Ratkaisut 2

1. Kertolaskusta $4\cdot ab\ldots pqr6= 6ab\dots pqr$ voidaan ratkaista luvun numerot yksi toisensa jälkeen: r=4, joten $4\cdot ab\ldots pq46$; q=8, joten $4\cdot ab\ldots p84,\ldots,\ 4\cdot 153\,846=615\,384$.


4. Esimerkiksi $235\,235 = 235\,000 + 235=235\cdot 1\,000 + 235=235\cdot 1\,001=235\cdot 7 \cdot 11\cdot 13$. Yleisesti:

$$\begin{split} abc\,abc&=abc\,000 + abc=abc\cdot 1\,000 + abc\\ &=abc\cdot 1\,001=abc\cdot 7\cdot 11\cdot 13. \end{split}$$

6. Tiedetään että abc+ def on 37:lla jaollinen. Todistetaan, että $abc\,def$ on 37:lla jaollinen.

$$\begin{split} abc\,def&=abc\,000+def=1\,000\cdot abc+def=(99... ...c+abc)+def\\ &=27\cdot 37\cdot abc+ (abc+def). \end{split}$$

Saatu summa on 37:lla jaollinen.