Seuraten Tamás Varga - Eszter Neményi -menetelmää ovat kurssin kehittäneet Márta Oravecz ja Ágnes Kivovics.
Kurssin pitivät Jyväskylässä ja Polvijärvellä: Márta Oravecz ja
Ágnes Kivovics
Kurssimuistiinpanojen kirjoittajat: Anna-Maija Risku ja
Marja-Leena Hirsilä (luvut 1-5, 7-8) sekä Pirjo Tikkanen
(luku 6)
Kurssin tulkit: Nina Ortju ja Anna-Maija Viljanen
Seuraavilla sivuilla esittelen kuluvan lukuvuoden (2000-2001) aikana saamaani kokemusta unkarilaisen Tamás Vargan kehittämästä matematiikan opettamisen metodista. Jyväskylässä ja Polvijärvellä pidettiin 15.-24.8. 2000 peruskoulun opettajille ja opettajiksi opiskeleville 35 tunnin kurssi menetelmän periaatteista ja käytiin läpi ensimmäisen kouluvuoden sisällöt perusteellisesti esimerkein. Kouluttajina toimivat opettajat ja opettajankouluttajat Márta Oravecz ja tri Agnes Kivovics. Kurssin sisältö on tarkoitus pääpiirteissään esitellä näillä sivuilla ja herättää samalla kiinnostusta niitä koulutustilaisuuksia kohtaan, joita pyritään jatkossa järjestämään. Metodin syvällinen ymmärtäminen vaatii koulutusta, jossa on tilaisuus itse kokea ja kokeilla käytännössä, miten lasten kanssa on hyvä toimia. Opettajan on myös hallittava matematiikan peruskäsitteet, joiden rakentamiseen opetus pyrkii.
Merkittävä havaintoni kurssin edetessä oli se, miten syvällinen ja tarkkaan mietitty matemaattinen sisältö ja struktuuri on takana jo pienten lasten matematiikan opetuksessa. Kaikki, mitä lapsi tekee ja mitä häneltä odotetaan, noudattaa hänen ajattelunsa kehitysvaiheita ja on aina konkreettia, toiminnallista ja havainnollista. Kieli, jota lapselle puhutaan, on hänen käsityskykynsä ulottuvissa, mutta sisältää silti tarkkaan mietityn matemaattisen käsitteistön. Opettajan rooli on hyvin keskeinen, mutta oleellista silti on, että lapset ovat jatkuvasti aktiivisia toimijoita ja tiedon rakentajia ja muokkaajia ja aikuisen tehtävä on taitavasti ohjailla tätä prosessia. Oppitunneilla sekä aikuinen että jokainen lapsi tekevät paljon työtä. Kurssilta sain kaipaamani puuttuvat palaset siihen matematiikan opetuksen ja oppimisen palapeliin, jota jo usean vuoden ajan olen eri koulutuksissa rakentanut. Löytyi "punainen lanka", jonka avulla lähteä lasten matemaattista ajattelua ja käsitteiden muodostusta ohjaamaan. Toivon, että tämä menetelmä jatkossa saisi jalansijaa Suomessa ja tulisi ajan myötä mukaan myös opettajien peruskoulutukseen. Havainnollinen ja toiminnallinen tapa lähestyä matematiikan peruskäsitteitä on omiaan hälventämään monien matematiikkaa kohtaan tuntemaa epävarmuutta ja jopa vastenmielisyyttä.
Anna-Maija Risku
Luokanopettaja
Nenäinniemen koulu, Jyväskylä
1. MATEMATIIKAN OPETUKSEN METODOLOGISET PERIAATTEET
"Sen, minkä tekee itse, oppii parhaiten."
Esimerkit ja tehtävät haetaan mahdollisimman läheltä lasten omaa kokemusmaailmaa (koti, koulu, päiväkoti, puisto, kauppa jne.) Tunneille haetaan kokemuksia toimimalla: tarttumalla, peittämällä, mittaamalla, punnitsemalla, taputtamalla, tömistämällä, täyttämällä jne.) Toiminnasta syntyy aivoihin mielikuva, josta myöhemmin rakentuu haluttu käsite perusominaisuuksineen.
Esimerkki 1: Etsitään lukua 6. Epäluonnollinen tapa on esimerkiksi värittää kuvasta 6 kukan terälehteä tai värittää kuvan "madosta" 6 niveltä; näitä ei esiinny todellisuudessa. Sen sijaan voi pohtia, miten eri tavoin voi kolikoista saada 6 markkaa, jotta voisi ostaa sen hintaisen suklaapatukan.
Esimerkki 2: Havainnollistetaan yhteenlasku 2+3. Laitetaan toiseen kämmeneen 2 papua, toiseen 3. Siirretään kädet vierekkäin ja nähdään, että papuja on yhteensä 5. Samalla nähdään myös luvun viisi esitystapa muodossa 2 ja 3. Kädet laitetaan ristiin, jolloin havaitaan, että myös 3 ja 2 ovat yhteensä 5 (yhteenlaskun vaihdannaisuus). Kädet viedään vuorotellen selän taakse, jolloin havainnollistuu vähennyslasku 5:stä pois 2 tai 5:stä pois 3.
Käsitteen muodostuksen pohjalla on vaiheittainen prosessi, joka perustuu kokemukseen. Ensimmäinen vaihe on aina "oikea" tekeminen, asian havainnollistaminen leikkimällä tai pyytämällä lapsia itse tekemään kehollaan jotain. Käytetään mahdollisimman paljon eri aisteja.
Esimerkki: Jaetaan luokka/ryhmä kahtia siten, että lapset menevät kahteen jonoon. Tarkistetaan, ovatko ryhmät yhtä suuret ottamalla paria käsistä kiinni. Katsotaan, löytyykö kaikilla pari. Tämä toimii johdatuksena "parillinen luku"-käsitteeseen.
Toinen vaihe on saman asian tekeminen välineillä (tikuilla, pahvikiekoilla, pavuilla jne.) Edellisen esimerkin tapaan voidaan muodostaa pareja esim. kahdesta ryhmästä tulitikkuja.
Kolmas vaihe on saman asian tarkastelu kuvasta. Kuva on lapselle abstraktio. Sen vuoksi tämä ei ole abstraktion portaiden ensimmäinen vaihe.
Jokaisella lapsella on helposti saatavilla "työkalupakki", josta löytyy monenlaista materiaalia: nappeja, papuja, erilaisia kortteja, arpakuutioita, legoja, narua, askartelutikkuja, kuminauhoja, mittanauha, pelinappuloita jne. Sieltä lapsen on vaivatonta ottaa pöydälleen kunkin asian havainnollistamiseen tarvittavat välineet. Hän on aina aktiivinen osallistuja. Lisäksi käytetään loogisia paloja (eri värisiä, pieniä geometrisia kuvioita) sekä värillisiä, eri pituisia sauvoja.
Samoihin leikkeihin voi sisältyä perusteita useilta eri matematiikan aloilta. Matemaattista ajattelua rakennetaan kuin taloa, pieni osa kerrallaan, mutta vankalle perustalle.
2. ESIOPETUKSEN TEHTÄVÄT JA TAVOITTEET
Esiopetuksen sisältöjä ja tavoitteita ei varsinaisesti käsitelty kurssilla, vaan se keskittyi 1. kouluvuoden asioihin. Sen vuoksi esiopetuksen tehtävät ja tavoitteet ovat tässä luettelona.
Esiopetuksen tehtävät
Esiopetuksen tavoitteet
Edellä kuvatut esiopetuksen sisällöt ja tavoitteet ovat pohja alkuopetukselle. Niihin liittyviä harjoituksia sisältyy paljon myös ensimmäisen kouluvuoden alkuun. Kappaleessa 2 esittelen tähän kokonaisuuteen liittyviä harjoituksia, jotka soveltuvat käytettäviksi myös esiopetuksessa, mutta ovat tärkeä alku ajattelun kehittymiselle myös alkuopetuksessa. Tekstissä viitataan harjoitusarkkeihin, jotka aukeavat Solmun aloitussivulta.
Matematiikan opiskelussa pienillä lapsilla on tärkeää käyttää konkreettisia materiaaleja ja välineitä havaintojen tekoon ja käsitteenmuodostuksen pohjaksi. Varga-metodin mukaan opiskelevassa luokassa jokaisella lapsella on käytössä seuraava, henkilökohtainen varustus, matematiikan "työkalut":
Näiden lisäksi tarvitaan sakset, viivoitin, paperiarkkeja, sekä erilaisia kortteja (korteista annetaan joitakin esimerkkejä jatkossa seuraavien harjoitusten yhteydessä), joiden avulla voidaan harjoitella luokittelua ja lukukäsitteen omaksumiseen liittyviä asioita.
Ominaisuuksien mukaan luokittelu aloitetaan mahdollisimman konkreettisesta tilanteesta. Helpointa on luokitella lapsia eri ominaisuuksien perusteella: (pituus, hiusten väri, sukupuoli, sisätossut/ei tossuja, silmälasit/ei silmälaseja jne.) Opettaja aloittaa ryhmien muodostamisen ja pyytää lapsia kertomaan, milla perusteella ryhmät on tehty tai kumpaanko ryhmään itse kuuluisit/kaverisi kuuluisi?
Luokkaan kerätään "aarrelaatikko", jossa voi olla sekä lasten tuomia että opettajan keräämiä tavaroita. Muodostetaan niistä ryhmiä eri perustein. Opettaja nostaa esimerkiksi esille 2 huulipunaa ja yhden meikkikynän. Lapset huomaavat, että ne ovat äidin meikkipussista. Lisätään pieni leimasin, ja pyydetään lapsia kertomaan, miten ryhmittelyperuste muuttui (kaikki jättävät jäljen).
Voidaan myös ryhmitellä nappeja koon perusteella tai reikien määrän mukaan (näkyvät hyvin piirtoheittimellä).
Lapsia pyydetään "pilaamaan" olemassa oleva ryhmä laittamalla sinne jotain, mikä ei kuulu siihen.
Loogiset palat soveltuvat hyvin monenlaisiin ryhmittelytehtäviin. Ensin lasten annetaan vapaasti muodostaa paloista ryhmiä. Sen jälkeen pyydetään jakamaan ne kahteen ryhmään. Yleensä variaatioita löytyy useita: reikä-ei reikää, isot-pienet, kulmalliset-pyöreät, tummat-vaaleat värit. Joku lapsi saattaa jakaa lukumäärän perusteella (jotta olisi yhtä monta). Häntä on ohjattava havaitsemaan ominaisuuksia.
Ryhmittelyssä voidaan erottaa seuraavat 4 tehtävätyyppiä:
Ryhmittelyn apuna voi käyttää ominaisuuskortteja: väri, muoto, reikä, koko. Näitä voi sijoittaa näkyviin kuten "liikennemerkkejä" ja pyytää lapsia valitsemaan kullekin "tielle" sopivat palat. Lapsella voi olla edessään monistepohja tienristeyksestä (liite 1) , jolloin hän voi konkreettisesti "ajaa" palat sopivaa tietä pitkin.
