Murtoluvut peruskoulun yläluokkien matematiikassa

 

1. Murtolukujen suuruusvertailua – lukusuora

 

Murtolukujen tulkitsemista lukuina ja suuruuksien vertailuun liittyviä skeemoja voidaan harjoitella sijoittamalla murtolukuja lukusuoralle. Lukusuoraan päästään käsiksi esimerkiksi murtolukutornien avulla. Lukusuoraa voidaan rakentaa yhdessä piirtoheittimelle ja/tai oppilaat voivat tehdä omaa lukusuoraansa paperille. Merkitään kalvolle (paperille) lukusuoran 0-kohta. Tämän jälkeen asetetaan  0-kohdan molemmille puolille murtolukutornit, jotka ovat yksikön pituisia. Merkitään oikealle puolelle 1 ja vasemmalle puolelle -1. Tämän jälkeen asetetaan 0-kohdan molemmille puolille piirtoheittimelle (paperin päälle) murtolukutornit, joiden pituus on puolet kokonaisesta murtolukutornista. Merkitään oikealle puolelle  ja vasemmalle puolelle . Seuraavaksi sijoitetaan  ja niin edelleen. Lukua 1 suurempiin ja –1 pienempiin lukuihin päästään käsiksi, kun laitetaan peräkkäin useita murtolukutorneja kumpaankin suuntaan. Lukusuoran avulla voidaan tehdä murtolukujen suuruusvertailuja sekä positiivisille että negatiivisille murtoluvuille.

 

Positiivisten murtolukujen suuruusvertailuja voidaan havainnollistaa myös murtokakkujen avulla esimerkiksi seuraavasti: oppilailla on murtokakkurasia käytettävissä ja niiden avulla täytyy asettaa annetut murtoluvut suuruusjärjestykseen (kuva 1). Oppilaat havaitsevat, että mitä suurempaan osaan kokonainen on jaettu (eli mitä suurempi nimittäjä), sitä pienempi on yksi osa

     

     Kuva 1. Murtolukuja  ja  esittävät murtokakkupalat.

 

2. Murtolukujen laventaminen ja supistaminen

 

Suuruusvertailuista päästään laventamisen ja supistamisen ideaan käsiksi esimerkiksi seuraavanlaisen ongelman avulla: Oppilaiden on osoitettava murtokakkujen avulla, että  (kuva 2). Kun neljä kappaletta - paloja asetetaan kahden - palan päälle, havaitaan, että ne ovat yhtä suuret, eli väite pitää paikkansa.

 

Vastaavasti huomataan, että kummankin - palan päälle mahtuu kaksi - palaa. Kakku on siis jaettu tiheämmin osiin siten, että entisen yhden palan () paikalle mahtuu kaksi keskenään samankokoista () palaa. Havaitaan, että alkuperäisen palan koko on kaksinkertainen verrattuna uuteen palaan eli palan koko on pienentynyt puolella ja palojen määrä on vastaavasti kasvanut kaksinkertaiseksi alkuperäisestä. Laventamisessa siis tihennetään jakoa ja otetaan näin syntyneitä uudenkokoisia paloja enemmän samassa suhteessa kuin tihennys on tapahtunut. Kun jakoa tihennetään, nimittäjä kasvaa ja koska paloja tarvitaan enemmän, myös osoittaja kasvaa samassa suhteessa. Tapahtumaa merkitään: , eli sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, ja kuten havaittiin, murtoluvun arvo ei muutu lavennettaessa.

 

Kuva 2. Murtolukujen  ja  yhtäsuuruuden osoittaminen.

 

Supistaminen tapahtuu päinvastaiseen suuntaan ja se voidaan havainnollistaa samoilla paloilla. Supistamisessa jakoa harvennetaan eli palojen koko kasvaa ja koska murtoluvun arvo ei muutu, näitä paloja tarvitaan tällöin vähemmän samassa suhteessa kuin harvennus on tapahtunut. Tapahtumaa merkitään , eli sekä osoittaja että nimittäjä jaetaan samalla luvulla.

