10. Funktiot, jonot ja sarjat

Esimerkkejä 8. luokalla annettavista tehtävistä:

• Annetaan valikoima lineaarisia funktioita muodossa $y=ax+b$ ja niitä vastaavia kuvaajia. Oppilaiden tulee päätellä, mitkä funktiot ja kuvaajat kuuluvat yhteen, esimerkiksi sijoittamalla muutamien kuvaajan pisteiden koordinaattiarvot funktioon. Montako pistettä tarvitaan?
• Oppilaille esitetään perusparaabelin $y=x^2$ lauseke ja kuvaaja. Opettajajohtoisena luokkakeskusteluna tai ryhmätyönä tutkitaan esimerkiksi funktioiden $y=x^2+3$ ja $y=x^2-2$ kuvaajia.
• Tutkitaan tyyppiä $y=(x-2)^2$ ja $y=(x+1)^2$ olevien funktioiden kuvaajia ja keskustellaan taustalla olevasta säännöstä.
• Tutkitaan funktioita, jotka ovat tyyppiä $y=(x-1)^2-2$ ja keskustellaan termien vaikutuksesta kuvaajan asemaan.

Noin 15-vuotiaiden oppilaiden edellytetään ymmärtävän ja pystyvän lukemaan yllä esitettyjen funktioiden muodon vaikutusta kuvaajaan ilman pisteittäistä piirtämistä. Tällä luokalla myös neliöön täydentäminen ja neliötermin kertoimen vaikutusta selvitetään ja edellytetään oppilaiden oppivan ne.

Esimerkkejä tehtävistä 15-vuotiaille oppilaille

Minkä lineaarisen funktion kuvaaja tämä on?

Vastaus: .

$f(x)=2x^2-4x+0{,}5=2(x^2-2x+1)-2+0{,}5=2(x-1)^2-1{,}5$,   missä termi $(x-1)$ siirtää huipun yksikön verran oikealle, termi $­1,5$ siirtää huipun puolitoista yksikköä alas ja kerroin 2 pienentää paraabelin leveyttä perusparaabeliin verrattuna, .

Suorien ja paraabelien lisäksi Unkarissa tutustutaan monien muidenkin funktioiden kuvaajiin, esim $\vert x\vert$, $\sqrt{x}$ ja $\frac{1}{x}$.

Esimerkkejä funktioiden kuvaajista ja määrittelyjoukoista

Mikä on funktion määrittelyjoukko? Piirrä funktion kuvaaja.

1. $x\mapsto \sqrt{(2x-3)^2} + 2x-3=\vert 2x-3\vert+(2x-3)$

$x\ge\frac{2}{3} : f(x)=4x-6$

$x<\frac{2}{3} : f(x)=0$

2. Piirrä funktion $x\mapsto \frac{(x-3)2^x}{x-3}$ kuvaaja.

Ratkaisu. Määrittelyjoukko on $\textbf{R}\setminus\{3\}$. Kuvaaja $y=2^x$, poistettuna piste $x=3$.

3. $x \mapsto \sqrt{3-x}+\sqrt{x-3}$

Ratkaisu. Funktion on määritelty vain arvolla $x=3$ ja kuvaaja on piste $(3,0)$.

4. $f(x)=\sqrt{\tan x+\cot x}$

Ratkaisu. $\tan x+\cot x \ge 0  \Leftrightarrow  \tan x+\frac{1}{\tan x} \ge 0$. Tämä ehto on voimassa kaikille $x$:n arvoille, joille $\tan x > 0$, sillä ehto $a+\frac{1}{a}>0$ on voimassa kaikille arvoille $a > 0$. Funktio on siis määritelty kaikille $x$:n arvoille, joille $\tan x$ on määritelty ja $>0$, siis $k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k=0,1,\ldots$.

5. Mikä on funktion $x \mapsto \sqrt{\log_2\sin x}$ määrittelyjoukko?

Ratkaisu. $\log_2\sin x \ge 0$ (logaritmifunktio on kasvava) $\Leftrightarrow \sin x \ge 1$, mutta $\vert\sin x\vert \le 1$, joten $\sin x=1\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2n \cdot \pi$, mikä on myös määrittelyjoukko.

6. $x\mapsto \vert x+2\vert+\vert x-1\vert$

7. $x\mapsto \lg(3^x-9)$

8. $x\mapsto \sqrt{3^x-9}$

9. $x\mapsto \frac{\sqrt{16-x^2}}{\lg \sin x}$

10. $x\mapsto \sqrt{\lg\sin x}$

11. $x\mapsto \sqrt{1+\sin x}$

12. $x\mapsto \sin 5x -\lg\sin 5x$

13. $x\mapsto \cos\frac{x}{2}-\tan x$

14. $x\mapsto \sin 2x+\cos^2 x$

15. $x\mapsto \sin\left(\frac{2}{3}x-\pi\right) +\cos\left(\frac{2}{5}x+\pi\right)$

16. $x\mapsto \lg\sin\frac{2x}{3}$

17. $x\mapsto \lg\tan\frac{\pi x}{3}$

18. $x\mapsto \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5}{6}x\right)+2$

19. $x\mapsto \frac{\sin 2x}{2\cos x}$

20. $x\mapsto 2^{\sin^2 x}$

21. $x\mapsto \frac{1}{\log_a\frac{1}{\log_a x}}$

22. $x\mapsto \sqrt{\lg\vert 2\cos x\vert}$

23. $x\mapsto \log_2\sin\sin x$

24. $x\mapsto \log_a\log_{\frac{1}{a}}x$

25. $x\mapsto \frac{10^{\lg\sin x}}{\sin x}$

26. $x\mapsto \sqrt{\frac{\cot^2 x-1}{\cos 2x}\sqrt{1-\cos^2 x}}$

Esimerkkejä trigonometristen funktioiden käsittelystä

• Yksikköympyrän pisteen $y$-koordinaatti on kulman sini ja $x$-koordinaatti sen kosini.
• Kaavat $\sin(a\pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$ ja $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$ johdetaan näin:

  Kulmaa $a$ vastaa yksikkövektori $e$ ja kulmaa $(a+b)$ yksikkövektori $f$. Muodostetaan yksikkövektori $e'$ kohtisuoraan $e$:tä vastaan.

