PDF - PS

- epäyhtälön johto käänteisellä induktiolla ja sen käyttö ääriarvotehtävissä

Irmeli Pietilä

1. Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välinen epäyhtälö

Ensiksi todistetaan. että $\frac{ x_{1}+x_{2} }{2} \geq \sqrt{ x_{1}x_{2} }$ on totta, kun $x_{1},x_{2} > 0$.

$$\left( \frac{ x_{1}+x_{2} } {2} \right)^2 \geq x_{1}x_{2},$$ (1)

operaatio on sallittu, koska molemmat puolet ovat positiivisia.

$$\frac{ {x_{1}}^2 +2x_{1}x_{2}+{x_{2}}^2 }{4} \geq x_{1}x_{2},$$ (2)

$${x_{1}}^2+2x_{1}x_{2}+{x_{2}}^2 \geq 4x_{1}x_{2},$$ (3)

operaatio on sallittu, koska 4 on positiivinen.

$${x_{1}}^2-2x_{1}x_{2}+{x_{2}}^2 \geq 0,$$ (4)

$${(x_{1}-x_{2})}^2 \geq 0.$$ (5)

Edellisessä epäyhtälössä yhtäsuuruus toteutuu jos ja vain jos $x_1=x_2$.


Seuraavaksi todistetaan epäyhtälö yleisessä tapauksessa:

$$\frac{ x_{1} +x_{2}+...x_{n} }{n} \geq \sqrt[n]{ x_{1}x_{2}...x_{n} }, \qquad x_{1}, x_{2},...,x_{n} > 0.$$ (6)

Askel 1 ($n=2^k$)

Epäyhtälö todistettiin tapauksessa $n=4$. Seuraavaksi voidaan todistaa matemaattisella induktiolla epäyhtälö todeksi, kun $n={2}^k$ ja $k>1$.

$$\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4} }{4} \geq \sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} },$$ (7)

$$\frac{ \frac{ x_{1} +x_{2} }{2} + \frac{ x_{3} +x_{4} }{2} }{2} \geq \sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} }.$$ (8)

Geometristen keskiarvojen aritmeettinen keskiarvo!

$$\frac{ \frac{ x_{1} +x_{2} }{2} + \frac{ x_{3} +x_{4} }{2} }... ...2} } \sqrt { x_{3}x_{4} } } = \sqrt[4]{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}.$$ (9)

Yhtäsuuruus toteutuu, jos $x_{1}=x_{2}$, $x_{3}=x_{4}$.
Yhtäsuuruus toteutuu, jos $x_{1}x_{2}=x_{3}x_{4}$.
Kummatkin ylläolevista ovat tosia, jos $x_{}1=x_{2}=x_{3}=x_{4}$.

Askel 2

Käänteisellä induktiolla näytetään todeksi, että epäehtälö on voimassa tapauksessa $n=3$, kun se on voimassa tapauksessa $n=4$.

$$\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3} \geq \sqrt[3] { x_{1}x_{2}x_{3} }, \quad x_{1}, x_{2}, x_{3}>0.$$ (10)

Valitaan

$$x_{4}=\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3}, \qquad \text{joten}\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\cdot x_{4}.$$ (11)

$$\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4} }{4}= \frac{ 3\cdot x_{4}+x_{4} }{4} \geq\sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} },$$ (12)

$$x_{4}\geq\sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} },$$ (13)

$$x_{4}^4\geq x_{1}x_{2}x_{3}x_{4},$$ (14)

$$x_{4}^3\geq x_{1}x_{2}x_{3},$$ (15)

$$x_{4} \geq \sqrt[3]{ x_{1}x_{2}x_{3} }.$$ (16)

Kuten muistamme, $x_{4}=\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3}$, joten

$$\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3} \geq \sqrt[3]{ x_{1}x_{2}x_{3} }$$ (17)

Yhtäsuuruus pätee, kun $x_{1}=x_{2}=x$. Samalla tavalla voisimme todistaa epäyhtälön todeksi kaikilla $n$:n arvoilla.