 

3. Murtolukujen yhteen - ja vähennyslasku

 

Tämän osion tavoitteena on selventää, milloin yhteen- ja vähennyslaskuissa täytyy laventaa ja miksi. Johdantona yhteen- ja vähennyslaskuun oppilaille voi antaa tehtäväksi esittää murtokakkujen avulla luku yksi mahdollisimman monella tavalla. Suurin osa oppilaista muodostaa luultavasti yhden kokonaisen samankokoisista paloista. Jotkut saattavat huomata, että myös erikokoisia paloja käyttämällä voidaan muodostaa luku yksi usealla eri tavalla. Esimekiksi - pala ja kaksi - palaa muodostavat yhdessä yhden kokonaisen. Muita esimerkkejä on  ja niin edelleen (kuva 3). Tästä esimerkistä päästään laskutoimituksiin käsiksi.

 

Kuva 3. Esimerkkejä kokonaisen muodostamisesta murtokakkujen ja -levyjen avulla.

 

Aluksi harjoitellaan yhteenlaskuja murtokakuilla. Ensiksi lasketaan samannimisiä murtolukuja yhteen. Esimerkiksi : Otetaan rasiasta ensin yksi - pala ja tämän jälkeen kaksi - palaa ja nähdään helposti, että tulos on . Nyt havaitaan, että muodostunut pala on yhtä suuri kuin - pala. Tulos voidaan siis esittää yksinkertaisemmassa muodossa eli se voidaan supistaa.

 

Samannimisisten lukujen yhteenlaskusta siirrytään erinimisten murtolukujen yhteenlaskuun. Lasketaan murtokakkujen avulla esimerkiksi seuraavanlainen lasku: . Otetaan rasiasta - pala ja kolme - palaa ja asetetaan ne yhteen. Nyt havaitaan, että näin muodostuneen palan kokoa ei osatakaan antaa suoraan murtolukuna, koska palat ovat erikokoisia ja murtoluvuissahan kaikkien osien tulee olla yhtä suuret. Palojen kokoja täytyy siis muuttaa siten, että saadaan yhtäsuurista paloista muodostettua samankokoinen osuus. Tässä tapauksessa palojen muuttaminen onnistuu korvaamalla - pala kahdella - palalla. Tämän jälkeen voidaan laskea helposti, että - paloja on viisi kappaletta eli tulos on .

 

Aloitetaan myös vähennyslaskut esimerkillä, jossa vähennetään samannimisiä murtolukuja toisistaan: . Otetaan aluksi kolme kappaletta - paloja. Luvusta  vähennetään , joten poistetaan tai peitetään yksi - pala ja nähdään helposti, että jäljelle jää kaksi - palaa eli tulos on .

 

Samannimisten murtolukujen vähennyslaskusta siirrytään erinimisten murtolukujen vähennyslaskuun.  Esimerkkinä  lasketaan : Otetaan neljä - palaa ja kolme - palaa. Asetetaan kolme - palaa neljän - palan päälle (kuva 4). Huomataan, että jäljelle jäävää osuutta ei voida suoraan ilmoittaa murtolukuna. Taas täytyy laventaa, eli tihentää jakoa, jotta jäljelle jäävä osuus saataisiin jaettua samankokoisiksi paloiksi ja tulos voitaisiin ilmoittaa murtolukuna. Tilanne on taas siinä mielessä helppo, että ei tarvitse laventaa kuin vain toista lukua. Kun asetetaan - paloja neljän - palan päälle, havaitaan, että niitä mahtuu yhteensä kahdeksan kappaletta. Tämän jälkeen voidaan suorittaa laskutoimitus kuten samannimisten murtolukujen yhteydessä tehtiin, eli poistetaan tai peitetään  ja saadaan tulokseksi .

 

Kuva 4. Vähennyslaskun laskeminen murtokakuilla.

