Seuraten Tamás Varga - Eszter Neményi -menetelmää ovat kurssin kehittäneet Márta Oravecs ja Ágnes Kivovics.

Kurssimuistiinpanojen kirjoittajat: Sari Kokkonen (luku 1), Marita Takatalo (luku 2), Anna-Mari Kyyrä (luku 3), Marja-Leena Hirsilä (luku 4), Anna-Maija Risku (luku 5), Pirjo Tikkanen (luku 6) ja Johanna Määttä (luku 7)

Toisen luokan matematiikan opetus alkaa 6-7 viikkoa kestävällä kertausjaksolla, jossa käydään läpi ensimmäisellä luokalla käsiteltyjä asioita. Tietojen hankkimisen perustana on omakohtainen tekeminen, oppilaat hankkivat paljon erilaisia kokemuksia. Esimerkiksi kilon (kg) käsitettä selvitettäessä vertaillaan aluksi erilaisten esineiden keskinäisiä painosuhteita kokeilemalla ja vasta tämän toiminnan jälkeen puhutaan painon yksiköistä ja punnitaan esineitä. Koko toiminnan ajan oppilaat kertovat puhumalla ajatuksiaan sekä itselleen että toisilleen, koska puhe selventää heidän ajatuksiaan ja auttaa myös muita oppilaita kehittymään. Opettaja ei vielä toisella luokalla käytä vaikeita matematiikan kielen termejä, koska ne sekoittavat oppilaiden ajatuksia. Mártan sanoin: ''Puhutaan omalla kielellä, mutta ei leperrellä''.

Opettajan tulee hallita hyvin käyttämänsä apuvälineet sekä pitää ne hyvässä järjestyksessä. Apuvälineitä ovat mm. värisauvat, tulitikut, pavut, helmet, loogiset palat, legot, muffinssivuoat ja kaikki ympärillä helposti saatavilla olevat esineet, jotka ovat nopeasti käden ulottuvilla. Runsaan välineiden käytön vuoksi opettajan on tärkeätä tiedostaa, ettei välineistä tule muodostua oppituntien ja opetuksen hallitsijaa. Toiminnalla tulee olla selkeä tavoite, oivaltaminen, johon päädytään apuvälineiden kautta konkreettisesti. Opetuksen apuvälineet ja oppikirjat limittyvät toisiinsa, ja matematiikan sisältö toisella luokalla pohjautuu ensimmäisellä luokalla opittuihin asioihin. Syksyn kertausjaksolla kasvatetaan lukualuetta 20:stä 30:een ja opetellaan kertolaskua pienillä luvuilla, nämä tulevat uusina asioina tässä toisen luokan alussa.

Seuraavassa on koottuna erilaisia tehtäviä kertausjaksolta. Tavoitteena on, että tehdyt valinnat ja luokittelut ovat aluksi hyvin konkreettisia ja kaikkien nähtävillä kaiken aikaa. Erilaiset ratkaisutavat ovat yhtä hyviä ja oppilaiden on tärkeätä saada erilaisia kokemuksia ja havaintoja; tehtävän voi tehdä monella eri tavalla ja silti saavuttaa oikea ratkaisu. On myös tehtäviä, joihin on monia eri ratkaisuja.

Opettajalla on avoimia lauseita, joita oppilaat täydentävät. Tässä vaiheessa havainnoidaan omaa luokkaa ja täydennetään avoimet kohdat sen pohjalta.

''Kaikki ovat _____________________.''(Esim. tokaluokkalaisia)

''Yksikään heistä ei ___________________________.''

''Heidän joukossaan ei ole _________________________.''

'' Heidän joukossaan on ______________________.''

Seuraavassa täydennetään avoimia lauseita tutuilla asioilla.

''Jäniksellä on ____________ jalkaa.''

''Muuttolinnut ovat meillä _________________ ja lämpimissä maissa ___________________.''

Avoimia lauseita koskevaa tietoa opetellaan myös lukemaan kuvasta. Kuva on lausetta abstraktimmalla tasolla ja edesauttaa myöhempää lukujen käyttöä.

''___________ on pidempi kuin _____________.''

Ryhmässä on esimerkiksi erilaisia eläimiä ja niiden joukossa yksi kukka. Oppilaat pohtivat mikä ei kuulu joukkoon, perustelevat omia valintojaan ja keskustelevat niistä. Oppilaat piirtävät kuvat vihkoihinsa.

Opettajalla on pusseja, joista löytyy erilaisia esineitä. Oppilaat valitsevat esineitä ja luokittelevat niitä jonkin ominaisuuden perusteella. Esim. palloista isot-pienet, autoista rekka-autot, kuorma-autot ja henkilöautot. Luokitteluja tehdään sekä näköaistin että muilla perusteilla, esim. luokittelun perusteena voi olla myös tuoksuu-ei tuoksu. Luokitteluista keskustellaan yhdessä ja perustellaan niitä.

Ominaisuuskortit tehdään erilaisista paidoista. Paidoissa on kolmenlaisia hihoja: pitkät, lyhyet ja täysin hihattomat. Taskuja voi olla yksi, kaksi tai kolme. Paidoissa voi myös olla kaulus tai paidat voivat olla ilman kaulusta. Näistä kaikista ominaisuuksista syntyy 3 * 3 * 2 = 18 erilaista paitaa, joita voidaan luokitella edellä mainittujen ominaisuuksien mukaan. Luokitteluja piirretään ja kirjataan esim. suomen kielen sukupuun kaltaisen puunrungon oksille (= puudiagrammi), mikä selventää laadittuja luokitteluja kuvallisessa muodossa. Oppilailla on mahdollisuus valita itse omat luokitteluperusteensa, sillä mahdollisuuksia on monia erilaisiin oksistoihin liittyen.

Taululle/paperille piirretään lukuja 0 - 30 väliltä. Tehtävänä on ympyröidä parilliset, jolloin parittomat jäävät ympyröimättä. Tässä tehtävässä oppilaat usein miettivät, minne tulee luku 0, onko se pariton vai parillinen.

Pöydällä on erilaisia helmiä, eli helmet ovat perusjoukkona. Erottelemalla punaiset helmet isosta joukosta erilleen saadaan osajoukko. Punaiset helmet laitetaan lasiastiaan, joka asetetaan keskelle muita helmiä. Näin koko perusjoukoksi voidaan kirjata helmet ja osajoukoksi lasiastiaan punaiset helmet. Tehtävään tuovat oppilaille lisää mielenkiintoa ja pohtimista lankaan pujotetut helmet, langassa on toisessa päässä punaisia ja toisessa sinisiä helmiä. Miten tuollainen helminauha sijoitetaan muiden joukkoon?

Luokitellaan loogisia paloja läpinäkyviin astioihin eri ominaisuuksien perusteella, esim. kolmiot ja neliöt. Mitä jää jäljelle, kun kolmiot ja neliöt on otettu pois paloista? Luokitteluperusteena voi olla myös palojen koko (iso/pieni) tai joissakin paloissa keskellä oleva reikä. Loogisten palojen luokittelusta voidaan piirtää samanlaisia puudiagrammeja kuin edellä esitellyistä ominaisuuskorteista.

Tässä leikissä etsitään yksikäsitteistä vastausta esimerkiksi edellä esiteltyjen loogisten palojen joukosta. Tarkoituksena on muodostaa kysymyksiä, joihin vastataan aina vain kyllä tai ei. Esim. Onko se vihreä? Onko se punainen? Tärkeätä on käyttää myös käänteisiä muotoja ei-punainen, ei-reiällinen, jotta oppilaat oppisivat tällaisenkin ajattelun. Oppilailla on kaikilla käytössään loogiset palat, joiden joukosta he etsivät kysyttyä palaa. Oikeaa vastausta ei saa huutaa ääneen, vaan kaikille annetaan aikaa pohtia tehtävää. Nopeimmat voivat kuiskata vastauksensa opettajan korvaan. Ominaisuusvihjeet voidaan tehdä myös korteista, joihin piirretään haluttu vihje. Tätä samaa leikkiä voidaan leikkiä myös ominaisuuskorteilla tms. (Vrt. suomalainen kaverileikki, jossa yhdelle ryhmästä valitaan kaveri ja hän yrittää saada kyselemällä selville kuka hänen kaverinsa on. Tässäkin leikissä vastaus on vain kyllä/ei.)

Pyydetään luokan eteen riviin neljä vapaaehtoista oppilasta, jotka nimetään kevääksi, kesäksi, syksyksi ja talveksi. Pohditaan yhdessä seuraavia kysymyksiä: Kuka tulee talven jälkeen, entä kesän jne.? Miten luokan edessä olevat oppilaat voisivat asettua, jotta heidän ei tarvitsisi liikkua ja he olisivat silti oikeassa järjestyksessä peräkkäin? Entä voidaanko samoja vuodenaikoja ilmaista numeroin? Sovitaan yhdessä, että esim. talvi on 1, kevät 2, kesä 3 ja syksy 4. ''Vuodenajat'' luettelevat lukusuorasta omalle kohdalleen sattuvia lukuja ja ne kirjataan yhdessä taululle. Esim. talven kohdalle sattuvat luvut ovat 1, 5, 9 jne. Pohditaan yhdessä oppilaiden kanssa onko luvuissa jotain yhteistä ja mitä he huomaavat tästä tehtävästä. Viikonpäivistä voidaan laatia samanlainen tehtävä.

Otetaan esille seinäkalenterista yksi kuukausi ja tutkitaan sitä yhdessä. Opettaja peittää yhden viikon ja oppilaat päättelevät piilossa olevat viikonpäivät. Oppilasta pyydetään aina kertomaan miten hän päätyi vastaukseensa. Tässä tehtävässä harjoitellaan lukusuoran lisäksi lukunaapureita, samalla pohditaan ajan kulkua. Mikä päivä olikaan eilen? Entä mikä on huomenna, ylihuomenna?

Tärkeä oikean elämän ja ajan kulun mittaamisen väline on kello, jossa tulee olla aina mukana sekuntiviisari, joka osoittaa ajan kulkua pienellä yksiköllä. Lapsista voidaan tehdä ulkona iso kello, jossa jokainen lapsi on yksi kellonaika. Kello ja kuukaudet voidaan yhdistää samaan harjoitukseen, esim. kello 1 on tammikuu, kello 2 helmikuu jne. Tässä vaiheessa opetellaan Unkarissa myös roomalaiset numerot, joita harjoitellaan yhdessä enemmän käytössä olevien arabialaisten numeroiden kanssa. Esimerkiksi oppilaat laativat kellotaulun, johon yhdistetään kellonaika molemmilla numeromerkeillä ja kuukausi; 1, I, tammikuu.

Rakennellaan erilaisia teitä, joita mitataan värisauvoilla. Sama matka voidaan mitata eri värisillä sauvoilla ja näin saatuja vastauksia vertaillaan toisiinsa. Merkitään tulokset vihkoihin piirtämällä mittayksikkönä ollut värisauva ja laittamalla sen viereen tarvittava sauvamäärä lukuna. Luetaan vastauksia ääneen ja kokeillaan saman matkan rakentamista erilaisilla sauvoilla. Muuttuuko matkan pituus erivärisillä sauvoilla mitattaessa? Päädytään siihen, että on hyvä olla käytössä yhteinen mittayksikkö. Tehdään erilaisia mittauksia, esim. kuinka pitkä on askeleesi kun kävelet? Kierrä naru kynäsi ympärille. Montako kierrosta narusta riittää kynäsi ympärille? Kuinka pitkä on tämä kynäsi ympärille kierretty naru?

       *          1
      * *          2
     * * *          3
    * * * *          4
   * * * * *          5
  * * * * * *          6

Kuvassa on taiteilijoita, jotka ovat muodostaneet pyramidin. Voidaanko taiteilijajoukko jakaa yhtä suuriin osiin? (Luku 21 on jaollinen kolmella.) Entä voivatko taiteilijat poistua kuvasta pareittain? Pohditaan yhdessä mitä tarkoittaa parillinen ja pariton, esim. luku 21 on pariton, mutta luku 2 on parillinen ja luku 1 on pariton. Tässä tehtävässä voidaan taas pohtia lukunaapureita, mikä viereinen luku on suurempi kuin 21, entä mikä on pienempi kuin 21? (20 - 21 - 22)

Parillisia ja parittomia lukuja voidaan harjoitella erottelemalla isosta lukujoukosta omiksi joukoikseen juuri parilliset ja parittomat luvut. Lukuja voidaan tarkastella vielä lisää pohtimalla mitkä luvuista ovat kaksinumeroisia, mitkä yksinumeroisia. Lukuja voidaan lisäksi ryhmitellä vielä eri tavoilla, esim. tähän pussiin laitetaan lukua 10 pienemmät ja tänne toiseen lukua 10 suuremmat luvut. Tarkoituksena on saada paljon erilaisia kokemuksia ja havaintoja luvuista ja niiden ominaisuuksista, joiden pohjalle rakentuvat myöhemmät laskutaidot.

Oppilailla on piirrettynä viisi ruutua paperilla. Opettaja nostelee lukuja korista yksi kerrallaan. Oppilaat yrittävät laittaa luvut suuruusjärjestykseen ruutuihin. Jos jokin luku ei sovi ruudukkoon, se laitetaan ''roskikseen''. Voittajalla on viisi lukua suuruusjärjestyksessä omissa ruuduissaan. Opettaja voi myös nostaa vain viisi lukua ja tiedustella sitten oppilailta montako kukin sai järjestykseen ruudukkoonsa.

Opettaja ajattelee yhtä lukua ja antaa siitä vihjeitä yhden vihjeen kerrallaan. Oppilaiden tehtävänä on keksiä tuo luku. Aluksi sovitaan lukualue, jolta valittu luku on. Esimerkiksi: valitsen luvun lukualueelta 1 - 30. Luku, jota ajattelen on kaksinumeroinen, suurempi kuin 15 ja sen ensimmäinen numero on kolmea pienempi kuin toinen numero. Kun kerrot valitsemani luvun neljällä, saat kolminumeroinen luvun. (Vastaus: 25) Oppilaat voivat tehdä vastaavia arvoituksia ja esittää niitä toisilleen, jolloin kukin oppilas joutuu pohtimaan lukujen ominaisuuksia.

Tämä on vastaavanlainen tehtävä kuin kertausjakson alussa, mutta nyt avoimia lauseita tehdään luvuista. Aluksi piirretään muutama luku esim. ympyrään ja näiden ominaisuuksia tarkastelemalla täydennetään avoimia lauseita.

''Jokainen luku on __________________.''

''Lukujen joukossa ei ole __________________.''

''Lukujen joukossa on _____________________.''jne.

Opettajalla on kolme kirjekuorta, jotka hän haluaisi täyttää. Hänellä on myös paperille kirjoitettuna matemaattisia lausekkeita omasta luokastaan. Hän haluaa ryhmitellä kolmeen kirjekuoreen lausekkeet niiden merkitysten mukaan. Opettajalla on luokassaan 8 poikaa ja 16 tyttöä. Naapuriluokan miesopettajalla on neljä oppilasta enemmän kuin tällä luokalla. Oppilaiden kanssa keskustellaan lausekkeiden sisällöistä, mitä ne tarkoittavat, ja jaetaan ne kolmeen kuoreen.

Yhteen- ja vähennyslaskua on käsitelty tarkemmin 1. luokan kurssissa.

Pyydetään esim. 11 lasta luokan eteen ja annetaan jokaiselle kaksi suolatikkua. Tehtävänä on laskea montako tikkua on yhteensä. Oppilaat ryhtyvät laskemaan suolatikkuja: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... ja he huomaavat laskun olevan melko pitkän. Voidaanko laskutehtävä ratkaista yksinkertaisemmin? Tähän vastauksena on kertolasku, 2 * 11, jolloin saadaan 22 (kaksi kerrotaan yhdellätoista).

