PDF, PS

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 10.5.1999
Ratkaisut

1. Bruttotulojen suhteeellinen kasvu vuonna 1995 vuoteen 1994 verrattuna oli

$$\frac{147836 - 125213}{125213}=0,1807\quad\text{eli}\quad 18,07\%.$$

Vastaavasti vuosina 1996, 1997 ja 1998 kasvu edelliseen vuoteen verrattuna oli $15,23\%$, $17,95\%$ ja $-3,01\%$. Suurin suhteellinen kasvu on siis tapahtunut vuonna 1995.

2. Olkoon $\triangle ABC$ tasakylkinen kolmio, jonka kanta on AB. Tällöin |AC|=|BC|=13 ja AB|=10, ja korkeusjanan CD pituudeksi saadaan $h=\sqrt{13^2-5^2}=12$. Olkoon kolmion $\triangle ABC$sisäänpiirretyn (vast. ympäripiirretyn) ympyrän säde r (vast. R). Kun ympyröiden keskipisteistä, jotka sijaitsevat korkeusjanalla CD, piirretään kohtisuora jana sivulle AC (tai sivulle BC), muodostuu kummankin ympyrän tapauksessa kaksi yhdenmuotoista suorakulmaista kolmiota. Yhdenmuotoisuuden perusteella on

$$\frac{5}{h}=\frac{r}{8}\quad\text{ja}\quad\frac{\frac{13}{2}}{R} =\frac{h}{13},$$

joten $r=\frac{10}{3}$ ja $R=\frac{169}{24}$. Tällöin kysytty ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on $12-R-r=\frac{13}{8}$.

3. Koska suora 5y-x=17 (eli $y=\frac{1}{5}x+\frac{17}{5}$) ja paraabeli $y=\frac{2}{5}x^2-\frac{1}{5}x+1$ leikkaavat vain kun x on -2 tai 3, käyrien rajaamaksi äärelliseksi pinta-alaksi saadaan

$$\begin{split} \int_{-2}^3 &\left[\frac{1}{5}x+\frac{17}{5}-\l... ...15}x^3+\frac{1}{5}x^2+\frac{12}{5}x) =\frac{25}{3}. \end{split}$$

4. Olkoon d laivamatkan pituus, R maapallon säde ja x Helsingin satamaan rakennettavan tornin korkeus. R-säteisessä ympyräsektorissa, joka vastaa kaarenpituutta d, keskuskulman suuruus on $\alpha= \frac{d}{R}$ radiaania. Kun ympyräsektori täydennetään lisäämällä toiseen säteeseen pituus x, on näköyhteyden tapauksessa lopputuloksena suorakulmainen kolmio. Tästä

$$\cos\alpha=\frac{R}{R+x}\quad\Rightarrow\quad x=\left( \frac{1}{\cos\alpha}-1\right)\,R.$$

Sijoittamalla lukuarvot vastaukseksi tulee $x=273\,\text{m}$.

5. Jos $\alpha$ (tässä $160^\circ$) on säännöllisen n-kulmion (sisä)kulma ja $\beta$ monikulmion sivua vastaava keskuskulma, niin monikulmiota muodostavista kolmioista päätellään, että $n\beta=360^\circ$ ja $\alpha+\beta=180^\circ$, joten $n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}=18$. Edelleen, jos x on monikulmion sivun pituus ja r monikulmion ympäripiirretyn ympyrän säde, niin

$$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\frac{x}{2}}{r}\quad\Rightarrow\quad x=2r\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right).$$

Sijoittamalla lukuarvot vastaukseksi saadaan x=5,557 pituusyksikköä.

6. Heti huomataan, että R-säteisiä palloja on $\sqrt[3]{125}=5$ kerroksessa ja että r-säteisiä palloja asetetaan siten 4 tasoon, kuhunkin $4\cdot4 =16$, eli yhteensä 64 kappaletta. Kun sellainen kuutio, jossa on yksi r-säteinen pallo ja sitä ympäröivät 8 R-säteistä palloa, leikataan diagonaalisesti pohjaa vastaan kohtisuoralla aputasolla, leikkauskuviosta voidaan lukea ehto

$$R^2+(R\sqrt{2})^2=(R+r)^2.$$

Tästä ratkaisemalla $r=-R\pm R\sqrt{3}$, joten vastaukseksi saadaan $r=R(\sqrt{3}-1)$.