8. Murtoluvut

Merkinnällä $\frac{3}{5}$ on kaksi tulkintaa:

$\frac{3}{5}$ tarkoittaa kolmea yksikön viidesosaa. Oppilaille on korostettava, että viidesosat ovat yhtä suuria!

$\frac{3}{5}$ tarkoittaa kolmen yksikön viidesosaa.

On hyvä käyttää useita havainnollistamistapoja, esim. sektoreita.

Huom: $4\frac{7}{8}$ tarkoittaa $4+\frac{7}{8}$. Tämä luku on suuruudeltaan $4<4\frac{7}{8}<5$.

Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtoluvun kertominen ja jakaminen kokonaisluvulla

Laskutoimitukset aloitetaan samannimisten murtolukujen yhteenlaskulla, sitten harjoitellaan vähennyslaskua.

$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\quad \frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7} \... ...d 2\frac{1}{6}+3\frac{5}{6} \quad 1-\frac{7}{9} \quad \frac{9}{10}-\frac{4}{10}$

$5\frac{7}{8}-2\frac{5}{8} \quad 5\frac{3}{7}-2\frac{6}{7}=4\frac{10}{7}-2\frac{6}{7}=2\frac{4}{7} \quad$tai $\quad 3+\frac{3-6}{7}=3-\frac{3}{7}=2\frac{4}{7}$

$\frac{3}{4}+\frac{5}{8} \quad \frac{8}{9}-\frac{11}{27} \quad \frac{3}{4}+1\fr... ...ac{7}{24}+\frac{13}{12}-\frac{5}{6}+\frac{1}{3} \quad 3\frac{7}{10}-\frac{4}{5}$

$\frac{3}{4}+\frac{5}{9} \quad \frac{8}{9}-\frac{1}{5} \quad \frac{3}{4}+1\frac{5}{7} \quad 3\frac{7}{10}-1\frac{4}{7}=2\frac{49-40}{70}=2\frac{9}{70}$

$\frac{5}{8}+\frac{3}{10} \quad \frac{4}{15}-\frac{3}{20} \quad 3\frac{3}{8}+2\frac{7}{10}=3\frac{15}{40}+2\frac{28}{40} =5\frac{43}{40}=6\frac{3}{40}$

$12\frac{5}{14}-3\frac{18}{21}=9+\frac{15-36}{42}=9-\frac{21}{42} =8\frac{1}{2}$

Ensimmäinen tapa: $13\frac{4}{9}-8\frac{7}{9}=12\frac{13}{9}-8\frac{7}{9}=4\frac{6}{9} =4\frac{2}{3}$ (koska $1=\frac{9}{9}$)

Toinen tapa: $13\frac{4}{9}-8\frac{7}{9}=\left(13+\frac{4}{9}\right)-\left(8+ \frac{7}{9}\right)=5+\frac{4-7}{9}=5-\frac{3}{9}=4\frac{2}{3}$

Murtoluvulla kertominen

Esimerkki 1.

$T=\frac{3}{5}$ osaa $\frac{3}{4}$ osasta $=\left(\frac{3}{4}:5\right)\cdot 3 = \frac{3}{20}\cdot 3 =\frac{9}{20}$

$T=\frac{3}{4}$ osaa $\frac{3}{5}$ osasta $=\left(\frac{3}{5}:4\right)\cdot 3 = \frac{3}{20}\cdot 3 =\frac{9}{20}$

Laskemalla suorakaiteen pinta-ala saadaan $\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5} =\frac{9}{20}$.

Esimerkki 2.

$T=6+5\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=6+\frac{5}{2}+\frac{1}{4}=8\frac{3}{4}$

Esimerkki 3.

$T=3{,}5\cdot 2{,}5=3{,}5\cdot 2 +\,$puolet$\,3{,}5$:stä$=7+\,$puolet$\,\frac{7}{2}$:sta

$=7+\frac{7}{4}=7+1\frac{3}{4}=8\frac{3}{4}$

Jos ruudun pituus on metri, saadaan

$T=3{,}5\,$m$\cdot 2{,}5\,$m$=35\,$dm$\cdot 25\,$dm$=875\,$dm$^2=8{,}75\,$m$^2=8\frac{3}{4}\,$   m$^2$

$\frac{7}{2}\,$m$\cdot\frac{5}{2}\,$m$=\frac{35}{4} \,$m²

Yhteenveto

$5\cdot 3$ tarkoittaa kertolaskun vaihdannaisuuden perusteella 5 kertaa 3 eli 3 + 3 + 3 + 3 + 3 siis 15 tai 5 kolmesti, siis 5 + 5 + 5 eli 15.

$15\cdot\frac{2}{3}$ tarkoittaa 15 kertaa $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\ldots +\frac{2}{3}=\frac{15\cdot 2}{3}=\frac{30}{3}=10$ eli $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\ldots +\frac{2}{3}=\frac{15\cdot 2}{3}=\frac{30}{3}=10$ tai 15 kerrottuna $\frac{2}{3}$:lla, siis $\frac{2}{3}$ 15:sta, eli $(15:3)\cdot 2=5\cdot 2=10$.

Huomautus: $15\cdot\frac{2}{3}=(15:3)\cdot\left(\frac{2}{3} \cdot 3\right)=5\cdot 2=10$.