Esim. 2: Äiti ostaa neljälle tytölle jäätelöt, joissa on viisi palloa. Kuinka monta palloa on yhteensä? 5 + 5 + 5 + 5 = 20. Kertolaskuna: 5 * 4 = 20. Sanoilla tämän voi ilmaista: viisi neljästi. Ei ole aivan sama kuinka päin asetamme luvut kertolaskussa. Samanlainen tehtävä toisin päin: viidelle tytölle neljä palloa jäätelöä (edellisessä oli neljälle tytölle viisi palloa jäätelöä). Siis 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20, neljä viidesti eli 4 * 5 = 20. Oppilaiden kanssa on tärkeätä keskustella ja pohtia yhdessä mitä tarkoittaa tämä lukujen vaihdannaisuus, miten se vaikuttaa lausekkeen sisältöön.

Oppilaille on tärkeää antaa paljon erilaisia tehtäviä, joista he muodostavat lausekkeita eli muuttavat asioita matematiikan kielelle. Kaikista tehtävistä piirretään konkreettiset kuvat, jotka selventävät jokaiselle oppilaalle mistä on kyse. Aina aluksi tehdään konkreettisesti välineillä ja vasta tämän jälkeen siirrytään kirjan tehtäviin; näin oppilas pystyy palauttamaan mielikuvat mieleensä ja kertomaan kuvasta. Kertotaulun ulkoa oppimisen vaiheessa oppilaan on jo ymmärrettävä kertolaskun sisältö. Ensin opetellaan kahden, viiden ja kymmenen kertotaulut. Kolmen, kuuden ja yhdeksän kertotaulut kuuluvat yhteen, samoin kahden, neljän ja kahdeksan kertotaulut. Aivan viimeisenä opetellaan seitsemän kertotaulu.

Kertolaskun ja sisältöjaon tiivistä yhteyttä voidaan havainnollistaa oppilaille tehtävillä. Esim. Opettajalla on kädessään kasa kortteja, joista hän muodostaa neljän kortin kasoja. (Mitä osaat kertoa näistä?) Opettaja laskee oppilaiden kanssa ääneen kortteja laittaessaan niitä pöydälle: ''neljä ja neljä ja neljä.'' 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28. Jos annan neljä korttia pois, mitä tapahtuu matematiikan kielellä? 28 - 4 = 24. Opettaja jatkaa korttien jakamista neljän ryhmissä.

28 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 = 0

Monelleko lapselle riitti neljä korttia? Seitsemälle. 28:ssa on neljä korttia 7 kertaa.

Kertolaskua ja sisältöjakoa tulee lukea paljon erilaisista kuvista ja harjoitella monenlaisilla tehtävillä. Opettajan on hyvä tiedostaa, että voidaan aina palata edellisiin vaiheisiin ja kuviin, jos jossakin vaiheessa jollekin oppilaalle tulee hiukan vastoinkäymisiä.

Tämän aihealueen käsittelemiseen käytetään 3 - 4 viikkoa (15-20 oppituntia).

Jakso aloitetaan tarkastelemalla yhteenlaskua kahdesta eri näkökulmasta: laskemalla koko joukko ja laskemalla joukosta. Suomenkielessä sanalla laskea tarkoitetaan molempia tapoja. Esim. pyydetään lasta laskemaan pahvialustan reiät ja pyydetään lasta ottamaan/laskemaan 36 pähkinää kulhosta. Pyydetään lasta punnitsemaan jauhopussin paino tai pyydetään punnitsemaan 3 dl jauhoja. Käydään läpi useita vastaavanlaisia esimerkkejä mittaamalla pituutta, tilavuutta, aikaa. Tarkoituksena on lukukäsitteen vahvistaminen.

Tärkeä rooli laskemisessa on monikerroilla, siis 3, 6, 9, 12, ... 2, 4, 6, 8, ... Korostettu asema on kymmenillä 10, 20, 30, 40, ..., koska tällä tehdään perustaa lukujärjestelmän käsitteelle. Kun ensiluokkalainen kirjoittaa luvun 15, se merkitsee hänelle samankaltaista lukua kuin 3, 16 tai 6. Hän ei vielä ajattele, että luvussa 15 on ykkösiä 5 ja kymmeniä 1. Ykkösten ja kymmenien korostamista näkee niin unkarilaissa kuin muunmaalaisissakin kirjoissa liian varhaisessa vaiheessa. Jos lukualue on 0-20, ei yleistämistä voi vielä tehdä. Vasta toisella luokalla, kun lukualue kasvaa, aloitetaan ykkösistä ja kymmenistä puhuminen.

Jaksossa harjoitellaan ryhmittelyjä ja laskemista 2, 3, 4 kerrallaan... luonnollisesti myös 10 kerrallaan. Harjoittelussa käytetään konkreetteja materiaaleja, senttejä, euroja, 2- ja 3-järjestelmän mukaisia satumaan rahoja.

Alussa harjoitellaan paljon lukujen luettelemista. Vaikka lapsi osaisi kouluun tullessaan luetella lukuja pitkällekin, lukukäsite ei välttämättä ole hänelle selvä. Korttipakasta lasketaan kortit ensin yksitellen, sitten opettaja johdattelee kysymyksillään laskemaan useampia kortteja kerrallaan. Jos lapsella on tässä vaikeuksia, toistetaan laskemista hänen kanssaan useaan otteeseen. Lukumääräkäsitettä voidaan vahvistaa laskemalla 40 linssiä yhteen kasaan ja 40 papua toiseen kasaan. Kasoja vertailtaessa huomataan, että papukasa on suurempi, vaikka lukumääräisesti niitä on yhtä paljon kuin linssejä.

Jakson alussa ensimmäisillä tunneilla vain lasketaan ja mittaillaan: kuinka monella askeleella pääsee luokasta WC:hen, sata tippaa vettä pipetillä lasiin, sata lusikallista vettä lasiin, portaita ylös ja alas, kotimatkalla lasketaan sähkötolppia tai askeleita bussipysäkille. Näiden tietojen keräilyistä oppilaat nauttivat.

Sen jälkeen kerätään kotoa 100 kappaletta jotain (mausteita, makaroneja, palasokeria, naru, jossa 100 solmua, valokuva, jossa isoisoäidin ja lapsen ikäero on 100 vuotta, sata tavua, sata kirjainta sanoina, sata väritettyä ruutua vihkon sivulla ... mahdollisuuksia on monia). Lasten omien ideoiden tutkiminen on tärkeää, joten keräilytulosten tarkasteluun käytetään paljon aikaa.

Kokoelmista siirrytään laskemaan ryhmittelyjä. Purkissa olevat helmet yritetään laskea katsomalla, sitten ryhmittelemällä ne värin mukaan (5 kutakin väriä), ryhmittelemällä 10 kpl lokeroon. Opettaja antaa tehtäväksi laskea antamansa rahamäärän. Yksi ryhmä saa 75 senttiä yhden sentin kolikkoina, toinen viiden sentin kolikkoina ja kolmas ryhmä kymmenen sentin ja yhtenä viiden sentin kolikkona. Ryhmä, joka saa summan nopeimmin laskettua nousee seisomaan. Pohditaan yhdessä, miksi kolmas ryhmä selvisi nopeimmin.

Ajan arviointi on osa jaksoa. Samalla, kun tehdään jotain konkreettista (kirjoitetaan, lasketaan linssejä tms.) arvioidaan ajan kulua. Kun oppilas on arvioinut minuutin kuluneen, hän nousee seisomaan. Lasketaan luokan kellosta sekuntiviisaria seuraten 60 sekuntia, kello peitetään paperilla ja jatketaan laskemista. Kun on päästy 60:een tarkastetaan aika kellosta. Sekuntikellolla mitataan 1 min ja kokeillaan, kuka ehtii sinä aikana kerätä eniten linssejä, tulitikkuja tms. Tehdään tuloksista pylväsdiagrammi taululle ja tarkastellaan sadan lukualueella olevia lukuja.

Kiekkolukusuora on hyvä apuväline tässä jaksossa. Kiekkolukusuoraan ei ole merkitty lukuja. Kiekkolukusuora tarkastelee lukumäärää (sataan asti), numerolukusuora mittalukua.

Värin perusteella viiden kiekon ryhmiin jakautuva kiekkolukusuora on helppo hahmottaa. Lukusuoralta voidaan laskea joka viimeinen sininen (täydet kympit), lukusuoran toiseksi viimeinen (laskeako alusta vai vähentää 100-1?), etsitään kahta suurempi kuin 67. Lukusuoralta löytyy analogioita: ensimmäiset punaisen luvut ovat 1, 11, 21, 31, 41, ..., viimeiset punaiset luvut ovat 5, 15, 25, 35, 45 ....

Helmitaulusta löytyy vastaavia harjoitusmahdollisuuksia. Järjestyslukujen harjoittelussa esim. minkä värinen on 26.? Monesko on viimeisen liilanvärisen alapuolella oleva?

10 * 10 -ruudukko taululla. Jos ruudukko alkaa nollasta, on se 10 * 11.

Opettajan liikuttaessa magneettinappulaa ruudukossa voidaan lukuja lukea järjestyksessä, voidaan nimetä tietty luku, laskea yksi pienempi, kuin osoitettu luku. (Tässä tarkkaillaan osaavatko lapset vähentää yhden vai aloittavatko laskemisen alusta). Etsitään annetun luvun naapurit sekä kymmentä pienempi ja kymmentä suurempi luku (ristikuvio).

Näiden harjoitusten tarkoituksena on pohjustaa kymmenjärjestelmää sekä kertolaskua.

Kuinka luku 23 esitetään viitosjärjestelmässä?

Lapsilla on edessään 23 maissinjyvää, jotka ryhmitellään viiden ryhmiin.

Viiden maissin ryhmä pakataan Kinder-munan kuoriin, saadaan:

Pakkaamissääntö: aina viisi yhteen pakettiin. Taulukoidaan saatu tulos:

Taulukointi aloitetaan aina ykkösistä. Tulos luetaan neljä kolme ei neljäkymmentäkolme.

Kuinka esitetään luku 34 viitosmaassa?

Lasketaan montako maissinjyviä on, (Kinder-pakkauksissa olevia ei nähdä, mutta tiedetään, että jokaisessa on viisi) 5, 10, 15, 20, 25, 30 ja 4. Mitä näet? 6 munaa ja 4 maissinjyvää, kaikkia maissinjyviä ei nähdä, koska osa on pakattuina. Jatketaan pakkaamista. Viisi munista siirretään kassiin. Taulukoidaan lopputulos.

1. askel: ryhmitellään tietty määrä kuhunkin ryhmään ja paketoidaan
2. jatketaan paketointia aste ylöspäin
3. jatketaan seuraaviin asteisiin ja taulukoidaan
4. demonstroidaan sama paketointi läpinäkyvillä pakkauksilla
5. tehdään paketointeja piirroksista

Kuinka paljon on 38 kolmosmaassa?

Taululle piirretään taulukko ja kiinnitetään näkyviin, mitä pitää laskea. Myöhemmin esineet voi korvata piirroksilla.

Taulukon täyttäminen aloitetaan aina ykkösistä!

Kuinka luku 31 kirjoitetaan kolmosmaassa? Kirjekuoriharjoitus.

Oppilailla on 31 tuli- tai askartelutikkua, joita paketoidaan kirjekuoriin.

Tarkastus suoritetaan kymmenjärjestelmässä:

3 * 3 * 3 + 3 * 3 + 3 + ykköset

27 + 0 + 3 + 1 = 31

2-järjestelmää harjoitellaan sormilla. Kullakin sormella on paikkajärjestelmää vastaava lukumäärä eli muutos sormesta toiseen tapahtuu kertomalla kahdella

Vasemmasta kädestä löytyvät siten luvut 32, 64, 128, 256 ja peukalossa 512.

Luku 31 on siis kaikki oikean käden sormet ylhäällä.

2-järjestelmässä:

11111

Paketointeja harjoitellaan konkreettisilla välineillä paljon ennen kuin siirrytään tarkastelemaan kuvia.

Aloitetaan jälleen konkreettisella paketoinnilla ja taulukoinnilla. Legotornit ovat hyviä apuvälineitä kymmenjärjestelmässä. Aluksi voi käyttää oikeita legoja, sitten taululla lego- ja legotorni-sablonia. Sabloni tarkoittaa pahvista tehtyä legotornin kuvaa, jossa on väritettynä 10 legoa. Niitä on helpompi kiinnittää esim. tauluun kuin legotorneja ja lisäksi ne ovat pienen askeleen korkeammalla abstraktiotasolla kuin oikeat legot.

Kuinka luku 43 kirjoitetaan kymppimaassa?

Usein lapset lukevat tämän aluksi neljä kolme, koska ovat tottuneet lukemaan aikaisempien ''maiden'' taulukoita samalla tavalla. Joku lapsista aina oivaltaa, että kysymyksessä on luku 43.

Vasta sitten voi puhua 10-järjestelmästä, kun on tutustunut muihin järjestelmiin. On tärkeää ymmärtää kokonaisuus eri järjestelmien kautta. 10-järjestelmän idea ei ole vain se, että lapset ymmärtävät lukujen suuruuden; he pystyvät tämän avulla tekemään myös mittayksiköiden muutoksia.

Harjoituksia laskusauvoilla ja legoilla:

Valkoiset sauvat ykkösiä ja oranssit kymppejä. Piirtoheittimen avulla tehdään paljon lukemisharjoituksia. Oppilaat tekevät laskusauvoilla saman, minkä opettaja dublolegoilla. 12 valkoista on yksi oranssi ja 2 valkoista. Kun sauvoilla harjoittelu sujuu, siirrytään sabloniin ja seuraavaksi symboleihin eli lukuihin.

Esim. luku 34. Harjoitellaan palikoilla, oppilaita pyydetään näyttämään pelkillä palikoilla 3 tornia ja 4 ykköspalikkaa, sitten kirjoitetaan 3 tornia 4 ykköstä, seuraavaksi 3 kymmentä 4 ykköstä.

Esim. kuinka paljon on 3 tornia ja 24 ykköstä? Viisi tornia ja 4 ykköstä on 54 palikkaa.

12 ykköstä 4 tornia on 52 palikkaa.

Tämän kaltaiseen harjoitteluun käytetään runsaasti aikaa.

Harjoituksia tulitikuilla

Näiden harjoitusten tarkoituksena on vahvistaa lukujärjestelmää.

Jokaisella oppilaalla on noin 100 tikkua, niputetaan tikut kymmenen tikun nippuihin.

Kuinka paljon on 3 nippua ja 2 nippua?

Kuinka paljon on 30 tikkua ja 20 tikkua?

Pyydetään oppilaita ottamaan 14 irtotikkua ja 3 nippua. Tutkitaan kuinka paljon tikkuja on yhteensä. 14 ykköstä ja 3 kymmentä = 44 ykköstä. Niputetaan 14 tikusta 10 omaksi nipukseen, nyt 4 irtotikkua, siis ykköstä ja 1 nippu eli kymppejä.

Lisätään yksi tikku edelliseen, mikä muuttui?

Samanlaisia harjoituksia tehdään legoilla, laskusauvoilla, helmitaululla, rahoilla.

15 ykköstikkua ja 3 nippua on sama kuin 5 ykköstikkua ja 4 nippua

Sama määrä esitetään laskusauvoilla ja rahoilla ja kerätään lisää 45:n kokoelmia lapsilta.

Lapset valitsevat numerokorteista ne, jotka tarvitaan 45:n muodostamiseen. Tutkitaan numeroidenen paikkoja, onko sama, missä järjestyksessä numerot ovat? Käytännön esimerkkien kautta havaitaan ero 45:n ja 54:n välillä.

Etsitään kiekkolukusuoralta luvun 45 paikka. Merkitään 45 sataruudukkoon, tutkitaan naapuriluvut ja pienempi ja suurempi kymmen sekä kymmennaapurit.

Kauppaleikki yhteen- ja vähennyslaskun harjoittelun apuna:

Luokan taululle on koottu kaupan ''näyteikkuna'', jossa on erilaisia tavaroita hintoineen.