Tähän soveltuvat harjoitusarkit 1/A ja 1/B. Luokitteluun soveltuvia kortteja on esimerkkinä harjoitusarkissa 2.
Loogisilla paloilla voi leikkiä myös "mikä olen?"-leikkiä: Lapsen otsaan sidotaan lappu, johon on teipattu looginen pala. Lapsi ei näe sitä itse. Hän kysyy toisilta, kuka hän on. Vastauksena yksi ominaisuus (väri, muoto, koko, reikäisyys) kerrallaan. Tätä voidaan leikkiä parityönä siten, että lapsi, jolla on lappu otsassa, laittaa sitä mukaa omia loogisia palojaan sivuun, kun saa selville, mitkä eivät ainakaan tule kyseeseen. Esim. jos kaveri sanoo:"Olet punainen.", lapsi laittaa muut värit sivuun.
Tässä kohtaa tutustutaan jaksollisiin jonoihin.
Alussa laitetaan lapsia jonoon jaksollisesti tyttö-poika-tyttö-poika tai tyttö-tyttö-poika-tyttö-tyttö-poika. Lapsia pyydetään jatkamaan jonoa.
Tämän jälkeen taputetaan ja tömistetään ("soitetaan" keholla) jaksollisia rytmejä.
Seuraavana voidaan järjestää esim. sinipunaisia kiekkoja: sin-pun-sin-pun tai sin-sin-sin-pun-sin-sin-sin-pun. Lapset rakentavat jonoja omista kiekoista pulpetille.
Jonoja voi rakentaa myös pavuista ja napeista. Opettaja laittaa näkyviin ensimmäisen jakson (alussa voi laittaa kaksi jaksoa)
Tämän jälkeen jonoja piirretään ja väritetään. Voidaan tehdä ornamenttia kuvaamataidossa tai ommella tilkuista tuhatjalkainen, jossa vartalo muodostuu jaksollisesti eri kankaista.
Tämä on ensimmäinen askel kohti matemaattisia lausekkeita ja erittäin tärkeä vaihe näissä abstraktion portaissa.
Alussa muutosta havainnoidaan esim. niin, että opettaja seisoo luokan edessä (ensin kädet sivuilla). Lapset sulkevat silmänsä. Silmät avataan ja lasten pitää havaita, mikä opettajassa muuttui (laittoi kädet puuskaan).
Muutoksia voi tehdä lapsilla monin eri tavoin (avain kaulassa/avain pois, lapsia rivissä, kaksi heistä vaihtaa paikkaa tai joku kääntyy selin jne.)
Voidaan tarkastella helminauhoja, joissa kahden helmen paikat ovat vaihtuneet.
Muutosta kuvataan nuolella. Ensin voidaan lapsen sormeen teipata nuolen kärki, jolloin lapsi voi osoittaa kädellä muutosta. Sitten etsitään muutosta kuvasta ja merkitään sitä nuolella.
Myöhemmin kuvataan nuolella vertailua. Nuoli osoittaa esimerkiksi aina kohti kooltaan suurempaa, lukumäärältään suurempaa jne. Alussa tässä voi pyytää kolme eri pituista lasta eteen, jolloin he voivat käsillä osoittaa kohti itseään pidempää/lyhyempää lasta. Nuoli käännetään välillä myös toisin päin, jolloin havaitaan suhteiden kaksisuuntaisuus.
Vertailumerkkeihin (< >) tutustuminen aloitetaan Kettu-leikillä. Opettaja kertoo tarinan ketusta, joka on ahne ja hyökkää mieluiten sellaiseen kanalaan, jossa on mahdollisimman paljon kanoja. Lapset leikkivät kanoja, yksi on kettu. "Ketulla" voi olla apuna käsinukke tai pahvikettu, joka auttaa eläytymisessä. Kettu tarkastaa, kummassa kanalassa on enemmän kanoja ja hyökkää sinne suu ammollaan. Lapsille syntyy elämyksellinen kuva kita ammollaan hyökkäävästä ketusta. Tämän jälkeen vertaillaan monilla eri tavoilla, mitä on enemmän ja lapset avaavat kädet ammolleen kuin ketun kita siihen suuntaan, missä on enemmän.
Seuraavana tehdään vertailuja pulpetille pavuista, simpukoista tms. ja tehdään väliin vertailumerkki askartelutikuista. Voidaan tehdä ryhmät myös paperille, jolloin tikkumerkit voi vaihtaa suoraan kirjoitetuksi merkiksi ja papujen tilalle piirtää kuvat pavuista tai piirtää tilalle yhtä monta jotain muuta.
Tästä voidaan siirtyä kuvaan ja merkkien kirjoittamisen harjoitteluun. Koko ajan samalla pidetään mukana puhe - lapset kertovat havainnoistaan ja sanovat vertailuja ääneen. Jokaiselle varataan tilaisuus sanoa ja opettajalle samalla mahdollisuus havainnoida ymmärtämistä ja korjata virheet.
Tämä erittäin tärkeä käsitteenmuodostuksen perustaa luova vaihe jakautuu seuraaviin osioihin:
2.5.1. Mittaaminen ja pareiksi yhdistely
Lukukäsitteen omaksumiseksi on aina käytettävä kahta kanavaa: lukumäärä (kuinka monta taputusta, omenaa, karkkia, autoa) ja määrää ilmaiseva mittaluku (kuinka monta askelta, kuinka monta kappaletta kyseistä mittayksikköä tarvitaan mittaamiseen).
Mittaamiseen johdatellaan vertaamalla lasten pituuksia (onko Sanna pidempi kuin Tiina silloinkin, kun tytöt makaavat?). Tutkitaan, onko jokin asia yhtä pitkä mitattuna alusta loppuun kuin lopusta alkuun.
Mittavälineeksi soveltuu naru. Mitataan kotona esimerkiksi mikä on television leveys / uunin ikkunan leveys (jotain, joka löytyy joka kodista) ja tuodaan kouluun yhtä pitkä naru tai lanka. Laitetaan langat näkyviin ja vertaillaan niiden avulla mitattavien kohteiden leveyksiä. Tämä saattaa tuntua itsestään selvyydeltä, mutta on erittäin tärkeä vaihe sekä mitaamisen käsitteen että yhtäsuuruus-käsitteen omaksumiselle.
Kuvitellaan leppäkerttu kävelemään lasin reunaa pitkin. Arvioidaan, kumpi matka sillä on pidempi - reunalta pohjalle vai kierros reunan ympäri? Mitataan ja tarkistetaan tulos langalla.
Vertaillaan laskusauvojen pituuksia. Tutkitaan, mitkä kaikki sauvat voi mitata tasan vaaleanpunaisella sauvalla. Mikä sauva on yhtä pitkä kuin etusormi? Mitkä sauvat ovat tätä lyhyempiä? Järjestetään sauvat pituusjärjestykseen (avaruudessa ja tasossa).
Hankitaan kokemuksia mittaamisesta myös tutkimalla painoja ja tilavuuksia. Hengarista saa vaa ´an laittamalla hamekoukkuihin muovipussit. Lapset kokeilevat erilaisia esineitä ensin käsissä ja punnitsevat ne sitten "vaa'alla". Kokeillaan, montako duplopalikkaa tarvitaan toiseen pussiin, että ne painavat yhtä paljon kuin omena.
Kaadetaan sama määrä vettä eri kokoisiin ja -muotoisiin astioihin. Arvioidaan, missä on eniten vettä. Tarkistetaan kaatamalla vesi takaisin alkuperäisiin astioihin. Kaadetaan myös saman kokoisiin astioihin eri määrät vettä (eri kokoisista astioista) ja vertaillaan, miten veden pinta asettuu.
Lukumääriä vertaillaan muodostamalla pareja. Aloitetaan laittamalla lapset kahteen jonoon ja tutkimalla, kummassa jonossa on enemmän lapsia - muodostetaan parit. Jaetaan lapsille kyniä, kumeja, karkkeja ja tutkitaan, kumpaa on enemmän. Piirretään kuvia joukoista, joissa on eri määrä asioita. Yhdistetään viivalla pareiksi ja tutkitaan, kummassa ryhmässä on enemmän. Puhutaan koko ajan vertailujen tuloksia ja ennakko-oletuksia: Mitä tapahtuu, jos lapsia on enemmän kuin karkkeja? - jotkut jäävät ilman. Mitä tapahtuu, jos karkkeja on enemmän? -niitä jää yli.
Harjoituksia vertailuista ja pareiksi yhdistämisestä löytyy harjoitusarkeista 6, 7, 8, 9 ja 10.
Lukumäärien säilymisen voi kokea hyvin konkreettisesti esimerkiksi niin, että kukin lapsi saa ensin ottaa yhden hedelmän korista niin kauan kuin hedelmiä riittää. Sitten hedelmät pannaan takaisin koriin ja kaadetaan vaikkapa laakealle vadille. Lapset saavat taas ottaa hedelmiä ja todetaan että niitä riittää jälleen yhtä monelle lapselle.
Voidaan myös tehdä seuraava tehtävä: täytetään kuuden munan kenno kananmunilla, lasketaan munat ja siirretään samat munat 10:n munan kennoon. Onko kananmunia nyt enemmän vai vähemmän kuin ennen siirtämistä? Sitten munat siirretään takaisin kuuden munan kennoon ja todetaan että munien lukumäärä ei ole muuttunut vaan se on pysynyt samana.
Luokassa voidaan askarrella esim. käärme, josta mitataan onko käärme samanpituinen päästä häntään kuin hännästä päähän. Voidaan myös tutkia oppilaiden pituutta. Mitataan narulla oppilaan pituus ensin oppilaan seisoessa ja sitten mitaan sama oppilas lattialla makaamassa.
2.5.3. Sanalliset avoimet lauseet
Oppilaille tulisi järjestetää riittävästi mahdollisuuksia keskustella, tällöin itse kukin voi kertoa suullisesti havaitsemistaan asioista . Esimerkiksi:" Lasse on pidempi kuin...", "Ullan silmät ovat..." "Liisalla on tummemmat hiukset kuin..." jne.
Vertailtaessa tankojen pituuksia voidaan käyttää sanallisia avoimia lauseita seuraavasti: "....tanko on vaaleanpunaisen verran pitempi kuin kirkkaanpunainen". (Täydennetään yhden tangon väri.) Tai : " ..... tanko on vaaleanpunaisen verran lyhyempi kuin ...." . (Täydennetään kahden tangon värit.)
Ellei suoraan nähdä onko jotakin esinettä tai asiaa enemmän kuin jotakin toista (esim. lapset ja ilmapallot kuvassa), auttaa asiaa konkretisoimaan pareiksi yhdistäminen (kääntäen yksikäsitteisen vastaavuuden muodostaminen). Jos jokaiselle lapselle riittää ilmapallo ja yksi jää vielä yli, on selvää että ilmapalloja on enemmän. Pareiksi yhdistäminen on myös käsitteen "yhtä monta kuin" muodostamisen perusta.
