Tavoite: Peruskoulussa opetetaan tärkeimmät kokonaislukujen jaollisuuden ominaisuudet. Opittua syvennetään myöhemmin tutustuen samalla tärkeimpiin historiallisiin ongelmiin ja sovelluksiin.
Peruskoulussa jaollisuuden hallitseminen auttaa esim. murtolukujen käsittelyssä. Kerhoissa voidaan esittää vaikeampia tehtäviä. Lukiossa voidaan ottaa esille yleistyksiä, sovelluksia ja teoreettisempaa ainesta.
Esimerkki. Luonnollinen luku 6 on jaollinen luvuilla 1 (2, 3 ja 6); 15 on 3:n monikerta; 3:n monikertoja: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...
Lukuja, joilla on yksi tekijä: [1]
Lukuja, joilla on kaksi tekijää: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...]
Näitä lukuja kutsutaan alkuluvuiksi.
Lukuja, joilla on enemmän kuin kaksi tekijää: [4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...]
Lukuja, jotka ovat kokonaislukujen neliöitä [1, 4, 9, 16, 25,...], kutsutaan neliöluvuiksi.
Seuraavassa kuvassa on esitetty vaaka-akselilla kokonaislukuja ja merkitty niiden tekijät pystysuunnassa.
Jaa 120 tekijöihin eri tavoilla. 120 = 2 
2 2
3 5.
Luetteloi 120:n tekijät. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120]
Montako tekijää on 120:llä?
[(3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16]
Mitä sääntöä tässä käytetään? Jatka.
| 1 -> 1 | 9 -> 1, 3, 9 | |
| 2 -> 1, 2 | 10 -> 1, 2, 5, 10 | |
| 3 -> 1, 3 | 11 -> 1, 11 | |
| 4 -> 1, 2, 4 | 12 -> 1, 2, 3, 4, 6, 12 | |
| 5 -> 1, 5 | 13 -> 1, 13 | |
| 6 -> 1, 2, 3, 6 | 14 -> 1, 2, 7, 14 | |
| 7 -> 1, 7 | 15 -> 1, 3, 5, 15 | |
| 8 -> 1, 2, 4, 8 | 16 -> 1, 2, 4, 8, 16 ... |
Montako sellaista suorakulmiota on, joissa on kokonaisten yksikköjen pituiset sivut ja pinta-ala 1995? [8]
Kuuden peräkkäisen alkuluvun summa on alkuluku. Mikä niistä on pienin? Mikä suurin?
Osoita, että 12341234 on jaollinen sekä 73:lla että 137:llä.
Onko olemassa luonnollista lukua, jonka numeroiden tulo on luku 2002?
Ratkaisu: Jos tällainen luku olisi olemassa, olisi luku 2002 lausuttavissa
yksinumeroisten lukujen tulona. Kuitenkin 2002 = 2 7 11 13 ja siis osa
sen tekijöistä on kaksinumeroisia alkulukuja, joten kysyttyä luonnollista lukua ei
ole olemassa.
Montako nollaa on luvun 10 11 12 13 ... 99 100 lopussa?
[23]
Sievennä lausekkeet 480/560 ja 432/175. [6/7 ja 432/175]
Mikä on pienin 3-numeroinen luonnollinen luku, josta tulee jakojäännöksenä 1, kun se jaetaan millä tahansa luvuista 4, 5, 6, 7 ja 8? [841]
Luvut 393 ja 637 jaetaan samalla 2-numeroisella luonnollisella luvulla ja jakojäännökset ovat samat. Mikä on jakojäännös? [27]
Luku 273437 jaetaan eräällä luonnollisella luvulla, jakojäännös on 17. Jos luku 272758 jaetaan samalla luonnollisella luvulla, jakojäännös on 13. Mikä on jakaja? [45]
Koulussa on 400 oppilasta. Kuinka todennäköistä on, että kahdella oppilaalla on sama syntymäpäivä?
Ratkaisu: Vuodessa on maksimissaan 365 + 1 = 366 päivää, joten syntymäpäiviä voi olla enintään 366 eri päivänä. Oppilaita on kuitenkin enemmän, joten ainakin kahdella oppilaalla täytyy olla samana päivänä syntymäpäivä.
Majatalo-periaate: Mikäli majataloon saapuu enemmän vierailijoita kuin siinä on huoneita, joudutaan ainakin yhteen huoneeseen majoittamaan vähintään kakso henkilöä.
Seitsemän kokonaisluvun neliötä on valittu mielivaltaisesti. Kuinka todennäköistä on, että ainakin kaksi näistä luvuista päättyy samaan numeroon?