Mitä voit ostaa 50 forintilla/markalla/eurolla?

Lapset luettelevat alle 50,- hintoja.

Opettaja osoittaa tuotetta ja kysyy montako kympin kolikkoa tarvitaan kyseisen tuotteen maksamiseen, pikkurahoja ei saa käyttää, vain kokonaisia kymppejä. Lapset ottavat tavaran itselleen ja näyttävät opettajalle montako kymppiä tarvitsevat.

Seuraavassa vaiheessa lapset vain sanovat kymppien määrän, eivätkä enää ota rahoja.

Harjoittelun seuraavassa vaiheessa mietitään vaihtorahojen määrää. Tällöin lapset luettelevat ne ykköset, jotka tarvitaan seuraavaan kymmeneen.

Tutkitaan pienempää kymmennaapuria alennusmyynnin avulla. Tuotteiden hinnat lasketaan edelliseen täyteen kymppiin. Oppilaat käyvät kiinnittämässä uudet hintalaput tuotteisiin siten, että myös vanha hinta jää näkyviin. Käydään läpi yhdessä kymppinaapurit:

Alehinta on 40, alkuperäinen 45, raha, jolla ostos maksetaan on täysiä kymppejä.

40 < 45 < 50

Etsitään luvut vielä kiekkolukusuoralta ja muilta lukusuorilta.

Tutkitaan samoja lukuja helmitaulusta:

Montako täyttä riviä tarvitaan lukuun 45? Näin saadaan pienempi kymmennaapuri.

Montako riviä tarvitaan yhteensä? Näin löytyy suurempi kymmennaapuri.

Tutkitaan täysien kymppien kymmennaapureita erikseen vastaavanlaisilla harjoituksilla.

Kerätään annetusta luvusta sen ominaisuuksia. Luku sijoitetaan sataruudukkoon ja tutkitaan naapurit, kymmennaapurit, pienempi ja suurempi kymmen, onko luku yksi- vai kaksinumeroinen, ovatko numerot samoja, onko kymmeniä ilmoittava numero suurempi vai pienempi kuin ykkösiä ilmoittava numero.

Posteljoonileikki

Oppilaille jaetaan kirjekuorten sisältämät postit. Kirjeet ''ovat menneet posteljoonilta'' sekaisin. Heidän pitäisi löytää jokaiselle kirjeelle sopiva kuori. Kirjeissä lukee lukujen ominaisuuksia (esim. luku on parillinen, sen numeroiden summa on 7), joiden perusteella löytyy oikea kirjekuori. Joskus ominaisuudet voivat sopia kahteenkin kirjekuoreen, joten pohtimista riittää. Kyseinen postileikki on hyvä myös kerto- ja jakolaskun harjoitteluun sekä pienillä luvuilla toimimiseen.

Jakson kirjan harjoituksissa tehdään abstraktimpia tehtäviä. Muutamia esimerkkejä:

1. Kirjoita seuraavat luvut suuruusjärjestykseen. Mitä huomaat?

   a) 30, 12, 18, 6, 24.

   b) 16, 32, 8, 24, 0

2. Kirjoita lukujen alle niitä 10:llä suuremmat luvut

9 14 61 35 90

3. Kirjoita lukujen alle 40:llä pienemmät luvut

58 93 42 66 40

4. Kirjoita luvut lukusuoralle (käytetään erilaisia lukusuoria, sellaisia joihin on merkitty jokainen luku, täydet kymmenet, täydet kahdetkymmenet)

3. LASKUTOIMITUKSET LUKUALUEELLA 0-100

3.1. YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUN KOLME HAVAINNOLLISTUSTA UUDELLEEN

Yhteen- ja vähennyslaskua opetetaan koko ajan rinnakkain. Aikaisemmin opittua tietoa käytetään koko ajan hyväksi. Unkarilainen oppikirja on rakennettu etenemään helposta kohti vaikeampaa. Oppikirja pohjaa analogioihin.

YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUN OPETTAMISEN VAIHEET LUKUALUEELLA 1-100

1. TÄYSIEN KYMMENIEN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU

Esim. 2 + 4 = ___
20 + 40 = ___

Harjoitellaan monipuolisesti tasakymmenien lisäämistä käyttäen apuvälineenä tikkunippuja, kymmenen markan/sentin kolikoita, helmitaulun täysiä kymmenrivejä, duplotorneja, munakoteloita ja lukusuoria.

Esimerkiksi askartelu- tai tulitikkunipuilla (nipussa aina 10 tikkua) harjoitellaan yhteen- ja vähennyslaskua seuraavasti:
- otetaan 3 nippua
- lisätään viereen 2 nippua
- kerrotaan tämä matematiikan kielellä: 3 ja 2 on 5.
- sitten pohditaan, kuinka monta tikkua pöydällä olevissa nipuissa on yhteensä:
30 tikkua ja 20 tikkua on yhteensä 50 tikkua
- ja lopuksi sanotaan se matematiikan kielellä: 30 ja 20 on 50.

Samoin harjoitellaan vähennyslaskua:
Viidestä nipusta otetaan pois kolme nippua, jää kaksi nippua. Siitä siirrytään tuottamaan lasku: 50:stä otetaan pois 30, jää 20.

Oppilaiden avuksi voi tehdä lukusuoran, jossa jokaisen luvun kohdalla on vastaava kymmenluku. Se auttaa heikompia oppilaita muuntamaan lukuja kymmenluvuiksi.

2. YKSINUMEROISTEN LUKUJEN TÄYDENTÄMINEN KYMMENEEN JA TÄYSIEN KYMMENIEN TÄYDENTÄMINEN SATAAN

Esim. 6 + ___ = 10
60+ ___ = 100

Toisessa vaiheessa käytetään apuna runsaasti analogioita. Tikkuja ja muita apuvälineitä käytetään oppimisen tukena. Samoja laskuharjoituksia tehdään myös vähennyslaskuina:

10 - 6 = ___
100 - 60 = ___


3. KAKSINUMEROISEN LUVUN TÄYDENTÄMINEN SEURAAVAAN KYMMENEEN JA EDELLEEN SATAAN SAAKKA

Kolmannessa vaiheessa edellinen vaihe toimii koko ajan rinnalla.

Esim. 7 + ___ = 10
37 + ___ = 40
37 + 3 + 60 = 100

Tässä vaiheessa opetellaan täydentämään luku ensin lähimpään kymmeneen ja sitten eteenpäin seuraaviin täysiin kymmeniin ja sataan.
Kun laskuja on harjoiteltu riittävästi konkreettisen toimintamateriaalin avulla, voidaan leikkiä kauppaleikkiä. Kauppaleikissä harjoitellaan paitsi opittua asiaa, myös kohteliaisuutta ja hyviä tapoja.

Kauppaleikki: Luokan taululla on hinnoiteltuja tavaroita. Oppilaista valitaan vuorotellen kassanhoitaja, tarkastaja sekä ostajia. Opettaja ohjaa leikkiä.
Opettaja antaa ostajalle rahan (50 mk tai 100 mk/euroa/senttiä) ja lähettää hänet kauppaan ostamaan jonkin tietyn tavaran. Ostaja hakee kaupasta tavaran ja menee ostoksen kanssa kassalle. Kassanhoitajan tehtävänä on palauttaa vaihtorahat ääneen laskien.
Esim. Ostaja antaa 50 mk ja ostaa 25 mk:n nallen. Kassanhoitaja antaa vaihtorahat laskien ääneen: "Kolmekymmentä (5 mk), neljäkymmentä(10 mk) ja viisikymmentä(10 mk) markkaa, ole hyvä." Vieressä tarkastaja tarkistaa, menikö oikein. Samoin ostajan tehtävä on olla valppaana.

4. YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU ILMAN KYMMENYLITYKSIÄ
(TOINEN LUKU TÄYSI KYMMEN JA TOINEN LUKU 1-9)

Neljännellä tasolla harjoitellaan yhteen- ja vähennyslaskuja, joissa yksi luku on täysiä kymmeniä.

Esim. 30 + 4 = 34
56 - 6 = 50

Tikuilla harjoitellaan yhteen- ja vähennyslaskua seuraavasti:
- otetaan tikkujen avulla esille luku: 43 vastaa neljää nippua ja kolmea irtotikkua
- harjoitellaan lukemaan lukumäärä: 40 ja 3 on 43.
- 43:sta otetaan pois 3, jää 40.

Harjoitellaan lisäämistä ja vähentämistä ja huomataan, että tikkunippuihin (eli kymmeniin) ei tarvitse koskea. Apuna käytetään lisäksi muita apuvälineitä, kuten duploja ja kolikoita.


5. YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUA KAKSINUMEROISILLA LUVUILLA (,JOISTA TOINEN ON TÄYSI KYMMEN JA TOINEN EI)

Esim. 42 + 20 = 62
62 - 40 = 22

Harjoituksia, joissa muutosta tapahtuu ainoastaan täysissä kymmenissä (eli nipuissa). Taas harjoitellaan ensin tikkunipuilla ja irtotikuilla.

Koko ajan on edetty helpommasta vaikeaan ja kymmenylitys jätetään opeteltavista asioista viimeiseksi. Harjoittelulle annetaan aikaa ja käytetään kaikissa vaiheissa apuvälineitä tukemaan oppimista (tikut, rahat, legot, lukusuorat jne.). Annetaan lapsille myös laskutehtäviä ja sanallisia tehtäviä ratkaistavaksi.


6. a) YHTEENLASKETTAVA KASVAA KYMMENILLÄ

Esim. 5 + 3 = 8
15 + 3 = 18
25 + 3 = 28
35 + 3 = 38 jne. Aluksi esillä on siis yksittäisiä tikkuja, mutta sitten lisätään kymmennippuja ja lasketaan isommilla luvuilla.


6. b) KYMMENYLITYSTÄ PIENILLÄ LUVUILLA (LISÄTÄÄN 1-7)

Esim. 7 + 4 = 11
17 + 4 = 21
27 + 4 = 31 jne.

Kymmenylitykseen siirryttäessä palataan ensimmäiseltä vuosiluokalta tuttuihin tehtäviin. Silloin opeteltiin täydentämään lukuja ensin kymmeneen.

Esim. 7 + 5 = 12
Seitsemään tikkuun lisättiin ensin kolme tikkua ja sitten jäljelle jäävät kaksi tikkua. Nyt lasketaan samalla tavalla, mutta mukaan otetaan myös tikkuniput (10).

Tikkujen jälkeen harjoitellaan kymmenylitystä helmitaulun avulla ja sitten siirrytään käyttämään apuna pelilautaa ja lukutaulukkoa (10 * 10 ruutua). Lukutaulukkoon merkitään ensimmäiseen ruutuun numero 1, kun harjoitellaan yhteenlaskua ja numero 0, kun harjoitellaan vähennyslaskua. Lukutaulukossa ja pelilaudalla käytetään apuna pelinappulaa, jonka avulla siirrytään ensin lähimpään kymmeneen ja sitten lisätään/vähennetään loppumäärä. Samalla tutkitaan lukujen kymmennaapureita. Laskutoimitusten aikana kerrotaan ääneen, mitä tehdään.
Esim. 38 + 4
Askelletaan taulukossa 38:sta ensin 2 askelta eteenpäin ja sitten loput 2. Sanotaan se matematiikan kielellä: 38 ja 2 ja 2 on 42. Lopuksi tapahtuma kirjoitetaan matematiikan kielellä.

Esim. 22 - 7

Ensin vähennetään kaksi (-2) ja sitten loput viisi (-5) eli yhteensä seitsemän (-7).

6. c) YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUA KYMMENYLITYKSIN, KUN LISÄTÄÄN TAI VÄHENNETÄÄN 8 TAI 9.

Apuvälineenä käytetään nytkin lukutaulukkoa. Ensin harjoitellaan laskuja, joissa yhteenlaskettavana tai vähentäjänä on luku 9.
Esim. 35 ja 9 (35 + 9)
35 ja 10 ja siitä pois 1
Esim. 35 - 9:
35:stä vähennetään ensin 10 ja sitten lisätään 1.
Lukutaulukossa opetellaan laskuja paperisten sabluunien avulla. Sabluuna voidaan tehdä joko paperista tai kalvosta, siis se voi olla joko läpinäkyvä tai läpinäkymätön. Läpinäkymättömän käyttö on haasteellisempaa. Ristinmuotoisessa sabluunassa on kuhunkin neljään suuntaan yhden ruudun leveys (sama ruutukoko kuin käytettävässä sataruudukossa). Keskellä ei ole reikää, vaan paperi/kalvo on yhtenäinen risti. Keskelle voi merkitä kynällä tutkittavan luvun ja sen jälkeen tarkastella lukunaapureita. Voidaan myös antaa vihjeitä keskelle kirjoitetusta luvusta (esim. kaksinumeroinen, numeroiden summa on 8, siinä on kaksi samaa numeroa) ja sitten päätellään luku niiden perusteella ja vasta sen jälkeen tutkitaan naapureita. Yhteenlaskettaessa siirrytään yksi alas ja yksi vasemmalle, vähennyslaskua laskettaessa siirrytään yksi ylös ja yksi oikealle.
Nämä voidaan muuttaa myös symbolikielelle ja käytetään apuna vain nuolimerkkejä. (Nuoli alas tarkoittaa yhden askeleen siirtoa alaspäin.)

Kun yhteenlaskettava tai vähentäjä on luku 8, harjoitellaan samalla tavalla:
Yhteenlaskettaessa lisätään 10 ja vähennetään 2 (alas ja kaksi vasemmalle lukutaulukossa).
Vähennyslaskussa vähennetään 10 ja lisätään 2 ( yksi askel ylös ja kaksi oikealle taulukossa).

Molempia laskutyyppejä harjoitellaan myös rahalaskujen avulla. Lapsi saa kokemuksen, että maksettaessa ostosta, jonka hinta päättyy 8:aan tai 9:ään, se kannattaa maksaa kymmenellä markalla.
Esim. Sinulla on 35 mk, ostos maksaa 9 mk.
Ostos kannattaa maksaa 10 mk:n kolikolla, jolloin saa takaisin
yhden markan.

7. YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUA 2-NUMEROISILLA LUVUILLA, MUKANA KYMMENYLITYS

Viimeisessä yhteen- ja vähennyslaskun opettamisen vaiheessa tarvitaan kymmenylitystä. Välissä ollut jakso kerto- ja jakolaskun sisältöjaosta yksinkertaisissa tapauksissa auttaa lapsia kymmenylityksissä. Nyt lasketaan yhteen- ja vähennyslaskuja kaksinumeroisilla luvuilla, kuten

45 + 32		47 - 28
26 + 45		45 - 26

Kun asia on hyvin pohjustettu, nämä laskut opitaan jo helposti.
Esim. 45 + 32 = 45 + 30 + 2
73 - 25 = 73 - 20 - 3 - 2 = ____

Lapset löytävät kokemuksiinsa nojaten helpon ja nopean tien ratkaisuunsa.

Vähennyslaskun tukena on hyvä käyttää apuvälineitä. Esimerkiksi duploja, unifix-palikoita tms.
Esim. 47 - 28

Opettaja ottaa käteensä rasian, jossa on 4 duplotornia (á 10 kpl) ja 7 irtopalikkaa (siis yhteensä 47). Oppilasta pyydetään ottamaan niin monta tornia, että hän saa yhteensä 28 palikkaa.
- hän ottaa/ hänelle annetaan 2 tornia -paljonko se on? - riittääkö se?
- hän ottaa/hänelle annetaan 3 tornia:
- paljonko hänellä nyt on? 30
- riittääkö se? kyllä
- onko liikaa/ pitääkö hänen antaa takaisin? kyllä, kaksi.

47 - 28
47 - 30, jäädään velkaa 2 jne.

Kahdeksaan ja yhdeksään päättyvät luvut kannattaa käydä läpi oppilaiden kanssa erikseen ja huolellisesti.

