PDF - PS

Keskiverto $\leq$ keskiarvo
Epäyhtälön suora todistus tapauksessa $n=3$ ja yleisessä tapauksessa.

Maija Salmela

Suora todistus, tapaus $n=3$.

On todistettava epäyhtälö

$$\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leq %% \frac{ x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} }{n},$$ (1)

missä $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} > 0$, tapauksessa $n=3$ eli

$$\sqrt[3]{x_{1} x_{2} x_{3}} \leq \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3} }{3},$$

kun $x_{1}, x_{2}, x_{3} > 0$. Voidaan olettaa, että $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3}$ sekä merkitä

$$\overline{x}= \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3} }{3} \textrm{ ja } %% x_{1} + x_{3} = c.$$

Tällöin pätee, että $x_{1} \leq \overline{x}\leq x_{3}$.

Yhtälö $a+b=c$, $a \geq 0$ ja $b \geq 0$, esittää $(a,b)$-koordinaatiston I neljänneksessä sijaitsevaa janaa (kuva 1).

Kuva 1:

Pisteet $A = (x_{1}, x_{3})$ ja $B = (x_{3}, x_{1})$ ovat tämän janan pisteitä. Jos suorakulmion kaksi sivua sijaitsevat koordinaattiakseleilla $a$ ja $b$ sekä yksi kulma pisteiden $A$ ja $B$ kautta kulkevalla suoralla, suorakulmion piirin pituus on $2c$. Jos valitaan suorakulmion kannaksi $\overline{x}$, niin suorakulmion korkeus on

$$c - \overline{x}= x_{1} + x_{3} - \overline{x}.$$

Kuva 2:

Tämän suorakulmion kärki $C$ sijaitsee pisteiden $A$ ja $B$ välisellä janalla (katso kuva 2), ja suorakulmion pinta-ala on suurempi kuin $x_{1} x_{3}$. Sillä jos $C=A$ tai $C=B$, niin suorakulmion pinta-ala on täsmälleen $x_{1} x_{3}$. Lisäksi pidettäessä piirin pituus vakiona suorakulmion pinta-ala kasvaa, kun piste $C$ lähestyy koordinaattiakselien väliin jäävän janan keskipistettä. Tämä tulos on epäyhtälö (1) tapauksessa $n=2$, joka on todistettu kurssilla (Solmun lukijoille todistus on liitteessä 1). Pinta-aloja vertaamalla saadaan epäyhtälö

$$x_{1} x_{3} \leq \overline{x}\left( x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right)$$ (2)

ja yhtäsuuruus pätee, kun $x_{1} = x_{2} = x_{3}$.

Koska $x_{2} > 0$, voidaan epäyhtälö (2) kertoa luvulla $x_{2}$. Tällöin saadaan

$$x_{1} x_{2} x_{3} \leq \overline{x}x_{2} \left( x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right).$$ (3)

Koska lisäksi

$$\sqrt{ ab } \leq \frac{ a + b }{2}$$

kaikilla $a, b > 0$, tai yhtäpitävästi $4ab \leq (a+b)^{2}$ kaikilla $a, b > 0$, niin merkitsemällä $a = x_{2}$ ja $b = x_{1} + x_{3} - \overline{x}$ saadaan epäyhtälö

$$4 x_{2} \left( x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right) \leq %% \left( x_{2} + x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right)^{2}.$$ (4)

Koska

$$\overline{x}= \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3} }{3}$$

eli yhtäpitävästi $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3 \overline{x}$, niin epäyhtälöstä (4) seuraa, että

$$4 x_{2} \left( x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right) \leq %% \left( 3 \overline{x}- \overline{x}\right)^{2}$$

eli

$$4 x_{2} \left( x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right) \leq 4 \overline{x}^{2}.$$

Jakamalla tämä epäyhtälö luvulla 4 saadaan

$$x_{2} \left( x_{1} + x_{3} - \overline{x}\right) \leq \overline{x}^{2}.$$

Siten epäyhtälön (3) perusteella pätee

$$x_{1} x_{2} x_{3} \leq \overline{x}x_{2} \left( x_{1} + x_{3... ...erline{x}\right) %% \leq \overline{x}\ \cdot\ \overline{x}^{2}$$

eli

$$x_{1} x_{2} x_{3} \leq \overline{x}^{3}.$$

Koska potenssifunktio on aidosti kasvava kun eksponentti on pariton, pätee epäyhtälö myös kantaluvuille:

$$\sqrt[3]{x_{1} x_{2} x_{3}} \leq \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3} }{3}$$

kun $x_{1}, x_{2}, x_{3} > 0$, ja yhtäsuuruus pätee, kun $x_{1} = x_{2} = x_{3}$.
Tapaus $n=3$ on nyt todistettu.

Suora todistus, yleinen tapaus $n=k$,
matemaattinen induktio.

Tiedetään, että epäyhtälö (1) on voimassa arvoilla $n=2$ ja $n=3$. Oletetaan, että (1) on tosi, kun $n=k$, ja todistetaan, että (1) on tosi, kun $n=k+1$.