 

Laskutoimitusten suorittamista voidaan havainnollistaa myös lukusuoran ja murtolukutornien avulla. Lähdetään liikkeelle lukusuoran nollapisteestä ja lisätään lukusuoralle laskutoimitusten vaatimia murtolukutorneja. Esimerkiksi lasku  voidaan suorittaa asettamalla nollakohdasta oikealle lähtemään ensimmäiseksi murtolukutorni, jonka pituus on . Tämän perään laitetaan murtolukutorni, jonka pituus on  ja katsotaan, mihin asti päästään lukusuoralla. Päästään pisteeseen . Tähän murtolukuun päästään myös korvaamalla neljäsosan pituinen torni kahdella kahdeksasosan pituisella tornilla, eli laventamalla ensimmäinen yhteenlaskettava kahdella.  Vähennyslaskussa toimitaan samaan tapaan. Esimerkiksi lasku  suoritetaan seuraavasti: Asetetaan ensimmäiseksi - pituinen murtolukutorni lukusuoran nollapisteestä oikealle. Tämän jälkeen, koska on kyse vähentämisestä, asetetaan - pituinen murtolukutorni edellisen viereen siten, että tornien oikeanpuoleiset reunat tulevat kohdakkain. Nyt siis siirrytään lukusuoralla  verran takaisin kohti nollapistettä ja katsotaan, mihin pisteeseen päästään. Sama murtoluku saadaan tulokseksi, kun asetetaan  - pituisen tornin päälle kaksi - pituista tornia eli lavennetaan kahdella ja suoritetaan laskutoimitus. Havaitaan, että jäljelle jäävä osuus on - pituinen ja tulos on siis . Lukusuoran ja murtolukutornien avulla voidaan suorittaa laskuja vastaavasti myös negatiivisilla murtoluvuilla. Luvun etumerkki ilmoittaa aina, mihin suuntaan lukusuoralla kuljetaan. Erotus  voidaan ilmoittaa myös muodossa , jolloin luvun  negatiivinen etumerkki ilmoittaa, että siirrytään lukusuoralla vasemmalle. Muotoa  olevia laskuja laskettaessa täytyy olla tarkkana. Koska   tarkoittaa luvun  vastalukua eli lukua , voidaan edellä esitetty laskutoimitus esittää muodossa  ja tämä laskutoimitus voidaan suorittaa lukusuoran ja murtolukutornien avulla.

 

Negatiivisten kokonaislukujen laskutoimituksia on opiskeltu jo aiemmin ja yleensä näihin laskutoimituksiin ei enää palata murtolukujen yhteydessä. Usein oppikirjoissa negatiivisten lukujen merkkisääntöjä havainnollistetaan lämpömittarimallin avulla ja samaa keinoa voidaan käyttää kertauksenomaisesti myös murtolukujen yhteydessä, mikäli asian käsittely nähdään tarpeelliseksi. Lämpömittarimallin idea on seuraavanlainen: Ulkona on aluksi pakkasta  astetta. Kun ilma kylmenee  astetta  (-), mittarissa on tämän jälkeen  eli -1 astetta. Tässä on siis suoritettu laskutoimitus  Tämän jälkeen ilma lämpenee   astetta (+), jolloin mittarissa on  astetta. Tällöin ollaan suoritettu laskutoimitus  Nyt ilma lämpenee edelleen yhden asteen (+1), jolloin mittarissa on  astetta, eli ollaan suoritettu laskutoimitus  

 

4. Murtolukujen kertolasku

 

Tämän osion tarkoituksena on selventää murtolukujen kertolaskun ominaisuuksia. Havainnollistetaan kertolaskuja murtokakuilla. Lähdetään liikkeelle tyyppiä  olevilla laskuilla. Otetaan murtokakkurasiasta kaksi kertaa - pala, joten tulokseksi tulee . Kertolaskussa siis kerrottavan palan koko ei muutu, vaan samankokoisia paloja otetaan kertojan määräämä määrä. Havaitaan, että kaksi - palaa voidaan korvata myös yhdellä - palalla, joten tulos voidaan supistaa ja lopullinen tulos on . Huomataan kertolaskun ja yhteenlaskun yhteys: lasku  voidaan esittää myös yhteenlaskuna .

