3. Kombinatoriikkaa

• Tavoitteet ja sisältö: oppilaiden tulisi kohdata erilaisia kombinatorisia ongelmia eri yhteyksissä ilman, että edellytetään formaalien menetelmien tuntemusta.
• Kyky luetella, järjestää ja valita konkreettisia alkioita puukaavion mallisesta esityksestä.
• Mahdollisuus yleistämiseen (useilla alkioilla), ymmärtämiseen tai ajatuksen juoksun, analogioiden ja strategioiden löytämiseen, yleisten kaavojen ja lauseiden muodostamiseen. Tämä ei kuitenkaan ole vaatimuksena ennen 16 ikävuotta, vaan ajattelutapa on alussa tärkeämpi.
• Sisältö: permutaatio, iteratiivinen permutaatio, variaatio, iteratiivinen variaatio, kombinaatio, iteratiivinen kombinaatio, yhdistetyt ongelmat (binomikertoimet - lukion edistyneille oppilaille)

Kuinka monella tavalla voi laskea kolmen luvun summan? Tämä kysymys on sekä laskuoppia että kombinatoriikkaa.

Sanallisia esimerkkejä kombinatoriikasta

1. Neljä hevosta A, B, C ja D ravaavat kilpaa. Jos ne ovat tasaväkisiä, niin miten monta erilaista lopputulosta voi raveihin tulla? Tasapelin mahdollisuutta ei huomioida.

(Neljän alkion permutaatioita on 4 3 2 1 = 4! kappaletta)

2. Kaksi suomalaista, kolme unkarilaista lasta ja yksi ruotsalainen lapsi istuvat pitkällä penkillä. Kuinka monta eri järjestystä lapsilla voi olla, jos emme tee eroa lasten välillä kansallisuuden sisällä? (6! / (1! 2! 3!) = 60. Tällaiset tehtävät soveltuvat noin 16-vuotiaille, mutta matematiikkakilpailuissa 13-vuotiaatkin voivat tehdä näitä.)

3. Jos hevoset ovat tasaväkisiä, niin miten monta erilaista järjestystä saamme kolmelle ensimmäiselle hevoselle viidestä? (Vastaus: 60.)

4. Kuinka monta nelinuottista säveltä saa aikaan nuoteista do, mi ja so? (Vastaus: $3^4$.)

5. Minilotossa valitaan kolme numeroa luvuista 1, 2, 3, 4 ja 5. Montako mahdollista lopputulosta on? (Vastaus: $\frac{5!}{2! 3!} =\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$.) Eri mahdollisuudet voi luetteloida myös puukaaviolla.

6. Meillä on 4 cm, 5 cm, 6 cm ja 7 cm tikkuja. Kuinka monta erilaista kolmiota pystymme muodostamaan kolmesta tikusta kerrallaan?

Muistisääntö: Jos järjestyksellä on väliä, niin kyseessä on variaatio. Jos taas järjestyksellä ei ole merkitystä, kyseessä on kombinaatio.

Opettajalle tärkeä kysymys on, kuinka löytää sanaongelmia erilaisista kombinatorisista ongelmista.

Kombinatorisia ongelmia ja yhteyksiä eri tyyppien välillä

1. a) Kahdeksan juoksijaa juoksee kilpaa. Kuinka monta mahdollista järjestystä on maaliin tultaessa? ($P_8$ = 8!) $P_8$ on 8:n alkion eri järjestysten eli permutaatioiden lukumäärä.

b) Kuinka monta eri järjestystä on mahdollista kolmelle ensimmäiselle juoksijalle kahdeksasta? ( $\frac{8!}{5!}$ = 336)

c) Kuinka monella eri tavalla kolme ensimmäistä juoksijaa voidaan valita kahdeksasta juoksijasta (ilman järjestystä)? ( $\frac{8!}{5!3!}$ = 56)

2. Kuinka monta mahdollista lopputulosta on, jos

a) 7 hengen seurueelle arvotaan kolme eri kirjaa, eikä kenellekään saa tulla enempää kuin yksi kirja. ( $\frac{7!}{3!}$ = 210)

b) Samalle seurueelle arvotaan kolme samaa kirjaa, eikä kenellekään saa tulla enempää kuin yksi. ( $\frac{7!}{4!3!}$ = 35)

Yhdistettyjä ongelmia

1. Kuinka monta osajoukkoa on kuusialkioisella joukolla? (64)

2. Kuinka monta tapaa on kiivetä kahdeksan askelmaiset raput, jos astuu aina joko yksi tai kaksi rappua kerrallaan? (34)

3. Kuinka monta suoraa määräytyy kuution kärkien avulla? (28)

4. Kuinka monen kolminumeroisen luonnollisen luvun numeroiden summa on viisi? (15)

(Tämän tyyppisiä tehtäviä voi esittää viidennellä luokalla.)