Ratkaisu: Mikäli kokonaisluvun viimeinen numero on
a) 0, niin sen neliö päättyy numeroon 0.
b) 1, niin sen neliö päättyy numeroon 1.
c) 2, niin sen neliö päättyy numeroon 4.
d) 3, niin sen neliö päättyy numeroon 9.
e) 4, niin sen neliö päättyy numeroon 6.
f) 5, niin sen neliö päättyy numeroon 5.
g) 6, niin sen neliö päättyy numeroon 6 (kuten kohta e)).
h) 7, niin sen neliö päättyy numeroon 9 (kuten kohta d)).
i) 8, niin sen neliö päättyy numeroon 4 (kuten kohta c)).
j) 9, niin sen neliö päättyy numeroon 1 (kuten kohta b)).
Näin ollen eri mahdollisuuksia viimeiseksi numeroksi on kuusi kappaletta, joten seitsemästä kokonaisluvun neliöstä ainakin kahden on pakko päättyä samaan numeroon.
Mikä on pienin kolminumeroinen kokonaisluku, joka jaettuna luvuilla 4, 5, 6, ja 7 tuottaa jakojäännökseksi luvun 1.
Ratkaisu: Pienin kolminumeroinen kokonaisluku, joka on jaollinen luvuilla
4, 5, 6 ja 7 on 2 5 6 7 = 420 (annettujen lukujen pienin yhteinen
monikerta). Näin ollen kysytty luku on 421.
Esimerkkejä algebran kertauksesta 8. luokkalaisille
Kirjoita matemaattisin merkinnöin:
a) Kahden luvun summa on 18.
Merkitään 1. lukua x:llä ja 2. lukua 18-x:llä
b) Ylimmässä laatikossa on alussa kaksi kertaa niin monta lakanaa kuin
alimassa laatikossa. Ylimmästä laatikosta siirretään tämän jälkeen 15
lakanaa alimpaan laatikkoon.
ylälaatikko alussa: (2x) ja alalaatikko alussa: (x)
ylälaatikko lopussa:(2x-15) ja alalaatikko lopussa:(x+15)
Miten opettaa, että epäyhtälön merkki kääntyy kerrottaessa tai jaettaessa epäyhtälö puolittain negatiivisella luvulla?
Tutkitaan miten epäyhtälö 2 < 5 muuttuu, kun se kerrotaan/jaetaan luvulla -1. Tällöin oppilaat pystyvät järkeilemään epäyhtälön suunnan ja käytettäessä alussa yksinkertaisia lukuja oppilaat saavat konkreettisia esimerkkejä muuten ehkä kummallisesta "säännöstä".
Lisää esimerkkejä jaollisuudesta
Sievennä 24331/26009. [29/31]
Eukleideen algoritmi. Etsi suurin yhteinen tekijä luvuille 152 ja 56.
Ratkaisu.
152 : 56 = 2, jakojäännös 40.
56 : 40 = 1, jakojäännös 16.
40 : 16 = 2, jakojäännös 8.
16 : 8 = 2, jakojäännös 0.
Siis lukujen 152 ja 56 suurin yhteinen tekijä on 8. Tämä merkitään
myös (152;56) = 8.
Todista, että (1 - 1/4) (1 - 1/16) ... (1 - 1/n2)
= (n + 1)/2n, kun n > 1.
Todista: 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + n (n + 1)
= n (n + 1) (n + 2)/3,
kun n on mikä tahansa luonnollinen luku.
Parillinen luku antaa jakojäännökseksi 2, kun se jaetaan 3:lla. Mikä on jakojäännös jaettaessa se 6:lla? [3n + 2 = 2k; n = 2c; k = 3c + 1; jakojäännös on 2]
Mitkä kokonaisluvut n tekevät lausekkeesta (2n + 6)/(n - 3) kokonaisluvun? [lauseke on 2 + 12/(n - 3); n = -9, -3, -1, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 15]
Onko totta vai ei?
a) 462337 on jaollinen luvulla 2. Entä luvuilla 3,6,7,8? [T,T,T,E,T]
b) 1746308 on jaollinen luvulla 2. Entä luvuilla 4,7,8,9? [T,T,T,T,E]
c) Laske 11012 1012 [13
5 =
65]
1513039 : 329 = ?
Ratkaisuideoita:
462337=
4 74+
6 73+
2 72+
37+3.
Tämä luku on parillinen, siis jaollinen luvulla 2. Onko se jaollinen 3:lla? On, perustele. Entä 6:lla? Jokainen muotoa 7n, n=1,2,3,... oleva luku antaa 6:lla jaettaessa jakojäännökseksi 1. Lasketaan siis numeroiden 4,6,2,3,3 summa, 18. Tämä on jaollinen 6:lla, joten luku on jaollinen 6:lla.
Luku ei ole jaollinen 7:llä. Käyttämällä kaavaa 7n=(8-1)n, n=1,2,... voidaan päätellä, että jokainen muotoa 7n, n=1,2,... oleva luku antaa 8:lla jaettaessa jakojäännökseksi +1 tai -1 riippuen n:n parillisuudesta. Koska 4-6+2-3+3=0, on luku jaollinen 8:lla.