4. Luonnolliset luvut

Yhteenlasku opitaan ala-asteella. Nimityksiä: yhteenlaskettavat, summa. Luonnollisten lukujen yhteenlaskulla on vaihdannaisuus- ja liitännäisyysominaisuus:

$$\forall a,b,c\in\mathbb{N}: a+b=b+a;\ (a+b)+c=a+(b+c).$$

Kahden luonnollisen luvun summa on aina luonnollinen luku. Nollalla on ominaisuus

$$\forall a\in\mathbb{N}:\ a+0=a.$$

Luonnollisten lukujen vähennyslasku opitaan ala-asteella. Nimityksiä: vähennettävä - vähentäjä = erotus.

Päässälasku: 16493 - 7158 = 9493 - 158 = 9343 - 8 = 9335.

Paperilla:

16493

- 7158

9335

Tarkistus:

9335

+ 7158

16493

Luonnollisten lukujen vähennyslaskulla ei ole vaihdannaisuusominaisuutta,

$$\exists a,b\in\mathbb{N}: a-b\neq b-a\qquad \exists a,b\in\mathbb{N}: a-b\not\in\mathbb{N}\qquad \forall a\in\mathbb{N}: a-0=a. \exists a,b\in\mathbb{N}: a-b\neq b-a\qquad \exists a,b\in\mathbb{N}: a-b\not\in\mathbb{N}\qquad \forall a\in\mathbb{N}: a-0=a.$$

Kahden luonnollisen luvun erotus on luonnollinen luku jos ja vain jos vähennettävä on suurempi tai yhtä suuri luku kuin vähentäjä.

Luonnollisten lukujen kertolasku opitaan ala-asteella. Nimityksiä: tulon tekijät, kerrottava, kertoja, tulo.

$45\cdot 12 = 540\quad (=90\cdot 6)$

(45 kerrottuna 12:lla on 540)

(45 kertaa 12 on 540)

Luonnollisten lukujen kertolaskulla on vaihdannaisuus- ja liitännäisyysominaisuus:

$$\forall a,b,c\in\mathbb{N}:\ a\cdot b=b\cdot a;\quad (a\cdot b)\cdot c =a\cdot(b\cdot c)$$

Minkä tahansa kahden luonnollisen luvun tulo on luonnollinen luku.

$$\forall a\in\mathbb{N}:a\cdot 1=a;\quad \forall a\in\mathbb{N}:a\cdot 0=0;\quad \forall a,b,c\in\mathbb{N}:a\cdot(b\pm c)=a\cdot b\pm a\cdot c.$$

Kertolaskulla on ositteluominaisuus yhteenlaskun/vähennyslaskun suhteen. Tästä seuraa, että summa tai erotus voidaan kertoa termeittäin ja toisaalta termien yhteinen tekijä voidaan ottaa ulos suluista.

Jakolasku. Nimityksiä: Jaettava : jakaja = osamäärä (ja mahdollinen jakojäännös). Jaettava = jakaja $\cdot$ osamäärä + jakojäännös.

Esimerkki: 26485 : 307 = 86 kokonaista, jakojäännös on 83.

Tarkastus: 307 $\cdot$ 86 = 26402 ja 26402 + 83 = 26485.

$$\exists a,b\in\mathbb{N}:\ a:b\neq b:a.$$

$$\exists a,b\in\mathbb{N}:\ a:b\not\in\mathbb{N}.$$

Kahden nollasta poikkeavan luonnollisen luvun osamäärä on luonnollinen luku jos ja vain jos jaettava on jakajan (kokonaisluku) monikerta.

$0 : a = 0$ jos $a\neq 0$.

Nollalla jakamista ei voida määritellä.

Oppilaille voisi perustella kahdella tavalla, että nolla ei voi olla jakaja.

1. tapa. Annetaan oppilaille tehtäväksi miettiä, mitä on 5 : 0. Oppilaat voivat antaa hyvin erilaisia vastauksia (0, 5, 1, 7...), joita sitten tarkastellaan. Esim. jos 5 : 0 olisi 5, niin tarkistus antaisi $5\cdot 0 = 0\neq 5$. Vastaavasti kävisi muille luvuille. Joku voi kysyä, mitä on 0 : 0. Kaikilla $k\in\mathbb{N}$ on $k\cdot 0=0$, mutta nollalla ei voi tässäkään tapauksessa jakaa, koska tuloksena pitäisi olla vain yksi luku.

2. tapa.

5 : 5 = 1

5 : 1 = 5

5 : 1/2 = 10

5 : 1/10 = 50 jne.

