1. Matematiikan opettamisesta

Tri Tíbor Szalontai on unkarilainen matematiikan didaktikko. Hänen toimipaikkansa on Institute of Mathematics and Informatics, The College of Nyiregyháza. Szalontai on tehnyt jo useita vuosia yhteistyötä englantilaisen prof. David Burghesin ryhmän kanssa (Centre for Innovation in Mathematics Teaching (CIMT), University of Exeter, U.K.) ja sovittanut Englannissa tehtävää matematiikan opetuskokeilua varten Sandor Hajdun oppikirjojen pohjalta oppimateriaalit.

Szalontai kertoi suomalaisten ja unkarilaisten lasten menestyksestä matematiikan osaamistason kansainvälisissä vertailuissa. Vuoden 1991 IMAP kartoituksessa Unkari ja Sveitsi olivat parhaat osallistuneista Euroopan maista. Vuonna 1995 TIMSS-tutkimuksessa Unkari sijoittui sijalle 14, jota Szalontai ei pitänyt kovin hyvänä sijoituksena. Vuonna 1999 Unkari ylsi sijalle 9 ja Suomi sijalle 20. Uusimmassa Pisa-tutkimuksessa (mukana 31 maata) Suomi sijoittui ensimmäiseksi. Kyseistä tutkimusta on kuitenkin kritisoitu siitä, että se mittasi enemmän luetun ymmärtämistä ja lukutaitoa kuin matematiikan hallitsemista. Tämä kritiikki on sopusoinnussa sen kanssa, että suomalaiset ovat tutkimuksissa menestyneet parhaiten lukutaidossa.

Szalontai puhui myös eriyttämisestä koulujärjestelmässä. Eriyttää voidaan mm. antamalla erilaisia kotitehtäviä. Opettaja voi määrätä tehtävät, mutta Szalontai piti parempana, että oppilas voisi itse valita tehtävät. Tällöin opettajan taholta ei tule viestiä, että olet heikko. Mahdollisuus valita tehtävät tukee myös oppilaan itsetuntoa. Eriyttävässä käytännössä nopeille annetaan enemmän tehtäviä.

Szalontai kertoi, että unkarilaisessa koulujärjestelmässä 12-vuotiaiden tasoerot matematiikassa alkavat kasvaa. Unkarissa kaksi kolmasosaa jatkaa matematiikan opiskelua 18 ikävuoden jälkeenkin. Esimerkiksi Englannissa matematiikan opiskelu on mahdollista lopettaa jo 16-vuotiaana.

Tibor Szalontain mukaan opettamisessa interaktiivisuus on tärkeää. Opetuksessa käytetään ongelmanratkaisutehtäviä, joita voidaan ratkoa yksin, pienryhmissä tai yhdessä koko luokan kanssa. Viimeinen on vallitseva ja suositeltavin tapa.

Tibor Szalontai esitti kymmenen kohtaa, joiden mukaan tehokas oppitunti etenee.

