Timo Tossavainen
Lehtori
Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto
Varsin usein matemaattisen ongelman ratkaisun löytyminen on kiinni siitä, kykenemmekö mielemme silmin näkemään ongelmaan liittyvät käsitteet ja näiden väliset suhteet jonkinlaisena kuvana. Käytännössä pyrimme siis luomaan mielikuvituksemme avulla geometrisen mallin ongelmasta ja katselemalla tätä mallia yritämme löytää ratkaisun. Tällöin on ensisijaisen tärkeää kiinnittää huomiota siihen, miksi ja millä tavalla mallimme vastaa käsitteitä ja ennen kaikkea, voidaanko samoista käsitteistä laatia useita erinäköisiä malleja.
Jos meitä pyydetään ajattelemaan ympyrää tai piirtämään siitä paperille kuva, tuskinpa monellekaan tulee mieleen muuta kuin sellainen pyöreämuotoinen suljettu viiva, joka voidaan ainakin periaatteessa piirtää siten, että ensin kiinnitetään narunpätkän toiseen päähän kynä, pidetään narun toista päätä paikoillaan ja sitten pyöräytetään kireänä pidettyä narua kiinnitetyn pään ympäri. Tällaisessa tempussa oleellista on, että liikkuva kynänterä pysyy vakioetäisyyden päässä kiinnitetystä pisteestä eli piirtyvän ympyrän keskipisteestä.
Edellä kuvatussa tempussa narun rooli on toimia jonkinlaisena
etäisyyden säätimenä, ja jos etäisyys todella pysyy vakiona pyöräytyksen ajan,
syntyy kuvio, joka vastaa sitä, mitä sanalla ympyrä matematiikassa
yleensä tarkoitetaan:
-keskinen ja
-säteinen ympyrä on tason niiden pisteiden ura, joiden
etäisyys pisteestä
on tasan
.
Tämä määritelmä tuntuu hyvin selkeältä ja yksikäsitteiseltä, mutta tarkka lukija voi huomata, että ainakin kahden asian kohdalla voidaan hieman spekuloida. Ensinnäkin, millainen pinta kelpaa piirtämistasoksi? Jos piirrämme narun ja kynän avulla ympyrän reikäiselle taivutetulle paperille tai vaikkapa puhalletun Mikki Hiiri -ilmapallon pinnalle, kuva ympyrästä voi olla erilainen kuin taivuttamattomalle ehjälle paperille piirretty kuva. Me emme kuitenkaan puutu tässä esityksessä kysymykseen piirtämistasosta, vaan ajattelemme tason olevan ehjän ja taivuttamattoman (hyvin ison) paperin kaltainen. Sen sijaan mietimme tarkemmin sitä, mitä pisteiden välisen etäisyyden mittaamisella oikein tarkoitetaan.
Pythagoraan lauseeseen perustuva laskukaava
Ennen kuin etsimme oikean laskukaavan ruutukaavatason
pisteiden välisen etäisyyden laskemiseksi, on meidän parasta ensin
pohtia mitä kunnolliselta etäisyyden mittaamiselta yleensä
voi ja kannattaa vaatia. Eräs tällainen
vaatimus on se, että käytetäänpä etäisyyden mittaamiseen mitä
tahansa mittaria, matka mistään pisteestä itseensä ei saa
olla muuta kuin nolla. Toisaalta on luontevaa
odottaa, että kahden pisteen välinen etäisyys on aina positiivinen luku.
Lisäksi kannattaa vaatia, että pisteiden välinen etäisyys
on riippumaton siitä, mitataanko matka
pisteestä pisteeseen
vai päinvastoin.
Tietenkin myös se on toivottavaa, että tutkittavana olevan
avaruuden jokaisen pisteparin välinen etäisyys saadaan yksikäsitteisellä
tavalla mitatuksi.
Oikeastaan jokainen etäisyysmittari, joka toteuttaa edellä kuvatut vaatimukset, on käyttökelpoinen ainakin matematiikan maailmassa, mutta reaalimaailman kokemustemme pohjalta olemme kiinnostuneita erityisesti sellaisista etäisyysmittareista, jotka lisäksi toimivat siten, etteivät ne koskaan anna kahden pisteen väliseksi etäisyydeksi suoraan mitattuna suurempaa lukua kuin mutkan eli minkä tahansa kolmannen pisteen kautta mitattuna. Kutsumme tässä esityksessä tällaista etäisyysmittaria kunnolliseksi.
Voimme ilmaista myös matematiikan kielellä millainen objekti
tason (tai yleisemmin avaruuden) kunnollinen
etäisyysmittari on.
