PDF, PS

HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.1994
Ratkaisut

1. Käyrä y=e^2x ja suora y=9 leikkaavat pisteessä (x₁,9), missä $x_{1}=\ln3$. Ilmeisesti x₁<3. Tällöin kysytty pinta-ala A on

$$A=\int_{0}^{x_{1}}e^{2x}\,dx+(3-x_{1}) \cdot9=4+(27-9\ln3)=\underline{31-9\ln3}.$$

2. Äänenvoimakkuus kohdassa x on

$$I(x)=\frac{kI_{o}}{x^{2}}+\frac{4kI_{o}}{(300-x)^{2}}$$

missä I_o (vast. 4I_o) on kohdassa x=0 (vast. kohdassa x=300) olevan diskon äänenvoimakkuus. Kerroin k on verrannollisuuskerroin. Funktion I(x) minimi välillä 0<x<300 löydetään derivaatan

$$I'(x)=-\frac{2kI_{o}}{x^{3}}+\frac{8kI_{o}}{(300-x)^{3}}$$

nollakohdista. Ehto I'(x)=0 antaa yhtälön

$$(\frac{300-x}{x})^3=4.$$

josta $x=300/(1+\sqrt[3]{4})\approx116$m. (Tällöin 300-x=184m.) Ensimmäisen derivaatan testillä todetaan, että löydetty nollakohta on funktion I(x) paikallinen minimikohta. Koska lisäksi I(x) on vähenevä välillä (0,x) ja kasvava välillä (x,300), vieläpä aidosti, I(x) saavuttaa pienimmän arvonsa kohdassa x.

3. Olkoon A tapahtuma 'virkailija 1 varattu' ja B tapahtuma 'virkailija 2 varattu'. Tällöin

$$P(A)=P(B)=\frac{51}{60} \qquad \textrm{ ja } \qquad P(A\cap B)=\frac{47}{60}$$

Koska tapahtuman $A \cup B$ eli tapahtuman 'ainakin toinen virkailija varattu' todennäköisyys on

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{51}{60}+\frac{51}{60}-\frac{47}{60}=\frac{55}{60}$$

niin kysytty todennäköisyys on

$$1-P(A \cup B)=1-\frac{55}{60}=\underline{\frac{1}{12}}.$$

4. Olkoon P (vast. Q) lentokoneen paikka (maan pinnalle projisoituna) ensimmäisen (vast. toisen) havainnon aikana. Merkitään myös a=|AQ|, b=|BQ| ja c=|BP|. Tällöin, jos h on lentokoneen lentokorkeus, on

$$h=c\tan(28,0^{\circ}), \qquad h=b\tan(21,0^{\circ})$$

ja

$$c=kb, \textrm{ missä } \qquad k=\frac{\tan(21,0^{\circ})}{\tan(28,0^{\circ})}.$$

Koska $\measuredangle PBQ=45^{\circ}$, on $c=a\sqrt{2}$. Edelleen, koska, |AB|=21,6km, suorakulmaisesta kolmiosta $\bigtriangleup ABC$ seuraa, että

$$21,6^{\circ}=b^{2}+a^{2}=b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}=(1+\frac{1}{2}k^{2})b^{2}.$$

Siten

$$b=\frac{21,6}{\sqrt{1+\frac{1}{2}k^{2}}}.$$

Tällöin lentokorkeudeksi h tulee

$$h=b\tan21^{\circ}=\frac{21,6\tan 21,0^{\circ}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}k^{2}}} \approx \underline{7400\textrm{m.}}$$

Kosinilauseen perusteella koneen lentämälle matkalle x=|PQ| pätee

$$x^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(45^{\circ})=(1+k^{2}-k\sqrt{2})b^{2}$$

ja

$$x=b\sqrt{1+k^{2}-k\sqrt{2}}$$

joten koneen vauhti on 60x km/h $\approx$ 820 km/h. (=230m/s).

5. Pallolla on liike-energiaa (törmäyksen jälkeen)
1. pompussa          $\frac{1}{2}m(v^{+}_{1})^{2}$,
2. pompussa          $\frac{1}{2}m(v^{+}_{2})^{2}=0,95 \cdot \frac{1}{2}m(v^{-}_{2})^{2} =0,95 \cdot \frac{1}{2}m(v^{+}_{1})^{2}$,

n. pompussa $\frac{1}{2}m(v^{+}_{n})^{2}=(0,95)^{n-1} \cdot \frac{1}{2}m(v^{+}_{1})^{2}$

joten yleisesti

$$v^{+}_{n}=v^{+}_{1}(\sqrt{0,95})^{n-1}, \qquad n=1,2,3,\dots$$

Koska 1. pomppuun kuluu aika t₂-t₁=kv₁⁺=0,6, saadaan n. pomppuun kuluvaksi ajaksi

$$t_{n+1} - t_{n}=kv^{+}_{n}=kv^{+}_{1}(\sqrt{0,95})^{n-1}=0,6(\sqrt{0,95})^{n-1}.$$

Tällöin kokonaisaika (päättymättömään suppenevan geometrisen sarjan summana) on

$$0,6+0,6(\sqrt{0,95})+0,6(\sqrt{0,95})^{2}+\dots=\frac{0,6}{1-\sqrt{0,95}}\approx \underline{23,7\textrm{s}}.$$

6. Sijoittamalla havaintoarvot malliin (I) A_n+1=aA_n+bB_n saadaan yhtälöryhmä

$$\left\{ \begin{array}{lll} 112a+35b & =133 \\ 133a+49b & =91 \\ 91a+28b & =112 \\ \end{array} \right.$$

Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä saadaan vakioiksi a=4 ja b=-9. Kolmas yhtälö toteutuu, kun nämä sijoitetaan siihen. Johtopäätös on, että malli (I) on yhteensopiva havaintoaineiston kanssa. Vakio b=-9 merkitsee, että kukin B-lajin aikuinen syö (keskimäärin) 9A-lajin toukkaa. Sijoittamalla havaintoarvot malliin (II) B_n+1=cB_n+dA_n saadaan yhtälöryhmä

$$\left\{ \begin{array}{lll} 35c+112d&=49 \\ 49c+133d&=28 \\ 28c+91d&=35 \\ \end{array} \right.$$

Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä $c=\frac{-69}{17}$ ja $d=\frac{29}{17}$. Sijoitus kolmanteen yhtälöön antaa ristiriidan $\frac{707}{17}=35$. Malli (II) ei siten ole yhteensopiva havaintojen kanssa.