PDF, PS

HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 29.5.1996
Ratkaisut

1. Olkoon kysytty lainapääoma x. Silloin $(1+\frac{9,2}{100})^3 x =42320,50$ , joten

$$x=\frac{42320,50}{1,092^3}\approx 32500\,\text{(mk)}.$$

2. Käyrän y=e^ax ja suoran y=e⁵ leikkauspisteen x-koordinaatti on $x=\frac{5}{a}$. Saadaan

$$4=\int_0^{\frac{5}{a}}(e^5 - e^{ax})\,dx=\frac{4e^5 + 1}{a},$$

mistä

$$a=e^5 + \frac{1}{4}.$$

3. On maksimoitava poikkileikkauksen ala. Puolisuunnikkaan kolmen sivun pituus on a=0,17; merkitään neljättä sivua a+2x (vrt. kuvio).

Silloin puolisuunnikkaan ala on $A(x)=(a+x)\sqrt{a^2+x^2}$. Derivaatan

$$A'(x)=\frac{a^2-ax-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

nollakohta $x=\frac{a}{2}$ todetaan A:n maksimikohdaksi. Siis neljännen sivun pituuden on oltava

$$a+2x=2a=0,34\,\text{(m)}.$$

4. Olkoon veden virtaamisnopeus x ja moottoriveneen nopeus veden suhteen y. Oletuksista saadaan yhtälöpari

$$\begin{cases} \frac{96}{y+x}+\frac{96}{y-x} &=14,\\ \frac{96}{y+x}+\frac{72}{y-x} &=\frac{24}{x}, \end{cases}$$

mistä ratkaisemalla saadaan

$$x=2\,\text{(km/h)}.$$

5. $B_{(10)}=10^{\frac{P}{20}}$, missä P=12,2. Verrannollisuuden nojalla $B_{(4)}=(\frac{10}{4})^3 B_{(10)}$. Siis

$$B_{(4)}=\left(\frac{10}{4}\right)^3\cdot 10^{\frac{12,2}{20}}\approx 64\,(\mu T).$$

6. Merkitään r_k= ympyrän C_k säde, d_k= ympyrän C_k suurin etäisyys pisteestä S. Silloin d₁=r ja yhtälöstä (r+r₁)²=r²+(r-r₁)²(Pythagoras!) saadaan $r_1=\frac{r}{4}$. Yleisesti saadaan samaan tapaan yhtälöt (r+r_k)²=r²+(d_k-r_k)², mistä $r_k=\frac{d_k^2}{2(r+d_k)}$. Sijoittamalla tämä kaavaan d_k+1=d_k-2r_k saadaan palautuskaava $d_{k+1}=\frac{rd_k}{r+d_k}$, jonka avulla nähdään, että d_k:n yleinen lauseke on $d_k=\frac{r}{k}$. Tästä saadaan r_k:n yleinen lauseke $r_k=\frac{r}{2k(k+1)}$. Yleisen (k:nnen) kolmion kanta on 2r ja korkeus d_k-r_k, jolloin sen ala on

$$\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot (d_k-r_k)=\frac{(2k+1)r^2}{2k(k+1)}.$$