$\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}$ tarkoittaa $\frac{4}{5}$ kertaa $\frac{2}{3}=\frac{4}{5}$ eli $\frac{2}{3}=\frac{4}{5}$ $\frac{2}{3}$:sta $=\left(\frac{2}{3}:5 \right)\cdot 4=\frac{2}{15}\cdot 4=\frac{8}{15}$ tai $\frac{4}{5}$ kerrottuna $\frac{2}{3}$:lla, mikä on sama kuin $=\frac{2}{3}$ $\frac{4}{5}$:sta $=\left(\frac{4}{5}:3\right)\cdot 2=\frac{4}{15}\cdot 2=\frac{8}{15}$.

Murtoluvulla jakaminen

Jos 5 kg sieniä maksaa 12 euroa, niin kuinka paljon maksaa 1 kg sieniä? [12 euroa : 5 (kg) = 2,40 euroa (/kg)] Tulos saatiin jakamalla.

Jos 11 m kangasta maksaa 13,31 euroa, niin kuinka paljon maksaa 1 m kangasta? [13,31 euroa : 11 (m) = 1,21 euroa (/m)]

Jos $\frac{1}{3}$ km vesijohdon tekoa maksaa 240 000 euroa, niin kuinka paljon maksaa 1 km vesijohtoa? [240 000 euroa $\cdot$ 3 = 720 000 euroa, mutta myös 240 000 euroa : $\frac{1}{3}$ (km) täytyy olla sama, 720 000 euroa.]

Jos 1,5 kg banaaneja maksaa 2,40 euroa, niin kuinka paljon 1 kg maksaa? [(2,40 euroa : 3) $\cdot$ 2 = 1,60 euroa (/kg). Tämä on 2,40 euroa $\cdot$ 2/3, mutta on oltava myös 2,40 euroa : 1,5 (kg) = 2,40 euroa : 3/2 (kg).]

Jos $\frac{4}{7}$ km tietä päällystetään $\frac{2}{15}$ tunnissa, niin kauanko kestää päällystää 1 km (oletetaan nopeus vakioksi)?

$\frac{4}{7}$ km $\to\ \frac{2}{15}$ tuntia

$\frac{1}{7}$ km $\to\ \frac{2}{15}:4=\frac{1}{30}$ tuntia

1 km $\to\ \left(\frac{2}{15}:4\right)\cdot 7=\frac{7}{30}$ tuntia

Huomaamme myös: $\frac{2}{15}:\frac{4}{7}=\left(\frac{2}{15}:4\right)\cdot 7 =\frac{2}{15}\cdot\frac{7}{4}$.

Esimerkkejä murtoluvulla jakamisesta

Esimerkki 1.

$\frac{21}{40}:\frac{7}{8}=\frac{3}{5}$, koska $\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 8} =\frac{21}{40}$.

Olisi voitu myös ratkaista vaiheittain päättelemällä, mistä luvusta $\frac{7}{8}$ on $\frac{21}{40}$:

$\frac{7}{8}$ osaa $\to\ \frac{21}{40}$

$\frac{1}{8}$ osa $\to\ \frac{21}{40}:7=\frac{3}{40}$

1 = $\frac{8}{8}\ \to\ \left(\frac{21}{40}:7\right)\cdot 8=\frac{3}{40}\cdot 8=\frac{3}{5}$

Tarkistus: $\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{21}{40}$

On selvää, että $\left(\frac{21}{40}:7\right)\cdot 8=\frac{21}{40}\cdot \frac{8}{7}$, joten laskimme $\frac{8}{7}$ osaa $\frac{21}{40}$:stä.

Huomataan myös, että 7:llä jakaminen voidaan korvata sen käänteisluvulla kertomisella, kun ratkaistaan yhtälö

$\frac{7}{8}\cdot x=\frac{21}{40}\quad \vert:7$

$\frac{1}{8}\cdot x=\frac{21}{40}:7\quad \vert\cdot 8$

Kertomalla yhtälö puolittain 8:lla saadaan:

$x=\left(\frac{21}{40}:7\right)\cdot 8$

$x=\frac{21}{40}\cdot\frac{8}{7}$ = $\frac{3}{5}$

Esimerkki 2.

$\frac{7}{8}\cdot x=\frac{7}{12}$, joten $x=\frac{7}{12}:\frac{7}{8}=\frac{14}{24}:\frac{21}{24} =14:21=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$.

Esimerkki 3.

$8:8=1\quad 8:4=2\quad 8:2=4\quad 8:1=8\quad 8:\frac{1}{2}=16 =8\cdot 2$ ( $\frac{1}{2}$ mahtuu 16 kertaa 8:aan)

$8:\frac{1}{4}=32=8\cdot 4$ ( $\frac{1}{4}$ on 32 kertaa 8:ssa)

$8:\frac{2}{3}=12$, koska $2:\frac{2}{3}=3$ ( $\frac{2}{3}$ sisältyy 12 kertaa 8:aan, 3 kertaa 2:een)

$8:\frac{4}{3}=6$ ( $\frac{4}{3}$ sisältyy 6 kertaa 8:aan, 3 kertaa 4:ään)

$8:\frac{8}{5}=5$ ( $\frac{8}{5}$ sisältyy 5 kertaa 8:aan), jne.

Esimerkki 4.

Entä $\frac{3}{8}:\frac{2}{7}$?