4. Kerto- ja jakotaulujen laatiminen, ositusjako

Tämän vaiheen opettaminen kestää noin 6-7 viikkoa. Tähän mennessä lukukäsitettä on pohjustettu hyvin ja laskettu kertolaskuja pienillä luvuilla. Tässä vaiheessa on myös tärkeää opettaa rinnalla sanallisten tehtävien ratkaisua.

Seuraavassa tarkastellaan kahta erilaista jakotapaa:

15 : 5 = 3

15 / 5 = 3

Tarkastellaan lähemmin eri jakotapoja:

15 : 5 = 3 voidaan esittää seuraavan esimerkin (tarinan ) avulla : ''Maijalla on toisessa kädessä 15 tikkua (lasketaan tikut). Hän haluaa jakaa tikut rasioihin siten, että jokaiseen rasiaan tulee 5 tikkua.

         lllll        lllll         lllll

Tapahtuma voidaan esittää myös yhteenlaskuna: 5 + 5 + 5 = 15

kertolaskuna 5 * 3 = 15 (viisi tikkua kolme kertaa)

Edellä esitetty on kuvaus SISÄLTÖJAOSTA, koska viisi sisältyy viiteentoista kolme kertaa.

15 / 5 = 3 Kerätään samat 15 tikkua jälleen yhteen kasaan. Nyt Maija haluaa jakaa tikut viiteen rasiaan (tikut jaetaan yksitellen). Piirretään kuva tapahtumasta.

         lll     lll     lll    lll    lll

Tapahtuma voidaan esittää yhteenlaskuna 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

kertolaskuna 3 * 5 = 15 (kolme tikkua viisi kertaa)

Edellä esitetty on kuvaus OSITUSJAOSTA, koska 15 tikkua jaettuna viiteen yhtä suureen osaan on kolme tikkua.

Pikkulasten kanssa on tärkeää tehdä ero näiden kahden käsittelytavan välille. Jatkossa kahden jakotavan hallitseminen auttaa ymmärtämään jakolaskua

* pohjustaa murtolukujen oppimista

* auttaa sanallisten tehtävien ratkaisemisessa

Ylempien luokkien opetus ei enää perustu välttämättä näille kahdelle jakoperusteelle, mutta alaluokilla jakotavat ovat tärkeässä asemassa.

Seuraavat esimerkit havainnollistavat vielä näitä kahta jakoa:

      ooooo    ooooo    ooooo    ooooo  
      _____    _____    _____    _____

(Neljälle lautaselle on kullekin jaettu viisi omenaa)

SISÄLTÖJAKO: Kuinka monta kertaa 20:ssa omenassa on viisi omenaa ? VASTAUS : 4

(nyt tarkoitetaan lautasia)

20 : 5 = 4

OSITUSJAKO: Jos neljä lasta saa yhtä monta omenaa, kuinka monta kukin saa?

20 / 4 = 5

Asiaa voi harjoitella myös mittaamalla:

Otetaan pitkä naru ja mitataan siitä viiden metrin pituisia pätkiä neljä kertaa ja saadaan yhteensä 20 metriä. 5 m * 4 = 20 m (sisältöjako)

Seuraavaksi otetaan kiinni narusta 20 metrin kohdalla ja leikataan saatu pätkä neljään yhtä pitkään osaan. Leikatut pätkät ovat 5 m pitkiä. (ositusjako)

Harjoitusten jälkeen otetaan käyttöön jakomerkki : ( mutta ei vaadita sitä liian aikaisin.)

Lahjakkaiden oppilaiden (luokkien) kanssa voi merkkiä käyttää jo ositus- ja sisältöjaon yhteydessä.

Kertotauluharjoittelu aloitetaan 5:n ja 10:n kertotaulujen harjoittelulla.

Seuraavaksi harjoitellaan 2:n , 4:n ja 8:n kertotauluja ja jakolaskuja. Käsitellään yhteenkuuluvia laskutoimituksia ja etsitään yhteen kuvaan liittyviä eri laskutoimituksia (kirjan otsikko: yksi kuva- kolme tarinaa).

Sitten harjoitellaan 3:n, 6:n ja 9:n kertotauluja

* ensin jokainen kertotaulu erikseen

* tehdään taas sellaisia tehtäviä, joissa vertaillaan toisiinsa kerto- ja jakotauluja

* tehdään paljon tehtäviä lapsille

Kertotauluista viimeisenä harjoitellaan 7:n kertotaulu.

1. Kerätään ''ryväsmuodostelmia'', siis kuvioita, joista voi lukea kertotauluja. Esimerkiksi erikokoisten suklaarasioiden muoviosat tms. sopivat hyvin (''jätemateriaalia'' voi käyttää todella luovasti!) Domino-pelin paloilla voi muodostaa hyvin lukujen 1-10 kertotauluja.

2. Merkitään muistiin

- tätä vaihetta tehdään aluksi paljon lasten kanssa yhdessä. Myöhemmin riittää, että opettaja antaa pari esimerkkiä tapauksesta ja lapset jatkavat siitä itsenäisesti.

3. Kerrotaan ääneen ryppäitä ja harjoitellaan perusteellisesti

- verrataan kertolaskujen tuloksia, huomataan muutoksia, parillisuus-pariton, havaitaan lukujen toistuminen

4. Kertotaulun opetteleminen ulkoa

Tämän jälkeen käsitellään jonkin verran laskuja, joissa jää jakojäännös (jako ei mene tasan). Tällaiset tilanteet liittyvät luonnollisesti elämään, joten niitä voidaan käsitellä jo 2. luokalla, vaikkakin asiaa käsitellään pääasiallisesti ja enemmän 3. luokalla.

Jakso päättyy sanallisten tehtävien harjoitteluun.

Aloitetaan harjoittelu välineillä ennen esim. kirjan kuviin siirtymistä. Etsitään konkreetteja asioita esim. tuolin neljä jalkaa, eläinten neljä jalkaa, dominonappulat. Mietihän, mitä voi muodostaa neljällä tulitikulla, montako kertaa tämä on neljä?

Voidaan laatia taulukko eläinten jaloista. Taulukon riveillä on eläinten nimiä ja sarakkeissa on eläinten lukumäärät. Lapset täydentävät taulukkoon jalkojen lukumäärät.

Jalkojen lukumäärä
	Eläinten lukumäärä
Eläin	1	2	4	8	5	10
Kana	2	4
Kissa	4	8
Hämähäkki	8	16
Muurahainen	6	12

Kerrotaan erilaisista kuvista kertolaskuilla ja sisältöjaolla

(ks. tekstikirjan tehtävä s. 17) Helmet: OOOO OOOO OOOO

''neljä helmeä kolme kertaa''

sisältöjako: ''neljä sisältyy kahteentoista 3 kertaa''

Voidaan taitella paperin vastakkaisista reunoista yksi ruuturivi nurjalle puolelle (saadaan 8:n kertotauluun sopiva ruudukko ) ja sitten taitetaan paperi kaksinkerroin. Näin saadaan esille 4 kertaa 10 ruudukko. Siitä voidaan puolittamalla taas saada 2:n kertotauluun sopivaa harjoitusmateriaalia.

Jos valkoisen kuution pituus on 1, niin mikä on punaisen värisauvan pituus? 4. Entä kahden/kolmen/neljän/viiden punaisen pituus?

Otetaan esille myös seuraavanlainen tehtävä: (tekstikirja s. 19)

Onko se ja sama, jos otetaan viisi neljä kertaa tai neljä viisi kertaa?

Pyydetään neljä lasta jäätelölle. Jokaiselle lapselle annetaan viisi palloa vohveliin. Joukkoon liittyy yksi lapsi lisää. Kuinka hänkin saisi jäätelön? Rahaa ei ole käytettävissä kuin ne 20 mk, jotka on jo käytetty jäätelöihin. Päädytään siihen että jokainen antaa omastaan yhden pallon. Mietitään kumpi tilanne oli parempi jäätelöstä pitäville?

- aluksi jaetaan konkreettisesti esim. suolatikkuja yksi kerrallaan ja käytetään pieniä lukuja.

- kerrotaan kuvasta

- kyseessä on ositusjako, toisin sanoen kuinka moneen yhtä suureen osaan jaetaan?

- käytetään seuraavaa merkitsemistapaa

12 / 4 = ____

''kaksitoista jaettuna neljään yhtä suureen osaan on''

Toinen merkintä viittaa murtolukuihin: 12 / 4 = 3 ''kahdestatoista neljäsosa on kolme''

- kielenkäytössä voidaan tehdä seuraava ero: neljännes - neljäsosa:

'' neljännes'' jos jaetaan yksi kokonainen neljään osaan

''neljäsosa'' jos jaetaan jokin lukumäärä yhtä suuriin osiin (esim. jos sataruudukko jaetaan 4:ään osaan, niin siitä neljäsosa on 25 ruutua)

(Yhteys sisältöjaon ja ositusjaon välillä.)

Miten voi jakaa 24 lappua 8:lle lapselle?

Pyydetään 8 lasta eteen ja jaetaan heille lappuja yksi kerrallaan. Johdatellaan tilannetta niin hyvin että lapset keksivät nopeamman tavan...

Nyt opettaja laskee kaikkien nähden koko nipusta pois 8 lappua. Ei anneta yhtään lapsille vaan asetetaan ne sivuun odottamaan. Taas opettaja laskee 8 lappua nippuun, ja laittaa sivuun. Vielä kerran opettaja laskee 8 lappua nippuun. Sitten jokainen oppilas saa kustakin nipusta lappuja. Kuinka monta kertaa täytyy opettajan koskea nippuun, jotta saadaan kahdeksan? Mikä sisältyy 24:ään kolme kertaa? (Lasketaan sisältöjaolla ositusjako.)

Katsokaa 24:ää, kuinka monta kertaa 8 sisältyy siihen? 8 sisältyy yhteensä kolme kertaa 24:ään, ''on yhteensä kolme kertaa 24:ssä''.

Omenoiden jakaminen: (oppikirja s. 22, teht. 24)

Kuvassa on 10 omenaa. Ne pitää jakaa kahdelle lapselle. Montako kertaa täytyy koskea omeniin, jotta jako onnistuu? (5 ) Yksi lapsi saa viisi omenaa.

24 luumua jaetaan kahdelle lapselle. Montako kertaa luumuihin pitää koskea? Montako kertaa 2 on 24:ssä? (12) Kullekin tulee 12 luumua.

Yhteenlasku 12 + 12 = 24

Kertolasku 2 * 12= 24

24 jaetaan kahtia, yhdessä osassa on 12, 12 on 24:ssä kaksi kertaa.

Edellä käsitelty menetelmä, jolla käsitellään vaikeaa ositusjakoa, pitää ottaa esille oppilaiden kanssa sopivana ajankohtana - ei liian aikaisessa vaiheessa.

Jaetaan lapsille suklaalevyä esittävä paperiruudukko (3 * 6 ruutua). Kuinka monta palaa levyssä on? Miten levyn voisi jakaa lapsille? (paloja ei yleensä tarvitse leikata irti vaan oppilaat keksivät voivansa käyttää rivejä hyväksi)

Kolmeen osaan: 18 / 3 = 6

Kuuteen osaan: 18 / 6 = 3

Kahtia 18 / 2 = 9

jne...

Vertaillaan eri tilanteita ja pohditaan milloin suklaansaanti onnistuu parhaiten. Oppilaille annetaan tarvittaessa useita ruudukkoja ja sallitaan myös konkreettinen ''suklaapalojen'' irrottaminen eli jakamistapahtuma.

Pikalukuharjoituksia (oppikirja s. 24)

Näissä tehtävissä ei vaadita kuvien opettelemista, mutta oppilaat oppivat näkemään suhteita ja yhteyksiä myös kuvissa esim. 4 * 6 , 8 * 3 ...

Kertolaskuun liittyviä suhteita voidaan harjoitella esim. seuraavalla tavalla:

Jokaisella oppilaalla on 16 tikkua pulpetilla. ''Lasketaan'' tikut ja kerrotaan matematiikan kielellä, kuinka monta kertaa laitettiin yksi tikku pöydälle (16). Seuraavaksi yhdistellään tikut pareiksi ja mietitään, kuinka monta kertaa otettiin kaksi tikkua kerrallaan (8). Sitten yhdistetään kaksi paria toisiinsa, kuinka monta kertaa yhdistettiin kaksi paria toisiinsa? (4), yhdistetään jälleen kaksi ryhmää ja mietitään kuinka monta kertaa laitettiin kaksi ryhmää yhteen (2). Viimein yhdistetään viimeiset kaksi ryhmää ja todetaan että 16 tikkua otetaan yhden kerran.

8:n kertotaulun opettelun loppuvaiheessa oppilaat voivat kirjoittaa luvut seuraavasti kakkosen välein:

     2   4   6   8   10  12  14  16  18
         20  22  24  26  28  30  32  34
         38  38  40  42  44  46  48  50
         52  54  56  58  60  62  64  66
         68  70  72  74  76  78  80  82
         84  86  88  90  92  94  96  98
         100

Tehtäviä:

1) Ympyröi punaisella lukujen joukosta ne luvut jotka kuuluvat 8:n kertotauluun.

Sitten pyydetään lapsia sanomaan näiden lukujen ykköset. Tällöin ensimmäinen lapsi luettelee: 8, 6, 4, 2, 0. Toinen lapsi jatkaa 8, 6, 4, 2, 0 ja kolmas lapsi kertoo loput 8, 6 (siis luvuista 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ja 96 ykköset).

2) Ympyröidään sinisellä 4:n kertotauluun sopivat luvut...

3) Ympyröidään vihreällä 2:n kertotauluun sopivat luvut...

Seuraavaksi lapset ottavat esille kyllä-ei - tikkarit. Opettaja esittää taulukkoon liittyviä väitteitä ja oppilaat päättelevät, pitääkö väite paikkaansa vai ei.

esim.

- jokainen luku sai jonkin värimerkinnän

- eniten merkintöjä saivat 4:n kertotauluun kuuluvat luvut

- 18 on sekä 2:n että 8:n kertotauluun kuuluva

- 16 kuuluu kaikkiin kertotauluihin

- on olemassa luku, joka kuuluu kahdeksan, neljän ja kahden kertotauluun

(taululla on kolme paitaa)

Montako vaatetta näet ? (3)

a) Niina ompelee yhteen paitaan neljä nappia. Nappeja on yhteensä 12. Moneenko paitaan niistä kaikista riittää? (kiinnitetään napit paitoihin)

Taululla on valmiita lappuja joihin on merkitty 12, 4, 3, = , :

Mietitään yhdessä, mitä lappuja käytetään taululta esittämään tätä tapahtumaa matematiikan kielellä

12 : 4 = 3

b) Nina haluaa ommella napit kolmeen paitaan. Nappeja on yhteensä 12.

Kuinka monta nappia tulee yhteen paitaan?

Merkitään vastaavasti taululla olevilla samanlaisilla lapuilla matematiikan kielellä:

12 / 3 = 4

c) Nina laittaa yhteen paitaan neljä nappia. Paitoja tulee kolme.

4 * 3 = 12 ''neljä nappia kolme kertaa''

Todetaan että samoilla tiedoilla saatiin kolme erilaista laskutoimitusta. Tämä tehtävä on vaikea, mutta osa oppilaista ymmärtää sen...

(taulukuva kolmesta maljakosta, joissa jokaisessa on 5 kukkaa.)

Taululla on myös seuraavat laput:

Opettaja lukee tarinat ja tunnistetaan oikeat kyltit taululta. Ratkaistaan myös avoimet lausekkeet.

a) Äiti osti torilta 15 kukkaa. Kotona hän sijoitti ne kolmeen maljakkoon. Kuinka monta kukkaa tuli yhteen maljakkoon?

b) Äiti osti kolme kukkakimppua (piirretään kimput) . Jokaisessa kimpussa oli viisi kukkaa. Montako kukkaa äiti osti?

c) Äiti valmisti 15:sta kukasta kimppuja . Hän laittoi yhteen kimppuun aina viisi kukkaa. Montako kimppua äiti valmisti?

