Matematiikkalehti Solmun etusivu

12. Tehtäviä

Laske

1. $ \left(\sqrt{84}-3\sqrt{\frac{7}{3}}-\sqrt8\right)\cdot \left(\sqrt{21}+4\sqrt{\frac{1}{2}}\right)$

2. $ \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1+\sqrt{2}}$

3. $ \sqrt{7+2\sqrt{6}}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}$

4. $ \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

5. $ \sqrt[5]{\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{a}}}}$, $ a>0$, $ b\ge 0$

6. $ \left(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{81}+2\sqrt[3]{135}-2\sqrt[3]{40}\right) \left(10\s... ...}+5\sqrt[3]{9}-2\sqrt[3]{15}-4\sqrt[3]{120}+ 2\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{200}\right)$

7. $ \log_c \sqrt{\dfrac{c}{d}\sqrt[3]{\dfrac{d}{c} \sqrt[4]{\dfrac{d^8}{c^5}}}}$, $ q\neq 0$, $ c>0$, $ c\neq 1$

8. $ \sqrt{7}\left(23^{\log_{529}7}+2^{1+\log_4 7}\right)$

Ratkaise

1. $ 9^{x-2}-3^{2x-5}-6=0$

2. $ 9^{x+\frac{1}{2}}+26\cdot 3^{x-1}-1=0$

3. $ \left(\dfrac{5}{12}\right)^x\cdot\left(\dfrac{6}{5}\right)^{x-1} =(0{,}3)^{-1}$

4. $ 2\lg 0{,}2+\lg(5^{\sqrt{x}}+1)=\lg(5^{1-\sqrt{x}}+5)$

5. $ 5^{2x}-7^x-35\cdot 5^{2x}+35\cdot 7^x=0$

6. $ 26\cdot 5^{\sqrt{x+1}}-5^{2\sqrt{x+1}+1}=5$

7. $ \log_3(\log_2^2 x+3\log_2 x+5)=2$

8. $ \dfrac{1}{8}\sqrt{2^{x-1}}=4^{-1{,}25}$

9. $ \dfrac{1}{2}(x^2-3x)-\lg\sqrt{3-x}=0$

10. $ \log_x(x^3+3x^2-27)=3$

11. $ \log_8\left(4-2\log_6(5-x)\right)=\dfrac{1}{3}$

12. $ \log_a x+2\log_{a^2}x+\log_{a^3}x=7$, $ a>0$, $ a\neq 1$

13. $ (\log_3 x)(\log_9 x)(\log_{27}x)=\dfrac{4}{3}$

14. $ \log_2(3+2^x)+\log_2(5-2^x)=4$

15. $ 5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2$

16. $ x^{6\log_{64}x-1}-6\log_5 125=46$

17. $ x^{\log_2 x+1}=64$

18.

\begin{displaymath} \begin{cases} x^{\log_3 x}\cdot y^{\log_3 y}=243\\ x^{\log_3 y}\cdot y^{\log_3 x}=81 \end{cases}\end{displaymath}

19.

\begin{displaymath} \begin{cases} x^2=y^5\\ \lg\frac{x}{y}=\dfrac{\lg x}{\lg y} \end{cases}\end{displaymath}

20. $ 1<\dfrac{2x^2-7x-29}{x^2-2x}-15<2$

21. $ 4^x<2^{x+1}+3$

22.

\begin{displaymath} \begin{cases} \vert x+4\vert<9\\ \dfrac{5x-2}{x+6}>1 \end{cases}\end{displaymath}

23. $ \sqrt{x-2}+x>4$

24. $ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2)>0$

Laske

1. $ \log_a\left(\left(\dfrac{a+2}{a-1}+\dfrac{a-2}{a+1}\right): \dfrac{2(a^2+2)}{a(a^2-1)}\right)$, $ a>0$, $ a\neq 1$

