PDF, PS

HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 27.5.1998
Ratkaisut

1. (Arskan painoindeksi on alussa 102/1,82² = 30.8, joten hänellä on ylipainoa.) Arskan paino n viikon kuluttua saadaan lausekkeesta $102\cdot0,99^n$, joten hän voi saavuttaa normaalipainon, kun n toteuttaa ehdon

$$\frac{ 102\cdot0,99^n }{1,82^2}\leq 25.$$

Saadaan $n \geq \frac{\ln 0,812}{\ln0,99}\approx 20,7$, ts. Arska on normaalipainoinen $\boldsymbol{21 \ viikon}$ kuluttua.

2. Olkoon vektorien yhteinen alkupiste (0,0,z). Silloin on $\bar{a} = (1,0,-z)$ ja $\bar{b} = (0,3,-z)$. Kaavaan $\cos(\angle(\bar{a},\bar{b}) = \frac{\bar{a}\cdot\bar{b}}{ \Arrowvert \bar{a} \Arrowvert \Arrowvert \bar{b} \Arrowvert}$sijoittamalla saadaan yhtälö

$$\frac{1} {\sqrt{2} }=\cos45^\circ = \frac{z^2}{\sqrt{(1+z^2)(9+z^2)}},$$

josta seuraa z⁴-10z²-9=0, josta edelleen $z^2 = 5+\sqrt{34}$(negatiivinen juuri ei tule kysymykseen). Tehtävän ratkaisut ovat siis pisteet $\boldsymbol{(0,0,\pm (5+\sqrt{34})}$).

3. Käyrän yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon $y = \frac{e^{5/2}}{\sqrt{x}}$, missä x>0,y > 0. Olkoon $(x_0,y_0) = (x_0, \frac{e^5/2}{\sqrt{x_0}})$ etsitty käyrän piste. Koska käyrällä on voimassa $\frac{dy}{dx}= -\frac{x^{5/2}}{2x^{3/2}}$, on tähän pisteeseen asetetun käyrän normaalin kulmakerroin $\frac{2x_0^{3/2}}{e^{5/2}}$ ja siis tämän normaalin yhtälö on $y-y_0 = \frac{2x_0^{3/2}}{e^{5/2}}(~x-~x_0~)$. Sijoittamalla normaalin yhtälöön x = y = 0 ja $y_0 = \frac{e^{5/2}}{\sqrt{x_0}}$ saadaan tehtävän ratkaisu $x_0 = \frac{e^{5/3}}{\sqrt[3]{2}}\/ (\approx 4,20)$.

4. Tapahtuman A="tuote hylätään"todennäköisyys on $P(A)=1-P(\bar{A})$, missä

$$P(\bar{A}) = \int_{0,5}^{1,5}\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi x}{2... ...cos(\frac{\pi}{4})-\cos(\frac{3\pi}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Siis $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,293$ , ts. tuotteista hylätään $\boldsymbol{29,3 \%}$.

5. Tiedonsiirron nopeuden ollessa x (Kbit/s) olkoon virheellisten bittien suhteellinen osuus p = p(x). Silloin p(x)=kx², missä k on verrannollisuuskerroin. Ehdosta p(100) = 0,021 saadaan $k = 2,1\cdot 10^{-6}$. Sekunnissa virheettömästi syntyvien bittien lukumäärä on siirtonopeuden xfunktio

$$f(x)=(1-p(x))x = x-kx^3 \qquad \textrm{(yksikk\uml on\uml a Kbit/s),}$$

jonka maksimikohta välillä $100 \leq x \leq 500$ siis on määritettävä. Ehdosta f'(x)=0 saadaan

$$x=\frac{1}{\sqrt{3k}}\approx \boldsymbol{398,4} \/\/ \textrm{(Kbit/s).}$$

Derivaatan merkkikaavion tms. avulla nähdään, että kyseessä todella on maksimikohta.

6. Jotta g(t) olisi määritelty, on oltava $t \neq 1$ (jotta f(t) olisi määritelty) ja $t \ne 0$ (sillä f(0)=0, joten g(0)=f(1-f(0))=f(1), joka ei ole määritelty). Funktion g lauseke on

$$g(t)=f(1-\frac{t}{1-t}) = \frac{1-\frac{t}{1-t}}{1-(1-\frac{t... ...ol{\frac{1}{t}-2} \qquad (t \in \mathbb{R} \setminus\{0,1\}).$$

Käänteisfunktio g^-1 on olemassa, jos g toteuttaa ehdon

$$t_1 \neq t_2 \qquad \Rightarrow \qquad g(t_1) \neq g(t_2).$$

Funktiolla g on tämä ominaisuus, sillä jos g(t₁) = g(t₂), niin ei voi olla $t_1 \neq t_2$, vaan

$$\frac{1}{t_1}-2 = \frac{1}{t_2}-2 \qquad \Rightarrow \qquad t_1 = t_2 .$$

Siis käänteisfunktio g^-1 on olemassa. Käänteisfunktion lauseke muuttujan tfunktiona saadaan ratkaisemalla muuttuja x yhtälöstä g(x)=t; siis

$$t = g(x) = \frac{1}{x}-2 \qquad \Leftrightarrow \qquad x = \frac{1}{t+2},$$

ts. käänteisfunktion lauseke on

$$g^{-1}(t) = \boldsymbol{\frac{1}{t+2}} \qquad (t \in \mathbb{R} \setminus\{-2,-1\}).$$