 

Tyyppiä  olevien kertolaskujen ymmärtäminen vaatii hieman enemmän ajattelua. Tehtävää voidaan tarkastella pienen ajatusleikin kautta. Otetaan esille kaksi kokonaista murtokakkua. Lähdetään liikkeelle tilanteesta, jossa halutaan yhden kerran kaksi kokonaista. Tällöin tuloksena on kaksi. Siirrytään tilanteeseen, jossa halutaan puoli kertaa kaksi kokonaista. Tässä tilanteessa halutaan siis puolet kahdesta kokonaisesta eli tulokseksi tulee yksi. Tämän jälkeen päästään alkuperäiseen tilanteeseen. Nyt halutaan edellistäkin puolet vähemmän eli otetaan neljäsosa kahdesta kokonaisesta. Havaitaan, että oikeastaanhan tässä jaetaan kaksi kokonaista neljään yhtä suureen osaan ja yhden tällaisen neljäsosan suuruus on . Alkuperäisen laskun tulokseksi saadaan siis . Koska kertolaskulla on vaihdannaisuusominaisuus, voidaan tyyppiä  oleva kertolasku muuttaa myös tyyppiä  olevaksi laskuksi, jolloin ymmärtäminen on helpompaa.

 

Tämän jälkeen siirrytään tyyppiä  oleviin laskuihin (kuva 5). Otetaan rasiasta - pala ja mietitään, mitä tapahtuu, kun se otetaan  kertaa. Jos se otettaisiin yhden kerran, saataisiin - pala. Nyt halutaan kuitenkin vain puoli kertaa - pala eli otetaan palasta puolet. Testataan murtokakkupalojen avulla, minkä kokoinen pala on puolet - palasta eli minkä kokoisia paloja - palasta saadaan kaksi ja havaitaan, että - pala mahtuu kaksi kertaa - palan päälle. Tulokseksi saadaan siis .

 

Kuva 5.  Laskun  havainnollistaminen murtokakuilla.

 

Tilanteessa  otetaan neljäsosa kertaa puolikas eli neljäsosan verran puolikkaasta palasta. Testataan siis, minkä kokoinen pala mahtuu neljä kertaa puolikkaaseen (yhteys jakolaskuun :4). Tulokseksi saadaan . Myös tässä tilanteessa vaihdannaisuuden nojalla voidaan muuttaa lasku tyyppiä  olevaksi, mikäli se helpottaa ymmärtämistä.

 

Tarkastellaan vielä tyyppiä  olevia laskuja. Nyt lähtökohtana on kahden - palan suuruinen pala. Tämä pala otetaan  kertaa eli toisin sanoen palasta otetaan  verran. Tulokseen päästään käsiksi, kun jaetaan ensin - pala neljään yhtä suureen osaan ja otetaan näitä osia kolme kappaletta. Kokeillaan murtokakkupalojen avulla, minkä kokoinen pala mahtuu neljä kertaa - palan päälle. Havaitaan, että  neljä - palaa muodostaa yhtä suuren kokonaisuuden kuin kaksi - palaa. Kun näitä - paloja otetaan kolme kappaletta, saadaan tulokseksi  ja supistamalla . Toisaalta, jokaisen - palan tilalle voidaan laittaa kaksi - palaa, jolloin tulokseksi saadaan laskun osoittajat ja nimittäjät keskenään kertomalla saatava tulos .

 

Nämä esimerkit havainnollistavat laskemista nopeuttavaa murtolukujen kertolaskusääntöä:

 

 

 

Potenssi ja potenssien laskusäännöt esitellään muiden kurssien yhteydessä. Tässä yhteydessä voidaan kuitenkin vielä selventää osamäärän potenssin määritelmää  Palautetaan mieleen, mitä merkintä n^m tarkoittaa: kerrotaan luku n itsellään m kertaa. Tällöin lasku palautuu kertolaskuun ja siten kertolaskun laskusäännön piiriin. Murtolukujen kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Saadaan siis                   

 

 

 

Negatiivisiin lukuihin liittyvät laskusäännöt on esitetty jo kokonaislukujen yhteydessä, joten niihin ei enää tässä yhteydessä paneuduta. Jos oppilas on omaksunut negatiivisilla kokonaisluvuilla kertolaskujen laskemisen, voidaan olettaa, että hän osaa soveltaa sääntöjä myös negatiivisten murtolukujen kertolaskuihin. Negatiivisten murtolukujen kertolaskulle pätevät samat säännöt kuin kokonaisluvuille.

5. Murtolukujen jakolasku

 

Tässä osuudessa on tavoitteena ymmärtää sisältöjaon periaate ja havainnollistaa sen avulla murtolukujen jakolaskun laskusääntöä. Selvitetään murtolukujen kertolaskun ja jakolaskun välinen yhteys.