Todetaan, että osamäärät kasvavat/pienenevät (koska 5 : (-5) = -1 jne.) rajatta.

Luonnolliset luvut, tehtäviä

1. Sanotaan, että luonnollinen luku, jonka numerot kasvavat, on "mielenkiintoinen" (esimerkiksi 123 tai 489). Vastaavasti nimetään luonnolliset luvut, joiden numerot vähenevät, "hauskoiksi". Kuinka monta 3-numeroista mielenkiintoista (hauskaa) luonnollista lukua on olemassa?

Vastaus.

(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + ... + (2 + 1) + 1 = 84.

(8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + ... + (2 + 1) + 1 = 120.

2. Poista luvusta 123456789101112131415 kymmenen numeroa siten, että jäljelle jäävät numerot tässä järjestyksessä antavat mahdollisimman pienen/suuren luvun.

Vastaus. 10111131415, 91112131415.

3. Toisen maailmansodan jälkeen vuonna 1946 tapahtui Unkarissa "pengön" devalvaatio. Yksi uusi forintti oli arvoltaan $400\,000\cdot 10^{24}$ pengöä. Kuinka monta nollaa on tässä luvussa numeron neljä jälkeen?

Vastaus. 29.

Miljoona on $10^6$, tuhat kertaa miljoona on miljardi (engl. billion) $10^9$.

Vaativampia tehtäviä

1. Anna kirjaimille lukuarvot.

  SEND
+ MORE
------
 MONEY

Vastaus. D = 7, E = 5, M = 1, N = 6, O = 0, R = 8, S = 9, Y =2.

2. Onko olemassa numeroon 2 loppuvaa luonnollista lukua, jolle on voimassa: kun viimeinen numero siirretään luvun alkuun, saadaan alkuperäinen luku kaksinkertaisena?

Vastaus. Tällainen luku on olemassa, se on 105263157894736842.

3. Todista, että kaikkien luonnolllisten lukujen seitsemännen ja kolmannen potenssin viimeinen numero on sama.

Ratkaisu.

$1^7\to 1$, $2^7\to 8$, $3^7\to 7$, $4^7\to 4$, $5^7\to 5$, $6^7\to 6$, $7^7\to 3$, $8^7\to 2$, $9^7\to 9$.

$1^3\to 1$, $2^3\to 8$, $3^3\to 7$, $4^3\to 4$, $5^3\to 5$, $6^3\to 6$, $7^3\to 3$, $8^3\to 2$, $9^3\to 9$.

4. Kirjoita seuraava suure normaalissa muodossa. Maan massa on noin 6 000 000 000 000 000 000 000 tonnia.

Vastaus. $6\cdot 10^{21} t = 6\cdot 10^{24} kg = 6\cdot 10^{27} g$.

5. Pitkä laiva seilaa joella. Toni kävelee rannalla laivan perästä keulaan 400 askeleella. Toni kävelee 100 askelta takaisinpäin ja on jälleen laivan perän kohdalla. Kuinka monta askelta pitkä laiva on?

Vastaus. 160 askelta.

6. Aloitamme kirjoittamaan luonnollisia lukuja perätysten: 123456789101112131415161718... Mikä numero on 2002:lla paikalla?

Vastaus. 3.

Lisää tehtäviä

1. Kumpi on suurempi, $5^{25}$ vai $25^5$? ( $25^5=5^{10}$)

$2^{300}$ vai $3^{200}$? ( $8^{100}<9^{100}$)

2. Ratkaise epäyhtälöt luonnollisten lukujen joukossa.

$125\cdot 8^k<10^3$, $5^3\cdot (2^k)^3<10^3$, $(5\cdot 2^k)^3<10^3$, $2^k<2$

($k\ge 0$)

3. Koulussa on 400 oppilasta. Onko heistä kahdella varmasti sama syntymäpäivä?

Vastaus: Kyllä. Riittää, että oppilaita on 367.

4. Shakkipelin keksijä pyysi shaahilta yhden viljanjyvän ensimmäiseen ruutuun, 2 toiseen, 4 kolmanteen, 8 neljänteen ja niin edelleen. Pystyikö shaahi toteuttamaan pyynnön?

$S_{64}=1+2+4+8+16+\ldots+2^{63}$

Vähentämällä saadaan, että .

16 vehnänjyvää painaa noin gramman. Nykyisin maailmassa tuotetaan noin $6\cdot 10^9$ tonnia vehnää vuodessa.

$(2^{64}-1) : 16\approx 1,15\cdot 10^{18} g=1,15\cdot 10^{12} t =1150\cdot 10^9 t > 6\cdot 10^9 t$