Asetetaan pöydälle esim. kolme papua ja niiden viereen peili. Peilistä näkyy kaksi kertaa kolme papua. Lisätään pöydälle kolme papua. Mikä kertolasku peilistä nyt näkyy? 4 * 3 jne...

- lukujonon muodostumisessa nähdään seuraava säännönmukaisuus:

- sataruudukosta (taitellusta paperista) voidaan havaita miten 9:n kertotaulu on suhteessa 10:n kertotauluun.

                                        9     10 - 1
                                    18        20 - 2
                                27            30 - 3
                            36                40 - 4
                        45                    50 - 5
                    54                        60 - 6
                63                            70 - 7
            72                                80 - 8
        81                                    90 - 9  

Kun harjoitellaan 9:n kertotauluja voi käyttää seuraavanlaista menetelmää.

9 * 5 = ____ Kuinka laskun vastaus alkaa? Vastaus alkaa nelosella.

4 5 ( Ei siis pyydetä heti kerralla ratkaisemaan koko tulosta)

9 * 7 = _____ Kuinka laskun vastaus alkaa? Vastaus alkaa....

6 3

9 * 4 = _____ Kuinka....

3 6

Vasta sitten pyydetään toista lukua. Huomataan että vastausten numeroiden summa on aina 9!

9 * 8 = 7 2 Alkaa 7:llä, oppilas etsii perään sopivan luvun...

Sormien avulla harjoittelu

Asetetaan kädet rinnakkain kämmenet alas päin. Numeroidaan sormet lähtien vasemman käden pikkusormesta. Tällöin oikean käden etusormi on numero 7. Sen vasemmalla puolella on 6 sormea, eli tulossa on 9 * 7 on 6 täyttä kymmentä. Oikean etusormen oikealla puolella on 3 sormea, tulossa 9 * 7on kolme ykköstä.

- Opetellaan viimeisenä ja silloin kaikki muut tapaukset, paitsi 7 * 7, ovat jo lapsille tuttuja.

Sanallisia tehtäviä ratkaistiin jo ensimmäisellä luokalla. Toisella luokalla palautetaan mieleen tapahtumat ja se, miten niistä puhuttiin matematiikan kielellä (esimerkiksi ''Kuudesta lampusta sammutettiin viisi'', 6 - 5).

Edelleen tehdään tapahtumia eri välineillä ja edetään rauhassa vaiheittain, konkreetista abstraktiin. Toisella luokalla opetetaan lapsille algoritmi eli kaava, jonka mukaan etenemällä sanallisten tehtävien ratkaisu onnistuu. Pyritään myös pikku hiljaa tarkempaan ja hiotumpaan matemaattiseen ilmaisuun ja merkintöihin. Tarkoitus on, että lapset oppivat vastaamaan tehtäviin sekä suullisesti että kirjallisesti.

1. Lue tehtävä huolellisesti useaan kertaan.

On tärkeää huomioida heikot lukijat ja huolehtia siitä, ettei matematiikan osaamisen esteenä ole heikko lukutaito. Jos opettaja sanelee tehtävän, se on luettava lapsille useaan kertaan ja näytettävä samalla esim. kalvolta.

Esimerkkitehtävä: '' Lastentarhan ryhmässä oli 17 tuolia. Maanantaina ryhmään tuli 14 lasta. Montako tuolia jäi tyhjäksi?''

2. Kuvittele tilanne mielessäsi.
3. Tee tehtävästä kekseliäitä muistiinpanoja. Kerää tiedot ja etsi kysymys.

Esimerkkitehtävästä voidaan esim. piirtää 17 tuolia ja 14 lapsen kasvot. Kysymysmerkillä ilmaistaan kysymystä. Koska vastaukseksi odotetaan tuolien määrää, laitetaan tuolin kuva kysymysmerkin viereen.

4. Kirjoita tehtävästä matematiikan kielellä.

Tässä kohdassa hyväksytään eri tapoja ajatella ja kirjoittaa tehtävän lauseke. On tärkeää erottaa lausekkeesta se luku, joka vastaa kysymykseen. Erottamiseen voi käyttää värikynää tai tietyn muotoista kuviota, jonka sisältä ratkaisu löytyy.

Esimerkkitehtävästä kirjoitetut lausekkeet (vastaus on lihavoitu):

17 - 14 = 3

14 <3 17 (Tällä tarkoitetaan, että 14 on 3:lla pienempi kuin 17 ja 3 on vertailumerkin ''suussa''.)

14 + 3 = 17

17 - = 14 = 3

5. Laske (eli ratkaise tehtävä).
6. Vastaa tehtävän kysymykseen.

V: Kolme tuolia jäi tyhjäksi.

Tai:

V: Ryhmässä 3 (tuolin kuva) jäi tyhjäksi.

Sanalliset tehtävät jaotellaan toisaalta yksinkertaisiin ja yhdistettyihin tehtäviin sen mukaan, monessako vaiheessa ja monellako laskutoimituksella ne ratkeavat. Toinen jaottelu voidaan tehdä suoriin ja epäsuoriin tehtäviin. Seuraavassa annetaan esimerkkejä eri tyyppisistä tehtävistä.

Yksinkertainen tehtävä (ratkeaa yhdellä laskutoimituksella)

''Liisalla oli kolme kiiltokuvaa. Hän antoi niistä Maijalle yhden. Montako kiiltokuvaa Liisalle jäi?'' 3-1= 2

Yhdistetty tehtävä (tarvitaan monta laskutoimitusta tai sulkujen käyttöä)

''Äiti laittoi tarjottimelle 17 rahkaleivosta ja 18 luumuleivosta. Mirja söi niitä 5. Montako leivosta jäi tarjottimelle?'' 17 + 18 - 5 = 30 tai 17 + (18 - 5) = 30 tai 17 + 18 = 35; 35 - 5 = 30.

Suora tehtävä (tehtävästä kuulee, millä laskutoimituksella se ratkeaa)

Tehtävissä voi olla esimerkiksi näitä ilmauksia:

''meni rikki'' -> vähennyslasku

''kaksi kertaa niin vanha kuin'' -> kertolasku

''otti neljäsosan'' -> jakolasku

Epäsuora tehtävä (kuulostaa päinvastaiselta kuin siihen tarvittava laskutoimitus)

'' Lasse on 28 v. Hän on 8 v. nuorempi kuin Pekka. Kuinka vanha Pekka on?''

Tässä tehtävässä sana ''nuorempi'' viittaa vähennyslaskuun, mutta tehtävä ratkeaa yhteenlaskulla. 28v + 8v = 36v (Huom! Lapsi voi ajatella tehtävän myös näin: 36 - 8 = 28, mikä on myös hyväksyttävä, mikäli hän osaa poimia laskusta vastauksen kysymykseen.)

Tärkeää on, että lapset saavat ratkaista erilaisia tehtäviä ja että niitä käsitellään heidän kanssaan.

Kun ratkaisuvaiheet on käyty lasten kanssa läpi, ryhdytään jokaista vaihetta tarkastelemaan ja harjoittelemaan lähemmin.

Käsitteen ''sanallinen tehtävä'' ymmärtämiseen auttaa seuraava johdatteleva tehtävä:

Lapsille jaetaan laput, joihin on kirjoitettu sanat:

SANAT TEKSTI TAVUT LAUSEET

SANALLINEN TEHTÄVÄ

Opettaja lukee seuraavan tehtävän:

''Talvi-iltana Maija katseli TV:tä. Hän katsoi ensin 10 min kestävän piirretyn ja sitten 45 min pitkän dokumenttiohjelman. Seuraavana olisi tullut kiinnostava osa tutusta sarjaohjelmasta ja Maijan olisi tehnyt mieli katsoa vielä sekin ja vielä monta muuta ohjelmaa sen jälkeen. Äiti oli kuitenkin sitä mieltä, että ei ole hyväksi katsoa yhtä mittaa niin kauan TV:tä ja käski Maijan mennä omaan huoneeseensa.''

Kyseessä on teksti – ei sanallinen tehtävä, vaikka siinä esiintyy lukuja (ei kysytä mitään). Lapset voivat tarjota myös lappua ''lauseita'' ja tästä keskustellaan.

Jatketaan siten, että kysytään lapsilta, miten tarinasta saataisiin sanallinen tehtävä.

Kerätään näkyviin tiedot, joita siinä on annettu ja muotoillaan niihin kysymys (Kuinka kauan Maija oli yhteensä katsonut TV:tä?).

Jälleen johdatellaan ongelmakeskeisesti laittamalla taululle lappuja, joihin on kerätty tietoja sanallisesta tehtävästä. Lapuissa on merkitty eri tavoin lyhenteillä tehtävän tiedot ja kysymys. Mukana on myös lappu, jossa lukee koko tehtävä sekä lappu, josta puuttuu kokonaan merkintä kysymyksestä. Huomataan, että näissä kahdessa tapauksessa ei ole kerätty tietoja ohjeen mukaan.

Ensimmäisellä luokalla tietojen keruu voidaan tehdä siten, että piirretään kaikki tehtävässä mainitut asiat kuvina näkyviin. Pienillä luvuilla tämä on mahdollista. Toisella luokalla, kun luvut ovat jo suurempia, keksitään luovia tapoja lyhentää ilmausta.

Tietojen keruuta opeteltaessa tutkitaan myös tehtäviä, joista puuttuu jokin ratkaisun kannalta välttämätön tieto ja sellaisia, joissa on ylimääräistä tietoa.

Esimerkkejä:

''42 sorsaa ui järvessä. 3 kalastajaa huomasi, että 23 sorsaa meni rannalle. Montako sorsaa jäi veteen?'' (turhaa: kolme kalastajaa huomasi)

'' Äiti on 30 v. Isä on vanhempi kuin äiti. Paljonko heillä on ikäeroa?''

(Isän ikää ei kerrota.)

(Tehtävää voidaan muokata niin, että sen voi ratkaista.)

Tavanomaisesta poikkeavia tehtäviä voivat olla myös seuraavat:

''Lapset menevät ammeeseen (kuva, jossa on pulska ja hoikka lapsi). Kummassa ammeessa vesi nousee korkeammalle?''

''Kumpi kuumailmapallo pääsee korkeammalle (kuvassa kaksi kuumailmapalloa, toisen kyydissä enemmän ihmisiä kuin toisen)?''

Näissä tehtävissä on tehtävä johtopäätöksiä. On tärkeää antaa myös tehtäviä, jotka eivät ratkea ollenkaan tai joihin on useita oikeita ratkaisuja.

Tietojen keruuta voidaan harjoitella leikinomaisesti esim. siten, että lapset tuovat kouluun tuotteiden hintalappuja tai kyselevät tietoja naapuriluokkien opettajilta. Tietoja voi koota pylväsdiagrammiksi ja niiden pohjalta voi muotoilla itse sanallisisa tehtäviä.

Sanallisen tehtävän ''sielu'' on siitä kirjoitettava avoin lause. On toivottavaa kirjoittaa avoin lause sellaisessa muodossa, että kun se täydennetään, niin sen lopusta löytyy vastaus tehtävän kysymykseen. Lapsilta tulee hyväksyä myös muita vaihtoehtoja. Heitä ohjataan ymmärtämään laskutoimitusten välisiä yhteyksiä ja löytämään lauseesta luku, joka on vastaus kysymykseen.

Esimerkki erilaisista tavoista kirjoittaa avoin lause samasta tehtävästä:

'' 65:stä oppilaasta 42 on poikia. Kuinka moni oppilaista on tyttö?''

1. 65 - 42 = 23
2. 65 - 42 = = 23

c. 65 - = 42

d. + 42 = 65

e. 42 + = 65

Seuraava tehtävä auttaa lapsia havainnollisesti ymmärtämään avoimen lauseen muodostamisen periaatteen ja johdattaa samalla yhtälön ja epäyhtälön käsitteisiin.

Taululle merkitään esim. seuraava avoin epäyhtälö

30 > ______ + 13

Viivan paikalle kiinnitetään tauluun teipillä tai sinitarralla läpinäkyvä muovipurkki. Luetaan avoin lause siten, että korostetaan PUUTTUVAA lukua: ''JOKU ja 13 ovat yhteensä vähemmän kuin 30.''

Viereen kiinnitetään läpinäkyvä muovipussi roskakoriksi. Käytetään lukukortteja ja sovitetaan niitä vuorotellen muoviastian paikalle – tutkitaan, tuleeko lauseesta tosi. Jos luku ei tee lausetta todeksi, se laitetaan roskapussiin. Lapsia ohjataan johtopäätösten tekoon myös tässä harjoituksessa: Jos roskapussiin on laitettu esim. luvut 19 ja 26, voidaan päätellä, että myöskään luvut 20 - 25 eivät tee lauseesta totta.

Abstraktion portaita edeten piirretään muovipurkkia apuna käyttäen taululle ympyrä samaan kohtaan, jossa purkki oli. Saadaan jo hieman epäyhtälöä muistuttava tuotos:

30 > + 13

Nyt voidaan kirjoittaa oikeat (sopivat luvut):

Oikeat : 8, 15, 2,...(Lukujen ei tarvitse olla suuruusjärjestyksessä)

Roskapussin kuvan perään voidaan luetella väärät: 19, 20, 17, ...

Sääntöleikeistä on kirjoitettu 1. luokan kurssissa kohdassa ''leikit ja koneet, joilla on säännöt''. Nyt esitellään havainnollinen tapa oppia löytämään koneen käyttämä sääntö ja opitaan myös ''kääntämään'' kone eli löytämään käänteinen laskutoimitus.

Piirretään 2 rivin ja 7 sarakkeen taulukko.

Ylärivin 1. sarakkeessa on nippu neliönmuotoisia tarralappuja, alarivin 1. sarakkeessa vastaavasti kolmion muotoisia. Neliölappuun merkitään ''syöte'', esim. luku 5. Alariville, syötteen alapuolelle, liimataan kolmion muotoiselle lapulle kirjoitettu ''tulos'', esimerkiksi 15. Mietitään, mitä koneessa tapahtui luvulle 5. ( Aluksi vaihtoehtoja on enemmän kuin yksi, tässä voi olla joko kolmella kertominen tai luvun 10 lisääminen). Seuraava syöte : 3, tulos 9. Lapset arvelevat, mitä kone mahtaisi antaa, kun sinne syötetään luku 4. Nyt nähdään, että kone kertoo luvun kolmella.

Jatketaan taulukon täyttämistä, myös niin päin, että ensin laitetaan näkyviin tulos ja syöte on pääteltävä tästä.

Tämän jälkeen irrotetaan neliölappuja, syötteitä, ja kysytään: Mitä tälle luvulle tapahtui koneessa?'' Vastaus: kone kertoi sen kolmella. Mitä saatiin tulokseksi? 15.

Lappuja pinotaan päällekäin ja saadaan seuraavan muotoisia yhtälöitä:

5 * 3 = 15 (viisi kerrottuna kolmella on viisitoista)

Sitten otetaan tyhjät neliö- ja kolmiolaput ja saadaan koneen sääntö yleisessä muodossa (''Jos laitan jonkin luvun koneeseen, mitä sille tapahtuu?'')

* 3 =

Tämän jälkeen ''käännetään'' kone – ellei se onnistu konkreetisti, käännetään ajatuksissa ja kysytään:

Jos laitan käännettyyn koneeseen sisään luvun 18, mitä sille tapahtuu koneessa?

Vastaus: kone jakaa sen kolmella.

Tästä saadaan vastaavasti lapuilla jakolaskuyhtälön yleinen muoto.

Huom! Tällä harjoituksella pohjustetaan myös funktion ja käänteisfunktion käsitteitä.