Pareiksi yhdistämistä voidaan harjoitella myös muilla kysymyksillä: Kumpia on enemmän, tyttöjä vai poikia? lapsia vai tuoleja?, takkeja vai naulakon koukkuja?, keltaisia vai punaisia tankoja?,vihreitä vai keltaisia loogisia paloja? vihkoja vai oppilaita? jne...
2.5.5. Erilaisia tapoja ymmärtää käsitettä yhtä monta
Lukukäsite liittyy keskeisesti yhtä monen käsitteeseen. Jos kukin ilmapallo kuuluu jollekin lapselle ja jokaiselle lapselle kuuluu ilmapallo, lapsia ja ilmapalloja on yhtä monta - ja sama luku kertoo molempien asioiden lukumäärän. Ellei lapsi ymmärrä tätä yhteyttä, lukumäärän käsite ei vielä ole hänelle selvä.
On tärkeää, että yhtä monen käsitettä havainnollistetaan mahdollisimman monella konkreettisella tavalla, esimerkiksi tömistämällä, taputtamalla, nyökyttämällä päätä, hyppäämällä tasajalkaa jne... yhtä monta kertaa kuin esimerkiksi taululla on piirrettynä ympyröitä. Tässä vaiheessa ei vielä tarvitse puhua luvuista vaan pohjustaa niiden ymmärtämistä.
Taitetulle paperille tai vihkoon voidaan tehdä seuraava tehtävä: "Piirrä ensimmäiselle riville yhtä monta hedelmää kuin yhdessä kädessä on sormia. Piirrä toiseen riviin yhtä monta vihreää lehteä. Piirrä kolmanteen riviin yhtä monta kukkaa. Piirrä neljänteen riviin yhtä monta jotakin muuta."
Yhtä monen käsitettä harjoitellaan dominopelin avulla. Myös oppilaiden värittämillä lukumääräkorteilla voi hyvin harjoitella sen oppimista. Lukumääräkortit löytyvät harjoitusarkilta 15A.
Harjoitusarkilla 11 on aiheeseen liittyviä tehtäviä.
2.5.6. Johdatus yhtäsuuruusmerkkiin
Yhtäsuuruusmerkki tarkoittaa aluksi sitä, että esineitä, esimerkiksi hedelmiä, on yhtä monta. Lukujen yhtäsuuruus -käsitettä lähestytään käsitteellä yhtä monta. = merkkiä voidaankin käyttää aluksi tässä tarkoituksessa. Piiretään kulhot, joissa on erilaisia hedelmiä, kussakin kulhossa yhtä monta. Merkitään niiden välille = merkki. Henkarilla, joka toimii yksinkertaisena vaakana, voidaan harjoitella yhtäsuuruutta seuraavasti: Laitetaan henkarin molempiin päihin roikkumaan pienet muovipussit. Toiseen pussiin laitetaan jokin esine. Mietitään yhdessä kuinka monta duploa pitää laittaa toiseen pussiin että saadaan tasapaino aikaan. Laitetaan duploja pussiin niin monta että tasapaino saavutetaan. Nyt pussit ovat nyt yhtä painavat ja piirretään = merkki pussien väliin.
Numeromerkkien ja lukumäärän yhdistämistä voidaan harjoitella esimerkiksi korteilla, joissa on kuvattuna erilaisia asioita eri lukumääriä. Koska luvun käsite liittyy yhtä monen käsitteeseen, keräämme ensin korteista yhteen ne kuvat, joissa on yhtä monta asiaa ja sitten liitämme niihin saman luvun.
Numeromerkkien tunnistamisharjoituksissa voi käyttää esimerkiksi seuraavia tehtäviä: Numeromerkki on kirjoitettu paperille ja numero on peitetty toisella paperilla. Liu´utetaan hitaasti peittävää paperia jolloin numero paljastuu vähitellen. Oppilaat yrittävät havaintojensa perusteella selvittää mikä numero oli piilossa.
Duploilla , multilink-kuutioilla tai valkoisilla tangoilla voidaan rakentaa numeromerkin osoittaman lukumäärän korkuisia "torneja": piirretään rakennettavan palikan kokoisia ruutuja ja kirjoitetaan numerot niiden sisään. Kehoitetaan: "Kerää jokaisen ruudun päälle niin monta kuutiota kuin ruutuun merkitty luku kertoo."
Numeroin kirjoitetut luvut on hyvä vielä kauan yhdistää kuviin, kasoihin (pavut, napit tikut yms.) ja lukukortteihin. Numeromerkkien kirjoittamiseen ei kannata kiirehtiä liian aikaisin, mutta kun harjoittelu on ajankohtaista, kannattaa aluksi antaa oppilaiden hahmotella numeroita karkeasti esimerkiksi vihkoonsa. Numeromerkkien kirjoittamista harjoitellaan muiden tehtävien rinnalla.
Harjoitusarkeissa 14, 18A ja 18B on aiheeseen liittyviä tehtäviä.
Lukukäsitteen omaksumisen kannalta on tärkeää tutustua lukuihin niiden erilaisissa esitysmuodoissa. Kurssilla käytettiin termiä lukujen monet "nimet" - meille tutumpi käsite tässä kohtaa on lukujen hajotelmat. Aluksi tutustutaan lukujen summamuotoihin. Esimerkiksi luku 4 voidaan esittää myös muodoissa 1+3, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+2, 1+2+1.
Lukujen esittäminen summamuodossa opitaan aluksi konkreettisten luokittelujen kautta: Lasketaan ryhmässä olevat lapset (8) eri tavoin: 5 tyttöä ja 3 poikaa / 2 pelaa palloa, 2 keinuu, 4 leipoo hiekkakakkuja / 3 sinihousuista, 3 harmaahousuista, 2 vihreähousuista jne.
Tässä kohtaa on huomattava, ettei vielä puhuta yhteenlaskusta eikä ole tarpeen miettiä, mikä on summa ("tulos", "vastaus"). Korostetaan sen sijaan, että koko ajan puhutaan samoista lapsista, samasta lukumäärästä,siis samasta luvusta voidaan puhua eri tavoin.
Summamuotoja harjoitellaan monin eri tavoin konkreeteilla materiaaleilla: duplojonoilla, helminauhoilla, eläimillä, korteilla. Luetaan ääneen lukumäärät eri tavoin. Joka lapsella voi esimerkiksi olla sama määrä legoja/duploja (olkoon tässä 6), mutta jono muodostuu eri tavoin eri värisistä palikoista. Lapset lukevat luvun eri tavoin omasta jonostaan: 2 punaista ja 2 keltaista ja 2 sinistä / 2 ja 2 ja 2 . Tässä vaiheessa summamuotoja merkitään myös "matematiikan kielellä" : 2 + 2 + 2 . Koska + merkkiä ei käytetä tässä yhteenlaskun merkkinä, se luetaan : "ja", jolloin konkreetisti ilmaistaan, että sillä takoitetaan yhdistelmiä. Tällä kielellisellä välivaiheella on tärkeä merkitys myöhemmin sanallisten tehtävien ymmärtämisessä ja muuttamisessa matematiikan kielelle. Erittäin tärkeää on, että jokainen lapsi sanoo ääneen hajotelmia ja oppii näkemään niitä erilaisista konkreeteista tapahtumista ja kuvista.
Myöhemmin työskennellään toisin päin: Lapsi kertoo tarinan summamuodosta (3+2) ja piirtää siitä kuvan. Summia voi kirjoittaa paperilapuille, joita lapset valitsevat yksi kerrallaan tehtäväksi.
Värillisistä sauvoista voi koota tietyn luvun, esim. 4:n levyisiä "mattoja", joihin kerätään mahdollisimman monta tämän luvun hajotelmaa. Luetaan ääneen maton rivejä värein ja luvuin. Havaitaan myös, että mitä suurempi luku on, sitä pidempi matto siitä voidaan tehdä. Tässä sovitaan yksiköksi pienin, valkoinen sauva, jonka mukaan muiden sauvojen edustamat luvut määräytyvät. (Lasten ei tarvitse ymmärtää käsitettä "yksikkö", vaikka sanaa voidaankin käyttää, jotta se tulee tutuksi oikeassa yhteydessä. Lapsille voi antaa tehtäväksi tutkia esim. lilaa sauvaa ja kysyä: "Jos sovimme, että valkoinen sauva on "yksi", mikä silloin on lila? (6) Entä jos sovimme ykköseksi vaaleanpunaisen (3) tai vaaleansinisen (2)?" Mattoharjoituksessa sovitaan, että "ykkönen" on valkoinen).
Harjoitusarkeissa 15B, 16 ja 17 on tähän liittyviä tehtäviä.
2.5.9. Mittaaminen erilaisilla yksiköillä
Mittaamista voidaan harjoitella esimerkiksi tangoilla. Mitataan sama kohde (esim. kynä) valkoisella, vaaleanpunaisella ja vaaleansinisellä tangolla. Merkitään mittaustulos täplillä ja havaitaan että mittaustulos muuttuu eri mittayksiköitä käytettäessä. Opitaan, että samaan pituuteen mahtuu suurempi lukumäärä pieniä yksiköitä, pienempi määrä suuria yksiköitä. Mittayksikkönä voidaan käyttää myös klemmarijonoja (isot ja pienet klemmarit), helminauhaa, pillinpätkiä tms.
Eri värisillä tangoilla voidaan myös tehdä seuraavanlaisia mittaustehtäviä: "Mittaa valkoisella kuutiolla punainen, vaaleansininen , keltainen ja musta tanko. Piirrä ne vihkoon ja merkitse jokaisen tangon alle niin monta täplää kuinka monen kuution mittaisia ne ovat." "Mittaa vaaleansinisellä tangolla. Piirrä vihkoon ne tangot, jotka ovat 4, 3, 2 ja 1 vaaleansinisen tangon mittaisia. Piirrä myös täpliä vaaleansinisten tankojen päälle."
Kotitehtävänä voidaan tehdä esim. seuraava mattojen mittaamistehtävä: Valitaan kotoa neljä eri kokoista mattoa. Ensin oppilas mittaa maton pituuden omilla askelillaan ja merkitsee askeleiden lukumäärän täplillä (numerolla) maton viereen. Sitten aikuinen mittaa saman maton omilla askeleillaan ja oppilas merkitsee askelten lukumäärän täplillä (numeroilla) oppilaan täplien viereen.
Valmistetaan oma mittanauha. Leikataan vaaleanpunaisesta paperista noin puolen metrin pituinen, kapea suikale."Mittaa yhden vaaleanpunaisen tangon pituus suikaleen päästä ja tee siihen merkki. Mittaa ja merkitse kahden vaaleanpunaisen tangon merkki, jne...". Näin saatuun mittanauhaan voidaan kirjoittaa myös luvut ja mitata sillä luokassa sekä kotona erilaisia asioita. Merkitään joka mittauksen tulos vihkoon merkitsemällä vaaleanpunaisten tankojen määrä täplillä tai numeroilla.
Voidaan myös mitata sama nestemäärä eri kokoisilla astioilla. Esim:" Äiti kaatoi kaakaon kannusta laseihin. Lisääntyikö vai vähenikö kaakao?"