2. Maksimiarvo-ongelmat

Edellisen luvun epäyhtälöä voidaan käyttää maksimiarvotehtävissä, jos funktio voidaan kirjoittaa tekijöidensä tuloksi siten, että samojen tekijöiden summa on vakio.

Ongelma 1

Jana $a$ on jaettu kahteen osaan kuvan osoittamalla tavalla. Mikä on pinta-alan suurin arvo, jos se on määritelty $A=x^2y$ maksimiarvo? Mikä on $x$:n arvo siinä tapauksessa?

Kuva 1: $a=10$, $x,y>0$

$$\begin{split} A(x)&=x\cdot x\cdot(10-x),\\ 2A(x)&=x\cdot x\... ...\ A(x) &\leq \frac{4000}{24}\approx 148.148\ldots. \end{split}$$

Edellisessä epäyhtälössä yhtäsuuruus toteutuu, jos $x_{1}=x_{2}=x_{3}$. Silloin

$$\begin{split} x&=20-2x,\\ x&=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}, \qquad y=3\frac{1}{3}. \end{split}$$

Ongelma 2

Ympyrän sisälle on piirretty sylinteri. Mikä on sylinterin maksimitilavuus, kun ympyrän säde on $R$?

Sylinterin sädettä on merkitty $r$:llä ja korkeutta $h$:lla (kummatkin aidosti positiivisia ja pienempiä kuin $R$). Sylinterin tilavuus on siten

Kuva 2:

$$\begin{split} V &=\pi r^2h,\\ r^2+\frac{h^2}{4}&=R^2. \quad... ...\cdot h, \quad \text{yhtälö voidaan jakaa}\ \pi>0. \end{split}$$

Yhtälö on positiivinen ja siksi voidaan korottaa neliöön.

$$\begin{split} \left(\frac{V(h)}{\pi}\right)^2 &=\left(R^2-\f... ...}\right)^3\\ V(h)&\leq\frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}. \end{split}$$

Koska $\frac{4\pi R^3}{3}$ on pallon tilavuus $(=V(R))$, on sylinterin maksimitilavuus $V(h)=\frac{V(R)}{\sqrt{3}}$. Edellisessä epäyhtälössä yhtäsuuruus toteutuu, jos

$$\begin{split} x_{1}&=x_{2}=x_{3},\\ R^2-\frac{h^2}{4} &= \f... ...^2}{4\cdot 3}, \qquad r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3}}. \end{split}$$

Ennen Hortobagyin kurssia en olisi ratkaissut tätä ongelmaa edellämainitulla tavalla, vaan olisin käyttänyt derivaattaa.

Ratkaisutapa 2

$$\begin{split} V(h)&=\pi \left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)h,\\ ... ...ad \text{mutta vain}\ h>0\ \text{on hyväksyttävä.} \end{split}$$

Kuva 3:

3. Minimiarvo-ongelmat

Ensimmäisen luvun epäyhtälöä voidaan käyttää minimiarvotehtäviin, jos funktio voidaan kirjoittaa termien summaksi ja samojen termien tulo on vakio.

Ongelma 3

Mikä on funktion $f(x)=\frac{4x^2+1}{x}$, $x>0$, minimiarvo?

$$\begin{split} f(x)&=4x+\frac{1}{x},\\ \frac{f(x)}{2}&=\frac... ...\geq \sqrt{4x\frac{1}{x}} \geq 2,\\ f(x) &\geq 4. \end{split}$$

Yhtäsuuruus pätee, jos $4x=\frac{1}{x}$, $4x^2=1$, $x=\frac{1}{2}$.

Ja derivaatalla:

Kuva 4:

$$\begin{split} f(x)&=4x+\frac{1}{x},\quad x>0,\\ f(x)'&=4-\f... ...silloin ainoastaan}\ x=\frac{1}{2}\ \text{kelpaa.} \end{split}$$

Solmun etusivu
27.12.2001