6. Geometria

Aluksi lukijalle: geometrian käsitteitä; on kirjoitettu lainausmerkkeihin. Tämä merkintätapa tarkoittaa, että lasten kanssa toimittaessa kyseinen geometrian käsite korvataan lapsille tutulla arkikielen sanalla. Esimerkiksi "suorakulmio" suorakulmaisen särmiön tahkona oli unkarinkielellä "téglalap" pienten lasten opetuksessa. Itse asiassa téglalap tarkoittaa tiiliskiven sivua.

Tavoitteena on kokemusten hankkiminen. Lapset hankkivat monipuolisia kokemuksia ympäristön muodoista ja geometrisista ominaisuuksista. Kokemuksia hankitaan tasokuvioista, kappaleista, rakennelmista, piirroksista ja esineiden liikuttelusta. Opetussuunnitelmassa ei ole lapselle tiedollisia tavoitteita, sen sijaan opetussuunnitelma velvoittaa opettajaa järjestämään mahdollisuuksia kokemukselliseen toimintaan ja harjoitteluun. Esimerkiksi luokittelu on toiminnallinen tavoite, ja opettaja havainnoi lapsen toiminnasta osaamista. Osaaminen on nähtävissä siitä, osaako lapsi luokitella jonkun tasokuvion oikeaan luokkaan tai osaako lapsi sanoa, kuuluko kappale tiettyyn luokkaan vai ei. On hyvä, jos lapsi osaa laskea kappaleen "sivutahkojen" lukumäärän.

Matemaattiset käsitteet eivät ole tarpeen. Matemaattisia käsitteitä käytetään silloin, kun ne ovat lapsille tuttuja arkikielestä. Esimerkiksi tiiliskivi tarkoittaa "suorakulmaista särmiötä". Kolmi- ja nelikulmiot ovat tuttuja loogisista paloista. Lapset ovat kokeilleet myös peilaamista ensimmäisellä luokalla.

Geometrian opetuksen menetelmänä on konkreettinen tekeminen monipuolisilla välineillä. Tie konkreettisesta abstraktiin kuljetaan alusta loppuun, ei vain kerran, vaan monta kertaa. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että tehtäviä toistetaan monta kertaa. Lapset saavat tehdä vapaasti havaintoja erilaisista esineistä ja kuvista. Havainnoista keskustellaan ja väitellään. Lapset tutkivat "tahkoja" värisauvasta ja muistakin kappaleista.

Lasten oppimisen olisi oltava iloista. Joillekin lapsille laskeminen ei ole iloista toimintaa, mutta geometrian tehtävät ovat iloista puuhaa.

Geometrian opetuksen yleisenä periaatteena on, että lähdetään liikkeelle 3-ulotteisesta, siis avaruudesta. Geometrian keskeiset teemat ovat 1. Luokittelu avaruudessa ja tasossa; 2. Rakentelu avaruudessa ja tasossa sekä 3. Peilaaminen.

1.1 Esineiden (kappaleiden) luokitteluja

Kun luokitteluja tehdään paljon, lasten huomio kiinnittyy vähitellen geometrisiin ominaisuuksiin. Esimerkiksi tarkastellaan erilaisista esineistä seuraavia ominaisuuksia

• Onko esine laatikon muotoinen vai ei?

• Onko esine kappale vai ei?

• Onko esine pahvia vai ei?

• Onko esineessä pohjaa vai ei?

• Onko esine kulmikas vai kaareva?

• Onko esineessä reikää vai ei?

• Voiko esineitä vierittää vai ei?

Vaikka lapsi ei sanoisi sanaakaan, mutta osaa näyttää asian oikein toiminnallaan, toiminta kertoo, että lapsi ymmärtää asian. Aluksi annetaan lasten itsensä määritellä ominaisuuksia omalla kielellään. Kun kokemuksia karttuu, niin nimeäminenkin edistyy. Jos lapsi ei ole vielä oppinut tahko-käsitettä, niin hän ei sano kappaleiden luokitteluperusteeksi tahkojen lukumäärää.

Esineiden (kappaleiden) kuvien luokitteluja

Tarkastellaan esineitä myös kuvista. Kuvien tarkastelun tavoitteena on löytää esineiden luokitteluperusteita. Esimerkiksi:

• Ovatko kuvan esineet kulmikkaita vai pyöreitä?

• Onko kuvan esineissä kaarevia vai suoria reunoja?

Kuvien ja esineiden tarkasteluun liitetään "Jatka lausetta" –tehtäviä. Esimerkiksi Niiden joukossa on …reiällisiä, reiättömiä … esineitä, joissa on ura … esineitä, joiden sisään käsi menee, mutta ei tule ulos. Luokitellaan kuvan esineitä ominaisuuksien perusteella. Esimerkiksi reiättömät esineet, yksireikäiset, kaksi- tai useampireikäiset

1.2 Luokittelua tasossa

Luokitellaan myös tasokuvioita. Tasokuviot valmistetaan luokittelutehtävään tavoitteen tai ongelman suuntaisesti, ei mitä tahansa. Tasokuvioita valmistettaessa huomioidaan, että kaikki kuviot eivät ole vain valkoisesta paperista, jotta ei tule vääriä yleistyksiä. Tasokuvioiden on syytä olla värikkäitäkin, ohuesta paperista tai paksusta pahvista leikattuja, kuviollisia, ääriviivaltaan kaarevia, 1-2 reikäisiä, epäsäännöllisiä ja säännöllisiä kuvioita. Kulmissa on teräviä, suoria, tylppiä ja sisäänpäin olevia (konveksi)kulmia. Sisäänpäin olevia kulmia voi kutsua loviksi lasten kanssa puhuttaessa.

Kun tavoitteena on oppia kolmikulmio eli kolmio, niin lasten havainnoitavana on ensin monikulmioita, pieniä ja suuria; suorakulmioita ja ei-suorakulmioita; pitkä- ja lyhytsivuisia. Monikulmioista otetaan pois muut kuin kolmikulmiot. Kolmikulmioita tulee olla useita erilaisia, samoin myös muita monikulmioita.

Opettajalla on käytössä isokokoiset kuviot, jotta demonstraatio ryhmälle on selkeästi nähtävissä. Lisäksi varataan oppilaskohtaiset kuviot, jotka ovat kooltaan pienemmät kuin opettajan kuviot. Luokitteluja tulee tehdä monella eri tavalla.

Vapaa luokittelu

Lapsilla on kirjekuoressa erilaisia tasokuvioita. Lapset tutkivat kuvioita - luokittelevat ne omilla kriteereillään – katsotaan toisten lasten ratkaisuja – keksitään toisten luokittelukriteerit – puhutaan paljon erilaisista kriteereistä. Tässä prosessissa lasten kokemukset ja tiedot lisääntyvät sekä monipuolistuvat.

Ole opettajana varovainen ennen kuin arvioit lasten ratkaisuja oikeiksi tai vääriksi. Lapset nimittäin keksivät ratkaisuja, joita aikuinen ei tule ajatelleeksi. Jos lapsen ratkaisu tuntuu arveluttavalta, kysy lapselta, mitä hän ajatteli ratkaistessaan kyseisellä tavalla. Jos ryhmittely ei ole oikein, ohjaa lasta kysymyksillä ja toiminnalla oikeaan suoritukseen.

Tehtävät, joissa luokittelukriteeri on annettu

Opettaja aloittaa ryhmittelyn, jota lapset jatkavat. Etsitään taululla olevista kuvioista ne, jotka kuuluvat mihinkin opettajan aloittamaan ryhmään. Totutetaan lapset siihen, että he eivät heti sano ääneen luokittelukriteeriään. Näin kaikki lapset saavat tilaisuuden ajatella itse. Lapset pyytävät sovitulla merkillä kuiskausvuoroa opettajalle. Kuiskausvuoron merkkinä voi käyttää käsiä suun ympärillä. Opettaja vastaa kuiskaukseen: "Kyllä" tai "mieti vielä" tai ei sano mitään. Näin lapsi saadaan tarkistamaan ajatteluaan.

Otetaan esimerkiksi kaksi kuviojoukkoa, joissa toisissa on sisäkulma (lovi) ja toisissa ei ole sisäkulmaa (lovea). Jos joku oppilaista keksii ratkaisun toisia oppilaita aikaisemmin, niin annetaan hänelle paperi, josta voi leikata lisää ryhmiin kuuluvia kuvioita.

Esimerkki: symmetristen kuvioiden joukko ja ei-symmetristen kuvioiden joukko

Symmetriset kuviot Epäsymmetriset kuviot

Tutkitaan kuvioita peilillä, ovatko ne peilautuvia. Kuvioita voidaan myös yrittää taittaa kahtia, jolloin saadaan samanlaiset puolikkaat. Jos symmetriatehtävissä joku oppilas ottaa oma-aloitteisesti peilin esille, niin sanotaan toisille vihjeeksi: "Joku otti peilin." Jos näissä tehtävissä on vaikeuksia, voidaan jättää tehtävä ratkaisematta, sulkea tehtäväkirja ja pyytää lapsia miettimään vielä tehtävän ratkaisua. Tehtävään voidaan palata vaikkapa myöhemmin päivällä.

Kappaleita ja tasokuvioita luokitellaan yhtä aikaa, koska luokittelua seuraa avaruudessa tapahtuva rakentelu.

Rakennusmateriaaleja ovat värisauvat, palasokerit, tulitikkulaatikot, lääke- ja voidepakkaukset, erilaiset kotelot ja rasiat, pienet ja suuret legot sekä puiset rakennuspalikat. Puiset rakennuspalikat ovat legoja haasteellisempia rakennettavia, koska puisia rakennuspalikoita lapset joutuvat miettimään ja kokeilemaan, mitkä palat sopivat yhteen. Lapset tietävät legoista, miten ne liitetään toisiinsa.

2.1 Kolmiulotteisen rakentelun kehittelyvaiheet

1. vapaa rakentelu

2. mallin mukainen rakentelu

3. kuvan tai pohjapiirroksen mukainen rakentelu

4. suullisen ohjeen mukainen rakentelu

Aluksi opettaja rakentaa samaan aikaan oppilaiden kanssa. Vaikeuksissa olevat lapset hyötyvät siitä, että näkevät opettajan rakentavan malliksi. Opettajan kannattaa rakentaa isokokoisilla värisauvoilla esimerkiksi tarjottimelle, jotta kaikki oppilaat näkevät hyvin. Tarjottimen avulla rakennelmaa voidaan käännellä eri suuntiin sitä rikkomatta. Jos rakennelma ei heti oppilailta onnistu, niin se puretaan ja yritetään rakentaa uudelleen.

Seuraavaksi opettaja rakentaa piilossa mallin, jonka oppilaat jäljentävät. Rakennelmia käännellään ja tutkitaan eri puolilta. Rakennelmia katsottaessa lapset tutkivat niitä eri näkökulmista. Tehdään myös rakennelmia, jotka ovat eri asennossa kuin malli tai eri materiaalista kuin malli.

Kuvan tai pohjapiirroksen mukaisesta rakentamisesta

Aluksi värisauvoilla rakennetaan valmiin pohjapiirroksen päälle. Sitten rakennetaan vihon sivun ruudukkoon, johon piirretään rakennelman ääriviivat. Ruutuihin merkitään luvuilla, montako palikkaa kuhunkin torniin tulee. Näin lapset huomaavat, että erikokoisissa rakennelmissa voi olla sama pohjapiirros.

Aurinko- ja kuutalojen rakentaminen

Kahden talon pohjapiirroksiin sovitaan tunnukset aurinko ja kuu. Tehdään pohjapiirroksten päälle "aurinko-" ja "kuutalot" valkoisista värisauvoista. Lasketaan molemmista kuutiot. Verrataan, kumpi taloista on isompi. Nopeat lapset voivat piirtää lisärakennuksen pohjapiirroksen ruutupaperille ja rakentaa suunnittelemansa rakennuksen. Voidaan tehdä sama rakennus myös erivärisistä sauvoista.

Pohjapiirroksen värittäminen: väritetään pohjapiirros käytettyjen värisauvojen mukaan.

Rakennuskokeiluja värisauvoilla

Tehdään aurinkotalo vain vaaleanpunaisista sauvoista. Havaitaan, että rakentaminen ei onnistukaan.

Tehdään kuutalo vaaleanpunaisista. Huomataan, että kuutalon voi rakentaa pelkistä vaaleanpunaisista sauvoista. Väritetään kuutalo vaaleanpunaiseksi.

Kuvissa olevien rakennelmien vertailua

Toinen taloista on kyljellään. Kumpi? Tee siitä pohjapiirros ja rakenna se. Merkitse pohjapiirrokseen kuutioiden lukumäärät.

Rakennetaan muistista

Katsotaan hetki jotain rakennelmaa tai rakennelman kuvaa. Sitten rakennelma tai kuva piilotetaan, ja rakennetaan muistinvaraisesti. Tällaisilla harjoituksilla kehitetään visuaalista muistia.

Peilin avulla rakentaminen

Katsotaan mallirakennusta peilistä. Peili pidetään pystysuorassa. Rakennetaan peilistä näkyvä rakennus.

Pilli peilin tilalla (johdattelua symmetria-akseliin)

Korvataan peili pillillä. Rakennetaan peilikuva. Tarkistetaan rakennelma peilillä.

Kehon symmetriaa

Kumpaankin käteen otetaan sama esine, joita liikutetaan yhtä aikaa. Rakennetaan molemmilla käsillä taloa yhtä aikaa. Syntyy peilikuvallinen eli peilautuva rakennus.

Onko rakennus "peilautuva"?

Rakennuksen peilautuvuutta voidaan tutkia jakamalla se kahteen osaan. Mikäli jako voidaan tehdä niin, että osat ovat toistensa peilikuvia, on rakennus peilautuva.

Rakennelmia tulitikkurasioilla (johdattelua kappaleen tahkoihin)

Lasketaan yhdessä rasian "tahkot". Havaitaan, että niitä on kuusi.

Rakennetaan kaupunki tulitikkurasioilla eli "suorakulmaisilla särmiöillä". Parannellaan päiväkotia tapetoimalla se joka puolelta. Kuinka monta tapetin palaa tarvittiin? "Riisutaan" rakennuksista tapetit, ensin isot pinnat, sitten pohja ja katto (katot) ja lopuksi portailta. Lasketaan palojen lukumäärä.

"Puetaan" rasian päälle pinta, "riisutaan" pinta. Opettajalla on iso rasia, lapsilla pienet. Huomataan, että kaikilla on kuusi tahkoa, vaikka ne ovatkin erikokoisia.

Tavoitteena on, että lapset osaavat valita kappaleiden joukosta laatikon muotoiset sillä perusteella, että niissä on kuusi tahkoa. Kuutiosta voi tulla väittely: onko se laatikon muotoinen? Osoitetaan, että siinäkin on kuusi tahkoa. Huomaa, ettei korosteta lapsille sitä, että jokainen tahko on suorakulmio tai sen erikoistapaus neliö.

Pienentyvä rakennelma (johdattelua suorakulmaisten särmiöiden, myös kuution, yhteisiin ominaisuuksiin)

Kiinnitetään useita valkoisia värisauvoja sinitarralla peräkkäin toisiinsa. Havaitaan yhdistelmä laatikon muotoiseksi. Poistetaan yksi valkoinen sauva. Onko jäljelle jäävä osa laatikon muotoinen? On. Poistetaan yksi. Onko vieläkin laatikon muotoinen? On. Poistetaan – todetaan, kunnes jäljellä on vain yksi valkoinen sauva, joka myös todetaan laatikon muotoiseksi. Tarkoituksena on havaita, että sama ominaisuus säilyy koon muutoksesta huolimatta.

2.2 Tasorakennelmia

Tasokuvioiden rakenteluvälineitä ovat mm. postikorttipalapelit, tangramit, loogiset palat, tulitikut, herneet, erilaiset paperit leikkaustehtävissä, geolaudat ja mosaiikkipalat, joita on unkarilaisten oppikirjojen liitteinä.