Kokemusten hankkimisen tulee liittyä ongelmien ratkaisemiseen. Oppilaan väärää ajattelua ei tule korjata selityksin, vaan tarvitaan omakohtaista kokemusta oppilaan itsensä tekemisen ja kokeilun kautta.
Samanlaista kokeilua voidaan tehdä myös punnitsemisen yhteydessä. Oppilaat saavat havaita, että painavampien tavaroiden tasapainottamiseen tarvitaan enemmän samankokoisia punnuksia. Toisaalta saman esineen tasapainottamiseen riittää pienempi määrä suurempia punnuksia. Punnuksina voidaan käyttää rakennuspalikoita, kolikoita, käpyjä, väritankoja, pähkinöitä jne...
2.5.10. Yhteyksien havainnollistaminen, leikit ja "koneet" joissa
on säännöt
Sääntöleikkien avulla havainnollistetaan yksikäsitteisen riippuvuuden (myöhemmin funktion) käsitettä.
Leikki 1:
Kerrotaan ja piirretään taululle tai piirtoheittimelle:
Annukka piirtää : * * *
Noora "vastaa": ¤ ¤ ¤
Annukka piirtää : * * * * *
Noora vastaa: ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Annukka piirtää: * *
Noora: ? (Mitä Noora vastaa?)
Leikki 2:
Kysyjä ottaa esille loogisia paloja. Vastaaja valikoi niiden joukosta palat jonkin ominaisuuden (säännön) perusteella. Aluksi sääntönä on yksi ominaisuus (koko, muoto, väri tai reiällisyys). Myöhemmin voi olla useampi ominaisuus yhtä aikaa tarkastelun kohteena.
Funktiokone:
Pahvilaatikosta voi rakentaa luokassa käytettävän koneen, jolla opettaja esittää koneen toimintaa. Kun koneeseen on syötetty halutut loogiset palat, voidaan kääntää kampea tai painaa nappia, jotta kone antaisi vastauksen. Lapset saavat nähdä, että jokaisella napin painalluksella kone toimii saman säännön mukaan. Kone valitsee esim. syötettyjen palojen joukosta reiälliset.
Harjoitusarkissa 19 on aiheeseen liittyvä tehtävä.
Lukukäsitteen omaksumista voi arvioida yksinkertaisesti siten, että nayttää lapselle lukumääriä (aluksi 0-6) eri tavoin ja pyytää hantä kertomaan, mitä lukua näytetään. Seurataan lapsen silmistä, hahmottaako hän luvun nopeasti vai luetteleeko hän yksi kerrallaan saadakseen lukumäärän selville. Siinä vaiheessa, kun lapsi hahmottaa luvun silmäyksellä (hän voi hahmottaa näiden harjoitusten jälkeen esim. luvun 7 nopeasti muodossa 3 ja 4), voidaan sanoa, että hän on hyvin lähellä käsitteen "luku" ymmärtämistä.
Tässä kohdassa tarkastellaan lähemmin lukujen ominaisuuksia ja yhteyksiä toisiin lukuihin. Harjoitellaan monipuolisesti lukujen summamuotoja ja opitaan uutena lukujen erotusmuodot.
Hankitaan monipuolisia kokemuksia luvuista 1-4 käyttäen erilaisia konkreetteja materiaaleja: legoja, nappeja, papuja, tikkuja, rahoja, helmiä, noppia, dominonappuloita, kuvia. Luokan seinälle tehdään taulut, joissa kukin luku esiintyy mahdollisimman monella eri tavalla (myös numeromerkki). Lapset voivat myös etsiä dominonappuloista kaikki mahdolliset yhdistelmät, joista saadaan luku 1,2,3,tai4.
Tutkitaan kuvista tai luokasta tosia ja epätosia väitteitä. Esim. "Luokassa on enemmän aikuisia kuin lapsia." Muutetaan epätosia väitteitä tosiksi ja päinvastoin.
Tästä siirrytään tutkimaan avoimia ongelmia ja näihin liittyviä avoimia lauseita.
Esimerkki: "Minulla on kädessäni vähemmän kuin 4 papua. Kuinka monta papua minulla voi olla?" Lapset laittavat pulpetille niin monta papua kuin heidän mielestään kädessä voi olla. Todennäköisesti huomataan, etä kukin lapsi laittaa vain yhden ratkaisun. Etsitään yhdessä kakki erilaiset ratkaisuvaihtoehdot.
Tehdään piirros, joka esittää tehtävään liittyvää avointa lausetta:
___ < ¤ ¤ ¤ ¤
Piirretään vihkoon erilaiset ratkaisut.
Samaan aikaan pidetään mukana mittaluku lukukäsitteen ulottuvuutena. Mitataan sauvoja käyttäen mittana eri värisiä (eri pituisia) sauvoja. Vertaillaan sauvojen pituuksia ja luetaan eroja: "Vaaleansininen on valkoisen verran pidempi kuin vaaleanpunainen."
1. Keskustellaan kuvista, nimetään ne ja havaitaan lukumäärät kustakin kuvasta.
2. Käytetään eri aisteja: esim. taputetaan, tömistetään, vihelletään jne. lukumäärät.
3. Harjoitellaan luettelemaan lukumäärät mahdollisimman nopeasti riveittäin vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle tai sarakkeittain alhaalta ylös ja päinvastoin.
4. Luetellaan ulkomuistista lukumäärät rivi kerrallaan tai koko ruudukosta riveittäin tai sarakkeittain.
5. Lapsille monistetaan tyhjä ruudukkopohja, johon he merkitsevät ulkomuistista lukumäärät täplinä.
Tämä harjoitus auttaa lapsia hahmottamaan lukumääriä silmäyksellä ja valmistaa hahmottamaan myös suurempia lukuja nopeasti.
Käsite "pari" opetetaan tässä vaiheessa esimerkiksi pareittain käytettävien vaatekappaleiden avulla (kenkäpari, sukkapari jne.) Huomataan ero: kuusi saapasta - kolme saapasparia.
Tässä pari on eri asia kuin vertailuissa käytettävä pareiksi yhdistämisen tekniikka. Vielä ei myöskään ole syytä puhua parillisista ja parittomista luvuista eikä käyttää kaksi kerrallaan laskemisen tekniikkaa (2,4,6,...).
Kotitehtävänä voidaan piirtää vihkoon vaatekappaleita, joita pidetään pareittain tai piirtää kasvot ja niihin ruumiinosia, joita on pari.
Esineiden lukumäärä ei riipu siitä, missä järjestyksessä ne lasketaan. Sen sijaan järjestysluku riippuu siitä, mihin järjestykseen esineet on asetettu tai missä järjestyksessä niitä lasketaan.
Harjoitellaan järjestyslukujen sanomista (ensimmäinen, toinen,...) ja niiden merkitsemistä niin, että luvun loppuun merkitään piste.
Harjoituksia: Lapset seisovat portailla ja heistä lasketaan (alhaalta ja ylhäältä päin), monennellako askelmalla kukin on. Lapset voivat myös seisoa jonossa luokan edessä. Ensin lasketaan, kuinka monta lasta jonossa on ja sen jälkeen katsotaan, kuinka mones kukin on. Jono käännetään ja huomataan, että kunkin lapsen järjestysluku vaihtuu (paitsi keskimmäisen, jos lapsia on pariton määrä).
Pujotetaan helmiä nauhaan, tehdään rivejä loogisista nappuloista, tutkitaan urheilukilpailun sijoituksia jne.
Lukusuoran käsitettä lähestytään tikkaiden avulla. Lapsi kiipeää askelmalta toiselle, askelmat numeroidaan. Sanotaan, monennellako askelmalla hän kulloinkin on. Pyydetään häntä astumaan tietty määrä askelia ylöspäin tai alaspäin. Tikkaiden alla on paperi. Pyydetään lasta astumaan viimeiseltä askelmalta alas, opettaja piirtää paperille nollan hänen jalkateriensä ympärille. Näin on havainnollistettu lukusuoran lähtöpiste.
Tikkaat käännetään vaakatasoon. Opettaja vaihtaa nollan paikkaa ja laskeminen aloitetaankin nyt siitä.
Muita harjoituksia: Kiinnitetään naruun eri värisiä pyykkipoikia tasaisin välein. Lasketaan, minkä luvun kohdalla on sininen / punainen jne. pyykkipoika Tehdään solmuja naruun tasaisin välein. Pujotetaan lankaan vuorotellen pillin pätkä ja helmi (pillit yhtä pitkiä).
Tärkeää lukusuoran opettamisessa:
Luvut esiintyvät myös erotusmuodoissa (esim. luku 5 voi olla muodossa 7:stä pois 2 tai 10:stä pois 5 jne.). Tämän asian oppiminen ei ole lapsille helppo ja siihen on varattava reilusti aikaa ja harjoiteltava paljon. Opettajan on myös oltava hyvin johdonmukainen puheessaan. Erotusmuotoihin tutustumisella on laajempaa matemaattista merkitystä mm. siinä, että niiden avulla määritellään teoreettisesti negatiiviset luvut. Erotusmuotojen oppiminen auttaa lasta myöhemmin suurten lukujen laskutoimituksissa.
Esimerkkien on oltava konkreetteja. Tässä esimerkkejä luvun 2 erotusmuodoista:
Esimerkkejä löytyy paljon lisää. Tärkeintä on, että ne ovat todellisista tapahtumista. Voi olla talo, jossa osassa ikkunoista palaa valo ja osa on pieminä; värikynälaatikosta puuttuu kyniä; kynttilöistä osa on palanut loppuun; laseista osa on tyhjennetty jne.
Mutkikkaaksi tämä asia tulee silloin, kun samasta kuvasta yritetään löytää usean luvun esityksiä erotusmuodossa:
Yllä olevassa omena esimerkissä voidaan löytää samasta tilanteesta esitykset erotusmuodossa myös luvuille 1 ja 3:
Tämän asian opettelussa tarvitaan kärsivällisyyttä ja runsaasti sanallisia esimerkkejä. Lapset piirtävät summa- ja erotusmuotoja korteista (keksivät ensin siihen sopivan tarinan) ja merkitsevät myöhemmin saman luvuilla, "matematiikan kielellä".
Tässä vaiheessa tutustutaan lähemmin lukuihin 5 ja 6 monin jo edellä kuvatuin tavoin. Tehdään näistä luvuista kuvataulut luokkaan. Tutustutaan näiden lukujen "naapurilukuihin" ja summa- ja erotusmuotoihin. Piirretään lukujen hajotelmat vihkoon ja opetellaan lukemaan ulkomuistista.Tehdään nopeusharjoituksia, mattoja, ratkotaan sanallisia avoimia ongelmia ja avoimia lauseita.
Tehdään avoimia lauseita todeksi esineillä.