1. Kysymyksen asettaminen ja tehtävän anto, jonka tulisi olla lyhyt ja selkeä. Opettajan on varmistettava, että kaikki ymmärtävät, mitä halutaan.
2. Luokassa kiertely, oppilaat työskentelevät itsenäisesti ja opettaja seuraa työskentelyä. Itsenäinen työ kehittää kirjallisia kykyjä ja lisää ongelmanratkaisutaitoja.
3. Itsenäisen työskentelyn lopettaminen.
4. Yhteiskeskustelu alkaa. Opettaja kehottaa joitain oppilaita selvittämään, miten he ratkaisivat tehtävän. Yhteiskeskustelu kehittää käsitteellistä ajattelua ja kommunikointia. Muiden ideat opitaan hyväksymään ja omat mielipiteet perustelemaan. Kuka on samaa mieltä, eri mieltä?
5. Kerätään ideat ja niiden perustelut. Miksi, miten? Opettaja ei vielä sano, mitkä ovat oikein tai väärin.
6. Opettaja lopettaa keskustelun ja kertoo mitkä vastaukset ovat oikein tai väärin ja miksi.
7. Palaute. Kuka osasi ratkaista oikein? (Tämä on parempi kysymys kuin "osasivatko kaikki ratkaista?", johon ei saada selkeää vastausta.)
8. Virheellisten tai puutteellisten vastausten korjaaminen koulun alaluokilta lähtien, oppilaat itse etsivät virheensä ja korjaavat ne. Yksityiskohtaiseen korjaamiseen ei kuitenkaan tunnilla ole aikaa, vaan se voidaan antaa ylimääräiseksi kotitehtäväksi.
9. Arvioiminen. Oppilaille annetaan tunnustusta hyvistä suorituksista ja ideoista sekä kannustusta.
10. Lopuksi opettaja voi esimerkiksi muuttaa vähän ongelmaa. Voidaan tarkastella erilaisia ratkaisuja, antaa historiallista taustaa ja kirjallisuusviitteitä. Ongelmaa voidaan yleistää ja etsiä analogisia ongelmia. Voidaan myös palata ongelmaan ja keskustella siitä, mistä ratkaisuidea tuli. Miten ajattelimme tehtävää ratkaistessamme?

    Tehokkaalla oppitunnilla ei haaskata minuuttiakaan, keskitytään vain matematiikkaan ja luokka yritetään pitää yhteistyössä. Yhteiskeskustelu auttaa heikkoja oppilaita. Noin 12-vuotiaaksi saakka selvitään eriyttämisellä (enemmän tehtäviä siihen pystyville, eritasoisia kotitehtäviä, esim. 3 eri tasoa, josta oppilaat saavat itse valita).

Luokan yhteisen toiminnan tavoitteet ja mahdollisuudet:

• kehittää kommunikaatiotaitoja
• kehittää taitoa argumentoida ja päästä yhteisymmärrykseen
• rakentaa matemaattisen tiedon struktuureja
• hyödyntää yksittäisen oppilaan virheitä ja väärinkäsityksiä koko luokan oppimisen tukemiseksi

Oppilaiden yksilöllisen työskentelyn tavoitteet ja mahdollisuudet:

• tutkiminen, ratkaisuideoiden hakeminen, suunnittelu ja kokeilu
• harjoittelu, suoritus ja itsekriittinen kehittyminen
• onnistumisen tunne, "heureka"-elämykset
• mallien ja apuvälineiden käyttö: palikat, kuvat, taulukot jne.
• opettaja toimii valmentajana, kannustaa oppilaita ja edellyttää jatkuvalla harjoittelulla parempia tuloksia.

Oppitunnin voi aloittaa opettajan johtamalla n. 10 minuutin päässälaskuharjoituksella, jossa käsitellään kertolaskua, jakolaskua, lukujonoja tms. Tunnin aikana oppilaille annetaan 5-8 tehtävää, esim. neljä yhtälöä ja neljä sanallista tehtävää. Tehtävät tulee antaa yksi kerrallaan ja kunkin tehtävän yhteydessä käydä keskustelua ja antaa palautetta. Näin edellisessä tehtävässä opittu tukee seuraavan tehtävän suoritusta. Jos oppilaat saavat kaikki tehtävät kerrallaan on mahdollista, että erityisesti heikoimmat oppilaat eivät jaksa keskittyä riittävän pitkään (20...30 minuuttia). Antamalla tehtävät yksi kerrallaan opettaja pystyy myös paremmin pitämään luokkaa koossa ja hallinnassa. Oppilaat saavat tunteen, että opettaja on kiinnostunut heistä yksilöinä.