Vapaat, lasten omat kuviot

Lapset tekevät omia kuvioita mosaiikkipaloilla.

Sääntökuviot

Sitten muodostetaan kuvioita jonkin säännön mukaan, esim. käyttämällä kuvioon vain kolmioita, sitten vain suorakulmioita jne. Muodostetaan kolmioista uusia kolmioita, nelikulmioista uusia erikokoisia nelikulmioita. Suoria kulmia ei aluksi korosteta. Kun ryhdytään opettamaan suorakulmion käsitettä, otetaan mosaiikeista tasasivuisia kolmioita, joilla yritetään muodostaa suorakulmio. Havaitaan, ettei tämä onnistu. Opettaja antaa omatkin palansa avuksi. Joku oppilaista alkanee epäillä, ettei suorakulmiota näillä paloilla synnykään vaikka niitä olisi kuinka monta. Joku lapsista voi huomata, että suorakulmaisilla kolmioilla voi muodostaa suorakulmion.

Peitetään valmiita kuvioita mosaiikkipaloilla. Tehdään omia kuvioita mosaiikkipaloilla, joiden avulla piirretään syntyvän kuvion ääriviivat. Mosaiikkitehtäviä tehdään paljon.

Sini-punainen paperisuikale

Ensin väritetään kevyesti valkoiseen taiteltuun paperisuikaleeseen arvaus siitä, kumpi väri näkyisi missäkin kohti, jos paperin toinen puoli olisi punainen, toinen sininen. Sitten kokeillaan taittelemalla sini-punainen paperisuikale samaan asentoon. Arvausväritys tarkistetaan ja väritetään voimakkaasti.

Kolmioiden tutkimista

Etsitään erilaisia tapoja koota annetun mallin muotoinen kuvio kahdenvärisistä kolmioista. Huomataan, että jo muutamasta kolmiosta saadaan useita eri ratkaisuja.

Geolauta

Tee annetun mallin mukainen kuvio geolaudallesi.

Nelikulmio ja suorakulmio –käsitteisiin johdattelu Etsitään ensin monikulmioiden joukosta nelikulmiot. Sen jälkeen valitaan nelikulmioiden joukosta suorakulmiot. Lopuksi suorakulmioiden joukosta etsitään neliöt. Syntyvät kuviojoukot erotetaan toisistaan esimerkiksi väritaustoilla, kuten kuvassa erivärisillä kankailla. Joukot myös nimetään nimilapuilla. Opettajan isokokoisilla kuvioilla tehdään yhdessä sama koko luokan kanssa. Jokaisella lapsella on käytössään omat pienemmät kuviot ja heillä on myös erilaisia kuvioita kuin opettajalla.

Kuvioiden leikkaamista

Lapset leikkaavat paperista erilaisia monikulmioita. Näitä monikulmioita on tarkoitus leikata edelleen pienemmiksi monikulmioiksi, mutta ennen leikkaamista kokeillaan pilleillä, millaisia uusia monikulmioita alkuperäisestä syntyy. Kun lapsi kokeiltuaan tietää, millaisia kuvioita hän haluaa saada, niin hän voi suunnitella, miten on leikattava, jotta saa haluamansa palat. Leikataan monikulmio esim. kuudeksi palaksi. Monikulmioita leikataan pillin avulla suunnitellen nelikulmioiksi, suorakulmioiksi, neliöiksi jne.

Paperin taittelua

Nelikulmioita taitellaan kahtia ja vertaillaan taitoksen eri puolille syntyviä kuvioita. Havaitaan, että nelikulmioiden joukossa on kuvioita, jotka voi taittaa kahtia pitkittäin ja poikittain niin, että syntyy samanlaiset kuviot. Nämä ovat suorakulmioita. Suorakulmioiden joukossa on vielä sellaisia kuvioita, jotka voi taittaa kulmasta kulmaan tasan. Nämä ovat neliöitä.

Annetaan lapsille A 4 –kokoiset paperit. Paperin taittelua ohjataan havainnollisilla sanoilla, kuten "kirja" ja "teltta". Paperi taitetaan ensin kahtia kuin kirja.

Taitetaan uuden A4-paperin yläreuna vasenta laitaa pitkin. Leikataan pois se osa, jota taitos ei peitä. Taitetaan jäljelle jäänyt paperi keskeltä kahtia (avaamatta edellistä taitosta). Millaiset taitteet kuvioon syntyi? Lävistäjät. Mihin ryhmään syntynyt kuvio luokitellaan? Neliöihin.

Voiko neliöstä taitella pienemmän neliön? Voiko vielä jatkaa? Kun avataan taitokset, nähdään monta pientä neliötä.

Kuvioiden kärkipisteet ja sivut

Merkitään kuvioihin kärjet väritäplillä. Lasketaan väritäplien lukumäärä. Tehdään tulitikuilla ja herneillä esim. neliö. Lasketaan tikkujen ja herneiden lukumäärä, joista päätellään neliön ominaisuuksia.

Kuvioiden piirtämistä

Piirretään ruudukkoon kuvioita esim. suorakulmioita eri asennoissa.

Peilitehtäviä

Tutkitaan nuolia peilillä. Laitetaan peili nuolen kärjen kohdalle. Miltä nuolet näyttävät peilissä? Havaitaan, että nuolen suunta muuttuu.

Nimiä peilattuna

Peilaustunti voi alkaa lasten nimillä. Lapset esittäytyvät peilatuilla nimillään. Jatkossa he tervehtivät toisiaan peilatuilla nimillä. Peilinimiä voidaan myös sanella, lapset tunnistavat, ovatko he paikalla. Kalvolla olevasta peilikirjoituksesta tutkitaan, löytyykö oma tai kaverin nimi.

Mikä minä olen? –leikki

Oppilas istuutuu pöydän ääreen vastapäätä muuta luokkaa. Hänellä on edessään lappu, johon on kirjoitettu sana "peili". Istuva oppilas ei näe kirjoitusta, mutta muu luokka näkee. Muun luokan tehtävänä on antaa vihjeitä luokkaa vastapäätä istuvalle oppilaalle, mikä hän on. Esimerkiksi:

• Minä pidän kanssasi työskentelystä.

• Olet kuin apina.

• Jokin kaltaisistasi vääristää.

• Terve, kaksoissisareni.

• Kanssasi voi väitellä siitä, kumman käden nostan ylös.

• Teet kaiken käännettynä.

Tämä leikki sijoitetaan sellaisen tunnin loppuun, jolla on käytetty peiliä.

Peilauksen kehittelystä

Katsotaan peilistä ja kiinnitetään huomiota liikkeeseen. Esimerkiksi jumpataan ylös ja alas, tällöin ei ole suuntaongelmia. Mutta kun jumpataan vasemmalle ja oikealle, niin peilissä suunta muuttuu. Liikkeeseen liittyy peilaamisessa myös lähestyminen ja etääntyminen.

Kokovartalopeili: Kun lapsi liikkuu, niin peilikuvakin liikkuu. Jos lapsi haluaa ottaa peilin lasta kädestä kiinni, niin käsi törmääkin peiliin. Omasta nenästä voi ottaa kiinni, mutta ei peilin lapsen nenästä.

Taskupeili: Taskupeilillä peilataan esineitä ja kuvioita kuten ensimmäiselläkin luokalla.

Peilikuvan piirtäminen

Esillä on astia-asetelma, jossa on pieni, keskikokoinen ja iso astia. Jossakin astiassa on korva. Nämä erot helpottavat eri näkökulmien hahmottamista. Piirretään asetelma oikealta, vasemmalta, ylhäältä ja alhaalta peilattuna. Lasten piirrokset ovat erilaisia näkökulmista johtuen. Ei heti nimetä valmiiksi suuntia, vaan annetaan lasten itsensä oivaltaa suunnan muutos peilaamisessa.

Puseroleikki

Opettaja jakaa oppilaat kahteen ryhmään. Toiseen ryhmään ne, joiden pusero näkyy peilissä samanlaisena kuin oikeasti, toiseen ryhmään ne, joiden pusero muuttuu peilissä. Esimerkiksi tasku on hyvä merkki suunnan muutoksesta. Oppilaiden tehtävänä on oivaltaa ryhmittelyperuste.

Kuvien tutkimista

Mitkä kuvista ovat samanlaisia, mitkä erilaisia peilattuina? Havaitaan, että symmetriset esineet näkyvät peilissä samanlaisina, epäsymmetriset erilaisina.

Pussitusleikki

Jaetaan esineitä kahteen pussiin: toiseen tulevat symmetriset, toiseen epäsymmetriset esineet. Oppilaat päättelevät luokittelukriteerin.

Lukujen ja laskujen peilaamista

Tutkitaan, mitkä numerot, luvut ja laskutoimitukset eivät muutu peilattaessa. Esimerkiksi numero 8 pysyy peilissä samana. Luku 101 on peilissäkin 101, mutta luku 18 on peilissä 81 (jos peili on pystysuunnassa).

Roomalaisista numeroista IV  VI näkyy peilissä IV VI.

X + IX on peilattuna XI + X. Toisaalta III + V = V + III.

Kaveri peilinä

Tehdään jumppaohjelma kaverin toimiessa peilikuvana. Kaverusten välissä on läpinäkyvä muovipussi, joka tarkoittaa peiliä, mutta sen läpi näkee kaverin toiminnan. Kaverukset antavat toisilleen tehtäviä.

Peilimusiikkia

Taputetaan symmetristä ja epäsymmetristä rytmiä, joka toistetaan takaperin.

Kalkkeeripaperi

Tutkitaan tekstiä paperin toisella puolella. Havaitaan, että se on alkuperäisen peilikuva.

Kirjaimia ja kirjoitusta peilissä

H R O U
D V L K
M G I Y
T P S J

Peilataan kirjaimia eri suunnista. Havaitaan, että peilin suunta vaikuttaa siihen, onko kirjain peilautuva. Keksitään sanoja, jotka ovat samoja, lukipa kummin päin tahansa. Esim. OTTO (peili pystyssä), KOKKO (peili vaakasuorassa).

Moninkertaistaminen ja määräosan ottaminen tulevat aivan toisen luokan lopussa, sillä niitä voidaan pitää kertauksena koko toisen vuoden aikana opituista asioista. Opettelu etenee samassa järjestyksessä kuin kertotaulun opettelu. Ensin käsitellään luvuilla 2, 4 ja 8 eli miten tapahtuu kaksin-, nelin- ja kahdeksankertaistaminen. Samalla opetellaan moninkertaistamiselle käänteinen laskutoimitus eli määräosan ottaminen. Lukujen 2, 4 ja 8 kohdalla puhutaan puolen, neljänneksen ja kahdeksanneksen ottamisesta jostakin luvusta. Toisena vuorossa ovat luvut 3, 6 ja 9. Kolmantena tulevat luvut 5 ja 10. Viimeisenä, muttei suinkaan vähäisimpänä, opetellaan moninkertaistamista ja määräosan ottamista luvulla 7.

Jälleen on tärkeää käyttää monipuolisia välineitä ja tehdä paljon erilaisia harjoituksia. Harjoitteluun sopivat esimerkiksi erilaiset loogiset välinekokoelmat: loogiset palat, tavaroista kootut tai piirretyt sarjat. Hyvin hyödyllinen on 48-osainen kokoelma. Loogisia paloja käytetään niin, että niiden kaikkien ollessa oppilaiden nähtävissä opettaja kysyy seuraavanlaisia kysymyksiä: ''Monesko osa punaiset ovat?'', ''Monellako täytyy kertoa jokin kokoelman osan lukumäärä, jotta saadaan koko kokoelman lukumäärä? ''

Värisauvoilla voidaan harjoitella seuraavasti: Oppilaille annetaan kotitehtäväksi leikata 32 cm:n mittainen paperiliuska. Koulussa mitataan liuskaa jollakin (aluksi määrätyllä) värisauvalla sekä värisauvan monikerroilla tai määräosilla, esimerkiksi * 2, / 2, / 4. Tätä tehtävää kehitellään eteenpäin kirjaamalla mittaustulokset. Lopuksi kerrotaan mittaustuloksista tyyliin ''Ensin mittasin liuskan 8:lla punaisella sauvalla. Sen voi mitata myös 16:lla vaaleanpunaisella ja 32:lla valkoisella sauvalla''. Mittaustulosten pohjalta muodostetaan väitteitä tyyliin ''Jos mittaan lyhyemmällä sauvalla, niin mittaluku on suurempi'' ja ''Jos mittaan pidemmällä, niin mittaluku on suurempi''. Opettaja esittää nämä väitteet ja kysyy, pitääkö paikkaansa. Oppilaat vastaavat kysymyksiin nostamalla heidän mielestään oikean vastauksen osoittavan kyllä- tai ei-tikkarin ylös. Näin jokainen oppilas saa ja joutuu itse miettimään vastauksen, eivätkä luokan nopeat ja etevät vie hitaammilta oivaltamisen mahdollisuutta.

Kolmas oivallinen, abstraktimpi keino, jolla haetaan rutiinia moninkertaistamiseen, on valita aloitusluku ja pyytää oppilaita luettelemaan seuraavaksi luku vaikkapa kaksinkertaisena. Esimerkkinä toimikoon seuraava: '' Luettele luku kaksinkertaisesti niin nopeasti kuin voit aloittaen luvusta 6''

(6, 12, 24, 48, ...)

Moninkertaistamisen opetuksessa lähdetään liikkeelle konkreettisista tehtävistä ja edetään kohti abstraktia ajattelua vaativia tehtäviä. Yksi tapa on leikki, jossa moninkertaistetaan sekä otetaan määräosia taikomalla puisella taikasauvalla. Leikki etenee niin, että opettaja asettaa piirtoheittimelle kaksi papua (lähdetään liikkeelle luvusta 2). Oppilaat ilmoittavat papujen lukumäärän. Sitten opettaja peittää kaksi papua asettamalla läpinäkymättömän kupin papujen päälle. Sitten hän napauttaa taikasauvan punaiseksi värjätyllä päällä kerran kupin pohjaa. Kun opettaja nostaa kupin pois, ovat pavut kaksinkertaistuneet eli niitä on nyt 4 kappaletta näkyvillä. (Kupin asettaminen kahden pavun päälle tapahtuu siis vetämällä kuppia piirtoheittimen pintaa pitkin ja puhumalla samalla, jotta oppilaat eivät kuule kupissa olevien kahden pavun pyörimistä piirtoheittimen pintaa pitkin.) Nyt opettaja kysyy: ''Mitä on tapahtunut?'' Vastaukseksi haetaan: ''Papujen lukumäärä on kaksinkertaistunut!'' Tämän jälkeen lapset pääsevät itse taikomaan omilla pulpeteillaan. Jokaisella lapsella on papuja, kuppi ja taikasauva. He asettavat haluamansa määrän papuja pulpetille ja kupin sen päälle ja napauttavat kuppia kerran taikasauvan punaisella päällä. Ja papujen lukumäärä alkaa kaksinkertaistua oppilaiden oman tekemisen kautta.

Leikkiä jatketaan opettajajohtoisesti. Opettaja asettaa jälleen piirtoheittimelle kaksi papua. Hän napauttaa kuppia edelleen taikasauvan punaisella päällä, mutta kysyykin: ''Mitäs tapahtuu, jos napautan kaksi kertaa?'' Vastaukseksi haetaan oivallusta: ''Papujen lukumäärä nelinkertaistuu!'' Tämän jälkeen opettaja kysyy: ''Mitä tapahtuu, jos napautan kolme kertaa?'' Ja vastaukseksi haetaan oivallusta: ''Papujen lukumäärä kahdeksankertaistuu!'' Nämä vaikeammat harjoitukset tehdään ilman kuppia, jotta jokainen oppilas oivaltaa, mitä moninkertaistaminen tarkoittaa. Oppilasta pyydetään myös puhumaan, tekemään ajattelunsa näkyväksi ja näin kertomaan opiksi muille oppilaille, miten hän keksi ratkaisun. Nelinkertaistettaessa oppilaan on osattava kertoa, että kaksi kerrottuna kahdella on neljä. Silloin opettaja tietää, että oppilas on ymmärtänyt asian oikein.

