PDF, PS

HTKK, TTKK, LTKK, OY/Arkkitehtiosastot
Valintakuulustelujen matematiikan koe 2.6.1997
Ratkaisut

1. Asettamalla 2x² + x - 7 = x² + 2x + 5 saadaan yhtälö x² - x - 12 = 0, joka antaa käyrien leikkauskohdiksi x=-3 ja x=4. Tällöin kysytty pinta-ala A on

$$\begin{split} A &=\int_{-3}^{4}[x^2 + 2x + 5 - (2x^2 + x -7)]... ...ac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 12x)= \frac{343}{6}. \end{split}$$

2. Erilaisia työviikkoja voi ensinnäkin olla sellaisia, että niissä on 3 päivää yhtä aktiviteettia, 1 päivä toista aktiviteettia ja 1 päivä kolmatta aktiviteettia, ja toiseksi sellaisia, että niissä 2 päivää yhtä aktiviteettia ja 2 päivää toista aktiviteettia ja 1 päivä kolmatta aktiviteettia. Edellisessä tapauksessa on siis 3 ryhmää joista yhteen kuuluu 3 samanlaista aktiviteettia. Edelisessä tapauksessa on siis 3 ryhmää joista yhteen kuuluu 3 samanlaista aktiviteettia. Tässä ryhmät voidaan asettaa $\frac{5!}{3!} = 20$ erilaiseen järjestykseen, ja koska 3 aktiviteetin tyhmään voidaan valita 3 erilaista aktiviteettia, erilaisia työviikkoja on $20 \cdot 3 = 60$ kappaletta. Jälkimmäisessä tapauksessa on myös 3 ryhmää, joista nyt kahteen kuuluu 2 samanlaista aktiviteettia. Tässä ryhmät voidaan asettaa $\frac{5!}{(2!2!} = 30$ erilaiseen järjestykseen, ja koska 3 erilaisesta aktiviteetista voidaan muodostaa 3 erilaista kahden aktiviteetin ryhmää, erilaisia työviikkoja on $30 \cdot 3 = 90$ kappaletta. Yhteensä erilaisia työviikkoja on 60 + 90 = 150 kappaletta. Koska $40 \cdot 4,5 = 180 > 150$, Teemu Teekkari ehtii käydä läpi kaikki erilaiset työviikot.

3. Lotan ja Petterin noppien silmäluvut muodostavat pareja. Näistä laskemalla tapahtuman A = 'Lotan nopan silmäluku $\ge$ Petterin nopan silmäluku' todennäköisyys on

$$P(A) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}.$$

Jotta Lotta voittaisi koko potin, tapahtuman A on satuttava 3 kertaa peräkkäin. Tällöin

$$P(\text{'Lotta voittaa'}) = \frac{7}{12} \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{7}{12} = (\frac{7}{12})^3.$$

Odotusarvo sille, kuinka paljon Lotta ansaitsee, on

$$E_{\text{Lotta}} = 4 \cdot (\frac{7}{13})^3 + (-1)(1-(\frac{7}{13})^3) = - \frac{13}{1728}<0.$$

Siten voidaan odottaa, että Lotta häviää ja Petteri voittaa toistettaessa peliä monta kertaa.

4. Olkoot r, h ja R muodostettavan kartionmuotoisen suppilon (lyhyesti kartion) pohjaympyrän säde, korkeus ja reunaviivan pituus. Nyt R on myös sen ympyrän säde, jonka kokoisesta paperinpalasta kartion vaippaa aletaan muodostaa. Ilmeisesti r²+h² = R². Tällöin maksimoitava tilavuus on

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (R^2 - h^2)h, h \varepsilon [0,R].$$

Nyt $V'(h) = \frac{1}{3} \pi (R^2 - 3h^2) = 0$, kun $h = R\sqrt{3} \varepsilon [0,R]$, ja koska V(0) = 0 = V(R) ja $V(R\sqrt{3})>0$, niin V(h) saavuttaa maksimin, kun $h = R\sqrt{3}$.

Koska kartion pohjaympyrän kehän pituudelle on

$$2 \pi r = 2 \pi \sqrt {R^2 - h^2} = 2 \pi R \sqrt{2/3} = (2 \pi - \alpha)R,$$

poisleikattavan sektorin kulmaksi tulee $\alpha = 2 \pi (1-\sqrt{2/3})\,$rad eli 66^o.

5. Kuulien keskipisteet A,B,C ja D muodostavat säännöllisen tetraedrin. Olkoon $\Delta ABC$ tetraedrin pohjakolmio ja B tetraedrin huippu. Tällöin tetraedrin korkeus h on sama kuin kolmiossa $\Delta ABE$ sivulle AE piirretyn korkeusjanan pituus, missä E on tetraedrin särmän CD keskipiste. Koska [AB] = 1 ja $[BE] = [AE] = \sqrt{3}/2$, niin korkeudelle h pätee yhtälö

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{1-h^2} + \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 - h^2}.$$

Tästä $h=\sqrt{2/3}$, joten pyramidin korkeus on $1+h= 1+\sqrt{2/3}$.

6. Olkoot A (vast. B ja C) kolmion $\Delta ABC$ huippupiste (vast. kantapisteet) ja O siirrettävän ympyrän keskipiste. Säde r₁ (Kuva 2b): Nyt [AO] = 2r₁. Koska 2r₁ + r₁ = 1, on r₁ = 1/3.

Säde r₂ (Kuva 2c): Muodostetaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on jana OC ja jonka toinen kateetti on alkuperäisen kolmion $\Delta ABC$ sivulla BC. Tästä r₂² + (1/2)² = (1-r₂)², joten r₂=3/8.

Säde r₃ (Kuva 2d): Jatketaan jana CO 1-pituiseksi janaksi. Koska kolmiossa $\Delta ABC$ jokaisen korkeusjana pituus on $\sqrt{3/2}$ ja koska $r_0=\sqrt{3}/6$, niin

$$\begin{split} r_3 &= r_0 + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sq... ... - \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &= 1-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{split}$$