5. Kuinka monta nelinumeroista luonnollista lukua on olemassa? (9000)

(Voidaan aloittaa yksinkertaisemmasta tapauksesta: kuinka monta kaksinumeroista lukua on? Tämän voi vielä ratkaista vaikkapa kirjoittamalla kaikki luvut 10-99 ja laskemalla ne. Tyypillinen virhe on ajatella, että lukuja on 89...)

6. Kuinka monella tavalla voidaan kuution sivut värjätä kuudella eri värillä niin, että vastakkaiset sivut ovat eri väriset? (30)

7. Kuinka monta tapaa on värittää kuutio kolmella värillä niin, että sen vierekkäiset sivut ovat eri väriset? (1)

8. Kuinka moneen osaan kuution sivujen määräämät tasot jakavat avaruuden? (27)

9. Montako parillista ja montako paritonta nelinumeroista lukua voidaan muodostaa

a) numeroista 0, 1, 4 ja 5? (96 parillista ja 96 paritonta)

b) numeroista 0, 1, 4 ja 5, jos kussakin luvussa saa olla vain yksi näistä luvuista kerrallaan? (10 parillista ja 8 paritonta)

10. Kuinka moneen osaan voivat kaksi pallopintaa ja taso jakaa avaruuden enimmillään? (8)

Kombinatorisia ongelmia suurilla luvuilla

1. Lotossa valitaan 5 lukua 90:stä (1-90). Kuinka monta kuponkia tulisi täyttää, jotta saataisiin varma täysosuma?

2. Kymmenen opiskelijaa sopii ravintolan omistajan kanssa, että he istuvat eri järjestyksessä joka ilta tässä ravintolassa ja kun kaikki yhdistelmät ovat käyty läpi, he maksavat kaikista edellisistä kerroista. Kuinka kauan kestää ennen kuin heidän on maksettava?

(Oppilaat pitävät tämän tyyppisistä tehtävistä. Heille voi antaa lisäkysymyksiä, kuten: miten kauan tämä kestää viidellä oppilaalla?)

3. Voimme veikata 14 jalkapallo-ottelun lopputulosta vaihtoehtoina 1, X ja 2. Kuinka monta tapaa on täyttää veikkauskuponki?

4. Kuinka monta positiivista kokonaislukujakajaa on luvulla $2^5$ $5^3$ $11^4$ $29^2$?

5. Kuinka monta tapaa on lukea sana MATHEMATICS seuraavasta kuviosta? (Vastaus: $\binom{10}{3}$ = 120).

Todennäköisyys ja tilastot: miten aloittaa aiheen opettaminen?

4. luokalla voidaan käsitellä esimerkiksi seuraavanlaisia kysymyksiä ja aiheita:

• Ympyrädiagrammin lukeminen, osien kirjoittaminen murtolukuina ja lukumäärien laskeminen, kun kokonaislukumäärä on tiedossa.
• Pylväsdiagrammin lukeminen likiarvoina, arvojen taulukointi ja keskinäinen vertailu (mikä on suurin, kuinka paljon pienempi kuin, jne.).
• Mediaani käsitteenä yksinkertaisine pylväsdiagrammi- tai muine esityksineen.
• Piktogrammi, jossa symboli edustaa esim. 150 yksikköä. Tätä esitystapaa käytetään usein esim. sanomalehdissä ja oppilaat tunnistavat sen.
• Kyyhkyslakkaongelman erilaiset muunnelmat. Esimerkiksi 5 mustaa, 10 punaista ja 5 valkoista kuulaa on pussissa. Kunka monta kuulaa täytyy poimia, jotta saadaan varmasti vähintäin yksi kutakin väriä?
• Kombinatoriikan perusteet: Oppilaat suorittavat erilaisia toistokokeita. Ennen koetta oppilaat kirjaavat omat ennusteensa tuloksesta. Koetulokset taulukoidaan ja esitetään murtolukuina, prosentteina tai ympyrädiagrammina.
  • Heitetään kahta lanttia, mahdolliset tulokset: kruuna ja kruuna, kruuna ja klaava, klaava ja kruuna tai klaava ja klaava. Toistoja voi olla yli 20 kpl.
  • Nopanheitossa tehtävänä on esimerkiksi: Heitetään 20 kertaa. Kuinka monta kertaa tuloksena on 2 tai 3? Vaihtoehtoina "alle 5", "ei alle 5", "ei yli 6", "yli 6" jne.
  • Otetaan kolmen värisiä kuulia, kutakin väriä 2 kpl. Poimitaan umpimähkään 2 kuulaa. Laaditaan ensin taulukko mahdollisista väriyhdistelmistä ja oppilaat ennakoivat kunkin yhdistelmän "todennäköisyyden". Koe toistetaan 15-20 kertaa, tulokset kirjataan ja niitä verrataan oppilaiden ennakkoarvioihin.
  Aihetta voidaan syventää pyytämällä oppilaita perustelemaan ennusteensa tai jopa muodostamaan todennäköisyyksien matemaattisia lausekkeita.