Ykkösestä alkeisfunktioihin
Seppo Heikkilä
Oulun yliopisto, Matemaattisten tieteiden laitos
[email protected]
Johdanto
Aluksi johdetaan eksponenttifunktion sarjakehitelmä ykkösestä lähtien integroimalla. Saadusta tuloksesta johdetaan sitten hyperbolisten ja trigonometristen kosini- ja sinifunktioiden sarjakehitelmät. Kehitelmien avulla johdetaan myös ko. funktioiden ominaisuuksia. Tulosten johtamisessa tarvitaan potenssifunktioiden sekä niistä muodostettujen summien ja sarjojen integrointia, derivointia, yhteenlaskua ja vähennyslaskua. Induktioperiaate on ratkaisevassa roolissa, sillä se tarjoaa keinon jatkaa ykkösestä integroimalla saadut summat sarjaksi.
Eksponenttifunktio
Seuraavissa integroinneissa valitaan aina integroimisvakioksi \(1\). Vakiofunktion \(f_0(t)\equiv 1\) integraalifunktio on siten \(f_1(t) =1+t\). Sen integraalifunktio on taas \(f_2(t)= 1+t+t^2/2\). Integroimalla funktio \(f_0\) \(n\) kertaa saadaan funktio
\[f_n(t)=1+t + \frac{t^2}{2} + \cdots + \frac{t^n}{n!},\quad n!=1\cdot 2\cdots n. \tag{1}\]
\(f_1\) on määritelty, ja jos \(f_n\) on määritelty, niin sen integraali on \(f_n\) lisättynä termillä \(\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}\), joten \(f_{n+1}\) on määritelty. Induktioperiaatteen nojalla on \(f_n\) siten määritelty jokaisella \(n=1, 2, \dots\), joten (1) voidaan jatkaa sarjaksi
\[f(t)=1+t+\frac{t^2}{2} + \cdots + \frac{t^n}{n!}+ \frac{t^{n+1}}{(n+1)!} + \cdots. \tag{2}\]
Saatu sarja on eksponenttifunktion sarjakehitelmä, ts. \(f(t)=e^t\), joten \(f(1)=e\), ns. Neperin luku. Niiden sarjaesitykset ovat siten
\[e^t=1+t+\frac{t^2}{2} + \cdots + \frac{t^n}{n!}+ \frac{t^{n+1}}{(n+1)!} + \cdots, \tag{3}\]
\[e=1+1+\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n!}+ \cdots. \tag{4}\]
Funktion \(f\) derivaatta saadaan derivoimalla (2):n sarja termeittäin. Tulokseksi saadaan
\[f'(t)=1+t + \cdots + \frac{t^{n}}{n!}+ \cdots. \tag{5}\]
(2):n ja (5):n oikean puolen sarjat ovat samat, joten \(f'=f\). Siten eksponenttifunktio on sama kuin sen derivaatta.
Hyperbolisia funktioita
Sijoittamalla \(t\):n paikalle \(-t\) kaavassa (3) saadaan
\[e^{-t}= 1-t+\frac{t^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^n t^n}{n!}+ \cdots. \tag{6}\]
Laskemalla (3) ja (6) puolittain yhteen, jakamalla puolittain \(2\):lla, ja soveltamalla funktion \(\cosh\) määritelmää saadaan
\[\cosh(t):=\frac{e^t+ e^{-t}}{2} = 1+\frac{t^2}{2} + \cdots + \frac{t^{2n}}{(2n)!}+ \cdots. \tag{7}\]
Vähentämällä (6) puolittain (3):sta ja jakamalla puolittain \(2\):lla saadaan vastaavasti
\[\sinh(t)=\frac{e^t- e^{-t}}{2} = t+\frac{t^3}{6} + \cdots + \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \cdots. \tag{8}\]
Erityisesti
\[e^{t}= \cosh(t)+\sinh(t). \tag{9}\]
(7):n ja (8):n yhtälöistä seuraa, että \(\cosh(-t)=\cosh(t)\) ja \(\sinh(-t)=-\sinh(t)\). Kertomalla puolittain (9) ja yhtälö \(e^{-t}= \cosh(-t)+\sinh(-t)\) saadaan siten kaava
\[\cosh^2(t)-\sinh^2(t)= 1. \tag{10}\]
Yhtälöistä (7) ja (8) seuraa derivoimalla, että
\[\cosh'(t)=\sinh(t), \quad \sinh'(t)=\cosh(t). \tag{11}\]
Trigonometrisia funktioita
Oletetaan, että yhtälössä (3) voidaan \(t\):n paikalle sijoittaa \(it\), missä \(i\) on ns. imaginaariyksikkö. Soveltamalla saadun sarjan termeihin kaavaa \(i^2=-1\), ja erottamalla eri sarjoiksi ne termit, joihin joko jää tai ei jää \(i\):tä, saadaan \(f(it)=C(t)+iS(t)\), missä
\[C(t)=1-\frac{t^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^n t^{2n}}{(2n)!}+ \cdots, \tag{12}\]
ja
\[S(t)=t-\frac{t^3}{6} + \cdots + \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \cdots. \tag{13}\]
Saadut sarjat ovat kosini- ja sinifunktioiden sarjakehitelmät. Derivoimalla (12) ja (13) puolittain nähdään, että \(C'= -S\) ja \(S'=-C\).
Siten
\[C(t)=\cos(t), \quad S(t)=\sin(t), \tag{14}\]
ja
\[\cos'(t)=-\sin(t), \quad \sin'(t)=\cos(t). \tag{15}\]
Lisäksi saadaan ns. Eulerin kaava:
\[e^{it}= \cos(t)+i\sin(t). \tag{16}\]
Yhtälöistä (12)-(14) seuraa, että \(\cos(-t)=\cos(t)\) ja \(\sin(-t)=-\sin(t)\). Kertomalla yhtälö (16) ja yhtälö \(e^{-it}= \cos(-t)+i\sin(-t)\) puolittain saadaan siten kaava
\[\cos^2(t)+\sin^2(t)= 1. \tag{17}\]
Koska \(\cos(\pi)=-1\) ja \(\sin(\pi)=0\), niin sijoittamalla \(t=\pi\) Eulerin kaavaan saadaan
\[1=-e^{i\pi}, \tag{18}\]
eli ollaan takaisin ykkösessä.
Muita alkeisfunktioita
Muut hyperboliset ja trigonometriset funktiot saadaan normaaleilla määritelmillä. Juurifunktiot, logaritmifunktio, arkusfunktiot ja areafunktiot saadaan potenssifunktioiden, eksponenttifunktion, trigonometristen funktioiden ja hyperbolisten funktioiden käänteisfunktioina.