1+5 = ____ (Viivan tilalle piirretään kori, kulho tms. johon lapsi voi laittaa sopivan määrän esim. papuja)
____ > 2+2+1
____+2 = 3+3
4. LASKUTOIMITUSTEN KOLME KONKREETTISTA MERKITYSTÄ
Yhteen- ja vähennyslaskua käsitellään kokonaisuutena, jolloin alusta asti käy selväksi niiden välinen yhteys. Laskutoimituksia voidaan tarkastella kolmesta eri näkökulmasta; kussakin toisistaan hieman poikkeavassa yhteydessä käytetään hieman erilaista tapaa puhua. Opettajan on tärkeää huomata ja ymmärtää nämä erot, jotta hän pystyy kielellisesti avaamaan ne lapsille ja ymmärtämään heidän ajattelussaan mahdollisesti esiintyviä ongelmia. Kaikki kolme näkökulmaa käydään opetuksessa läpi esimerkein, mutta lapsille ei korosteta "teoreettisesti" niiden välisiä eroja.
Tässä kohtaa on syytä huomata, että vaikka jo aiemmin on käytetty merkkejä - ja + ne tulevat vasta nyt käyttöön laskutoimitusten merkkeinä. Tähän asti merkeillä on ilmaistu lukujen erilaisia hajotelmia. Tämä on myös opettajan syytä selventää itselleen.
Tämä selitys on kaikkein tavallisin ja sen vuoksi lapsille helpoin, minkä vuoksi siitä on hyvä aloittaa laskutoimitusten käsittely. Abstraktion vaiheita seuraten havainnollistetaan asiaa ensin konkreeteilla tapahtumilla:
Esimerkkejä voi keksiä paljon lisää (kynttilöitä puhalletaan, ilmapalloja rikotaan, osa mehulaseista juodaan tyhjäksi jne.).
Ennen edellä kuvattujen tapahtumien kirjoittamista "matematiikan kielelle" annetaan + ja - merkeille erilaisia kielellisiä selityksiä. Tämä on erittäin tärkeää sanallisten tehtävien oppimisen kannalta, sillä samaa merkkiä käytetään niissä kuvaamaan hyvin monilla eri sanoilla ilmaistua tapahtumista. Esimerkkejä:
- "lähtee pois, sammuu, lensi pois, katosi, juodaan, syödään, kaatuu ."
+ "lisätään, tulee lisää, kasvaa, saadaan, sytytetään, nuppu aukeaa, laitetaan sinne ."
Tärkeä alkuharjoitus, joka helposti tuntuu triviaalilta ja jonka mielellään siksi jättäisi ajan säästämiseksi väliin, on seuraava: Lapsilla on edessään sivu (unkarilaisessa oppikirjassa), jossa on 6 ruutua ja jokaisessa ruudussa kuvattuna 0-6 kpl sinisiä tai punaisia ympyröitä. Lapsilla on käytössään pahvisia, kaksipuoleisia, sini-punaisia ympyröitä. Lapset lisäävät jokaisen kuvan päälle yhden omista kiekoistaan. Sanotaan, mitä tapahtui: "Ensin oli kolme ympyrää, lisäsin yhden, nyt on neljä ympyrää". Toistetaan joka kuvasta. Sitten otetaan kustakin kuvasta vuorollaan irtoympyrä pois ja kerrotaan: "Ensin oli neljä ympyrää, otin yhden pois, nyt on kolme ympyrää."
Samasta harjoituksesta keksitään useita eri versioita : lisätään-vähennetään eri määriä, tehdään lisäys ja vähennys samaan kuvaan peräkkäin, lisätään johonkin kuvaan niin kauan, että saadaan 7 jne. Näillä harjoituksilla annetaan lapsille mahdollisuus rakentaa mielikuva yhteen- ja vähennyslaskun yhteydestä oman toiminnan avulla.
Muutos
Laskutoimituksiin liittyy muutos, joka tapahtuu alku- ja lopputilanteiden välissä. Muutosta kuvaamaan käytetään laskutoimitusten merkkejä. Muutosta voi aluksi havainnollistaa nuolella. Esimerkki: Taululla on kuva kuudesta leikkiautosta ja kauempana kuvat, joissa on 3, 4 ja 5 leikkiautoa. Tarina: "Pekalla oli 6 leikkiautoa. Hän kadotti niistä kaksi." Lapsia pyydetään etsimään kuvien joukosta lopputilannetta vastaava kuva (4 autoa). Kuvat laitetaan taululle vierekkäin ja niiden välille piirretään nuoli alkukuvasta loppukuvaan ja pohditaan, mitä nuolen kohdalla tapahtui (katosi kaksi autoa). Nuolen yläpuolelle merkitään muutos matematiikan kielellä : -2. Saman tapaisia esimerkkejä keksitään paljon lisää.
Leikki muutoksesta: Taululle kuva (esim. 5 omenaa). Opettaja kertoo, mitä omenille tapahtuu: "Villellä oli viisi omenaa. Hän söi niistä yhden." Lapset piirtävät paperille tai vihkoon tuloskuvan.
Käännetään tilanteet myös toisin päin: Pekan leikkiautot voivat myös löytyä, jolloin saadaan alkutilanteeksi 4 autoa ja lopputilanteeksi 6 autoa. Muutos merkitään +2. Kannattaa huomata, ettei kaikkia tapahtumia voi kääntää tai "peruuttaa", esimerkiksi syötyjä omenia ei enää saa takaisin.
Abstraktion portaiden toisena vaiheena on saman asian esittäminen välineillä. Vastaavia tapahtumia esitetään tikuilla, pavuilla, napeilla tms. pikkutavaroilla. Kerrotaan tapahtumat sanoin ja matematiikan kielellä.
Kolmannessa vaiheessa tarkastellaan muutoksia kuvista ja viimeisenä tasona on laskutoimitusten ratkaisu pelkin symbolein. Symboleihin (numeromerkit, + - = merkit) siirrytään pikku hiljaa ottamalla niitä mukaan tarinoihin. Merkit voi aluksi tehdä askartelutikuista. Siirtymävaiheen apuna ovat myös numero- ja merkkikortit.
Myös laskutoimituksia tulee harjoitella lukumäärien ohella mittaluvuin: "Liisa otti ensin 3 askelta ja sitten vielä 2 askelta ; Annika mittasi vettä kaksi lasillista ja Leena mittasi vielä kaksi lasillista lisää ; Montako luumua tarvitaan punnitsemaan yhtä omenaa/ kahta omenaa".
Lisäämiseen ja pois ottamiseen liittyviä harjoituksia on tehtäväarkeissa 27, 28 ja 29.
Tämä toinen tapa selittää yhteen- ja vähennyslaskua eroaa edellisestä siinä, että tässä tapahtuma ei ole ajasta riippuvainen, joukot ovat esillä yhtä aikaa. Lapsille ei korosteta käsitettä "joukko" joukko-opillisena terminä, vaan heille voi puhua konkreetisti kasoista, ryhmistä, perheistä jne.
Seuraava pyykkipoikaesimerkki havainnollistanee 1. ja toisen lähestymistavan välistä eroa:
Tavassa 1 (lisääminen ja pois ottaminen ) kerrotaan: "Minulla oli 3 punaista pyykkipoikaa. Äiti antoi minulle vielä kaksi sinistä pyykkipoikaa. Nyt minulla on yhteensä viisi pyykkipoikaa." 3+2=5 Tämä tapahtuma siis eteni ajan kuluessa.
Tavassa 2 (joukkojen yhdistäminen ja osajoukkojen pois ottaminen) on kolme punaista pyykkipoikaa korissa ja kaksi sinistä roikkuu narulla. Pyykkipoikien yhteismäärä voidaan merkitä 3+2=5, kolme punaista ja kaksi sinistä pyykkipoikaa, yhteensä 5 pyykkipoikaa.
Lapsille havainnollistetaan tätä selitystapaa esimerkiksi papuleikillä. Lapset laittavat toiselle kämmenelle kaksi papua, toiselle neljä papua. Kämmenet ovat avoimia, pavut näkyvät. Viedään kädet vierekkäin ja kerrotaan tapahtumasta: "Toisessa kädessä on neljä papua ja toisessa kaksi papua. Laitan ne yhteen ja nyt on yhteensä kuusi papua." Sitten laitetaan käsivarret ristiin ja tehdään sama toisin päin (yhteenlaskun vaihdannaisuus). Saadaan yhteenlaskut 4+2=6 ja 2+4=6.
Vähennnyslasku havainnollistetaan viemällä toinen käsi vuorollaan nyrkissä selän taakse ja kertomalla: "Ensin on kuusi papua. Vien niistä 4 (tai 2) piiloon ja nyt on 2 (tai 4) papua." Tässä on erittäin tärkeää auttaa lapsia huomaamaan, montako papua ensin on. Tällä harjoituksella ehkäistään sitä ilmiötä, että lapset joskus tarjoavat vastaavasta tilanteesta laskuksi 4-2 tai 2-4!
Tämä selitystapa on tarpeellinen silloin, kun tiedetään kokonaisuus (esim. luokassa on 25 oppilasta) ja joku sen osa (oppilaista 12 on poikia) ja näiden tietojen perusteella on laskettava toinen osa / toiset osat (tyttöjen määrä on 25 oppilaasta pois poikien määrä eli 25-12).
Tätä vaikeaa asiaa havainnollistetaan vaiheittain seuraavasti (abstraktion taso kohoaa asteittain seuraavissa vaiheissa):
Loogisista paloista voi koota sinitarralla paperille kuvan, jossa on esim. 3 keltaista, 4 sinistä ja 2 vihreää palaa, yhteensä 3+4+2 eli 9. Näistä voidaan sanoa värit erio tavoin muiden palojen avulla:
Siniset: 9-3-2 tai 9-5
Keltaiset: 9-4-2 tai 9-6
Vihreät: 9-3-4 tai 9-7
Tässä näkökulmassa yhteen- ja vähennyslaskua käytetään vastaamaan kysymyksiin "Montako enemmän?" "Montako vähemmän?"
Verrataan tyttöjen ja poikien jonoa ja tutkitaan, kumpia on enemmän. Montako enemmän?
Kaksi lasta ottaa askelia vierekkäin. He aloittavat yhtä aikaa, toinen ottaa 3 askelta, toinen 5. Lasketaan, montako askelta toinen otti enemmän/vähemmän kuin toinen.
Kaksi lasta puhaltaa pilliin, toinen 2 kertaa, toinen 4 kertaa. Kuunnellaan silmät kiinni, montako kertaa enemmän/vähemmän toinen puhalsi.
Verrataan legoista tehtyjä torneja, helminauhoja jne.
Piirretään taululle 16:n ympyrän "torni", ympyröihin järjestyksessä (alhaalta ylös) luvut 0-15. Opettaja ja oppilas (tai kaksi oppilasta) heittävät vuorotellen noppaa. Kummallakin on pelimerkki, jota liikutetaan taululla, esim. taulumagneetti. Verrataan, kumpi saa suuremman silmäluvun ja kumpi voi liikkua korkeammalle lukutornissa.
Lapsille voi piirtää samanlaisen tornin paperille ja he voivat pareittain pelata noppaa heittämällä peliä, jossa pitää päästä mahdollisimman lähelle lukua 10. Tilanne tarkistetaan joka heittokerran (vuoroparin) jälkeen. Lapset pohtivat, kannattaako seuraavaa heittoa käyttää vai ei - mitkä ovat mahdollisuudet päästä vielä lähemmäksi.