Tason pisteparien joukolta positiivisille
reaaliluvuille määritelty funktio on kunnollinen tason
etäisyysmittari, jos sillä on seuraavat ominaisuudet:
On helpohko laskutehtävä osoittaa, että kohdan (1) luonnollisen etäisyyden
laskukaava toteuttaa metriikan vaatimukset. Mutta on olemassa myös
muita funktioita, jotka toteuttavat samat vaatimukset.
Esimerkiksi kaavan
Jos katsomme tarkemmin kohdan (2) kaavaa, huomaamme, että ilmoittaa
tason pisteiden välisen matkan pitkin koordinaattiakseleiden suuntaisia
suoria. Tämä vastaa hyvin liikkumista ruutukaava-alueella, joten
on luonnollinen etäisyysmittari ainakin Manhattanilla asuville.
Itse asiassa tasoa varustettuna metriikalla
sanotaankin usein
taksiautotasoksi.
Taksiautotasolla on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia, jotka erottavat
sen tavallisesta koulugeometrian tasosta. Huomaamme, että jos pisteillä
ja
molemmat koordinaatit eroavat toisistaan, lyhin reitti näiden
kahden pisteen välillä ei olekaan enää yksikäsitteisellä tavalla
määräytyvä. Seuraavaan kuvaan on piirretty kaksi mahdollista yhtä pitkää
(lyhintä) reittiä
ja
taksiautotason pisteiden
ja
välille.
Millaisia ovat ympyrät taksiautotasossa? Koska pisteiden välinen etäisyys
mitataan pitkin koordinaattiakseleiden suuntaisia suoria, saadaan
origokeskisen -säteisen ympyrän kuvaksi salmiakkiruutu, jonka
kärjet ovat pisteissä
ja
.
On siis mahdollista laatia kunnollisen etäisyysmittarin avulla myös
sellaisia malleja, joissa ympyrät ovat kulmikkaita.
Nokkela lukija keksii pian kuinka metriikkaa pitää muokata,
jotta hän saisi toisen metriikan, jonka määräämät ympyrät
näyttävät neliöiltä, joiden sivut ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset.
Tasoon voidaan määritellä myös epäjatkuva metriikka.
Esimerkiksi tason pisteparien joukossa määritelty kuvaus
, jolle
Jos käytämme metriikkaa etäisyysmittarina, niin
mikä tahansa piste keskipisteenä piirretty 1-säteinen ympyrä peittää
koko tason paitsi ei kyseisen ympyrän keskipistettä.
Toisaalta, metriikalla
varustetussa tasossa ei
ole olemassa
-säteisiä ympyröitä, jos
.
Tasoon voidaan määritellä äärettömän monta eri metriikkaa, sillä esimerkiksi kertomalla kaavan (1) juurilauseke jollakin vakiolla saadaan uusi funktio, joka on metriikka. Toisaalta tason kahden metriikan summafunktio on aina tason metriikka. Näin ollen on mahdollista laatia lukemattomia erilaisia malleja, joissa ympyrät voivat kuvioina poiketa toisistaan oleellisesti, vaikka jokaisessa mallissa ympyrän määritelmä sinänsä on sama.
Metriikkojen ja niiden avaruuksien, joissa voidaan määritellä erilaisia metriikkoja, tarkastelu kuuluu siihen matematiikan alaan, jota sanotaan topologiaksi. Matematiikan historiassa topologia on varsin uusi asia, sillä sen katsotaan saaneen alkunsa kuuluisasta Königsbergin siltaongelmasta, jonka Euler ratkaisi 1700-luvulla. Topologian alkeista on kirjoitettu joitakin hyviä oppikirjoja myös suomenkielellä.
Sivuhuomatus maailmankaikkeuden mittaamisesta
Jokaisen sukupolven edustajat lienevät pohtineet sitä, onko maailmankaikkeus ihan oikeasti äärellinen vai ääretön. Erilaisten metriikkojen tarkastelu voi johtaa meidät tässä kysymyksessä mielenkiintoisen (ainakin osittaisen) vastauksen äärelle.
Olkoon tason luonnollisen metriikan vastine avaruudessa.
Määritellään avaruuden pisteparien joukossa funktio
seuraavan
kaavan avulla:
On siis mahdollista mitata samaa avaruutta arvoiltaan sekä rajoittamattomilla että rajoitetuilla etäisyysmittareilla. Koska mittarit ovat ominaisuuksiltaan muuten samanlaisia, emme voi asettaa kumpaakaan mittaamistapaa sinänsä toista oikeammaksi. Näin ollen ei ole mielekästä ottaa ehdotonta kantaa siihen, onko maailmankaikkeutemme objektiivisesti pieni vai suuri ns. ulkopuolisen tarkkailijan silmin, sillä emme voi tietää, mittaako tämä hypoteettis-spekulatiivinen hahmo maailmaamme rajoitetulla vai rajoittamattomalla mittarilla.