Olkoon siis

$$\sqrt[k]{x_{1} x_{2} \cdots x_{k}} \leq %% \frac{ x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{k} }{k},$$ (5)

missä $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k} > 0$ sekä $x_{1}$ on pienin ja $x_{k}$ suurin luku joukossa
$\{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k} \}$. Jos joukkoon lisätään uusi luku, joukko voidaan aina järjestää niin, että joukon pienin luku on $x_{1}$ ja suurin luku $x_{k+1}$. Jos otetaan yksi luku pois joukosta, niin lukujen järjestys ei muutu. Sillä ei ole merkitystä, mikä luku joukosta poistetaan, joten poistetaan esimerkiksi luku $x_{k}$. Tällöin epäyhtälö

$$\sqrt[k]{x_{1} x_{2} \cdots x_{k-1} x_{k+1}} \leq %% \frac{ x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{k-1} + x_{k+1} }{k}$$

on voimassa, sillä alussa oletettiin, että epäyhtälö (5) on tosi jokaisella joukolla, jossa on $k$ positiivista lukua.

Tarkastellaan nyt lukujoukkoa $\{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k}, x_{k+1} \}$, joka on joukkojen $\{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k} \}$ ja $\{ x_{1}, x_{2},\ \ldots\ , x_{k-1}, x_{k+1} \}$ yhdiste. Kuten tapauksessa
$n=3$ piirretään kaksi suorakulmiota, joiden piiri on $2 \left( x_{1} + x_{k+1} \right)$ ja pinta-ala $x_{1} x_{k+1}$ (kuva 3).

Kuva 3:

Lisäksi piirretään kolmas suorakulmio käyttämällä keskiarvoa

$$\overline{x}= \frac{ x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{k+1} }{k+1}$$

suorakulmion kantana. Suorakulmion korkeus on tällöin

$$x_{1} + x_{k+1} - \overline{x}.$$

Suorakulmion pinta-ala

$$\overline{x}\left( x_{1} + x_{k+1} - \overline{x}\right),$$

on suurempi tai yhtäsuuri kuin kahden muun suorakulmion pinta-ala $x_{1} x_{k+1}$. Käännetään epäyhtälö toisin päin:

$$x_{1} x_{k+1} \leq \overline{x}\left( x_{1} + x_{k+1} - \overline{x}\right).$$ (6)

Kertomalla epäyhtälön (6) kumpikin puoli luvulla $x_{2} x_{3} \cdots x_{k} > 0$ saadaan

$$x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{k} x_{k+1} \leq %% \overline{x}x... ...{3} \cdots x_{k} \left( x_{1} + x_{k+1} - \overline{x}\right).$$ (7)

Epäyhtälö (5) pätee induktio-oletuksen mukaan jokaisella joukolla, jossa on $k$ positiivista lukua, joten

$$x_{2} x_{3} \cdots x_{k} \left( x_{1} + x_{k+1} - \overline{... ...s + x_{k} + x_{1} + x_{k+1} - %% \overline{x}}{k} \right)^{k}.$$

Koska

$$x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{k} + x_{1} + x_{k+1} = (k+1) \overline{x},$$

niin

$$x_{2} x_{3} \cdots x_{k} \left( x_{1} + x_{k+1} - \overline{... ...( \frac{ k \overline{x}}{k} \right)^{k} = %% \overline{x}^{k}.$$

Nyt epäyhtälö (7) voidaan kirjoittaa muotoon

$$x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{k} x_{k+1} \leq \overline{x}\ \cdot\ \overline{x}^{k} = %% \overline{x}^{k+1}.$$

Kuten tapauksessa $n=3$ epäyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

$$\sqrt[k+1]{x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{k} x_{k+1}} \leq %% \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{k} + x_{k+1} }{k+1}$$

ja yhtäsuuruus pätee, kun $x_{1} = x_{2} = x_{3} = \cdots = x_{k} = x_{k+1}$.

Nyt on todistettu, että epäyhtälö (1) pätee tapauksessa $n=2$, tapauksessa $n=3$ (ei välttämätöntä todistaa) sekä jos (1) pätee tapauksessa $n=k$, niin se pätee myös tapauksessa $n=k+1$. Siten epäyhtälö (1) on voimassa kaikilla $n \in \N$, $n \geq 2$, ja yleinen tapaus on todistettu.

Liite 1: Tapaus $n=2$.

Oletus:

$$x_{1} \geq 0,\ x_{2} \geq 0$$

Väitös:

$$\sqrt{x_{1} x_{2}} \leq \frac{ x_{1} + x_{2} }{2}$$

Todistus: Seuraavat epäyhtälöt ovat ekvivalentteja.

$$\frac{ x_{1} + x_{2} }{2} \geq \sqrt{x_{1} x_{2}}$$

$$x_{1} + x_{2} \geq 2 \sqrt{x_{1} x_{2}}$$

$$x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \geq 4 x_{1} x_{2}$$

$$x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \geq 0$$

$$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} \geq 0.$$

Koska alin epäyhtälö on aina tosi, ja yhtäsuuruus on voimassa vain kun $x_{1} = x_{2}$, väite on tosi.

Solmun etusivu
8.12.2001