Jotta oppilaalla vahvistuisi kuva laskutoimitusten käänteisyydestä, opetetaan määräosan ottaminen aina heti moninkertaistamisen jälkeen. Taikasauva-leikkiä leikkien se tapahtuu seuraavasti. Piirtoheittimellä on kahden pavun nelinkertaistamisen jäljiltä kahdeksan papua. Opettaja asettaa kupin kaikkien kahdeksan pavun päälle ja napauttaa punapäisen taikasauvan värittömällä päällä kuppia. Sitten hän siirtää kuppia niin, että sen alle jää neljä papua piiloon ja näkyviin jää loput neljä papua. Sitten hän kysyy: ''Mitä on tapahtunut?'' Vastaukseksi hän odottaa: ''Papujen lukumäärä puolittui!'' Puolittamista jatketaan edelleen siten, että kuppi asetetaan näkyviin jääneiden neljän pavun päälle ja napautetaan punapäisen taikasauvan värittömällä päällä kuppia. Nyt kun opettaja siirtää kuppia, näkyviin jää kaksi papua. Hän kysyy: ''Mitä on tapahtunut?'' Vastaukseksi hyväksytään vielä tässä vaiheessa: ''Papujen lukumäärä puolittui!'', mutta haetaan oivallusta: ''Papujen alkuperäisestä lukumäärästä neljännes on nyt näkyvissä!''

Hyvä keino tarkistaa, ovatko oppilaat ymmärtäneet moninkertaistamisen ja määräosan ottamisen, on asettaa taululle riviin lappuja esimerkiksi näin:

* 4

/ 2

* 2

/ 2

ja kysyä, mihin ''kertaistamiseen'' päädytään, kun tehdään nämä kaikki samalle luvulle. Jos asia on ymmärretty, lapset huomaavat, että puolittaminen ja kaksinkertaistaminen kumoavat toisensa ja nelinkertaistus ja puolitus yhdessä tuottavat kaksinkertaistuksen. Sitten pohditaan samaa asiaa esimerkiksi tällaisilla:

* 2

* 8

ja

/ 2

/ 4

/ 8

Jos oppilaat eivät osaa vastata näihin kysymyksiin tai vastaaminen on heille vaikeaa, on palattava konkreettisten harjoitusten pariin.

Puolittamisen ja neljänneksen ottamisen harjoittelu aloitetaan hyvin konkreettisesti. Oppilaille annetaan omena, joka heidän pitää jakaa kahden ja sitten neljän ystävänsä kanssa. Sitten kysytään, paljonko jokainen saa. Tätä kautta tulevat ilmaisut puoli ja neljännes, se riittää toisluokkalaiselle. Häneltä ei vaadita, että hän osaisi merkitä 1/2 tai 1/4 .

Seuraavassa vaiheessa opettaja on kiinnittänyt taululle yhden puunlehden ja äiti-aasin ja kaksi lapsi-aasia. Ongelmaksi muodostuu, miten äiti-aasi jakaisi lehden ravinnoksi tasapuolisesti kahdelle lapselleen. Oppilaat osaavat vastata tähän, että lehti pitää puolittaa ja niinpä jokaiselle heistä jaetaan samanlainen puunlehti kuin opettajalla on. Yhdessä sitten leikataan lehti puoliksi. Oppilaat liimaavat lehden puolikkaat vihkoonsa niin, että leikkuupinnat ovat toisiaan vasten. Näin voi nähdä, miten kokonainen on puolittunut. Puolikkaiten alle lapset kirjoittavat puoli.

Neljänneksen ottaminen voidaan opettaa vastaavalla tavalla. Äiti-kilpikonna oli rannalla ravinnon haussa. Se löysi yhden oljenkorren. Miten oljenkorsi olisi jaettava, jotta kotona odottavat neljä lasta saisivat tasapuolisesti ravintoa? Lapsilla oljenkortena toimii mehupilli, jonka he leikkaavat aluksi kahtia ja sitten vielä puolittavat kumpaisenkin puolikkaan. Näin on saatu jälleen havainnollistettua, että puolet puolikkaasta on 1/4. Lapsille tämä tehdään vielä selväksi liimaamalla neljä mehupillin pätkää peräjälkeen pienin välein vihkoon ja kirjoittamalla jokaisen mehupillin pätkän alle neljännes. Myöhemmin, vaikkapa kotitehtävänä, lapset voivat piirtää kuvat mehupillin neljännesten päälle.

Puolituksen opettaminen on tärkeää, koska se pohjustaa murtolukuja. Puolittaminen olisikin hyvä opettaa käsittelemällä ykköstä kokonaisena ja sen jakamisena osiin. Erittäin yksinkertainen keino on jakaa jokaiselle oppilaalle kaksi A4:n kokoista paperia. Toinen laitetaan sivuun hetkeksi ja toinen leikataan osiin aina puolittamalla jo puolitettu. Puolitus tehdään neljä kertaa, jolloin jokaisen oppilaan edessä on viisi eri kokoista paperia, joista pienin on puolet toiseksi pienimmästä ja tämä taas puolet seuraavasta suuremmasta jne. Suurin paperi on alussa sivuun laitettu A4-arkki. Viimeisestä puolituksesta jääneeseen ylimääräiseen lappuun kirjoitetaan luku 1. Lappu laitetaan sivuun. Nyt kirjoitetaan opettajan ohjeiden mukaan vaikkapa erilaisten suklaalevyjen nimiä puolikkaisiin tyyliin ''Kirjoita pienimpään lappuun banaanisuklaa. Kaksi kertaa banaanisuklaan kokoinen suklaalevy on mansikkasuklaata. Pähkinäsuklaa on kahdeksan kertaa niin suuri kuin mansikkasuklaa. Kaakaosuklaa on puolet pähkinäsuklaasta. Neljä kertaa banaanisuklaata suurempi on vadelmasuklaa.'' Näin jokainen puolikas on saanut oman ''nimen'' eli mitä suklaata ne ovat.

Harjoitusta voidaan jatkaa kääntämällä laput nurinpäin niin, että suklaalevyjen nimet jäävät piiloon. Nyt otetaan käyttöön paperi, johon kirjoitettiin 1. Tämä lappu asetaan johonkin viidestä paperista (eli ''suklaalevystä''). Näin äsken kokonaiset suklaalevyt muuttuivat suklaapaloiksi. Jos lappu laitetaan vaikkapa toiseksi suurimpaan paperiin, voidaan muut paperit nimetä sen avulla. Esimerkiksi suurin paperi olisi kaksi kertaa niin suuri kuin toiseksi suurin pala eli vastaisi lukua 2. Pienin pala olisi kahdeksannes, toiseksi pienin pala neljännes ja kolmanneksi pienin pala olisi puolet. Ykköslappua siirtämällä paperista toiseen voidaan testata, ovatko oppilaat ymmärtäneet puolituksen, neljänneksen ja kahdeksanneksen ottamisen.

Puolen ja neljänneksen oppimisen aikaan olisi hyvä ottaa kello yhdeksi havaintovälineeksi. Näin oppilaan kellon ymmärtämys syvenee, koska hän alkaa ymmärtää vartin, kolme varttia ja puoli tuntia.

Taikasauva-leikkiä voidaan leikkiä myös kolmin- ja kuusinkertaistamisen kohdalla. Tällöin on kuitenkin taikasauvan toisen pään oltava eri värinen. Väri määräytyy värisauvojen mukaan. Lukua 2 edustava väri on punainen, joten kaksinkertaistuminen tai puolittuminen tapahtuu taikomalla punapäisellä taikasauvalla. Lukua 3 edustaa silloin sininen väri jne. Luku 6 eli kuusinkertaistaminen voidaan ilmaista värittämällä taikasauvan toiseen päähän sekä punainen että sininen raita. ( Eli ensin luku kaksinkertaistetaan ja sitten kolminkertaistetaan, 2 * 3 = 6.)

Myös muita kaksin- ja nelinkertaistamisen opetustapoja voidaan käyttää kolmin- ja kuusinkertaistamiseen. Esimerkiksi voidaan luetella mahdollisimman nopeasti lukuja kolminkertaistaen lähtien jostakin luvusta, mitata värisauvoilla paperiliuskan pituutta jne. Kolmin- ja kuusinkertaistamisen opettamiseen käytetään myös leikkimaan rahoja. Kuuden, kahden ja kolmen yksikön (rahayksikölle voidaan keksiä nimi, vaikkapa ''hippu'') kolikoita yhdistelemällä huomataan, miten paljon moninkertaisemmin pienimpiä kuin suurempia kolikoita täytyy ottaa johonkin summaan. Oppilaiden olisi myös oivallettava, miten olisi helpointa muodostaa jokin summa; millaisia kolikoita kannattaisi ottaa, jotta lompakko painaisi vähiten, toisin sanoen jos on ottanut summan pieninä kolikkoina, miten vaihtaa kolikot isompiin.Tärkeää on suhteiden oivaltaminen.

Konkreettisesti tämä voidaan tehdä niin, että piirretään ympyrän sisään kolmella tai kuudella jaollinen määrä vaikkapa luumuja. Sitten kysytään, miten jaat luumut kolmelle tai kuudelle kaverillesi. Ympyrästä siis erottuu näin kolmannes tai kuudennes luumuista.

Kolmannes ja kuudennes kannattaa katsoa myös kellosta. Opettaja kysyy: ''Montako kymmenminuuttista on yhdessä tunnista? Montako minuuttia on kuudennes yhdestä tunnista?''

Kun pohjatyö on tehty kaksin-, nelin- ja kahdeksankertaistamisen kohdalla hyvin, kymmenkertaistamisen kohdalla ei tarvitse lähteä enää yhtä konkreettisesta kuin taikasauva-leikistä. Silloin voidaan jo mennä suoraan laskuihin, sillä lapset ovat oivaltaneet kerto- ja jakolaskun välisen yhteyden.

Kymmenkertaistamisen opettamisessa voidaan käyttää taitettua 100 ruudun paperiarkkia. Paperille monistettua/ piirrettyä 10 * 10 -ruudukkoa taittelemalla voidaan havainnollistaa kymmenys ja kymmenkertaistuminen. Etuna satataulua käytettäessä on, että pysytään toisluokkalaisen tuntemalla lukualueella. Satataulun kautta on myös mahdollisuus osoittaa, miten viidennes puolittuu ja siitä tulee kymmenys. Satataululla voidaan myös tehdä puoli ja neljännes. Näin oppilas näkee, kuinka muutaman luvun kokonaisuuksissa opitut asiat kietoutuvat toisiinsa, millaiset yhteydet niiden välillä vallitsee.

Kun puhutaan kymmenkertaistamisesta, niin korostetaan sitä enemmän kuin muita moninkertaistamisia tai määränosan ottamisia. Näin kertautuu samalla kymmenlukujärjestelmä ja lapsi oppii ymmärtämään paremmin mittayksiköiden välisiä suhteita. Esimerkiksi litran kymmenes osa on desilitra, kahden litran kymmenesosa on kaksi desilitraa ja kolmenkymmenen desilitran kymmenesosa on kolme desilitraa. Havainnollistamiseen kannattaa käyttää joko värisauvoja (oranssi, arvoltaan 10, on yhtä kuin 10 desilitraa eli yksi litra ja valkoinen, arvoltaan 1, on yhtä kuin yksi desi), legopalikoita tai piirtää piirtoheitinkalvolle suorakulmio, joka on jaettu vaakaviivoin kymmeneen osaan näin kuvaten yhtä kokonaista jaettuna kymmenyksiin. Yhtä kymmenystä kuvaamaan leikataan eri värisestä piirtoheitinkalvosta osat. Näiden havaintovälineiden avulla opetellaan lukemaan suhteita, esimerkiksi tällaisia: kahden viisikerta, siis 2 * 5, on kymmenen.

Sisältöjaossa jakojäännöksen käsite on luontevampi kuin ositusjaossa.

Esimerkki: Kauppiaalla on 14 kahvipakettia ja hän haluaa jakaa ne kolmen kanta-asiakkaansa kesken. Onnistuuko kauppias jakotavoitteessaan? Nyt on kyseessä ositusjako. Ongelma ratkeaa, kun selvitetään, montako kertaa kolme sisältyy neljääntoista. Avuksi otamme jaköjäännöskellon ja paperia. Jakojäännöskellosta löytyy aina niin monta numeroa (nolla mukaan luettuna) kuin on ryhmiä, joiden kesken jakaminen tapahtuu. Tämän esimerkin tapauksessa kellosta löytyy 0, 1, 2 ja viisarina toimii askartelutikku. Askastelutikku asetetaan osoittamaan nollaa. Lähdetään laskemaan kohti neljäätoista niin, että jokaisen kellon luvun kohdalla mennään aina yksi numero eteenpäin. Ne numerot, jotka tulevat nollan kohdalle kirjataan paperille. (Esimerkin tapauksessa ne olisivat 3, 6, 9 ja 12.) Näiden paperille kirjattujen lukujen lukumäärä osoittaa sen, montako kertaa neljässätoista on kolme. Toisin sanoen, montako kahvipakettia jokainen kanta-asiakas saa. Jakojäännös nähdään jakojäännöskellosta. Kun ollaan päädytty lukuun 14, osoittaa askartelutikku numeroa 2. (Jos askartelutikku osoittaa nollaa, on jako mennyt tasan.) Niinpä oivallamme, että koska kierros jäi kesken, askartelutikun osoittama kakkonen kertoo jakojäännöksen suuruuden. Ositusjako kokonaisilla kahvipaketeilla ei siis onnistunut. Tämä menetelmä on mahdoton isoilla luvuilla, mutta toimii pienillä luvuilla aluksi harjoiteltaessa oivalluksen ja ymmärryksen tuojana jakojäännöksen ideaan.

Kun on kyse neljällä jakamisesta tai neljällä jaollisesta luvusta, voidaan vastaavanlainen jakojäännöksen osoittava väline voidaan tehdä itse käyttämällä suorakulmaista särmiötä (pitkänomainen tuotepakkaus on tähän paras mahdollinen) ja teippiä. Teippiä aletaan kiertää särmiön toisesta päästä kohti toista päätä. Kun ollaan päästy toiseen päähän asti, särmiö näyttää raidalliselta madolta. Sitten numeroidaan tussilla särmiön ympärille vedettyä teippiä: Aloitetaan merkitsemällä nolla teipin aloitustahkoon, sitä seuraavaan tahkoon merkitään ykkönen, sitä seuraavaan kakkonen, sitä seuraavaan kolmonen ja kun tulee nelosen vuoro, se tulee nollan kanssa samalle tahkolle, seuraavalle teippikierrokselle. Numerointia jatketaan särmiön loppuun asti. Etuna jakojäännöskelloon jakojäännössärmiössä on se, että siinä voidaan mennä suoraan lukuun, jota ollaan jakamassa ja laskea, montako kertaa nollan tahko mennään yli ennen kuin päädytään lukuun. (Edellisessä esimerkissä laskettiin paperille merkittyjen numeroiden lukumäärä.) Jakojäännös saadaan vähentämällä tehtävän luvusta viimeinen nollatahkon luku, joka on ylitetty. Huomataan, että jakojäännös näkyy suoraan myös kunkin tahkon ensimmäisestä teippikierroksesta. Esimerkiksi luvut, jotka ovat 1:n kanssa samassa tahkossa, antavat neljällä jaettaessa jakojäännökseksi 1. Suorakulmainen särmiö toimii, kun kyse on neljällä jakamisesta tai neljällä jaollisesta luvusta (numerointi jaollisuuden mukaan!).

Kun kyse on kolmella jakamisesta tai kolmella jaollisesta luvusta, on Toblerone-paketti muodoltaan oikea. Luovuus kunniaan!