Otetaan käyttöön erisuuruusmerkki (vrt. Kettu-satu) : neljän legon torni on korkeampi kuin kolmen legon torni, käytetään (taululla) > merkkiä havainnollistamaan tätä eroa. Havaitaan, että 3:n torniin pitää lisätä 1, jotta saadaan 4:n torni tai 4:n tornista pitää vähentää 1, jotta saadaan 3:n torni.
Havainnollistetaan käyttämällä kahta tyhjää tulitikkurasian pohjaa. Laitetaan toiseen esim. 5 papua. Toiseen laitetaan 3 enemmän, merkitään < merkin "suuaukkoon" pieni kolmonen merkiksi siitä, että tulee 3 enemmän (<3). Tyhjään rasiaan laitetaan ensin 5 eli ensin yhtä monta ja sitten kolme lisää. Tapahtuma merkitään matematiikan kielellä: 5+3=8.
Tähän liittyvä harjoitus on tehtäväarkissa 32.
Tässä kohdassa esitellään lähemmin lukujen 7-10 opettamiseen liittyviä harjoituksia. Oppilaiden kanssa kannattaa tehdä monenlaisia harjoituksia . Seuraavassa on muutamia esimerkkejä, joita voi käyttää eri lukujen opiskelussa.
Harjoituksia, esimerkkinä luku 9:
Edellä esitetyn "vihjekokoelman" lisäksi harjoitellaan lukumääriä nopeusharjoituksilla (ks. luku 3.2.), tehdään luvuilla laskutoimituksia ja ratkaistaan avoimia lauseita.
Harjoitusarkeissa 30, 31 ja 33C on aiheeseen liittyviä tehtäviä.
Luku 10 on erityisasemassa lukujen opiskelussa ja siihen tutustumiseen käytetään runsaasti aikaa. Luvun 10 hajotelmat ja 10:ksi täydentäminen tulisi sujua vaikka "unissaan". Harjoitukset ovat vastaavia kuin ne, joista jo edellä on annettu runsaasti esimerkkejä.
Pienten oppilaiden ongelmaksi muodostuu usein kymmenylitys (miten ymmärtää laskut muotoa 7+5 tai 13-8, joissa joudutaan laskemaan "kymmenen yli"). Ongelmaan on etsitty apua 10-järjestelmän perusteista ja siihen liittyvästä havainnollistamisesta. Tässä pedagogiikassa kymmenylityksen ongelmaa lähestytään hiukan eri näkökulmasta.
Kaikki lukukäsitteen pohjustamiseksi ja lukujen 0-20 opettamiseksi tehtävät harjoitukset pohjustavat samalla myös kymmenylitystä. Lukujen hajotelmat (lukujen eri "nimet") on tarkoitus tehdä lapsille niin tutuiksi, että vaikkapa luku 8 hahmottuu heidän mielessään helposti myös esim. muodoissa 5+3, 4+4, 1+7 jne. Toisaalta luvun 10 erityisasemalla pyritään siihen, että kymmenylitykseen liu´utaan kuin itsestään.
Kun mietitään, miten olisi helpointa laskea yhteen 7+8, yritetään löytää luvun 8 sellainen hajotelma (3+5), joka on helppoa lisätä lukuun 7. Tässä apuna ovat numerokortit, joilla taululle voidaan merkitä luku 8 eri tavoin.
Voidaan havainnollistaa myös käyttämällä 10:n munan kananmunarasioita ja niissä tyhjiä suklaamunan sisuksia. Myös voidaan laittaa 7 papua riviin ja jatkaa riviä 8:lla maissinjyvällä. Lisätään maisseja papuihin niin monta, että saadaan yhteensä 10 ja merkitään tämä rajakohta poikittain asetetulla tikulla. Nähdään, että 10:n lisäksi on vielä 5 eli yhteensä 15.
Kukkalankaan (ohut rautalanka) pujotetaan 10 + 10 helmeä, kahta eri väriä. Helminauhasta syntyy "laskukone", jolla kymmenen yli lipuminen tapahtuu vaivattomasti.
Oleellista on, että vaiheessa, jolloin kymmenylitystä tarvitaan, lapset ovat päässeet lukukäsitteen ymmärtämisessä niin pitkälle, että he ovat lukujen 0-20 kanssa abstraktioin portailla melko korkealle. Tätä varmistetaan sillä, että luvuilla 0-10 harjoitellaan pitkään ja perusteellisesti ja "kiivetään" abstraktion portaita järjestyksessä alhaalta ylöspäin varmistaen, että edellinen askelma hallitaan ennen seuraavalle siirtymistä.
Geometrian oppimisen tavoitteena on, että pienet oppilaat ensisijaisesti hankkivat kokemuksia
Vasta sitten kun on havainnoitu monipuolisesti aisteja käyttäen kappaleiden ja tasokuvioiden perusominaisuuksia, opetellaan niiden nimitykset. Nimityksiä tärkeämpää on oppia kappaleiden ja tasokuvioiden nimitysten perusteet.
Geometrian oppimisessa tarvittavia välineitä:
Konkreettisilla välineillä syntyy oppilaita aktivoivia toiminnallisia oppimistilanteita. Tunnustelu, luokittelu, rakentelu, pujottelu ja piirtäminen tukevat oppilaiden tutustumista geometrisiin käsitteisiin.
Käsitteenmuodostuksen lähtökohtana on lasten käyttämä tuttu arkikieli. Lasten arkinimityksistä edetään vaiheittain abstraktiin matemaattiseen kieleen. Opettaja käyttää asianmukaisia käsitteitä opetuksessaan. Näin pikkuoppilaat huomaamattaan tutustuvat matematiikan kieleen.
Oppilaiden toiminta kokonaisvaltaisesti omalla keholla on abstraktioon johtavan käsitteenmuodostuksen perustana, kuten käännyttäessä kohti äänen tulosuuntaa orientoitumisharjoituksissa. Oppimisvälineillä toimitaan abstraktioon etenemisen toisessa vaiheessa, kun esimerkiksi pujotellaan pillejä lankaan taso- eli kaksiulotteisten kuvioiden ominaisuuksien oivaltamiseksi. Kun kuva tai pohjapiirros on mallina rakentelussa, on kyse abstraktion kolmannesta vaiheesta. Abstraktion ylimmästä, neljännestä vaiheesta on kyse silloin, kun istumajärjestystä kuvaavat koordinaatiston luvut nimetään koordinaateiksi.
Seuraavissa tehtävissä on tavoitteena, että oppilas tutustuu kokemuksen kautta kolmi- ja kaksiulotteisuuden peruseroon. Tehtävillä ohjataan oppilaita myös kappaleiden ja tasokuvioiden ominaisuuksien ymmärtämiseen.
Tunnustelua ja luokittelua
Oppilailla on käytössä erilaisia kappaleita (rasioita, astioita) sekä tasokuvioita (ympyröitä, kolmioita, nelikulmioita, suorakulmioita, neliöitä ja muita monikulmioita). Tasokuviot voivat olla pahvista, muovista tai paperista. Tunnustellaan, miltä kappaleet ja tasokuviot tuntuvat kädessä. Oppilaat saavat käyttää arkikielen nimityksiään. Heiltä ei vaadita kappale- ja tasokuviokäsitteiden käyttöä. Leikin tavoitteena on luoda esiymmärrystä ja mielikuvaa kappaleiden ja tasokuvioiden eroista. Tämä leikki toimii myös oppilailla geometrisista kappaleista ja kuvioista olevien ennakkokäsitysten kartoittajana.
Oppilaiden havainnoitavana on erilaisia kappaleita ja tasokuvioita. Havainnoinnin tavoitteena on ryhmitellä esineet tasokuvioihin ja kappaleisiin. Tämä leikki on tunnusteluleikkiä tavoitteellisempi.
Oppilailla on käytössään esimerkiksi laatikoita, rasioita, pulloja, mukeja, tusseja, teippirullia. Ryhmitellään kappaleet kahteen joukkoon, kulmikkaisiin ja ei-kulmikkaisiin. Näin oppilaat havainnoivat tunnustellen ja katsellen kolmiulotteisten kappaleiden ominaisuuksia.
Rakentelua
Oppilaat voivat rakennella puupalikoilla, legoilla, tulitikkuaskeilla ja laskutangoilla. Jopa sokeripaloja voidaan käyttää, jos muita palikoita ei ole käytettävissä.
Kun oppilas rakentaa opettajan tai kaverin palikkamallin mukaisesti, on kysymys jäljittelevästä rakentamisesta. Rakentelutilanteissa on otettava huomioon, että rakentelun onnistumiseen vaikuttaa mallin ja oppilaan välinen etäisyys: lähellä olevan mallin mukaan on helpompi rakentaa kuin kaukana olevan mallin mukaan. Oppilaita, joilla on vaikeuksia rakentelussa, saattaa auttaa, jos malli on lähellä, vaikkapa omalla pulpetilla.
Mallin mukaista jäljentämistä haasteellisempi tehtävä on rakentaminen kuvan tai piirroksen mukaan. Monipuolisuutta kuvan tai piirroksen mukaiseen rakenteluun saadaan, kun oppilaan on rakennettava samanlainen kuin kuvassa on, mutta edestä, takaa tai sivusta esitettynä.
Haastetta jäljentävään rakentamiseen saadaan, kun oppilaalle annetaan malliksi tasossa oleva pohjakuva, jonka päälle on tavoitteena rakentaa kolmiulotteinen rakennelma.
Esimerkiksi ruutuun, jossa on numero yksi, laitetaan torniksi yksi palikka, seuraavaan ruutuun kaksi palikkaa päällekkäin, seuraavaan kolme palikkaa ja viimeiseen ruutuun neljä palikkaa päällekkäin. Näin palikoista syntyy portaat.
|
 |
KUVIO 1. Pohjapiirros ja portaat.
Pohjakuviolla mallinnettu tehtävä on vaikea, koska tehtävänanto on tasossa eli kaksiulotteisena, mutta toteutus kolmiulotteisena.
Insinööri-rakennusmies -leikissä toinen oppilas insinöörinä suunnittelee ruutupaperille pohjapiirroksen, jonka kaveri rakennusmiehenä toteuttaa.
Vapaassa rakentelussa toimitaan ilman mallia, kuvaa tai pohjapiirrosta. Vapaaseen rakenteluun voidaan liittää piirtäminen, jolloin oppilaat piirtävät omasta rakennelmastaan kuvion tai pohjapiirroksen, vaikkapa kaverille malliksi.
Palapelit
Tasokuvioiden hahmottaminen harjaantuu palapelejä koottaessa. Palapelejä voidaan tehdä postikorteista. On hyvä, jos pikkuoppilaalla on aluksi vain muutama pala - esimerkiksi kolme - koottavana. Myöhemmin palojen määrää lisätään. Jos oppilailla on vaikeuksia, niin heitä voi auttaa asettamalla palan tai pari valmiiksi. He kuitenkin yrittävät tehdä mahdollisimman paljon itse.