Esimerkki uuden asian käsittelystä, yhtälön ratkaiseminen:

• Yhtälö esim. 2(x - 2) - 3(2x + 9) = 9 tai (2x - 3)/2 + 1 2
• Mikä on ensimmäinen askel yhtälön ratkaisemiseksi? Ei siis vielä pyydetä ratkaisua, vain ensimmäistä toimenpidettä.
• Keskustelua voidaan käydä opettajan johdolla tai oppilaiden välillä ryhmissä. Myös yksilöllinen työskentely on mahdollista.
• Ensimmäisen askeleen jälkeen yhtälön muoto on jo tuttu:
  2x - 4 - 6x -27 = 9 tai 2x - 3 + 2 4
• Oppilaiden mahdolliset virheet oikaistaan ja keskustellaan niistä rakentavasti.
• Vuorovaikutuksessa luokan kanssa opettajan tulee pyrkiä interaktiiviseen kyselytekniikkaan. Kukin kysymys koskettaa vain rajoitettua aihetta. Kysymykset asetetaan niin, että parhaiden lisäksi mahdollisimmman moni oppilas voisi vastata niihin. Opettaja kysyy myös muilta oppilailta, yhtyvätkö he vastaukseen.

1. Assosiatiivinen oppiminen / opettaminen (Comenius)
• askel askeleelta vaikeampaa
• konkreetisesta abstraktiin
• läheltä kaus
• helposta vaikeaan
• visuaalisesta abstraktiin
• kokeellisesti eteneminen
  (Nämä kohdat sopivat kaikkeen opetukseen.)
2. Ärsyke - reaktio
• ohjelmoitu opettaminen
• pienet askeleet
• palautteen antaminen välittömästi
3. Apuvälineitä käyttävä opetus (Piaget, Inhelder)
• Ensin lapset oppivat apuvälineiden (esim. loogiset palat, värisauvat) avulla. Tämän jälkeen apuvälineitä ei käytetä, mutta ne ovat kuitenkin ajatuksissa tehtäviä tehdessä. Viimeisessä vaiheessa ei tarvita edes visuaalista mielikuvaa apuvälineistä.

1. Jotkut opettajat seuraavat historiallista matematiikan kehitystä. Tällöin esim. luku 0 opitaan luonnollisten lukujen 1,2,... jälkeen.
2. Opettaja yrittää tehdä käsitteet ymmärrettäviksi oppilaiden ikäryhmälle yksinkertaistamalla asiaa.
3. Strukturaalis-formaalinen lähestymistapa. Uudessa matematiikassa haluttiin opettaa abstraktia algebraa jo varhaisessa vaiheessa.
4. Ongelmalähtöinen lähestymistapa (Pólya, Freudenthal). Oppilaalle yritetään saada "heureka"-kokemus mahdollisimman usein. Käytetään "ohjattua uudelleen keksimistä", ei jätetä asian selviämistä sattuman varaan.
5. Yksilökeskeinen opetustapa; kukin työskentelee omien töidensä parissa eikä opetuksessa ole selkeää järjestelmää.
6. Tietokonesuuntautunut lähestymistapa.
7. Sovellussuuntautunut lähestymistapa. Käytetään projekteja ja pienryhmätyöskentelyä.

Unkarilaisessa opetuksessa käytetään kaikkia lähestymistapoja. Jokainen lähestymistapa on tärkeä ja hyvä yhdistettynä muihin, ei ainoana lähestymistapana.

Ks. myös Szalontai-Näätänen: Joitakin ajatuksia matematiikan opetuksesta (Solmu 3/2002)

Huomioita unkarilaista matematiikan oppikirjoista:

• Kirjoissa on runsaasti eri tyyppisiä tehtäviä, myös kirjallisia sekä kuviin tai taulukoihin liittyviä.
• Tehtäviin on usein liitetty havainnollistava piirros tai kuva.
• Pelkkiä numerolaskuja on vähän, niiden sijasta on paljon ongelmanratkaisu- ja päättelytehtäviä.
• Jo 4. vuoden sisällöt ovat huomattavasti vaativampia ja käsittelevät laajemmin eri matematiikan aloja kuin meillä.
• Geometriassa käsitellään pinta-alat, tilavuudet, koordinaatisto ja kulmat.
• Tehtävien tärkeimmät ominaisuudet ovat monipuolisuus ja mahdollisuus erilaisiin variaatioihin.
• Esimerkki hauskasta tehtävästä on numeroristikko (kuin sanaristikko mutta numeroin).