  

  Nyt
  $e'=(-\sin a) i +(\cos a) j$
  $e = (\cos a) i +(\sin a) j$
  $f = (\cos b) e + (\sin b) e'$

  Sijoittamalla saadaan yllä mainitut summa- ja erotuskaavat.

Esimerkkejä lukujonoista

1. Jatka jonoa eri tavoin ja kirjoita yleinen termi. $1, 2, 4,...$

Eräs ratkaisu on $1,2,4,8,16,...,2^{n-1},...$

Vastaava funktio on $f(x)=2^{x-1}=(\frac{1}{2})2^x$, missä $x$ on kokonaisluku. Kuvaaja koostuu yksittäisistä pisteistä. Kuvaajasta muodostuu käyrä, jos määrittelyjoukoksi valitaan reaalilukujen joukko.

2. Toinen ratkaisu on $1,2,4,7,11,...$. Yleinen termi $a_n=An^2+Bn+C$ (vrt. aritmeettinen sarja) saadaan yhtälöryhmästä
$1=A+B+C$
$2=4A+2B+C$
$4=9A+3B+C$,
jolla on ratkaisu $A=\frac{1}{2}$,   $B=-\frac{1}{2}$ ja $C=1$, siis
$a_n=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+1$

3. $12{,}4,\ 9{,}8,\ 7{,}2,\ 4{,}6,...$. $a_n=12{,}4+(n-1)\cdot(-2{,}6)=-2{,}6n+15\ (n=1,2,3,...)$.

Vastaava funktio on lineaarinen $f(x)=-2{,}6x+15$ ($x$ kokonaisluku). Aritmeettiset lukujonot vastaavat lineaarisia funktioita, joissa muuttuja on diskreetti kokonaisluku.

Laske summan $S_{20}$ arvo edelliselle lukujonolle.

$S_{20}=12{,}4+9{,}8+7{,}2+...+(-37)$

$S_{20}=-37-34{,}4-31{,}8+...+12{,}4$

Yhteenlaskulla saadaan

$2S_{20}=-24{,}6+(-24{,}6)+(-24{,}6)+\ldots+(-24{,}6)=20\cdot(-24{,}6)=-492$

$S_{20}=\frac{-492}{2}=-246$

4. Laske jonon $2,6,18,54,...,a_n=2\cdot 3^{n-1}$ kahdenkymmenen ensimmäisen termin summa $S_{20}$.

$S_{20}=2+6+18+54+...+2\cdot 3^{17}+2\cdot 3^{18}+2\cdot 3^{19}$

$3\cdot S_{20}=6+18+54+...+2\cdot 3^{17}+2\cdot 3^{18}+2\cdot 3^{19} +2\cdot 3^{20}$

Vähennyslaskulla saadaan

$2\cdot S_{20}=2\cdot 3^{20}-2$

$S_{20}=3^{20}-1=3\,486\,784\,400$

5. Suppenevan geometrisen sarjan summan voi laskea näin:

$S=4+\frac{8}{3}+\frac{16}{9}+\frac{32}{27}+\frac{64}{81}+... \qquad a_1=4,\ q=\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}\cdot S=\frac{8}{3}+\frac{16}{9}+\frac{32}{27}+\frac{64}{81}+...$

Vähennetään puolittain ja saadaan

$\frac{1}{3}\cdot S=4$

$S=12=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}$

Aritmeettisia ja geometrisia jonoja

1. Aritmeettisen jonon kolmen ensimmäisen termin summa on 30 pienempi kuin seuraavien kolmen termin summa. Ensimmäisten kuudentoista summa on 60. Mikä tämä jono on?

2. Geometrisen jonon neljän ensimmäisen termin summa on 15 ja toisen, kolmannen, neljännen ja viidennen termin summa on 30. Mikä tämä jono on?

3. Jos lisäämme aritmeettisen jonon neljään ensimmäiseen termiin 5, 6, 9 ja 15 (tässä järjestyksessä), niin saamme geometrisen jonon. Mikä on tämän geometrisen jonon suhdeluku?

4. Geometrisen jonon ensimmäisen ja kolmannen termin summa on 25 ja toisen ja neljännen termin summa on 50. Mikä tämä jono on?

5. Ratkaise yhtälö $x^2+x^3+x^4+...=\sin^2 45^\circ$, $x\in\textbf{R}$.

6. Kymmenen vuoden ajan talletamme tilille 4000 euroa jokaisen vuoden alussa. Tämän jälkeen 10 vuoden kuluttua nostamme joka vuosi tililtä 4000 euroa kymmenen vuoden ajan. Kuinka paljon tilillä on rahaa 20 vuoden kuluttua, kun talletuskorko on 5 %?