Useimmille tuttu tangram, 7 palaa, on käyttökelpoinen harjoitusväline. Tangram-tehtäviä löytyy useimmista ala-asteen oppikirjoista ja opettajanoppaista.
Pujottelua
Pujottelussa opitaan kokemuksellisesti käsitteet kolmio, nelikulmio, ... ja niiden perusteet. Pujotteluun sopivat kulmikkaat kuviot.
Pujotteluun tarvitaan mehupillejä, neuloja ja lankaa. Pillejä leikataan paloiksi, jotka pujotetaan lankaan. Mehupillit kiinnitetään toisiinsa solmimalla lankojen päät yhteen. Kolmesta pillinpalasta syntyy kolmio, neljästä palasta nelikulmio, neliö, suorakulmio tai suunnikas ja niin edelleen erilaisia monikulmioita. Pujottelussa syntyy mielikuva tasokuvion ominaisuuksista, sivuista ja kärkipisteistä.
Pujottelutehtäviä voi toteuttaa opetuksessa joko mallin mukaisena jäljentämisenä tasokuvioista tai ongelmanratkaisuna. Ongelmaratkaisutilanne voi edetä seuraavasti: asetetaan esille pillin paloja, neula ja lankaa. Oppilaiden tehtävänä on oivaltaa, miten niistä saisi kolmion, nelikulmion tai jonkin muun kuvion.
Pujoteltujen tasokuvioiden ominaisuuksia voidaan tarkastella taulukon avulla. Pujottelutöissä pillien lukumäärä tarkoittaa tasokuvion sivuja. Pillejä yhdistävät solmut tarkoittavat kuvion kärkipisteitä. Pujottelutöistä voidaan tehdä päätelmiä, monellako pillillä voidaan tietty kuvio tehdä.
KUVIO 2. Taulukko pujottelutöiden tarkasteluun.
Tilassa orientoitumisen ensimmäisessä vaiheessa oppilaat liikkuvat koko kehoa käyttäen. Orientoitumisen harjoittelua jatketaan siten, että oppilaat näyttävät pelkästään kädellä suuntia. Oppilaita ei vaadita vielä nimeämään suuntaa. Sitten kun suunnan tunnistaminen kuulemalla hallitaan, nimetään paikkoja ja suuntia.
Oppilaat seisovat silmät kiinni tai huivi silmillä. Opettaja tai muutamat oppilaat kiertävät luokassa tuottaen erilaisia ääniä esimerkiksi soittimilla. Sokko-oppilaiden tehtävänä on kääntyä äänen suuntaan. Tässä leikissä käytetään koko vartaloa, mutta suuntakäsitteitä ei tarvitse tunnistaa tai tuottaa.
Oppilaat ovat huivi silmillä tai silmät suljettuina. Joku oppilaista sanoo nimensä. Muut oppilaat näyttävät kädellä, mistä suunnasta ääni tulee. Tässä leikissä käytetään vain osaa vartalosta eikä siinä vaadita suuntakäsitteiden hallintaa. Suunta määritellään myöhemmin, esimerkiksi minusta oikealle tai vasemmalle tai suoraan eteenpäin.
Oppilaat seisovat pulpettiensa takana. Opettaja toimii kapteenina ja komentaa oppilaita laittamaan pikkuauton pulpetin alapuolelle, yläpuolelle, viereen, taakse tai eteen. Leikki ilmentää abstraktion toista, välineellistä vaihetta. Tässäkään leikissä lapsilta ei vaadita käsitteiden itsenäistä tuottamista, vaan suuntakäsitteiden ymmärtämistä toiminnallisesti.
Sijoitetaan tuoli keskelle luokkaa tai paikkaan, josta oppilaat näkevät sen hyvin. Joku oppilaista tai opettaja sijoittaa pikkuauton eripuolille tuolia. Lapset kertovat, missä pikkuauto sijaitsee tuoliin nähden. Tämä leikki edustaa abstraktion korkeinta vaihetta, koska siinä vaaditaan oppilailta käsitteiden käyttöä.
Koordinaatiston käytön alkeita voidaan harjoitella istumajärjestyksen avulla. Pikkuoppilaille koordinaatiston ensimmäinen neljännes on riittävä harjoittelukohde. Kun oppilaat istuvat jonoissa ja riveittäin, voidaan koordinaatistoa harjoitella istualtaan. Ensin on sovittava pulpettijonojen ja rivien numerointi eli koordinaatit. Paikannetaan kavereita koordinaattien avulla, kuka on (3, 5). Oppilaat voivat myös kertoa oman paikkansa koordinaattien avulla. Jatkossa oppilaat vaihtavat paikkaa, esimerkiksi oppilas 5, 3 sekä oppilas 4, 6 vaihtavat istumapaikkojaan. Koordinaatistotehtävät harjoittavat tasossa orientoitumisen taitoja.
Peilaaminen aloitetaan omalla keholla, mutta ilman peiliä. Käytetään hyväksi ihmisen luonnollista taipumusta tehdä oikealla ja vasemmalla puoliskolla samoja, symmetrisiä liikkeitä.
Kehon symmetriaa hyödyntäviä harjoituksia
Oppilaalla on kaksi pikkuautoa, yksi kummassakin kädessä. Oppilaan tehtävänä ajella autoilla molempia käsiä käyttäen samanaikaisesti niin, että autot kulkevat samanlaisia reittejä. Mikäli oppilaalla on vaikeuksia tehdä symmetrisiä liikkeitä käsillään autoilla ajellessaan, voi silmien sulkeminen auttaa löytämään kehon eri puolilta samanlaiset liikkeet.
Tuolien asettaminen molemmilla käsillä yhtä aikaa peilikuva-asentoihin silmät sidottuina on helppoa, koska kädet tekevät luonnostaan peilikuvaliikkeitä. Näkeminen saattaa häiritä tätä luonnollista taipumusta. Kannattaa valita tehtävään tuoleja, joita oppilaat jaksavat liikutella yhdellä kädellä. Voidaan harjoitella peilaamista tuoleja asettamalla myös silmät auki. Esimerkiksi oppilaiden on asetettava tuolinsa opettajan ylösalaisin kääntämän tuolin peilikuvaksi.
Tikuilla rakentelu molemmilla käsillä yhtä aikaa peilikuvana perustuu myös kehon symmetriseen luonteeseen, mutta on hienomotorisesti haasteellisempi tehtävä kuin tuolien asettaminen. Kahdella kädellä voidaan pulpetille rakentaa tikuista kuvioita siten, että toinen käsi asettaa tikun kerrallaan paikoilleen alkuperäiseen kuvaan ja toinen käsi peilikuvaan. Kuvioiksi sopivat esimerkiksi talo ja lippu. Lopputulos kannattaa tarkistaa peilistä katsomalla. Tikuilla voidaan rakentaa kirjaimia. Kokeillaan, mitkä kirjaimista ovat tehtävissä tikuilla.
Voidaan myös piirtää molemmilla käsillä yhtä aikaa. Aiheiksi sopivat sydän, kirjaimet ja numerot.
Peilin käyttöä
Oikean peilin käytöllä luodaan mielikuvaa matemaattisista käsitteistä peilaus ja symmetria. Lapset liikkuvat peilin edessä ja katsovat, miten peilikuva liikkuu. Pikkupeiliä käytettäessä lapset liikuttavat peilejä niin, että peilikuva lähenee alkuperäistä kuvaa, etääntyy siitä tai kääntyy toiseen asentoon. Huomio tulee kiinnittää siihen, millaisen kokonaisuuden alkuperäinen kuva ja peilikuva yhdessä muodostavat, kun peiliä siirrellään kuvattavan kohteen eri puolille. Oikean peilin käyttöön tulee varata aikaa. Vasta runsaan katselemisen jälkeen oppilaat osaavat muodostaa peilikuvan piirtämällä tai rakentamalla.
Aluksi peilataan kokovartalopeiliä käyttäen. Havaitaan esimerkiksi, että kun liikuttaa sormea kohti peiliä, tulee peilissä oleva sormi sitä vastaan. Tutkitaan esimerkiksi, näkyvätkö kengät peilissä samanlaisina kuin oikeasti. Tavoitteena on havaita, että perusominaisuuksista kenkien värit, kuviot ja muodot pysyvät samanlaisina peilikuvassa, mutta suunta on muuttuu.
Taskupeiliä käyttäen peilataan pikkuesineitä ja kuvia. Taskupeilin käyttöä kuvataan nallekuvion peilaamisen avulla. Taskupeili asetetaan nallen oikealle, vasemmalle, ylä- tai alapuolelle.
KUVIO 3. Nallekuvio peilattavana.
Nallekuviota ja sen peilikuvaa voidaan tutkia seuraavasti:
Nallekuvioista voidaan ottaa kopioita. Kopioita pyörittelemällä tutkitaan, onko kyseessä oikea nalle vai peilikuva nallesta.
Monipuolista peilattavaa tarjoaa sydänkuvio. Jokaiselle pikkuoppilaalle varataan sydänkuvioita. Oppilaat voivat ratkaista ongelmia peilaamalla taskupeilillä sydänkuvion eri osia. Peiliä käännellään sydänkuvion oikealle, vasemmalle, yläpuolelle ja alapuolelle. Tehdään havaintoja peilikuvan suunnan muutoksista. Kun asetetaan peili sydämen alapuolelle, pohditaan, mihin suuntaan kärki on oikeassa ja peilikuva sydämessä.
Suunnan muutoksen ymmärtämistä syventävät tehtävät, joissa kaveri toimii peilinä tehden samoja liikkeitä kuin peilaava oppilas. Kaverin kanssa voidaan leikkiä patsasleikkiä: toinen tekee kuvitellun peilin edessä itsestään patsaan, vastapäätä seisova kaveri esittää patsaan peilikuvaa.
Peilistä voidaan tarkastella myös nimiä ja tervehdyksiä. Taitavat oppilaat voivat yrittää kirjoittaa oman nimensä peilikuvana.
Jo pienille lapsille voi tarjota tilaisuuksia tutustua monipuolisesti vaikeisiinkin matematiikan käsitteisiin ja osa-alueisiin toiminnan ja konkreettien kokemusten kautta. Seuraavassa esimerkkejä joistakin aiheista ja toimintatavoista.
Yhtälön ratkaisun tekniikkoja voidaan pohjustaa seuraavalla harjoituksella:
1-1= 2-2= 3-3=
2-1= 3-2= 4-3=
3-1= 4-2= 5-3=
Laskut merkitään vihkoon ja jatketaan jokaista ryhmään edelleen, kunnes huomataan säännönmukaisuus: Tuloksena on sama luku. Myöhemmin yhtälöiden ratkaisussa yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai vähentää sama luku niin, että alkuperäinen suhde säilyy.Epäyhtälöihin johdatellaan avoimilla lauseilla, jotka voivat alussa olla muotoa: " Minnalla on pidemmät hiukset kuin ___" tai " Lasse on lyhyempi kuin ___" Huomataan, että usein lauseita voi jatkaa usealla eri tavalla, löytyy useita "oikeita" ratkaisuja. Myöhemmin muodostetaan avoimia lauseita luvuilla sanallisesti tai matematiikan symbolein " Minulla on kädessäni vähemmän kuin kuusi papua. Kuinka monta papua minulla voi olla? Tee pulpetillesi sellainen papukasa." ____ < 6
Funktion käsitettä voidaan konkretisoida leikinomaisesti "funktiokoneen" avulla (ks. kohta 2.5.10. Yhteyksien havainnollistaminen ). Koneeseen syötetään loogisia paloja, lukuja tai alussa jopa suolatikkuja tai muuta syötävää. Kone "käynnistetään" ja se antaa lopuksi tulosteen, jossa kone on käsitellyt syötettä jonkin säännön mukaan. Kun konetta käytetään uudelleen samalla kertaa, se soveltaa uudestaan samaa sääntöä.
