PDF

Tehtäviä

1. Neliön sivut ovat 12 cm pitkät. Jos neliötä kierretään $90^{\circ}$ pisteen $P$ ympäri, kahden neliön peittämä pinta-ala on 211 cm$^2$. Jos neliötä kierretään jälleen $90^{\circ}$ pisteen $P$ ympäri, syntyy kolmas neliö. Kolmen neliön peittämä yhteinen pinta-ala on 287 cm$^2$. Missä on piste $P$?

2. Nelikulmion pinta-ala on $A$ ja sen sivujen neliöiden summa on $Q$. Osoita, että pätee $Q\geqslant 2A$.

3. Olkoon

$$q = \frac{1+\sqrt{5}}{2},$$

ja olkoon $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ funktio, jolle kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$, $$\vert f(n) - qn\vert < \frac{1}{q}.$$ Osoita, että $f(f(n)) = f(n) + n$.

4. Puoliympyrän muotoisen pesusienen halkaisija on 20 cm. Mikä on sienen pyyhkimän taulun osan pinta-ala, jos puoliympyrän halkaisijan päätepisteistä yksi pysyy koko ajan taulun alareunalla ja toinen vasemmalla reunalla?

5. Etsi yhtälö suoralle, joka koskettaa käyrää

$$y = 3x^4 - 4x^3$$

kahdessa eri pisteessä.

6. Muurahainen kävelee alueella, jota rajoittaa yhtälön

$$x^2 + y^2 + xy = 6$$

kuvaaja. Sen kävelemä reitti koostuu osista, jotka ovat yhdensuuntaisia koordinaatiston akseleihin nähden. Kävely alkaa käyrän satunnaisesta pisteestä ja jatkuu käyrän rajaamalla alueella kunnes muurahainen törmää käyrän kuvaajaan. Tällöin se tekee $90^{\circ}$ käännöksen ja jatkaa kävelemistä käyrän rajaaman alueen sisällä. Se pysähtyy vain, jos se saapuu sellaiseen käyrän kohtaan, jossa se on ollut aiemmin tai se ei voi jatkaa kävelyä yllä kuvattujen sääntöjen mukaan. Osoita, että kaikista lähtöpisteistä lähdettäessä muurahaisen kävely pysähtyy.

Tehtävien ratkaisut.

Lähde: KöMaL, Volume 1, Number 1, December 2002, 46-55.
Käännös ja ladonta: Jani Leinonen

Solmu 2/2003
16.5.2003