PDF, PS

HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 28.5.1997
Ratkaisut

1. On oletettava $a \neq 0$; muuten molemmat paraabelit surkastuvat suoraksi y=2. Ratkaisemalla yhtälö 2ax²-ax-2a+2=ax²-2ax+4a+2 saadaan paraabelien leikkauspisteiden x-koordinaatit: x₁=-3 ja x₂=2(nämä eivät riipu a:n arvosta). Kysytty pinta-ala on

$$\int_{-3}^{2}\left\vert(2ax^{2}-ax-2a+2)-(ax^2-2ax+4a+2)\right\vert dx=\cdots=\frac{125}{6}\left\vert a\right\vert.$$

2. Tarkasteltavat kulmat ovat yhtä suuret jos ja vain jos niiden kosinit

$$\cos(\bar{u},\bar{v}_{i})=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}_{i}}{\lef... ...{u}\right\Vert\left\Vert\bar{v}_{i}\right\Vert}\qquad(i=1,2,3)$$

ovat yhtäsuuret, mistä saadaa yhtälöt

$$\frac{a}{1}=\frac{5a+12b}{13}=\frac{2a+b+2c}{3}.$$

Näistä yhtälöistä seuraa $b=\frac{2}{3}a$ ja a=6c. Lisäksi on oltava a²+b²+c²=1.
Saadaan

$$\bar{u}=a\bar{i}+b\bar{j}+c\bar{k}=\pm\frac{1}{\sqrt{53}}(6\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}).$$

3. Olkoon pullon säde r (=d/2). Pythagoraan lauseen avulla on todistettavissa, että etäisyys pullon keskipisteestä nurkkaan on $r\sqrt{2}$, ja etäisyys purkkien sivuamispisteestä - olkoon se piste C - pisteeseen, jossa purkkien keskipisteiden kautta kulkeva suora kohtaa (jommankumman) seinän, on $1+\sqrt{2}$. Koska viimeksi mainittu etäisyys on sama kuin etäisyys pisteestä C hyllyn nurkkaan, nähdään, että etäisyys pisteestä C pullon keskipisteeseen on $1+\sqrt{2}-r\sqrt{2}$. Soveltamalla Pythagoraan lausetta suorakulmaiseen kolmioon, jonka kärjet ovat pullon ja toisen purkin keskipisteissä sekä pisteessä C saadaan yhtälö

$$1^{2}+(1+\sqrt{2}-r\sqrt{2})^{2}=(1+r)^{2},$$

josta ratkaisemalla saadaan $r=3+\sqrt{2}-\sqrt{8+4\sqrt{2}}$ (yhtälön toinen juuri antaisi sellaisen pullon säteen, joka sijoitettuna purkkien eteen sivuaisi niitä ja seiniä). Kysytty halakisija on siis

$$d=2r=6+2\sqrt{2}-4\sqrt{2+\sqrt{2}}\quad(\text{dm})\thickapprox 144 \text{mm}.$$

4. Oletetaan, että reaaliluku x toteuttaa yhtälön $a+b=\sqrt[3]{3}$, missä on merkitty $a=\sqrt[3]{3+x}$ ja $b=\sqrt[3]{4-x}$. Silloin vihjeen mukaisesti

$$\begin{split} 3&=(a+b)^{3}\\ &=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\\ &=3+x... ...sqrt[3]{3}\\ &=7+3\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{12+x-x^{2}}, \end{split}$$

mistä sieventämällä saadaan x:lle 2. asteen yhtälö $x^{2}-x-\frac{1036}{81}=0$. Tämän ratkaisut ovat $x_{1}=\frac{37}{9}$ ja $x_{2}=-\frac{28}{9}$, ja sijoittamalla todetaan, että nämä toteuttavat myös alkuperäisen yhtälön; ts. ovat sen ratkaisut.

5. Erilaisten heittosarjojen lukumäärä 3 nopanheitossa on 6³=216. Sellaisia heittosarjoja, joissa mikään silmäluku ei toistu, on $6\cdot5\cdot4=120$. Niiinpä Täti Ruskean voittotodennäköisyys on $\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$. Muissa tapauksissa (2 eri silmälukua) Täti Vihreä voittaa, ja todennäköisyys tälle on siis $1-(\frac{20}{36}+\frac{1}{36})=\frac{15}{36}$. Jotta peli olisi oikeudenmukainen, on panosten oltava suoraan verrannolliset voittotodennäköisyyksiin. Koska Täti Vihreä maksoi 15 äyriä, on Täti Ruskean maksettava 20 äyriä ja Täti Sinipunaisen 1 äyri.

6. Olkoon y=g(x) käyrä, jota pitkin piste B liikkuu; on näytettävä g(x)=f(x). Funktio g toteuttaa ehdon

$$g'(x)=-\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}$$

(vrt. kuvio). Lisäksi on selvää, että g(a)=0. Toisaalta, derivoimalla annettu f:n lauseke nähdään, että

$$f'(x)=-\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x};$$

lisäksi sijoittamalla x=a saadaan f(a)=0. Koska g'(x)=f'(x), on g(x)=f(x)+C, missä C on vakio. Koska lisäksi g(a)=f(a), on oltava C=0. Siis g(x)=f(x), mikä oli todistettava.