2. $ x=\sqrt{\dfrac{\sqrt[3]{582}\cdot\sqrt{0{,}02}}{\sqrt[5]{32{,}4^2}}}=$

3. $ \dfrac{6x-37}{2(x-8)}-\dfrac{2(5x-39)}{3(x-8)}=\dfrac{7}{8}$

4. $ \lg\sin 30^\circ\cdot\lg\sin 60^\circ\cdot\lg\tan 45^\circ=$

5. $ \lg 4+\lg\sin 30^\circ + \lg\tan 30^\circ + \lg\sin 60^\circ=$

6. $ \dfrac{x+6}{x-5}+\dfrac{x-5}{x+6}=\dfrac{2x+23x+61}{x^2+x-30}$

7. $ 1+\frac{1}{2}\log_5 175+\log_5 15 +\log_5\sqrt{28}-\log_5 42=$

8. $ \log_b y=3(\log_b c-\log_{b^2}d)$, $ b>0$, $ b\neq 1$, $ c>0$, $ d>0$

9. $ 2=\dfrac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{a}}- \dfrac{\frac{1}{2a}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{2a}}$, $ x=?$, $ a\in\mathbf{N}$ parametri

10.

\begin{displaymath} \begin{cases} \dfrac{x+2y}{4}-\left(x-\dfrac{y}{3}\right)=1+y\\ \dfrac{y+3}{6}+\dfrac{2-x}{2}=3 \end{cases}\end{displaymath}

11.

\begin{displaymath} \begin{cases} x^2+y^2+x+y=14\\ xy=3 \end{cases}\end{displaymath}

12.

\begin{displaymath} \begin{cases} ax+y=a\\ a^2x-y=a^2+1 \end{cases}\end{displaymath}

13.

\begin{displaymath} \begin{cases} \dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=2\\ \dfrac{3}{x+y}+\dfrac{4}{x-y}=7 \end{cases}\end{displaymath}

14. $ \dfrac{x}{x-3}=\dfrac{3}{x-3}$

15. $ \vert x+1\vert+\vert x-2\vert-\vert x+3\vert=0$

16. $ \dfrac{1}{3x^2+3x}+\dfrac{b}{x^2-2x}+\dfrac{x}{x^2-x-2}=0$. Onko olemassa $ b$:tä, jolle yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua?

17. $ x^2+(2p+1)x+\frac{3}{2}p^2-2p-4=0$. Millä $ p$:n arvolla juurten neliöiden summa on mahdollisimman pieni?

18. $ \sqrt{x-7}+\sqrt{3-x}=2$

19. $ \sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-5}$

Trigonometrian tehtäviä

1. Todista: Jos kolmiossa on $ \tan(2\alpha+3\beta)=\cot 2\gamma$, niin kolmio on suorakulmainen.

2. Todista, että kaikille kolmioille on $ \dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2}$.

3. Todista, ettei ole reaalilukua, jolle $ \sin 6x\cdot\cos 6x+1=0$.

4. Todista: $ \cos^2 x \sin^4 x + \cos^4 x \sin^2 x\le\frac{1}{4}$.

5. $ \sin^2(\frac{\pi x}{3}-\frac{\pi}{4})\ge\frac{1}{4}$

6. $ 2\cos x\le \sin 2x$

7. $ 3^{\cos^2 x}\le \dfrac{x}{3^{\sin^2 x}}$

8. $ \dfrac{\tan^2 x+1}{4}\le1-\frac{1}{2}\tan^2 x$

9. $ \cos x+\sin x\ge\sqrt{2}$

10. $ \cos^4 x\le 4-3\cos^2 x$

11. $ \tan x>\sin x$

12. $ 2^{\cos^2 x}=\sin x$

13. $ 1+\sin x\ge \sin 2x+2\cos x$

14. $ \sin x\cos x=\sin 35^\circ$

15. $ \sin(\pi x-\frac{\pi}{3})=\cos\pi x$

16. $ \sqrt{\sin^2 x-1}=\tan x$

17. $ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=\cos^2 x$

18. $ \tan x\cot x=\sin x\cos x$

19. $ \lg\sin 2x=10^{\lg\lg\cos 2x}$

20. $ \sqrt{\lg(\cos^2 x-\sin^2 x)-2\lg\cos x}=\sin x-1$

21.

\begin{displaymath} \begin{cases} 3^{\cos 2x+\cos 2y}=1\\ 4^{\cos 2x\cos 2y}=2 \end{cases}\end{displaymath}

22.

\begin{displaymath} \begin{cases} \lg\sin x+\lg\cos y=-\lg 2\\ \tan x\cot y=1 \end{cases}\end{displaymath}

23.

\begin{displaymath} \begin{cases} x+y=\pi\\ \sin x+\sin y=0 \end{cases}\end{displaymath}

24.

\begin{displaymath} \begin{cases} \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=0\\ \sin x=\sin y \end{cases}\end{displaymath}

Analyyttisen geometrian tehtäviä

1. Origosta pisteisiin $ A$, $ B$ ja $ C$ suuntautuvat vektorit ovat $ \mathbf{a}(2;-3)$, $ \mathbf{b}(7;4)$ ja $ \mathbf{c}(17;18)$. Osoita, että pisteet sijaitsevat samalla suoralla.