 

Aloitetaan jakolasku tyyppiä  olevilla tehtävillä (kuva 6). Tässä on kyse ositusjaosta eli puolikas jaetaan tasan neljään yhtä suureen osaan. Otetaan puolikas murtokakku ja tarkastellaan, minkä kokoisia paloja siitä saadaan neljä. - murtokakkupalasta saadaan neljä - palaa, joten jakolaskun tulos on . Havaitaan yhteys kertolaskuun . (; Halutaan neljäsosan verran puolikkaasta eli kysytään: Minkä kokoinen pala mahtuu neljä kertaa puolikkaaseen?)

Kuva 6. Laskun  havainnollistaminen murtokakuilla.

 

Seuraavaksi siirrytään tyyppiä  oleviin tehtäviin. Jotta luvun jakaminen murtoluvulla voidaan ymmärtää, täytyy ymmärtää sisältöjaon periaate. Lasku tulee ymmärrettävämmäksi, kun kysytään, kuinka monta kertaa  sisältyy kokonaiseen. - murtokakkuja mahtuu kolme kappaletta yhden kokonaisen murtokakun päälle. Vastaus on siis kolme. Havaitaan  yhteys kertolaskuun 1 · 3. Jakolasku  saadaan ratkaistua murtokakuilla kysymällä, kuinka monta kertaa  sisältyy kahteen kokonaiseen. Peitetään kaksi kokonaista kakkua puolikkailla kakuilla ja saadaan tulokseksi neljä. Havaitaan taas yhteys kertolaskuun 2 · 2.

 

Tämän jälkeen ratkaistaan tyyppiä  olevia tehtäviä. Kysytään, kunka monta kertaa  sisältyy puolikkaaseen. Havaitaan, että kaksi - murto-kakkupalaa mahtuu - palan päälle. Tulokseksi saadaan siis kaksi. Huomioidaan yhteys kertolaskuun

 

Esitetään vielä tyyppiä  olevia tehtäviä. Nyt kysytään, kuinka monta kertaa kaksi kahdeksasosaa sisältyy puolikkaaseen. Asetetaan - paloja puolikkaan palan päälle ja havaitaan, että niitä mahtuu kaksi. Havaitaan jälleen yhteys kertolaskuun

 

Edellisten esimerkkien avulla havaittiin murtolukujen kertolaskun ja jakolaskun välillä oleva yhteys ja nyt voidaan esittää laskusääntö murtolukujen jakolaskulle:

 

 

 

Negatiivisten lukujen jakolaskun laskusäännöt on opetettu kokonaislukujen yhteydessä, joten niihin ei tässä yhteydessä enää palata muuten kuin mahdollisesti harjoitustehtävien yhteydessä. Voidaan todeta, että samat laskusäännöt koskevat myös negatiivisia murtolukuja.

 

6. Murtolukujen yhteys desimaalilukuihin ja prosentteihin

 

Oppilaat etsivät murtokakkurasiasta palan, joka vastaa desimaalilukua 0,1. Tämän jälkeen he merkitsevät sen murtolukuna ja havaitsevat desimaaliluvun ja murtoluvun vastaavuuden: . Hyvin yleinen harhaluulo peruskoulun oppilailla on, että . Seuraavaksi oppilaat saavatkin todistaa, että tämä ei pidä paikkaansa. Otetaan murtolukulaatikosta kolme kappaletta 0,1 kokoisia paloja sekä kolmasosan kokoinen pala ja verrataan niitä keskenään. Havaitaan, että  > 0,3. Jos nämä luvut muutetaan samannimiksi murtoluvuiksi, havaitaan kolmasosan olevan yhden kolmaskymmenesosan suurempi kuin 0,3. ().

 

Prosentit liitetään murtolukuihin esittämällä oppilaille seuraava ongelma: 100% vastaa yhtä kokonaista. Mitä murtolukua tällöin vastaa 1%? Saadaan vastaavuus prosenteille ja murtoluvuille:  Tämän jälkeen voidaan esittää murtokakuilla ongelma: Kuinka monta % on -kokoinen murtokakun pala? (10%)