt{a^2+b^2}\) ja \(|OC|=\sqrt{c^2+d^2}\). Selvitetään seuraavaksi kulman \(\alpha\) kosini. Tämä voidaan tehdä kosinilauseen avulla. Sovelletaan sitä kolmioon \(OAC\). Nyt
\[|AC|^2=|OA|^2+|OC|^2-2|OA||OC|\cos \alpha.\]
Tästä saadaan
\[\cos \alpha=\frac{-|AC|^2+|OA|^2+|OC|^2}{2|OA||OC|}.\]
Koska \(|AC|^2=(a-c)^2+(b-d)^2\), osoittaja muuttuu muotoon
\[\begin{aligned} &-|AC|^2+|OA|^2+|OC|^2\\ & \hspace{10mm} =-(a-c)^2-(b-d)^2+a^2+b^2+c^2+d^2\\ & \hspace{10mm} =2ac+2bd, \end{aligned}\]
joten
\[\cos \alpha=\frac{2ac+2bd}{2|OA||OC|}=\frac{ac+bd}{|OA||OC|}.\]
Pidetään tämä kosini vielä hiukan hassussa sekamuodossa, jossa osa termeistä on laskettu auki ja osa ei, sillä tästä on sujuvaa vielä sieventää muutama tekijä pois hieman myöhemmin.
Koska kulman \(\alpha\) sini on positiivinen, sillä tarkastellaan kahden janan välistä pienempää kulmaa, saadaan
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{|OA|^2|OC|^2-(ac+bd)^2}}{|OA||OC|}.\]
Nyt voidaan laskea suunnikkaan ala:
\[\begin{aligned} & \hspace{-1mm} |OA||OC|\sin \alpha\\ &=|OA||OC|\frac{\sqrt{|OA|^2|OC|^2}-(ac+bd)^2}{|OA||OC|}\\ &=\sqrt{|OA|^2|OC|^2-(ac+bd)^2}\\ &=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2}\\ &=\sqrt{a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2-a^2c^2-b^2d^2-2abcd}\\ &=\sqrt{b^2c^2+a^2d^2-2abcd}\\ &=\sqrt{(ad-bc)^2}=|ad-bc|, \end{aligned}\]
mikä todistaa väitteen.
Loppusanat
Determinantti voidaan määritellä mille tahansa \(n\times n\)-matriisille, eli käytännössä mille tahansa \(n\times n\)-taulukolle. Sitä voidaan hyödyntää myös yleisessä tilanteessa vastaavasti yhtälöryhmän ratkaisemiseen, mutta laskut menevät inhottaviksi. Vastaavasti se myös kertoo, onko yhtälöryhmällä yksikäsitteinen ratkaisu.
Myös geometrinen tulkinta on mielekäs: tällöin tarkastellaan sen kappaleen \(n\)-ulotteista tilavuutta, jonka rivit tai sarakkeet virittävät vastaavasti kuin tässä rivien avulla tehtiin suunnikas.