Kombinatoriikan alkeisiin perehdytään seuraavilla harjoituksilla:
Kolme lasta menee luokan oven ulkopuolelle. Lapset saavat sopia keskenään, missä järjestyksessä he kävelevät sisälle luokkaan. Pyydetään, että järjestys on joka kerta erilainen. Sisällä olijat arvaavat, missä järjestyksessä lapset tulevat, pitävät arvauksen mielessään ja tarkistavat, osuivatko oikeaan. Taululle merkitään lasten nimillä näkyviin järjestys, joka on käytetty. Toistetaan niin monta kertaa, että huomataan kaikkien eri vaihtoehtojen tulleen esille.
Abstraktina versiona tästä tehtävästä lapset voivat merkitä vihkoon kolmen lapsen nimien alkukirjaimilla kaikki näistä muodostuvat erilaiset järjestykset.
Jokainen lapsi saa kolme eri väristä helmeä tai palikkaa. Tehtävänä on järjestää ne niin monella eri tavalla kuin mahdollista. Jokaisesta järjestyksestä piirretään kuva vihkoon tai ruutupaperille värikynillä. Samaa voidaan kokeilla myös neljällä palikalla, jolloin tehtävä on jo vaativa ja mahdollisuuksia on huomattavasti enemmän.
Yritetään tehdä mahdollisimmn monta erilaista kolmen legon tornia. Legoista voin valita käyttöön kolme tai neljä väriä.
Läpinäkymättömään pussiin laitetaan kolme eri väristä helmeä. Pussista nostetaan aina kaksi kerrallaan ja piirretään vihkoon saatu pari. Piirretään ainoastaan erilaiset ja jatketaan, kunnes kaikki mahdolliset parit on löydetty. Myös tämä voidaan tehdä neljällä helmellä.
Loogisista paloista voidaan tehdä koristenauhoja, ts. laittaa nappuloita riviin jonkin säännön mukaan. Sääntö voidaan ilmaista ominaisuuskortein. Sääntö voi olla esimerkiksi punainen -> vihreä -> sininen -> punainen.
Nappuloiden riviä voidaan tutkia ja merkitä luvuin, monentenako jonossa on punainen (1,4,7,10 jne) /vihreä/sininen nappula.
Todennäköisyyteen liittyviin käsitteisiin saadaan kosketusta esim. heittämällä noppaa tai pientä määrää kaksipuolisia (toinen puoli punainen, toinen sininen) ympyräkiekkoja. Nopasta voidaan tavoitella jotain silmälukua tai sini-punaisilla ympyräkiekoilla tiettyä määrää sinisiä tai punaisia. Lapset pitävät kirjaa, monellako heitolla haluttu silmäluku tai haluttu määrä saadaan ja monellako ei. Voidaan sopia tietty määrä heittoja tai tietty aika, jonka kuluessa heitetään niin monta kertaa kuin ehditään. Pohditaan, onko mahdollista tietää tai ennustaa, koska haluttu tulos tulee ja koska ei.
Voidaan myös muuttaa alkeistapausten määrää (ottaa useampia sini-punaisia ympyräkiekkoja) ja tutkia, onko haluttu määrä helpompi saada silloin kun niitä on enemmän tai vähemmän.
Sen jälkeen, kun luvut 0-20 ovat tulleet lasten hyviksi tuttaviksi sekä yhteen- ja vähennyslaskun käsitteitä on monipuolisesti harjoiteltu, alkaa toisen tyyppinen tutustuminen lukuihin. Nyt valitaan tarkasteltavaksi yksi luvun/lukujen ominaisuus kerrallaan ja tutkitaan, millä kaikilla luvuilla on kyseinen ominaisuus.
Ominaisuuden parillinen ensimmäinen merkitys on matemaattisesti perusteltavissa niin, että parillinen luku voidaan jakaa kahdella niin, että jako menee tasan (eikä siis jää nollasta poikkeavaa jakojäännöstä). Toinen perustelu on, että parilliset luvut voidaan muodostaa kahdesta yhtä suuresta luvusta.
Ominaisuus pariton on myöskin ymmärrettävissä kahdella tavalla: Paritonta lukua ei voida koota pelkistä kakkosista eikä esittää kahden yhtäsuuren kokonaisluvun summana.
Harjoituksia:
Voidaan näyttää yhtä aikaa myös kaksi pillerirasiaa esim. 8 ja 6 . Onko lukumäärä parillinen vai pariton? Entä jos näytetään 7 ja 5 , saadaan kahdesta parittomasta luvusta lopputulokseksi parillinen luku? Myös kananmunakennoja voidaan käyttää vastaavasti apuna liimaamalla suklaamunista saatavia muovimunia kennoihin kiinni sekä parillisia että parittomia määriä ja näyttää niitä sekä yksitellen että yhdessä.
Valkoisilla värisauvoilla (pienillä kuutioilla) voidaan tutkia, mitkä luvut voi rakentaa portaiden muotoon. Kuvasta nähdään, että lukujono alkaa näin: 1,3,6,10
Portaat voidaan rakentaa myös seuraavasti:
Nyt pystysarakkeista saadaan summa 1+2+3+4+3+2+1 joka on sama kuin 4x4 eli 4 potenssiin 2. Kuvio voidaan täydentää neliöksi siirtelemällä reunoilla olevia kuutioita.
Kuutioista rakennetaan neliölukuja eli lukuja, jotka muodostuvat niin monesta kuutiosta, että niistä syntyy neliö. Havaitaan, että lukujono alkaa näin: 1,4,9,16. Näin on saatu alustava kokemus potenssista ja neliöjuuresta.
Naulatauluun voidaan erottaa kumirenkaalla kolmiolukuja tai neliölukuja. Naulataulua käytetään myös geometrian apuvälineenä. Se voidaan valmistaa naulaamalla puualustalle nauloja 1 cm välein ruudukoksi. Naulojen ympärille pingotetaan kumirengas ja näin syntyy geometrisia kuvioita. Lukuja tutkittaessa lasketaan kuvion sisään jäävien naulojen määrä ja tutkitaan näin syntyviä lukuja.
Kolmella ja neljällä jaollisia lukuja voidaan harjoitella valitsemalla sellaiset määrät tikkuja, että niistä voi tehdä 3 (tai 4) kasaa niin, että joka kasassa on yhtä monta tikkua. Kolmella jaollisista luvuista voi tikuilla muodostaa toistensa sisään mahtuvia kolmioita (sivut muodostuvat yhdestä, kahdesta, kolmesta jne. tikusta) ja neljällä jaollisista samalla tavoin neliöitä.
Lukujonoja pohjustettiin jo 1. luokan alussa jaksollisten jonojen (ks. kohta 2.2.) avulla. Nyt tutkitaan kasvavia ja väheneviä (ensin yhdellä, sitten kahdella, kolmella jne.) lukujonoja vaiheittain.
Esimerkki (yhdellä kasvavat/vähenevät jonot):
Ensimmäisessä vaiheessa lapset laittavat peräkkäisiin muffinsivuokiin 3, 4 ja 5 papua ja miettivät, montako seuraavaan vuokaan tulisi laittaa. Tämä kasvava jono voidaan kääntää toisin päin, jolloin saadaan vähenevä lukujono. Toisessa vaiheessa pujotetaan helminauhaan helmiä, aina yksi lisää, ja merkitään lukujono samalla näkyviin. Helmiä pois ottamalla saadaan tästä vähenevä jono. Kolmannessa vaiheessa luetellaan kasvavia ja väheneviä jonoja lukusuoralta.
Esimerkki (kolmella kasvava jono):
Lapsia tulee luokan eteen, heistä joka kolmas menee kyykkyyn. Luetellaan lapset luvuilla alusta loppuun ja pannaan merkille, mitkä luvut ovat kyykistyneiden kohdalla. Tämän jälkeen luetaan ääneti seisovat lapset ja kyykyssä olevien luvut sanotaan ääneen. Lopuksi luetellaan vain kyykyssä olevien luvut (3, 6 jne.).
Lukujonojen harjoitteluun voidaan tehdä erilaisia kiekkolukusuoria, joissa esim. sininen ja punainen ympyräkiekko vuorottelevat. Esimerkiksi joka toinen voi olla sininen ja joka toinen punainen tai väri voi vaihtua joka kolmannen tai joka neljännen kohdalla jne. Lukusuoralta luetellaan lukuja aluksi siten, että "väliinputoajaluvut" luetellaan ääneti vain mielessä: 1, 2, 3, 4
2 2 5 2 5 + + + - - -
Korttien avulla pitää muodostaa seuraavat luvut: 10 , 8, 7, 11, 1,
Leikin avulla todetaan mm. että parittoman ja parillisen luvun summaksi tulee pariton luku ja kääntäen, pariton luku on parittoman ja parillisen summa.
Jokainen valitsee 10 lukukorttia niin, etteivät kaikki ole parillisia lukuja. Korteista otetaan umpimähkään esille kaksi korttia ja lasketaan niiden summa. Parillisen luvun saanut voittaa itselleen pelimerkin. Kymmenen kierroksen jälkeen katsotaan kenellä on eniten pelimerkkejä. Korttien valinta voi tapahtua myös pareittain. Tällöin lapsi valitsee parinsa korteista niitä näkemättä. Koko luokan kanssa pelattaessa voidaan tehdä niin, että lapset asettavat kortit eteensä riviin mielivaltaiseen järjestykseen ja pelin johtaja valitsee korttien järjestysluvut ottamalla umpimähkään esiin kaksi lukukorttia väliltä 1-10.
Lapset piirtävät vihkoon paikat ( ruudut) neljälle luvulle ___ ___ ___ ___ ja niiden viereen piirretään roskapönttö.
Lukukortit 1-20 sekoitetaan huolellisesti. Pelin johtaja ottaa esiin yhden lukukortin ja lasten tulee kirjoittaa tämä luku valitsemansa ruutuun ennen seuraavan luvun esiin ottamista. He voivat merkitä kunkin esille otetun luvun vain sellaiseen vapaaseen ruutuun, että luvut tulevat kasvavaan järjestykseen. Ellei luvulle löydy paikkaa, niin se "heitetään roskiin". Neljän luvun esiin ottamisen jälkeen on voittaja se, jolla on eniten lukuja ruuduissa. Joka kierroksella voidaan päättää erikseen, montako ruutua piirretään ja montako lukua otetaan esille.