2. Osoita, että niiden vektoreiden summa, jotka suuntautuvat kolmion painopisteestä kolmion kärkiin, on nollavektori.

3. Olkoot pisteiden $ A$, $ B$ ja $ C$ paikkavektorit $ \mathbf{a}$, $ \mathbf{b}$ ja $ \mathbf{c}$ ja muuttuvan pisteen $ X$ paikkavektori $ \mathbf{x}$. Mikä pistejoukko toteuttaa ehdon $ (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{x})=0$?

4. Kolmion kärkipisteet ovat $ (2;1)$, $ (4;-3)$ ja $ (5;0)$. Määritä kolmion kulmat (kulmien suuruudet).

5. Vektorit $ \mathbf{a}(3;-4)$ ja $ \mathbf{b}(1;y)$ kohtaavat 60 asteen kulmassa. Määritä $ y$:n arvo.

6. Laske origon etäisyys suorasta $ 3x+2y=13$.

7. Nelikulmion kärkipisteet ovat $ (-6;4)$, $ (4;2)$, $ (3;-3)$ ja $ (-6;0)$. Osoita, että nelikulmion sivujen keskipisteitä yhdistävä nelikumio on suunnikas.

8. Suora kulkee pisteen $ (-4;3)$ kautta ja muodostaa koordinaattiakselien kanssa pinta-alaltaan 25 yksikön suuruisen kolmion. Kirjoita suoran yhtälö.

9. Määritä lausekkeen $ 2x+3y$ suurin arvo, kun $ x$ ja $ y$ täyttävät ehdot:

$ x\ge 0,\ y\ge 0,\quad x+2y\le 10,\quad x+y\le 6,\quad x-4\le 0.$

10. Ympyrä on samankeskinen ympyrän $ 4x^2+4y^2-28x+44y-86=0$ kanssa ja sen säde on puolet annetun ympyrän säteestä. Määritä ympyrän lauseke.

11. Mikä ympyrän $ (x-1)^2+(y+1)^2=9$ piste on yhtä kaukana pisteistä $ (-4;3)$ ja $ (2;-9)$?

12. Mikä paraabelin $ y=(x-3)^2-2$ piste on lähinnä suoraa $ y=\frac{2}{3}x-6$? Kuinka pitkä tämä etäisyys on?

13. Kuinka monta yhteistä pistettä on ellipsillä $ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ ja suoralla $ y=\frac{3\sqrt{3}}{2}x$?

14. $ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Seuraavaksi päiväksi tri Szalontain luentokurssin opiskelijoiden tuli valmistella ryhmätyönä harjoiteltavaa interaktiivista oppituntia luokkatasolle 8 tai 9 aiheena yhtälön ratkaiseminen. Kolmen opiskelijan ryhmässä jokaisen tuli käsitellä vuorollaan yhtä seuraavista yhtälöistä:

$ 2(x-2)-3(2x+9)=9$

$ x-(\frac{x}{2})-(\frac{x}{4})+(\frac{x}{8})=0$

$ \frac{2x-3}{2}+1\ge 2$

Muut ryhmän jäsenet toimivat oppilaina. Opetustilanteen rakenteen tuli noudattaa luentosarjan alussa esitettyä mallia:

- Tehtävän asettelu (tässä tapauksessa ratkaistavan yhtälön antaminen).

- Oppilaiden yksilöllinen työskentely n. 5 min.

- Työskentelyn lopettaminen ja keskustelu oppilaiden tuloksista tai ongelmista. Opettaja ei vielä esitä oikeaa ratkaisua eikä omaa mielipidettä.

- Keskustelu päättyy yksimielisyyteen oikeasta ratkaisusta.

- Oppilaat tarkastavat oman tuloksensa ja korjaavat omat virheensä. Keskustellaan oppilaiden virheistä.

- Opettaja arvioi suorituksia kannustavassa hengessä.